Plan du cours d algèbre

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Benoît Paul
il y a 6 ans
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1 Plan du cours d algèbre Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Semaine 1 Espaces vectoriels réels Applications s Semaine 2 Produit scalaire, projections, interprétations géométriques Réductions de matrices

2 et applications s Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 2/15 Objectifs Lien entre matrices et applications s transposée inverse changement de base

3 Matrice associée à une application dans des bases de départ et d arrivée Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 3/15 Soit f : R p R n et U, V bases resp. de E et F. Rappel : f est déterminée par les f (u j ). Chaque f (u j ) s écrit f (u j ) = n i=1 m i,j v i. La matrice M de f dans les bases U et V est : m 1,1 m 1,2... m 1,p m 2,1 m 2,2... m 2,p M = m n,1 m n,2... m n,p, notée : (m i,j) i m, j p retenir : Colonne n o j de M = coordonnées de f (u j ) dans V Donc m i,j = coordonnée de f (u j ) sur le vecteur v i

4 Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 4/15 Multiplication Matrice colonne Soit M = (m i,j ) i m, j p R n p, X une matrice colonne x 1 x p X =. R p 1 Le produit M X de X par M est la matrice colonne Y, de coordonnées y i = p j=1 m i,j x j. (i n). (MX ) [i] = ligne n o i de M colonne X

5 Calcul de f (x) par un produit matrice-colonne Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 5/15 Soit f : R p R n, et U, V des bases de R p et R n. Comment calculer f (x)? (pour x E) Soit M = (m i,j ) R n p la matrice de f dans les bases U et V, i.e. telle que f (u i ) = n j=1 m i,jv j. ) Si x = p j=1 x ju j, on appelle X = associée à x dans la base U. ( x1. x p la matrice colonne de même, si y = n i=1 y i v i F, quelconque, Y = est la matrice colonne associée à y dans la base V. ( y1. y n ) : Par un calcul simple : f(x) = y MX = Y

6 Base canonique On appelle Base canonique de R p la famille Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 6/15 (e) = (e 1,..., e p ) où e i est le vecteur (0,..., 0, }{{} 1, 0,... ). i ème rang Pour x = (x 1,..., x p ) R p, on a x = p i=1 x ie i. attention : si U (e), x p i=1 x iu i. Convention : Si on ne précise pas les bases choisies, la matrice de f = la matrice M associée à f dans les bases canoniques de départ et d arrivée Dans les bases canoniques, on identifie le vecteur x = (x 1,..., x p ) ) avec la matrice colonne X = ( x1. x p.

7 Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 7/15 Produit de matrices Si P R q n, M R n p,le produit Q = PM R q p est n (Q) [i,j] = p i,k m k,j ( pour i q, j p) k=1 (PM) [i,j] = i eme ligne de P j eme colonne de M j... m 1,j = i p i,1... p i,n... m n,j.... i... q i,j j

8 produit de matrices - composition d applications s Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 8/15 Soient f : E = R p = F = R n et g : R n G = R q. Alors g f : x g [ f (x) ], de R p dans R p. U, V, W bases respectives de E, F, G et M : matrice de f dans (U, V), P : matrice de g dans (V, W), Quelle est la matrice associée à g f? on montre (comme pour l action d une matrice sur une matrice colonne) que matrice de g f : PM est la matrice de g f dans les bases U et W.

9 Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 9/15 Matrice inverse Soit M R n n et f : R n R n associée dans la base canonique. M est dite inversible si f est inversible. f est inversible Colonnes de M : base de R n (Rappel : f (e j ) : jème colonne de M. ) (th. du rang) Colonnes de M ment indépendantes (libres) dans R n (th. du rang) Colonnes de M engendrent R n Inverse de M : la matrice M 1 telle que M M 1 = M 1 M = := I propriété : (MP) 1 = P 1 M 1 (si inversibles)

10 Matrice transposée Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 10/15 M une matrice n p, M = (m i,j ) i n,j p. Matrice transposée de M : M : obtenue en transformant les lignes en colonnes : M [i,j] = m j,i et M = i j m 1,1... m n,1. m j,i. (i p, j n) m 1,p... m n,p pour un produit : ( ) M P = P M

11 Changement de base et matrice colonne d un vecteur Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 11/15 U et U deux bases de R n, x R n, X = (x 1,..., x n ) T : matrice de x dans U. Matrice X de x dans U? c est à dire : coefficients x i, tels que x = x i u i?) Soit P la matrice de passage de U à U : ses colonnes sont les vecteurs de U dans U, P = [u 1 ] u... [u n] u ie u j = p i,j u i i P est inversible (vérifiez pourquoi)

12 Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 12/15 Changement de base et matrice colonne d un vecteur x = j x j u j ( définition des x i ) = j x j ( i p i,j u i ) (u j est la j eme colonne de P) = i ( j p i,j x j )u i Or on sait que x = i x iu i. Donc X [i] = x i = j p i,j x j = (PX ) [i] c est à dire X = PX. Conclusion : X = P 1 X

13 et matrice d une application Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 13/15 Soit f : R p R n, U, V des bases de R p et R n (anciennes bases), M la matrice de f dans U, V. Soient U, V de nouvelles bases, P et Q les matrices de passages de U à U et de V à V. Matrice M de f dans U, V?

14 Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 14/15 et matrice d une application X, X les matrices colonnes de x dans U et U. Y, Y les matrices colonnes de y = f (x) dans V et V. P, Q : matrices de passages U U et V V. On cherche M telle que : Y = M X ( y = f (x)) Y = M X, X, X, Y, Y. Or Y = Q Y et X = P X (chgt de base colonne). Donc Y = M X Q Y = M P X Y = Q 1 M P X. Conclusion : M = Q 1 MP

15 Conclusion de la semaine 1 d algèbre Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 15/15 Vocabulaire de base donné cette semaine à venir : géométrie, projections, réduction.

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