Approximation par la méthode des moindres carrés d un problème bidimensionnel stationnaire d interaction fluide-structure

Transcription

1 Mediterranean Conference on Biomathematics June 25-28, 2007 French University in Cairo Approximation par la méthode des moindres carrés d un problème bidimensionnel stationnaire d interaction fluide-structure Ibrahima Mbaye, Laboratoire de Mathématiques, Informatique et Applications, Université de Haute-Alsace, 4 rue des Frères Lumière, Mulhouse Cedex, France Cornel Murea, Laboratoire Mathématiques, Informatique et Applications, Université de Haute-Alsace, 4 rue des Frères Lumière, Mulhouse Cedex, France Keywords : Interaction Fluide-Structure, calcul du gradient analytique, algorithme BFGS. Dans cette note, on étudie un problème bidimensionnel stationnaire d interaction fluide-structure. Le fluide est modélisé par les équations de Stokes et la structure est représentée par un modèle de poutre. On transforme la condition de couplage concernant la continuité des contraintes normales à l interface par la méthode des moindres carrés. On propose une méthode numérique de résolution du problème couplé fluide-structure qui s appuie sur l algorithme d optimisation BFGS. Une transformation ALE explicite est utilisée pour calculer le gradient analytique de la fonction coût. On présente des résultats numériques. 1 Introduction On étudie un problème stationnaire d interaction entre un fluide gouverné par les équations de Stokes bidimensionnelles et une structure élastique modélisée par une équation monodimensionnelle de type poutre. Les équations du fluide et celles de la structure sont couplées par deux types de conditions aux limites à l interface : continuité de vitesses (le fluide adhère aux parois ou d une manière équivalente, les vitesses du fluide et de la structure sont égales à l interface et continuité de forces de surface (les forces agissant à l interface sur la structure sont égales et de sens contraire aux celles qui agissent sur le fluide. Plusieurs méthodes de résolution numériques ont été élaborées. La stratégie de type point fixe a été utilisée dans [1] et [2]. Pour accélérer la convergence on peut utiliser : la relaxation [3], [4], la transpiration [5], [6] ou la méthode d Aitken [7]. La méthode de Newton avec le jacobien approché par des différences finies a été utilisé dans [8]. Dans [7] le jacobien est remplacé par un opérateur plus simple et dans [9] le jacobien est évalué exactement. Une approche décomposition de domaine avec préconditionnement est proposé dans [10]. Le principal désavantage des algorithmes de point fixe ou de Newton est que le point d initialisation doit être proche de la solution. Dans cette note, on transforme la condition de couplage concernant la continuité des contraintes normales à l interface par la méthode des moindres carrés. Pour résoudre numériquement le problème d optimisation ainsi obtenu, on utilise la méthode BFGS (Broyden, Fletcher, Goldforb, Shono qui nécessite le calcul du gradient de la fonction coût à chaque itération. Trouver la forme analytique du gradient est en général une tâche difficile car on doit faire des dérivations par rapport au domaine. Dans cette note, en utilisant une transformation ALE (Arbitrary Lagragian Eulerian explicite, on donne la forme analytique du gradient qui est aisément mise en oeuvre numérique. Concernant la vitesse de convergence dans un cadre général, la méthode de Newton est plus rapide que l algorithme BFGS, qui est plus rapide que l algorithme de type point fixe. Mais, contrairement aux deux autres méthodes, l algorithme BFGS est moins sensible au point de départ, ce qui représente un avantage important de cette approche. 2 Présentation du problème couplé Soient L et H deux constantes positives. Désignons par u définie de [0, L] dans R le déplacement transversal d une structure élastique. On considère un fluide incompressible qui occupe le domaine dans R 2 de frontière = Σ 1 Σ 2 Σ 3 Γ u où Σ 1 est la section d entrée du fluide, Σ 2 est une frontière rigide, Σ 3 est la section de sortie du fluide et Γ u = { ( x 1, H + u( x 1 R 2 ; x 1 [0, L] } est l interface fluide-structure qui dépend du déplacement u. On note par Γ 0 la frontière rigide de la configuration de référence (voir Fig. 1. Soit f F les forces externes appliquées au fluide, n est le vecteur extérieur unitaire normal à la frontière et e 2 = (0, 1 T est le vecteur unitaire dans la direction de l axe des ordonnées. 1

