Les fluides Les liquides. v 7.2 1

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1 12 Les fluides Les liquides v 7.2 1

2 Masses volumiques ρ (kg m -3 ) T C Hydrogène Azote Oxygène Air Eau Alcool éthylique Huile de lin Mercure

3 Le principe d'archimède.1 Un objet immergé dans un fluide subit une poussée vers le haut égale au poids du fluide déplacé (Archimède, env. 250 AC). Dérivation: V F F Elément de fluide F, de volume V et de densité ρ F en équilibre: son poids w F = m F g = ρ F V g g = 9.81 m s 2 est équilibré par une poussée égale et contraire: B = ρ F V g. Si l'on remplace l élément de fluide de volume V par un corps C de même volume, le fluide autour ne peut pas s'apercevoir du changement et continuera à pousser avec force B = ρ F V g. 3

4 Le principe d'archimède.2 T V F F Corps C de densité ρ C accroché à une corde Le poids vaut w C = m C g = ρ C V g et la tension T sur la corde T = (B ρ C V g) = (ρ C ρ F )Vg Donc, si la densité du corps est plus petite que celle du fluide, la tension est négative, le corps accélère vers le haut. 4

5 Ecoulement d'un fluide Différentes situations d'écoulement peuvent se présenter. Trajectoire de quelques particule: laminaire turbulent Ce fluide est-il compressible? 5

6 Ecoulement laminaire d'un fluide incompressible Débit d'un fluide dans une canalisation: Q = ΔV/Δt m 3 s 1 S' il n'y a pas de source ou de perte, le débit est constant le long de la canalisation Q = cte : équation de continuité. δx v Si la vitesse v du fluide est uniforme*, après un temps δt un élément de fluide sera déplacé de δx = vδt, A donc un volume δv = A vδt. Le débit vaut donc Q = Av. Dans le cas d'un changement de section A 1 A 2, la continuité permet de calculer le changement de vitesse correspondant: Q = cte = A 1 v 1 = A 2 v 2 *NB: Si la vitesse n'est pas uniforme, on peut approximer par des valeurs moyennes 6

7 Ecoulement laminaire d'un fluide incompressible Le théorème de Bernoulli.1 Il s'agit d'appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique. Donc pas de conversion en énergie interne, pas de variation de volume ni frottement: le fluide est incompressible écoulement laminaire régime stationnaire ( v = v(x,y,z) ne dépend pas du temps ) On recherche une formule du type: Travail + variation E cinétique + variation E potentielle = cte 7

8 b P b Le théorème de Bernoulli.2 On considère un "tube de courant" stationnaire, de section A constante, extrémités à hauteur a et b à pression P a et P b. a δx Après un certain temps, sous l'effet de la différence de pression, le fluide avance de δx, et d'un volume δv. La résultante des forces est F = (P a P b )A et le travail valant W = Fδx = (P a P b )Aδx = (P a P b )δv 0 P a doit être équivalent au changement de l'énergie potentielle (E cinétique = cte car A=cte) d'où : δu = mg (b a) = ρδv g (b a) P a P b = ρ g (b a) => P a + ρga = P b + ρgb 8

9 Le théorème de Bernoulli.3 Plus généralement, si l'on considère des changements de section dans le tube de courant, on a aussi des changements de vitesse des éléments du fluide, donc de l'énergie cinétique par unité de volume, que l'on incorpore dans le théorème de Bernoulli: Le long du tube de courant: P + ρgh + 1 / 2 ρ v 2 = cte Pression (force, travail) U gravitationnelle par unité de volume E cinétique par unité de volume 9

10 Le théorème de Bernoulli: cas Δv=0 Le manomètre P atm b On considère un "tube de courant" un peu particulier: la vitesse est nulle. Il va de l'hauteur a à b. Les pressions sont P et P atm. P + ρga = P atm + ρgb P a permet de calculer P à partir de la différence d'hauteur P = P atm + ρg(b-a) 10

11 h Le théorème de Bernoulli : cas ΔP=0 Loi de Torricelli A 1 P atm v 1 A 2 v 2 Liquide incompressible et non visqueux. La surface du réservoir A 1 et celle de l'orifice A 2 <<A 1 sont à l'air libre: pression = P atm On veut déterminer v 2, la vitesse de sortie. ligne de courant Continuité: A 1 v 1 =A 2 v 2 Donc v 1 = (A 2 /A 1 ) v 2 << v 2 v 1 0 Bernoulli: P atm "gh = P atm "v v 2 = 2gh indépendant de la densité. 11

12 Le théorème de Bernoulli: cas Δh=0 Le tube de Venturi h a A a a v a b A b h b v b Bernoulli: Un rétrécissement du tube augmente localement la vitesse du fluide. Les points a et b sont à la même hauteur: P a "v 2 a = P b "v 2 b Continuité: A a v a = A b v b On tire la vitesse v a = 2(P " P ) a b $ # A 2 a 2 A "1 ' & ) % b ( et on peut calculer le débit Q = v a A a 12

