B&S Pratique et limites

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1 B&S Pratique et limites Christophe Chorro Université Paris 1 Décembre 2008 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

2 Plan Chapitre 1: Pratique du modèle Le modèle Estimation de la volatilité historique Simulation des trajectoires Calcul des prix Chapitre 2: Les grecques Definition Cas du Call et du Put Européens Méthode des différences finies Méthode d intégration par parties (Malliavin...) Résultats numériques (Call,Put,Digitales,Corridor) Chapitre 3: Limites du modèle L hypothèse de log-normalité Performances de Pricing σ constante??? Chapitre 4: Remarques finales Prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule de BS hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

3 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

4 Le modèle On considère un mouvement Brownien standard (B t ) t [0,T] et la filtration associée (F t ) t [0,T]. Dans le modèle de Black et Scholes, la dynamique de l actif risqué est donnée par l EDS suivante: ds t = bs t dt + σs t db t. Cette EDS a une unique solution de condition initiale x 0 > 0 donnée par le Brownien géométrique S t = x 0 e (b 1 2 σ2 )t+σb t. Concernant l actif sans risque, nous le supposerons associé au taux d intérêt continu et constant r. Dans la suite nous nous placerons sous l unique probabilité risque neutre ce qui revient tout simplement à considérer que b = r. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

5 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

6 Estimation de σ A t = 0 se pose la question du choix de σ sur [0, T ]. Soit T R +, on suppose que la dynamique de l actif risqué sur [ T, 0] est la même que sur [0, T ] (principe des stats...). Soit N N représentant le nombre d observations (effectuées à intervalles de temps réguliers) dans le passé, les variables Y N 1 = Log sont, sous P, i.i.d de loi ( S 0 S T N ),..., Y N N = Log ( N (b σ2 2 ) T ) T, σ2. N N ( S (N 1) T N S T ) Pour estimer σ on utilise la variance empirique ˆσ = N N (Yi T N Y ) 2 où Y = 1 (N 1) N i=1 N i=1 Y N i. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

7 Estimation de σ On obtient également une Approxmation de b en posant ˆb = Ñ T Y + ˆσ2 2 Si le temps est exprimé en jours on obtient la vol journalière Si le temps est exprimé en années on obtient la vol annuelle vol annuelle= vol journalière * 250 En pratique, on prend souvent T T pour ne pas prendre en compte des données trop anciennes. Le choix de N est limité par la fréquence des quotations sur le marché (et des données que l on possède). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

8 Estimation de σ Pour le CAC 40 sur la période du au , (T = 1 an, N = 365) on obtient (en annuel) ˆσ = 0, hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

9 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

10 Simulation du mouvement brownien On considère une subdivision 0 = t 0 <... < t n = T of [0, T ]. On veut simulate Idée: (B t0,...b tn ). B tk = B tk 1 + B tk B tk 1. } {{ } N (0,t k t k 1 ) B tk 1,...,B 0 Proposition Si (G 1,...G n ) sont i.i.d suivant une N (0, 1), on définit X 0 = 0, X i = i tj t j 1 G j i > 0. j=1 Alors (X 0,..., X n ) = D (B t0,...b tn ). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

11 Simulation dans B& S On doit simuler des échantillons gaussiens Proposition If U 1 and U 2 are two independent uniform random variables on [0, 1] then G 1 = 2log(U 1 )cos(2πu 2 ) and G 2 = 2log(U 1 )sin(2πu 2 ) are two independent N (0, 1). Il est alors très simple de simuler la dynamique de l actif risqué en utilisant S t = x 0 e (b 1 2 σ2 )t+σb t. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

12 Simulation dans B&S Comparaison entre une trajectoire simulée pour les paramètres S 0 = 3700, ˆσ = , ˆm =??? et celle du CAC 40. CAC Période du 20/02/ /02/2006 BS Période du 20/02/ /02/2006 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

13 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

14 Calcul des prix What is, in this model, the price of a contingent claim with payoff Φ T at T? Proposition In the B&S model there exists a unique probablity Q P such that the price at t = 0 of a contingent claim with payoff Φ T at T is given by price = e rt E Q [Φ T ]. Moreover the dynamic of the risky asset under Q is given by where W is a standard BM under Q. ds t = rs t dt + σs t dw t (µ r) (1) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

