Modèles qualitatifs pour la décision dans l incertain. Patrice PERNY. Université Paris 6. Décision et IA

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1 Modèles qualitatifs pour la décision dans l incertain Patrice PERNY Université Paris 6 Patrice.Perny@lip6.fr Décision et IA Décision : multiples sources de difficultés Prise en compte de critères multiples et conflictuels (DMDC) Coexistence d opinions partiellement divergentes qu il faut synthétiser (DMDC) Arbitrage entre des choix dont les conséquences sont incertaines Plan : modèles qualitatifs pour la décision dans l incertain Représentation ordinales des préférences et des croyances Utilités qualitatives optimistes et pessimistes Extensions : capacités et intégrales de Sugeno Décision dynamique et applications en IA

2 I Modèles quantitatifs vs qualitatifs Arbitrage entre des choix dont les conséquences sont mal connues Modèles formels Préférences, croyances Critères et règles de décision Deux attitudes Modèles quantitatifs (représentation numériques utilisant les propriétés cardinales des nombres) Modèles qualitatifs (représentation numériques utilisant les propriétés ordinales des nombres, ou représentation nonnumériques, e.g. par relation binaires) Différents types d échelles numériques Ordinale : l écart entre deux échelons n a pas de signification ; l échelle est définie à une transformation strictement croissante près. Intervalle : Ratio : le rapport de différences entre deux échelons à un sens mais pas celui entre deux échelons ; l échelle est définie à une transformation affine positive près (f(x) = a.x + b, a > 0); le choix du «zero» et de «l unité» déterminent complètement l échelle. le rapport entre deux échelons à un sens; l échelle est définie à un facteur multiplicatif positif près (f(x) = a.x, a > 0 ); il existe un «zero» naturel et l «unité» détermine complètement l échelle. b a c d 2

3 Énoncés signifiants Énoncé signifiant : énoncé dont la validité ne dépend pas du codage numérique particulier utilisé (invariant par toute transformation admissible) a 4 b 3 Chemin optimal de a vers b? 2 c 4 b a 3 Arbre couvrant minimal? 2 c Exemple de la décision dans le risque Risque = contexte incertain probabilisé Contexte : agent, n actions possibles aux conséquences incertaines (connues en probabilité) But : Choisir la meilleure action a b? b a c => Modèle décisionnel EU 3

4 EU : Modèle quantitatif Préférences b a p p p p x4 x3 x2 x Croyances b a p > q q p q p x4 x3 x2 x a b? a b? x4 x3 x2 x u u U(a) = 0.55 U(b) = 0.50 oui U(a) = 0.45 U(b) = 0.55 non! p = 0.6 q = 0.4 U(a) = 0.48 U(b) = 0.52 non p = q = 0.3 U(a) = 0.56 U(b) = 0.54 oui! 2 approches, 2 directions - Modèles fins et discriminants nécessitant beaucoup d information - Modèles plus rustiques compatibles avec une information moins riche EU Niveau d information Modèles qualitatifs Probas imprécises Possibilités Sophistications de EU RDU, CEU 4

5 2. Représentation qualitative de l incertain Théorie des possibilités Distribution de possibilité normalisation 5

6 Un exemple L age du président : on peut avoir des statistiques sur l age des présidents mais généralement on en n a pas, où elles ne sont pas significatives. Ignorance partielle : 70 x 80 (ensembles, intervalles) => une distribution de possibilité uniforme π(x) = x [70, 80] = 0 sinon Ignorance partielle avec préférences : e.g. on a des raisons de penser que 72 > 7 ~ 73 > 70 ~ 74 > 75 > 76 > 77 Connaissances + ou - spécifiques Distribution de possibilité : représentation d un état de connaissance, description de la manière dont on perçoit l état du monde. Def : π' est plus spécifique que π ssi π' π i.e. π (x) π(x) pour tout x(π' plus informatif que π) Connaissance complète : la plus spécifique π(s 0 ) = ; π(s) = 0 sinon Ignorance : la moins spécifique π(s) =, s S 6

7 Possibilité et nécessité d un événement π : S [0, ] distribution de possibilité d une variable x (valeurs normales de x) Un événement A S A quel point sommes nous confiant que x A? Π(A) = max s A π(s); Le degré de possibilité que x A N(A) = Π(A c ) = min s A π(s) Le degré de certitude (nécessité) que x A Exemple Comparaison d une quantité x à un seuil θ, quand on sait seulement que la valeur de x est dans un intervalle [a, b]. Connaissance disponible modélisée par : π(x) = si x [a, b], 0 sinon. événement "x > θ " Π(x >θ) 0 X 7