13 Le théorème de Bernoulli: L'aile d'avion a a' v b' v H v B P H b P B Suivant les deux tubes de fluide, en bas et en haut, on voit que la vitesse doit être plus grande en haut, car le profil y rend le parcours de l'air plus long. Les points a et a' sont équivalents en vitesse et pression: P a = P a' = P atm v a = v a' = v P atm "v2 = P H "v 2 H = P B "v 2 on néglige la différence B d'hauteur Δh 0 P B " P H = 1 2 # v 2 2 ( H " v B ) poussée verticale (Surface aile)(p B P H ) 13

14 Ecoulement laminaire d'un fluide visqueux.1 Considérons un fluide entre deux plaques planes. La force nécessaire à faire glisser une plaque sur l'autre est analogue à une force de frottement. Il s'agit de la force due à la viscosité du fluide. On peut l'estimer par: y F = "A #v F #y A est la surface des plaques, Δv est la variation de la vitesse sur la distance Δy et η est la constante de viscosité en (Pa s) ou (kg m 1 s 1 ). On peut imaginer des couches du fluide avec des vitesses distribuées entre 0 (la plaque du bas) et v (vitesse de la plaque d'en haut). Dans ce cas Δv = v. 14

15 Ecoulement laminaire d'un fluide visqueux.2 Viscosités en (Pa s) C huile Eau Air Aussi: P, Poise (de J. L. M. Poiseuille) 10 P = 1 Pa s 15

16 Ecoulement laminaire dans un tube Tube cylindrique. On trouve que l'écoulement se fait par couches concentriques avec la vitesse v max au centre. La vitesse est pratiquement 0 sur les parois. La valeur moyenne est approximativement v = 1 2 v max valable pour des tuyaux petits. Le débit est dans ce cas: Q = Av = A v max 2 La continuité impose que le débit et v sont constants le long du tube. Par contre, la pression diminue à cause du travail effectué pour contrer la force de viscosité. La chute de pression est la "perte de charge". 16

17 Ecoulement laminaire dans un tube.2 La perte de charge dépend des forces de viscosité. Elle doit donc dépendre de la vitesse moyenne et de la viscosité η. Elle doit être proportionnelle à la longueur L du tube. On s'attend à ce qu'elle soit inversement proportionnelle au rayon R. L'analyse détaillée donne "P = 8#Lv R 2 Q.: vérifier cela par analyse dimensionnelle. La loi de Poiseuille: Q = "P#R 4 8$L Remarquer que le débit augmente comme R 4! Résistance à l'écoulement R f = ΔP/Q Poiseuille R f = 8"L #R 4 analogie électrique R = V/I R ~ L/R 2 Q.: calculer la R f totale pour le cas de plusieurs R f en série ou en parallèle 17

18 Ecoulement laminaire dans un tube.3 La force de viscosité transforme une partie de l'énergie mécanique en chaleur. Pour maintenir un débit constant, il faut donc fournir un travail. La résultante des forces sur une section du tuyau de surface A vaut F = A(P b P a ) dx P a P b Le travail fait pour déplacer le fluide de dx = v dt vaut dw = F dx = F v dt. En considérant une vitesse moyenne, on peut déterminer la puissance P nécessaire pour maintenir l'écoulement: P = dw = v F = v A(P b " P a ) = Q(P b " P a ) dt Cas d'un tuyau cylindrique longueur L, rayon R, Poiseuille P = "R 4 #P 2 8$L 18

19 Viscosimètre de Höppler On laisse tomber une petite sphère dans un fluide. Forces: poids W, poussée d'archimède F A et viscosité F v. Quand la vitesse est uniforme, a=0, F A + F v +W = 0 (cf: parachute). On trouve pour une sphère (formule de Stokes) 4 3 "R 3 # f g + 6"$Rv % 4 3 "R 3 # s g = 0 où ρ f et ρ s sont les densités du fluide et de la sphère. En mesurant la vitesse de chute v, on peut tirer la viscosité:! F v = "6#$R! v " = 2 9 R 2 g # s $ # f v v 19

20 Ecoulement turbulent Caractérisé par un comportement chaotique, variable, avec une dissipation d'énergie plus grande que dans le cas laminaire. Problème très difficile à traiter théoriquement. Approche phénoménologique. Analyse dimensionnelle: on cherche les grandeurs qui logiquement doivent servir à décrire le système et on les combine en tenant compte de leurs [dimensions] 20

21 Ecoulement turbulent.2 Ecoulement autour d'une sphère: lignes de courant v 0! x! v ( x!,t) Paramètres de l'écoulement: v 0 = vitesse du fluide, à grande distance, uniforme [m s 1 ] η = coefficient de viscosité du fluide [kg m 1 s 1 ] d = diamètre de la sphère [m] ρ = densité du fluide [kg m 3 ] La vitesse au point! x! v = v! ( x!,t,v 0,",d,#) et au temps t doit être une fonction 21