15 Black Scholes model Examples: The Black Scholes Formulas For Call options (Φ T = (S T K ) + ) one has E Q [(S T K) + ] = S 0 N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (2) where d 1 = log( S 0 σ2 K ) + (r + 2 )T σ T and d 2 = log( S 0 σ2 K ) + (r 2 )T σ T and where N is the distribution function of a N (0, 1). (3) For Put options (Φ T = (K S T ) + ) one has E Q [(K S T ) + ] = S 0 N( d 1 ) + Ke rt N( d 2 ). (4) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

16 Black Scholes model This formulas are fundamental because They are easy to compute in practice They are a Benchmark to test numerical methods In the case where we don t have closed form formulas we may use Monte Carlo Methods price = e rt E Q [Φ T ] price = e rt 1 N where the Φ i T are independent realizations of Φ T. Morever we have a control of the error (CLT): with a probability of 95% N i=1 Φ i T price [ e rt 1 N N i=1 Φ i T 1.96e 2rT Σ, e rt 1 N N N i=1 ] Φ i T e 2rT Σ N Σ being the (empirical) variance of Φ T. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

17 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

18 Définition On notera E [...] l espérance sous la probabilité risque neutre. Dans ce contexte, le prix d un actif contingent caractérisé par son Payoff h (F T mesurable, de carré intégrable) en T est donné par t [0, T ], P t = E [e r(t t) h F t ] = F (t, S t ). Rq: La dernière égalité provient du caractère Markovien du mouvement Brownien. Sous des hypothèses très faibles sur h, F C 1,2 ([0, T [ R, R). En particulier lorsque h = f (S T ), F (t, x) = E [e r(t t) f (ST x t )] donc + F (t, x) = e r(t t) f (xe (r 1 2 σ2 )(T t)+σy T t 1 ) e y2 2 dy. 2π Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

19 Définition Les Grecques sont des indicateurs qui mesurent la sensibilité du prix par rapport à un paramètre donné. mesure la sensibilité du prix par rapport au sous jacent t (S t ) = F x (t, S t) C est aussi la quantité d actif risqué dans le portefeuille de couverture! Γ mesure la sensibilité du delta par rapport au sous jacent Γ t (S t ) = 2 F x 2 (t, S t) C est aussi une mesure de la fréquence de rebalancement du portefeuille de couverture! Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

20 Définition Θ mesure la sensibilité du prix par rapport au temps Θ t (S t ) = F t (t, S t) ρ mesure la sensibilité du prix par rapport au taux d intérêt ρ t (S t ) = F r (t, S t) vega (qui n est pas une lettre grecque!!!) mesure la sensibilité du prix par rapport à la volatilité vega t (S t ) = F σ (t, S t) C est aussi un indicateur des précautions à prendre dans l estimation de la volatilité! Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

21 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

22 Cas du Call et du Put Dans le cas du call et du put (de strike K et d échéance T ) les valeurs des grecques à t = 0 sont données par le tableau suivant: Call Put où 0 (x) N(d 1 ) > 0 N( d 1 ) < 0 Γ 0 (x) 1 xσ T N (d 1 ) > 0 1 xσ T N (d 1 ) > 0 Θ 0 (x) xσ 2 T N (d 1 ) Kre rt N(d 2 ) < 0 xσ 2 T N (d 1 ) + Kre rt (N(d 2 ) 1)? ρ 0 (x) TKe rt N(d 2 ) > 0 TKe rt (N(d 2 ) 1) < 0 vega 0 (x) x T N (d 1 ) > 0 x T N (d 1 ) > 0 d 1 (x) = log( x K ) + (r + σ 2 2 )T σ T et où N est la fonction de répartition d une N (0, 1). et d 2 (x) = log( x K ) + (r σ 2 2 )T σ T Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69 (5)

23 Cas du Call et du Put Pour obtenir les valeurs des grecques en t il suffit de changer T en T t D un point de vue pratique, il suffit d être capable d approximer la fonction de répartition d une N (0, 1) (classique!!!) Ces quantités connues nous serviront de Benchmark pour tester les méthodes numériques générales. On se limitera par la suite au et au Γ. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