8 Exemple π(x) Π(x >θ) 0 θ a i) a > θ: alors x > θ est certainement vrai : N(x > θ ) = Π(x > θ ) =. ii) b < θ: alors x > θ est certainement faux : N(x > θ ) = Π(x > θ ) = 0. iii) a θ b: alors x > θ is possiblement vrai ou faux; N(x > θ ) = 0; Π(x > θ ) =. θ b θ X Exemple (suite) π(x) Π(x >θ) 0 a θ b X π(x) Π(x >θ) 0 θ a θ b θ X 8

9 Exemple 2 Dé possibiliste Faces : x π(x) 0, 2 3 0,3 4 0,7 5 0,8 6 0,5 Π("pair") = Π("impair") = 0.8 N("pair") = 0.2 N("impair") = 0 Propriétés de base Π(A) = évalue dans quelle mesure au moins un élement de A est consistent avec π N(A) = Π(A c ) = évalue à quel point aucun élément en dehors de A est possible = dans quelle mesure π implique A Propriétés : N(A) Π(A) N(A) > 0 Π(A) = A B Π(A) Π(B); A B N(A) N(B) Π(A B) = max(π(a), Π(B)); N(A B) = min(n(a), N(B)). Mais généralement : Π(A B) < min(π(a), Π(B)) et N(A B) > max(n(a), N(B)) 9

10 Conditionnement possibiliste ordinal Une équation suivant le modèle Bayésien : Π(Β A) = min(π(β A), Π(Α)) Π(Β A) est la solution maximale de cette équation Π(B A) = si A, B Ø, Π(A) = Π(A B) > 0 = Π(A B) si Π(A) > Π(A B) N(B A) = Π(B c A) Indépendance Π(B A) = Π(B) => Π(Β A) = min(π(β), Π(Α)) Application : composition de loteries possibilistes oui a x A oui non p q B B non oui b c non d y z π On a : p = Π(A), q = Π(A c ) a = Π(B A), b = Π(B c A), c = Π(B A c ), d = Π(B c A c ) d'où : π(x) = min{a, p}, π(z) = min{q, d} π(y) = max{min{p, b}, min{q,c}} 0

11 Possibilité, nécessité, capacités Capacités de Choquet: Capacité décomposable

12 Un aperçu global sur les capacités capacités sous-additives Π plausib. P N beliefs Sur-additives 3. Décision dans un contexte possibiliste 2

13 Décision et théorie des possibilité contexte incertain possibiliste Contexte : agent, n actions possibles aux conséquences incertaines (connues en possibilité) But : Choisir la meilleure action a b? b a c => Modèle décisionnel qualitatifs Utilité qualitative optimiste Evalue à quel point il est possible que la conséquence de π soit bonne π(x) u(x) U + (π) X 3

14 Exemple pi a b c d U+ a b c d Utilité qualitative pessimiste Evalue à quel point il est certain que la conséquence de π soit bonne il est impossible la conséquence de π soit mauvaise U - (π) - u(x) π(x) u(x) X 4

15 Exemple pi a b c d U- U+ a b c d Propriétés 5

16 + U : Modèle qualitatif b a π π π π x4 x3 x2 x a b? x4 x3 x2 x u u U + (a) = 0.8 U + (b) = 0.6 oui U + (a) = U + (b) = 0.6 oui b a π > θ θ π θ π x4 x3 x2 x a b? π = θ = 0.3 U + (a) = 0.8 U + (b) = 0.6 oui π = θ = 0. U(a) = 0.8 U(b) = 0.6 oui - U : Modèle qualitatif b a π π π π x4 x3 x2 x a b? x4 x3 x2 x u u U - (a) = 0.3 U - (b) = 0.4 non U - (a) = 0.2 U - (b) = 0.4 non b a π > θ θ π θ π x4 x3 x2 x a b? π = θ = 0.3 U - (a) = U - (b) = 0.6 oui π = θ = 0. U - (a) = 0.9 U - (b) = oui 6

17 Axiomatique des utilités qualitatives Actions = loteries possibilistes λ ν 0.5 x π y π z Axiomes 7

18 Théorème Dubois et Prade (995, 998) Axiomes pour U+ 8

19 Théorème Dubois et Prade (995, 998) Modèles qualitatifs dans le cadre de Savage 9

20 Décision dans l incertain total Événement EU et Utilités qualitatives 20

21 4. Application dans les arbres de décision Exemple : planification en IA Robot goals On souhaite atteindre l objectif dans une fenêtre de temps qui autorise au plus 3 mouvements

22 Calcul de u+ dans le graphe de décision goals Calcul de u- dans le graphe de décision goals