2 x 2 H Γ 0 Γ u u Σ 1 Σ 3 Σ 2 L x 1 Figure 1: Domaine occupé par le fluide (Σ 2 est l axe de symétrie. Désignons par v = (v 1, v 2 défini de dans R2 la vitesse de l écoulement et par p définie de dans R la pression. Le problème couplé est : trouver (u, v, p tel que u ( x 1 = 1 D ( (σ(p, v n e (u ( x1 2 (1 u(0 = u(l = u (0 = u (L = 0 (2 µ v + p = f F, dans (3 v = 0, dans (4 v = g in, sur Σ 1 (5 v n = 0, sur Σ 2 (6 v 1 = 0, sur Σ 2 (7 pin + µ v n = 0, sur Σ 3 (8 v = 0, sur Γ u. (9 Le paramètre µ représente la viscosité du fluide, D = Eh3 12 est une constante liée à la structure, E est le module de Young, h est l épaisseur de la structure. On note par la dérivée par rapport à x 1. La structure est gouvernée par (1 (2 et les équations (3 (9 modélisent le fluide. Il s agit d un problème couplé fluide-structure parce que, d un coté, le déplacement de la structure dépend de la pression du fluide à l interface et de l autre coté, le domaine occupé par le fluide dépend du déplacement de la structure. Remarque 1 (σ(p, v n e (u ( x1 2 = [ ( v1 p( x 1, H + u( x 1 + µ u ( x 1 + v 2 2 v ] 2. x 1 Γ u [ ( Dans la suite on néglige le terme µ u ( x 1 v1 + v2 x 1 2 v2 ] Γ u par rapport aux forces de pression p( x 1, H + u( x 1. 3 Formulation du problème d optimisation Dans la suite, la pression à l interface sera approchée par : p ( x 1, H + u( x 1 m α i φ i ( x 1 x 1 [0, L], (10 où φ i sont des fonctions de base de type éléments finis, α = (α 1,..., α m R m est le vecteur à trouver. 2

3 On introduit le problème d optimisation suivant : ( L m 2 inf J(α = α i φ i ( x 1 p( x 1, H + u( x 1 d x 1, (11 α 0 le déplacement de la structure u est la solution de ( u ( x 1 = 1 m α i φ i ( x 1, x 1 [0, L] (12 D avec les conditions (2; la vitesse et la pression du fluide v et p sont solutions du problème (3 (9. Le vecteur α a la signification d un contrôle virtuel dans le sens de l article [11]. Remarque 2 On doit préciser que le problme d optimisation n est pas équivalent au système (1 (9, mais si la valeur optimale de la fonction coût est proche de zéro, alors le problème d optimisation approche d une manière convenable le problème couplé initial. 4 La forme analytique du gradient de la fonction coût On introduit : a 11 (α = H + u H, a 11 (α = 1 H Soient les formes suivantes : a F (v, w = µ v w dx, u, a 12 (α = u H x 2, b F (w, q = ( w q dx, a 12 (α = 1 H 2 1 a 11 (α γ(w = fi F w i dx Ω a F u 11 (α ( ( 1 a 11 (α w 1 1 a 12 (α + µ 1 a 11 (α w1 Ω a F u 11 (α x 1 a 11 (α a 2 11 (α a 12 (α 2 ( ( 1 a 11 v i w i 1 a 12 (α µ 1 a 11 (α vi a 11 (α x 1 x 1 a 11 (α a 2 11 (α a 12 (α u x 2. p dx x 1 w i dx. Proposition 1 Les applications α R m v (H 1 ( 2 et α R m p L 2 ( /R sont v différentiables et leurs dérivés partielles (H0 1(ΩF u 2 p et L 2 ( /R vérifient le système suivant : { a F ( v p, w + b F (w, = γ(w, w (H0 1(ΩF u 2 b F ( v, q = 0, q L 2 (Ω F (13 u /R. La dérivée de J par rapport α k est donnée par : ( J L m (α = 2 α i φ i ( x 1 p( x 1, H + u( x 1 0 ( φ k ( x 1 p( x 1, H + u( x 1 d x 1 Remarque 3 Pour calculer le gradient, on doit résoudre : a 1 problème structure (1 avec les conditions (2 pour calculer u, b 1 problème fluide (3 (9 pour calculer v et p, c m problèmes fluide (12 pour calculer v p et, i = 0,..., m. Mais les m systèmes linéaires obtenus après la discrétisation de (12 par éléments finis ont la même matrice, qui est identique a celle du problème variationnel pour résoudre (3 (9. Pour résumer, l effort de calcul total pour b et c est équivalent à la résolution d un problème variationnel de type Stokes avec m + 1 second membres différents. Dans [12], les équations du gradient analytique sont écrites dans un domaine de référence, qui nécessite un calcul supplémentaire pour l assemblage de la matrice. Par contre, si on emploie (12, on peut utiliser des codes de calcul déjà existants pour l assemblage de la matrice. 3

