Université Jinan Faculté de Gestion Tripoli - Liban. Statistiques. Examen Préparatoire. Version 1
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2 Statistiques Université de Jinan Faculté de Gestion
3 Table des matières 1 Analyse statistique d'une variable Données Statistiques Représentations graphiques Variable discrète Variable continue Valeurs caractéristiques Paramètres de position (ou de tendance centrale) Paramètres de dispersion Exercises Analyse statistique de deux variables Présentation des données Valeurs caractéristiques Représentation graphique Ajustement linéaire Exercices
4 Chapitre 1 Analyse statistique d'une variable 1.1 Données Statistiques Les données statistiques sont présenté comme suit : sous la forme {(x i, n i ) : 1 i p} dans le cas d'une variable discrète avec x 1 < x 2 < < x p ; sous la forme {([a i, a i+1 [, n i ) : 1 i p} dans le cas d'une variable continue. n i est l'eectif de la valeur x i (ou de la classe [a i, a i+1 [). p On a évidemment n i = n. 1.2 Représentations graphiques Variable discrète DIAGRAMME EN BÂTONS Le diagramme en bâtons des eectifs (resp. des fréquences) de la distridution statistique {(x i, n i ) : 1 i p} s'obtient en traçant les "bâtons" A i B i, c'est-à-dire les segments joignant les points A i (x i, 0) B i (x i, n i ) (resp. B i (x i, f i )) pour 1 i p. POLYGONE DES EFFECTIFS OU DES FRÉQUENCES 2
5 Le polygone des eectifs (resp. des fréquences) de la distridution statistique {(x i, n i ) : 1 i p} s'obtient en joignant les points B i (x i, n i ) (resp. B i (x i, f i )) pour 1 i p. COURBES CUMULATIVE La courbe cumulative (C) de la distridution statistique {(x i, n i ) : 1 i p} est la courbe représentative de la fonction F dénie comme suit : Si x < x 1, F (x) = 0. Si x 1 x < x 2, F (x) = p 1. Si x 2 x < x 3, F (x) = p 1 + p Si x n x, F (x) = p p n = 1. F est donc une fonction en escalier, eectuant un "saut" à chaque point x i Variable continue HISTOGRAMME L'histogramme des ectifs (resp. des fréquences) de la distibution statistique {([a i, a i+1 [, n i ) : 1 i p} s'obtient en traçant pour tout 1 i p le rectangle de base A i A i+1 (A i étant le point (x i, 0)) et d'aire proportionnelle à n i (resp. f i ), et donc de hauteur proportionnelle à. n i a i+1 a i Remarque : si les classes ont toutes même amplitude, les hauteurs des rectangles sont proportionnelle aux n i. POLYGONE DES EFFECTIFS OU DES FRÉQUENCES Le polygone des ectifs (resp. des fréquenes) de la distribution statistique {([a i, a i+1 [, n i ) : 1 i p} s'obtient en joignant les points B i (c i = a i + a i+1, n i ) (resp. B i (c i, f i )) pour 1 i p. 2 COURBES CUMULATIVE La courbe cumulative des fréquences de la distribution statistique {([a i, a i+1 [, n i ) : 1 i p} s'obtient en joignant les points B i (a i+1, j i f j ) pour i va- 3
6 riant de 1 à p. On obtient de même la courbe cumulative des eectifs. 1.3 Valeurs caractéristiques Paramètres de position (ou de tendance centrale) MODE Si X est une variable discrète, on appelle mode toute valeur x i dont l'eectif (ou la fréquence) est maximum. Si X est une variable continue, on appelle classe modale toute classe n i f i [a i, a i+1 [ pour la quelle (ou ) est maximum (sur a i+1 a i a i+1 a i l'histogramme, la hauteur du rectangle correspondant est maximum). MÉDIANE Remarque : Il peut y avoir plusieurs modes (ou plusieurs classes modales) Si X est une variable discrète prenant N valeurs : v 1 v 2... v N (les valeurs prises par X ne sont pas groupées), on appelle médiane un nombre réel m e tel qu'il y ait autant des valeurs v j inférieurs ou égales à m e que des valeurs v j inférieurs ou égales à m e. Si N = 2k + 1, m e = v k+1 Si N = 2k, m e = v k + v k+1. 