24 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

25 Différences finies Une méthode classique est d utiliser un schéma de différences finies: t (x) F (t, x + h) F (t, x h) 2h F (t, x + h) + F (t, x h) 2F (t, x) Γ t (x) h 2 où h est suffisamment petit. F (t, x + h), F (t, x h) et F (t, x) sont calculés par méthode de Monte Carlo. Rappel: F(t, x) = E [e r(t t) f(s x T t )]. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

26 Différences finies Contrairement au calcul du prix, pour les grecques il y a deux sources d erreur: Erreur de différences finies + Erreur Monte Carlo Le choix de h peut s avérer ardu (cf: Broadie-Glasserman): Prendre h trop grand fait que l erreur de premier type devient grande. Prendre h trop petit peut faire exploser la variance de l estimateur Monte Carlo. Dans le cas où t (x) F (t,x+h) F(t,x h) 2h comme Var(F (t, x + h) F (t, x h)) = Var(F(t, x + h)) + Var(F(t, x + h)) 2Cov(F(t, x + h), F (t, x h)) mieux vaut (souvent) utiliser le même échantillon gaussien pour les deux simulations MC! hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

27 Différences finies A priori (nous le confirmerons par les simulations) cette méthode doit être d autant plus efficace que les payoff (donc les prix) sont régulier en la variable x: Lorsque f (y) = 1 y M (Option binaire) E [ f(s x+h T ) f(s x T) 2 ] = P M ( x + h < e(r 1 2 σ 2 )t+σb T < M x ) = O(h). Lorsque f (y) = (y K ) + (Call) E [ f(s x+h T ) f(s x T) 2 ] E [(S x+h T S x T) 2 ] = h 2 E [e 2(r 1 2 σ2 )t+2σb T ] = O(h 2 ). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

28 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

29 Integration par parties L idée est très simple: Ecrire les grecques sous la forme Grecques = E [PAYOFF Poids] avec Un poids indépendant du Payoff. Un poids tel que PAYOFF Poids soit de variance minimale. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

30 Integration par parties: Payoff de la forme h = f (S T ) La méthode repose sur le résultat suivant indépendant de f : Proposition On a [ t (x) = e r(t t) E B T t xσ(t t) f (Sx T t) et [( ) ] Γ t (x) = e r(t t) E B T t x 2 σ(t t) + B2 T t (T t) (σ(t t)x) 2 f (ST x t). ] Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

31 Payoff de la forme h = f (S T ) Preuve dans le cas du delta: Soit f CK 1 (R, R) (sinon approximation). D après le théorème de dérivation sous le signe somme, Or + t (x) = e r(t t) x f (xe(r 1 2 σ 2 )(T t)+σy T t 1 ) e y2 2 dy. } {{ } 2π Ainsi par Intégration par partie, g x (x, y) = 1 xσ T t g(x,y) g (x, y). y donc t) e r(t t (x) = xσ T t + f (xe (r 1 2 σ2 )(T t)+σy T t y ) e y2 2 dy 2π [ ] t (x) = e r(t t) E B T t xσ(t t) f (Sx T t). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

32 Payoff de la forme h = f (S T ) Avantages: Un seul facteur d approximation (MC) et donc d erreur Technique qui ne dépend pas du Payoff (le poids est indépendant de f ). Question: A t on un critère d optimalité pour ce poids? Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

33 Payoff de la forme h = f (S T ) Proposition Soit Π un poids de carré intégrable vérifiant pour tout Payoff f (S T ) Grecque = E [f (S T ) Π]. Alors le poids minimisant la variance de f (S T ) Π est donné par Π 0 = E [Π F T ]. Rq: Les poids de la proposition précédente sont optimaux. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

34 Payoff de la forme h = f (S T ) Preuve: Soit Π vérifiant grecque = E [f (S T ) Π], on veut minimiser Var(f (S T ) Π). On a [ ( ) ] 2 Var(f (S T ) Π) = E f (S T ) Π grecque [ ( ) ] 2 = E f (S T )( Π Π 0 ) + f (S T )Π 0 grecque [ ( ) ] 2 = E f (S T )( Π Π 0 ) + Var(f (S T ) Π 0 ) )] + 2E [(f (S T )( Π Π 0 )(Π 0 f (S T ) grecque). La dernière ligne étant nulle, le résultat en découle. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