4 5 Résultats numérique Le domaine dans lequel l écoulement se produit a une longueur L = 3 cm et une hauteur H = 0.5 cm. La viscosité du fluide est µ = g cm s, sa densité ρf = 1 g cm, les forces volumiques f F = (0, 0. L épaisseur 3 de la structure h = 0.1 cm, son module de Young E = g cm s, sa densité ρ S = 1.1 g 2 cm. Le profil 3 de vitesse sur Σ 1 est de la forme : gin 1 (x 1, x 2 = v 1 (x 1, x 2 = (1 x2 2 H V 2 0 et gin 2 (x 1, x 2 = v 2 (x 1, x 2 = 0. Le paramêtre V 0 = 30 cm s est la vitesse maximale du fluide à l entrée, g in = (gin 1, g2 in. On pose h f = L/40 la subdivision de la longueur L de la structure. La vitesse et la pression du fluide sont approchées en utilisant les éléments finis de Lagrange d ordre 2 (P 2, respectivement d ordre 1 (P 1. Nous utilisons le logiciel FreeFem++ [13] pour les tests numériques. La méthode BFGS est un algorithme itératif de type α k+1 = α k θ k H k J(α k. Le scalaire θ k est la solution d un problème d optimisation unidimensionnel, ( la matrice H k approche l inverse du hessien de J et elle est calculée par la formule H k+1 = H k γt k H kγ k δk δ T δk T γ k k δk T γ δ kγ T k H k+h k γ k δ T k k δk T γ où δ k = α k+1 α k k et γ k = J(α k+1 J(α k. 5.1 Test dans le cas m = 3 Les fonctions φ i φ 0 ( x 1 = φ 1 ( x 1 = { φ 2 ( x 1 = { 2x1 L { 2x 1 + 1, x 1 [0, L/2] 0, x 1, [L/2, L] L, x 1 [0, L/2] 2 2x1 L, x 1 [L/2, L] 0, x 1 [0, L/2] 2x 1 L 1, x 1 [L/2, L] La validation du gradient analytique se fait par comparaison avec un gradient obtenu par différences finies (DF. α J(α analytique J(α par DF m h f J(α ini J(α op J(α op CPU time 3 L/ e s 4 L/ e s 7 L/ e s 10 L/ e s Table 1: Le gradient calculé analytiquement et par différences finies (gauche. obtenues avec l algorithme BFGS (droite pour m = 3, m = 4, m = 7, m = 10. Les valeurs optimales Dans l algorithme BFGS on utilise le test d arrêt J(α < 10 5 qui est réalisé aprés 10 itérations. On a pris comme point de départ α = 0. 4

5 0 25 pression alpha*phi Figure 2: Le cas m = 3. Pression à l interface et fonction d approximation. Figure 3: Le cas m = 3. Déplacement du paroi et vitesse du fluide. 5.2 Test dans le cas m = 10 Les fonctions φ i On pose l = L/9. { x1+l φ 0 ( x 1 = l, x 1 [0, l] 0, x 1, [l, 9l] x 1 (i 1l l, x 1 [(i 1l, il] φ i ( x 1 = x 1 (i+1l l, x 1 [il, (i + 1l] i = 1 8 0, ailleurs { 0, x φ 9 ( x 1 = 1 [0, 8l] x 1 8l l, x 1 [8l, 9l] m h f J(α ini J(α op J(α 10 L/ e L/ e L/ e L/ e-005 Table 2: Le cas m = 10. Valeurs optimales obtenues pour divers h f. La valeur optimale de la fonction coût est proche de zéro, même si on utilise un nombre réduit de contrôles (m = 10. On peut affirmer dans ce cas que le problème d optimisation approche d une manière convenable le problème couplé fluide-structure (1 (9. 5