22 Ecoulement turbulent.3 On peut déjà former une grandeur sans dimension v 0 Cette grandeur est invariante lors d'un changement d'unités. On cherche donc à combiner les variables (x, t) et paramètres (v 0, ρ, d, η) de façon a constituer une grandeur sans dimension. Pour la position x, on voit que l'échelle spatiale du problème est défini par le diamètre d. De même: l'échelle temporelle du problème est définie par le temps d'écoulement du fluide autour de la sphère qui est de l'ordre de τ = d/v 0 On prend:! x " x! /d t " t / #! v 22

23 Ecoulement turbulent.4 v 0 = vitesse du fluide, à grande distance, uniforme [m s 1 ] d = diamètre de la sphère [m] η = coefficient de viscosité du fluide [kg m 1 s 1 ] ρ = densité du fluide [kg m 3 ] Essai de combinaison des paramètres: v o A d B " C # D $ Dim m A m B kg C kg D s A m C s C m 3D = ma+b%c%3d kg C+D s A+C On doit annuler toutes les puissances: A+B C 3D = 0 C+D = 0 A+C = 0 Seule solution : B= D = A, C = A avec A arbitraire 23

24 Ecoulement turbulent.5 On choisit A=1, v o A d B " C # D donne v 0 d" # = R e est le nombre (c. à d. grandeur sans dimensions) de Reynolds On peut supposer que tout écoulement doit être de la forme:!!! # x v = v 0 f d, t ",R & % e $ ' ( τ = d/v 0 NB: si fluide compressible, il faut encore le nombre de Mach: N Mach = v/v son 24

25 Ecoulement turbulent.6 R e indique le type d'écoulement. Ex: cylindre dans un fluide. R e 20 tourbillons symétriques derrière l'obstacle R e 100 les tourbillons se détachent alternativement sur les côtés R e 10 4 régime turbulent très irrégulier R e 10 6 apparition du sillage turbulent 25

26 Nombre de Reynolds Ecoulement dans un tube de rayon R R e = 2v "R # Dans les tubes on trouve expérimentalement que: R e < 2000 l'écoulement est laminaire R e > 3000 " " turbulent entre 2000 et 3000 il y a oscillation entre les deux régimes 26

27 Les liquides 27

28 Forces de cohésion La cohésion est due aux forces entre les atomes et molécules. Le corps cherche à se placer dans une configuration qui dépend de ces forces. Une lame d'eau et savon tend spontanément à occuper la surface minimale. Les gouttes sont sphériques. L'interaction du liquide avec d'autres corps (p. ex. les parois du récipient) donne lieu à des phénomènes de contact (ménisques,...). Le mélange de liquides aussi dépend de ces forces. Dans l'eau, on peut dissoudre les substance "hydrophiles". Les "hydrophobes" comme l'huile ne s'accrochent pas aux molécules d'eau. 28

29 Tension superficielle cadre L lame de liquide On produit une lame de liquide dans un cadre en U délimité par un fil mobile. On applique une force sur le fil, jusqu'à l'équilibre. fil mobile F Dans cette configuration, la lame a deux surfaces (devant et derrière). La tension superficielle γ est la force par unité de longueur qui s'oppose aux augmentations de la surface. Dans le cas de la figure: γ = F / 2L deux faces 29

30 Tension superficielle.2 Loi de Laplace Pression à l'intérieur d'une petite goutte de rayon R. Considérons une pression externe nulle. A l'équilibre, la force F P due à la pression P int que l'hémisphère N S F P S exerce sur N, doit être égale et opposée à la force F s que la surface S exerce sur N. On a: F P = P int πr 2 et F s = γ L = γ 2πR P int = 2γ/R Si la pression externe vaut P 0 alors P int = P 0 + 2γ/R Remarque: dans le cas d'une bulle les effets des deux surfaces s'additionnent. Les rayons sont environ les mêmes P int = P 0 + 4γ/R 30

31 Angles de contact La topologie de la région d'interface liquide-solide dépend des forces liquide-solide et liquide-liquide. Eau-verre : 0 Eau-paraffine 107 Hg-verre : 140 Iodure de méthylène-pyrex 30 θ θ Le solide "attire" le liquide plus que le liquide s'attire lui même l'opposé... 31

32 h ménisque Capillarité Si θ<90, le liquide va monter dans un capillaire. Le solide exerce une force verticale F v qui est contrebalancée par le poids du liquide, w = g ρ V = g ρ π r 2 h Tube de rayon r liquide de densité ρ Loi de Jurin: h = 2"cos# $gr θ F s 32

33 Capillarité.2 Loi de Jurin 0 h P 0 A r α R B On considère un point A légèrement en dessous du ménisque. On assimile l'interface liquide-air à une petite goutte sphérique de rayon R = r / cos α On a aussi: P A = P 0 + 2" R = P 0 + 2" r cos# P A = P B " #gh $ P 0 " #gh h = " 2#cos$ %gr = 2#cos& %gr h est < 0 quand θ > 90 h quand r 33

34 Modification de l'interface solide - H 2 O θ Goutte d'eau sur une surface θ θ + imperméabilisant + agent mouillant 34