35 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

36 Résultats numériques Call-Put On prend x = 100, K = 100, σ = 0, 15, r = 0, 05, T = 1, t = 0. Delta Call 0,67 0,665 0,66 delta 0,655 Mall DF Valeur Theo:0, ,65 0,645 0, Nbre de Simulations (10E4) Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

37 Résultats numériques Call-Put Gamma Call 0,0255 0,025 0,0245 Gamma 0,024 Mall DF Valeur theo 0, ,0235 0,023 0, Nbre simulations(10e4) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

38 Résultats numériques Call-Put Delta Put -0,334-0,337-0,34 delta Mall DF Valeur Theo -0, ,343-0,346-0, Nbre simulations (10E4) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

39 Résultats numériques Call-Put Gamma Put 0,026 0,0255 0,025 gamma 0,0245 0,024 Mall DF Valeur Theo 0, ,0235 0,023 0, Nbre simulations (10E4) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

40 Résultats numériques Call-Put Call Ratio des Variances (DF/ Malliavin) Γ Put Ratio des Variances (DF/ Malliavin) 0.30 Γ 1.32 Le PAYOFF étant régulier, les DF sont assez performantes. L IPP donne de meilleurs résultats pour le Put que pour le Call (Explosion du poids!!!) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

41 Résultats numériques Digitale Une option digitale est caractérisée par son payoff 1 S x T >K min irrégulier en K min. Il est facile (exo) de montrer que dans ce cas F (0, x) = e rt KN(d), et Γ 0 (x) = 0 (x) = e rt xσ T n(d) ( e rt x 2 σ 2 T n(d) d + σ ) T où n est la densité d une N (0, 1) et où d = log( x K )+(r σ2 min 2 )(T ) σ T. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

42 Résultats numériques Digitale On prend x = 100, K = 100, σ = 0, 15, r = 0, 05, T = 1, K min = 95. Delta Digitale 0,0221 0,0218 0,0215 Delta 0,0212 0,0209 Mall DF Valeur Theo 0, ,0206 0,0203 0, Nbre simulations (10E4) Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

43 Résultats numériques Digitale Gamma Digitale -0,0005-0,0006-0,0007-0,0008-0,0009 Gamma -0,001-0,0011 Mall DF Valeur Theo 0, ,0012-0,0013-0,0014-0, Nbre Simulations (10E4) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

44 Résultats numériques Digitale Digitale Ratio des Variances (DF/ Malliavin) 5.31 Γ 2354 Christophe Chorro (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

45 Résultats numériques Corridor Une option corridor est caractérisée par son payoff 1 Kmax >ST x >K (c est en fait min la différence de deux digitales). On prend x = 100, K = 100, σ = 0, 15, r = 0, 05, T = 1, K min = 95, K max = 105. Delta Corridor -0,0032-0,0037 Delta -0,0042 Mall DF Valeur Théo: -0, ,0047-0, Nbre de simulation (10E4) Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

46 Résultats numériques Corridor Gamma Corridor -0,0005 Gamma -0,001 Mall DF Valeur Theo: -0, ,0015-0, Nbre de simulations (10E4) hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

47 Résultats numériques Corridor Corridor Ratio des Variances (DF/ Malliavin) 134 Γ 5785 hristophe Chorro (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

48 Résultats numériques La méthode IPP est efficace lorsque l irrégularité du payoff ou l ordre de dérivation augmente. En pratique les poids que nous trouvons sont des polynômes en W T. Ainsi la méthode des poids sera d autant meilleure que la maturité de l option est petite (petit poids). De plus la méthode d IPP sera plus efficace dans le cas d un pue que dans celui d un call. La méthode d IPP est en fait une technique de réduction de variance. Elle se révélera encore plus efficace couplée aux techniques classiques (contrôle antithétique, variables de contrôle ou fonction d importance...). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

49 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

50 L hypothèse log-normale Historiquement: Bachelier, Samuelson Les calculs sont simples... Est ce réaliste??? Christophe Chorro (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

51 L hypothèse log-normale Comparaison entre une trajectoire simulée pour les paramètres S 0 = 3700, ˆσ = , ˆm =??? et celle du CAC 40. CAC Période du 20/02/ /02/2006 BS Période du 20/02/ /02/2006 L irrégularité semble être la même... Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

52 L hypothèse log-normale Mais en regardant les rendements journaliers... rendement CAC Période du 20/02/ /02/2006 rendement BS Période du 20/02/ /02/2006 Absence d événements extrêmes dans B& S hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

