Dans cet méthode on substitue tous la surface I par la surface du trapèze formé par les point (a,b,f(b),f(a)) (figure VII.2) :

Transcription

1 VII.Intégration numérique : Le problème d intégration numérique est l estimation du nombre : II(ff) = ff(xx)dddd Ce problème apparait lorsque cette valeur ne peut pas être déterminé analytiquement ou lorsque la fonction f(x) n est pas doer que dans des point discrets (x i, fi). L évaluation de cette valeur numériquement est coue sous intégration ou quadrature. Du point de vue graphique I(f) est la surface limité par les trois droites y=0, x=a,x=b et la courbe de fonction f(x) : VII.2. Méthode de trapèze : Dans cet méthode on substitue tous la surface I par la surface du trapèze formé par les point (a,b,f(b),f(a)) (figure VII.2) : 50

2 Dans ce cas la surface I peut être approximé par : Exemple : II(ff) = ff(xx)dddd 1 ( ) (ff 2 + ff ) II = ee xx dddd 1 (ee + 1) 2 0 II = 1, II eeeeeeeeee = 1, Pour augmenter la précision de cette valeur il est possible d utiliser une méthode qui reposetapez une équation ici. sur l utilisation de la méthode de trapèze sur des sous intervalles : 1 II(ff) = ff(xx)dddd II(ff) = ( ii ii ) = II ii (ff ii + ff ii+1 ) II(ff) = HH 2 (ff ii + ff ii+1 ) = HH 2 (ff + 2ff 1 + 2ff ff 1 + ff ) Cette technique est dite de trapèze composite 51

3 Méthode de Simpson 1/3 : Dans cette méthode la droite qui joigne f(a) et f(b) sera remplacé par une parabole qui interpole les trois points : (a, f(a)),(b, f(b)) et ((a+b)/2, f(a+b)/2) Donc on obtient la forme suivante de l approximation : Dans le cas composite : Exemple : 52

4 Pour une deuxième fois l amélioration des calcule nécessite l augmentation des point de quadrature et si en utilise 4 points la méthode prend le nom de méthode de : Méthode de Simpson 3/8 : La méthode de méthode composite sera doé par : Intégration numérique à point multiple (Méthode de Newton Cote) : ff(xx) dddd = pp(xx)dddd = ff ii LL ii (xx) dddd = ff ii LL ii (xx)dddd En posant : pour x=a+h*t ou h=(b-a)/n (n+1 est le nombre de point) LL ii (xx) = φφ(tt) = kk=0/kk ii tt kk ii kk ff ii LL ii (xx)dddd = h ff ii φφ ii (tt)dddd = h ff ii αα ii Les coefficients αα ii sont nommés les poids de l intégrale. Ils ne dépondent ni de la fonction f ni des borne de l intégrale, ils sont doé pour chaque valeur de n.ils ont la propriété suivante : αα ii = σσ ii ss =

5 D une manière générale : ff(xx) dddd = ( ) ss ff iiσσ ii Pour chaque valeur de n le tableau suivant résume les valeurs de c αα ii ainsi de l erreur de calcul en fonction de h : n σσ ii ns erreur nom h 3 Trapèze 12 ff(2) (ξξ) h 5 Simpson 1/3 90 ff(4) (ξξ) h 5 Simpson 3/8 80 ff(4) (ξξ) h 7 Règle de Milne 945 ff(6) (ξξ) h ff(6) (ξξ) 9h 41 9 Widdle 1400 ff(8) (ξξ) Méthode de Quadrature de Gauss : Dans cette méthode, au contraire des méthode précédant qui utilise des point à intervalle égaux, utilise des points à intervalle spéciale et des coefficient très différente : La méthode de gausse repose sur l utilisation de point x i et des coefficients pour lesquels l intégral d un polynôme d ordre 2n-1 soit exacte : Pour simplifier prenons l intégrale d une fonction f(x) entre -1 et 1 : 54

6 Les point t 1, t 2,C 1 et C 2 sont choisie de sorte que l intégrale des fonctions 1,t, t 2 est t 3 doe le résultats exacte : En résolvant l ensemble des équations obtenues on trouve : Donc : Pour un problème générale : Un changement de variable est nécessaire : Posant alors par substitution on trouve : 55

7 et d où Alors : Exemple : Le changement de variable sera : Et Alors : Evaluant F(t i ) : Donc on obtient : Qui représente une approximation meilleur que les méthode précédant. Et si on veut utiliser deux intervalles : Alors :pour I 1 et Et 56

8 Pour I 2 : et Dans le tableau suivant nous résumant les différentes valeurs de t i et C i associé selon le nombre de point choisie. 57

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