2 Si X est une variable continue, on appelle médiane le nombre réel m e abscisse du point d'ordonnée 1 de la courbe cumulative des fréquences, c'est-à-dire le nombre réel solution de l'équation F (x) = m e appartient à la première classe [a i, a i+1 [ dont la fréquence cumulée p i est supérieure ou égale à 0,5 (on a donc : p i 1 < 0, 5 et p i 0, 5). m e a i La valeur de m e s'obtient en résolvant : = 0, 5 p i 1, donc a i+1 a i p i p i 1 4
7 m e = a i + 0, 5 p i 1 p i p i 1 (a i+1 a i ) MOYENNE Si X est une variable discrète de distridution {(x i, n i ) : 1 i p}, on appelle moyenne le nombre réel : x = 1 p p n i x i = f i x i. n Si X est une variable continue de distibution, {([a i, a i+1 [, n i ) : 1 i p}. La moyenne se calcule comme pécédemment, en remplaçant x i par le centre c i de la classe [a i, a i+1 [ (c i = a i + a i+1 ) Paramètres de dispersion VARIANCE ET ÉCART TYPE La variance est le nombre réel positif : V = x 2 x 2 = 1 p n i x 2 i x 2 = n p f i x 2 i x 2 ou encore V = 1 p p n i (x i x) 2 = (f i x i x) 2. L'écart n type est σ = V. 1.4 Exercises Soit le tableau statistique suivant x i [155 ;160[ [160 ;165[ [165 ;170[ [170 ;175[ [175 ;180[ n i Trouver la moyenne, la médiane, la classe modale, la variance et l'ecart-type. Answers : la moyenne est 167, la médiane est 167,08, la classe modale est [165 ;170[. 5
8 Chapitre 2 Analyse statistique de deux variables 2.1 Présentation des données Soient X et Y deux variables quantitatives dénies sur une population P. L'étude d'une échantillon de taille n donne n couples de valeurs prises par le couple (X, Y ) qui constituent la distribution statistique du couple (X, Y ). Cette distribution est présenté comme suit : Sous forme de données non groupées : individu 1 i n X x 1 x i x n Y y 1 y i y n (La première ligne de ce tableau est parfois omise). 6
9 2.2 Valeurs caractéristiques X = 1 n Y = 1 n n n x i y i V (X) = σ 2 X = X2 X 2 = 1 n V (Y ) = σ 2 Y = Y 2 Y 2 = 1 n Cov(X, Y ) = XY X.Y r = Cov(X, Y ) σ X σ Y n x 2 i X 2 n yi 2 Y Représentation graphique Dans un repère orthogonal, à chaque individu de l'échantillon on associe le point M(x, y), x et y étant les valeurs prises par X et Y pour cet individus. Si (X, Y ) prend la valeur (x, y) pour m individus, on dessine m points autour du point du coordonnées (x, y), ou un disque d'aire proportionnelle à m. On obtient ainsi le nuage de points représentant la distribution statistique. Le point G(X, Y ) est appelé point moyen du nuage. 2.4 Ajustement linéaire On appelle droite de régression de y en x ou droite des moindres carrés de y en x La droite suivante : ( ) : y = ax + b qui "ajuste" le nuage. On dit qu'on eectue un ajustement linéaire. Où a = Cov(X, Y ) et b = Y ax. V (X) 7
10 2.5 Exercices Soit le tableau statistique suivant : x i y i Calculer X, Y, V (X), V (Y ), σ X et σ Y. 2. Calculer cov(x.y ) et r. Réponse : X = 480, Y = 20, V (X) = 2600, V (Y ) = 10, 4, cov(x.y ) = 118 et r = 0, 72. 8
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