53 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

54 Performance de pricing Prix des options d achat sur le CAC disponibles le (r = 0.26, S 0 = ) time to maturity strike Feuille , , ; Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

55 Performance de pricing Prix BS Options d Achat CAC 40 au 20/02/06 (r=0.26, S 0 = ,σ =0,1128) time to maturity strike Feuille , Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

56 Performance de pricing Erreur relative de pricing time to maturity strike Feuille , Christophe Chorro (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

57 Performance de pricing Erreur relative de pricing Le modèle sous estime les prix dans le cas où La maturité est petite Les options d achat sont fortement dans la monnaie Dans tous les cas, les erreurs sont fortement non négligeables Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

58 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

59 σ constante???? Dans B& S le prix du call est donné par où C t = S t N(d 1 (t, S t )) Ke r(t t) N(d 2 (t, S t )) d 1 (t, x) = log( x K ) + (r + σ 2 2 )(T t) σ T t et d 2 (t, x) = log( x K ) + (r σ 2 2 σ T t )(T t). Ainsi, le prix du call est une fonction strictement croissante de σ car C σ (t, x) = x T tn (d 1 ) > 0. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

60 σ constante???? Si on observe sur le marché le prix à t d un call de maturité T et de strike K sur l actif risqué (noté Ct Obs (x, T, K )), il existe un unique réel σ impl tel que C Obs t (x, T, K ) = C t (x, T, K, σ impl ). Dans Black et Scholes, on devrait avoir en théorie σ = σ impl. On observe en pratique que La volatilité implicite est plus grande que la volatilité historique La volatilité implicite dépend de la maturité et du strike de l option. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

61 σ constante???? Volatilité implicite des Options d Achat CAC 40 au 20/02/06 (r=0.26, S 0 = ,σ =0,1128) Feuille1 time to maturity strike , Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

62 σ constante???? Smile de Volatilité (maturité= ) Volatilite implicite Strike Christophe Chorro (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

63 σ constante???? Surface de Volatilité volimpliciteirfa.pdf vol implicite maturité strikes Christophe Chorro (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

64 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

65 La prophétie auto-réalisée Fisher Black lui même ironisait sur le sujet: Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils l utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu il devrait exister un écart important... Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

66 Plan 1 Pratique du modèle Le modèle Estimation de σ simulation Calcul des prix 2 Les grecques Définition Le cas du Call et du Put Différences finies Integration par parties Résultats numériques 3 Les limites du modèles L hypothèse log-normale Performance de pricing σ constante???? 4 Remarques finales La prophétie auto-réalisée... Robustesse de la formule Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

67 Robustesse de la formule Supposons que le prix d un actif risqué soit donné par où Σ t est un processus stochastique. ds t = rs t dt + Σ t S t db t En dépit de ce modèle, un practitien utilise la formule de Black Scholes (avec σ = cste) pour construire son portefeuille (autofinancé) de couverture. On a et Ainsi V t = BS (t, S t )S t + θ 0 t S 0 t dv t = BS (t, S t )ds t + θ 0 t ds 0 t. avec condition initiale dv t = rv t dt + BS (t, S t )(ds t rs t dt) V 0 = C BS (0, S 0 ). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

68 Robustesse de la formule Ainsi en T l erreur de couverture est En utilisant la formule d Itô dc BS (t, S t ) = ( CBS t e T = V T C BS (T, S T ). } {{ } (S T K ) + (t, S t ) Mais l EDP de Black Scholes assure Donc on a l EDO C BS (t, x) + rx C BS t x (t, x) + σ2 x ) C BS x 2 (t, S t)σ 2 t St 2 dt + C BS x (t, S t)ds t. 2 C BS x 2 (t, x) = rc BS(t, x). d(v t C BS (t, S t )) = r(v t C BS (t, S t ))dt C BS x 2 (t, S t)(σ 2 t σ 2 )St 2 dt. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69

69 Robustesse de la formule En résolvant (VDC) l EDO on obtient Ainsi lorsque e T = ert 2 T 0 e rt 2 C BS x 2 (t, S t)( Σ 2 t + σ 2 )St 2 dt.. σ Σ t le practitien se sur-couvre (ce qui n est pas catastrophique...) a.s Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites Décembre / 69