6 0 25 pression alph*phi Figure 4: Le cas m = 10. Pression à l interface et fonction d approximation. 6 Conclusion Figure 5: Le cas m = 10. Déplacement du paroi et vitesse du fluide. Dans ce travail nous avons mis en place une nouvelle approche pour la résolution numérique d un problème couplé fluide-strucure. Notre approche repose sur l approximation des forces exercées par le fluide sur la structure. Cette approximation nous a permis de poser un problème d optimisation et de déterminer le déplacement u de la structure, la vitesse v du fluide et sa pression p. L algorithme BFGS est utilisé pour la résolution du problème couplé. Dans ce travail nous avons déterminé le gradient analytique. Dans [12] les équations du fluide sont posées dans la configuration de référence Ω F 0 et dans ce travail les équations du fluide sont posées dans la configuration mobile. La résolution du problème fluide dans la configuration mobile nous a permis de résoudre des équations de Stokes sans coéfficients devant les opérateurs comme dans [12]. Dans ce travail on a varié m et le pas du maillage h f sur l interface. On remarque que plus on augmente m, plus l approximation est meilleure. La variation du pas de maillage h f sur l interface n influe pas d une manière significative sur l approximation des forces. Les tests numériques ont été réalisés avec le logiciel FreeFem++ [13]. Le même approche a été utilisé dans [14] pour le cas instationnaire. References [1] Y. Maday, B. Maury, P. Metier, Interaction de fluides potentiels avec une membrane élastique, in ESAIM Proc. 10, Soc. Math. Appl. Indust., Paris, 1999, pp [2] P. Le Tallec, J. Mouro, Fluid-structure interaction with large structural displacements, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190, no ( [3] F. Nobile, Numerical approximation of fluid-structure interaction problems with application to haemodynamics, PhD, Ecole Polytechnique Féderale de Lausanne, Switzerland, [4] A. Quarteroni, L. Formaggia, Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System, in Modelling of Living Systems, ed. N. Ayache, Handbook of Numerical Analysis Series, Elsevier,

7 [5] M. A. Fernández, P. Le Tallec, Linear fluid-structure stability analysis with transpiration. Part I: formulation and mathematical analysis, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 192 ( [6] S. Deparis, M. A. Fernández, L. Formaggia, Acceleration of a fixed point algorithm for fluidstructure interaction using transpiration conditions, M2AN Math. Model. Numer. Anal. 37, no. 4 ( [7] J. F. Gerbeau, M. Vidrascu, A quasi-newton algorithm on a reduced model for fluid-structure interaction problems in blood flows, Math. Model. Num. Anal. 37, no. 4 ( [8] J. Steindorf, H.G. Matthies, Partioned but strongly coupled iteration schemes for nonlinear fluid-structure interaction, Comput. & Structures, 80 ( [9] M. A. Fernández, M. Moubachir, A Newton method using exact jacobians for solving fluidstructure coupling, Comput. & Structures 83, no. 2-3 ( [10] S. Deparis, M. Discacciati, A. Quarteroni, A domain decomposition framework for fluidstructure interaction problems, In Proceedings of the Third International Conference on Computational Fluid Dynamics (ICCFD3, Toronto, [11] J.-L. Lions, O. Pironneau, Virtual control, replicas and decomposition of operators, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 330 (1 ( [12] C.M. Murea, The BFGS algorithm for a nonlinear least squares problem arising from blood flow in arteries, Comput. Math. Appl. 49 (2005, [13] F. Hecht, O. Pironneau, A finite element software for PDE: FreeFem++, [14] I. Mbaye, C. Murea, Numerical procedure with analytic derivative for unsteady fluid-structure interaction, Commun. Numer. Meth. Engng., accepted. 7