CHAPITRE I : POURCENTAGE PROPORTION ÉVOLUTION. Définition 1 Soit un ensemble A, ayant a éléments, contenu dans un ensemble B, ayant b éléments.

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1 CHAPITRE I : POURCENTAGE PROPORTION ÉVOLUTION I. PROPORTION Dans une classe de 35 élèves il y a 14 filles. La proportion de filles dans cette classe est de Dans cette classe il y a de filles. Parmi ces filles il y a 42 % de demi-pensionnaires, soit filles. Elles représentent environ des élèves de la classe. Définition 1 Soit un ensemble A, ayant a éléments, contenu dans un ensemble B, ayant b éléments. La proportion ou part de A par rapport à B est le réel a b = nombre d éléments de A nombre d éléments de B. Une proportion est toujours comprise entre 0 et 1. Elle peut s exprimer sous forme de pourcentage. Dans la classe la part des élèves de plus de 30 ans est de et la part des élèves de moins de 30 ans est de Propriété 1 Prendre x % d une quantité (x 0) c est multiplier cette quantité par Exercice 1 1) 32 % des 210 élèves de 2 nde sont externes. Calculer le nombre d externes en 2 nde. 2) Parmi les 180 élèves de 1 ère il y a 68 externes. Calculer la proportion d externes parmi les élèves de 1 ère 3) En terminale la proportion d externes est de 42 % et il y a 71 externes. a) Calculer le nombre d élèves en terminale. b) Calculer la proportion d élèves de terminale externes parmi les élèves du lycée. II. ÉVOLUTIONS ET POURCENTAGES Dans la suite du cours on considère deux valeurs numériques positives : V I, la valeur initiale ; V F, la valeur finale, c est-à-dire la valeur après une augmentation ou bien une baisse de a % (a 0) de V I. Définition 2 Le coefficient multiplicateur de V I à V F (ou coefficient d évolution) est le réel c = V F V I La variation absolue de V I à V F est le réel V F V I. Le taux d évolution de V I à V F (ou variation relative) est le réel t = V F V I V I. Un taux d évolution peut être donné sous forme de fraction, sous forme décimale ou sous forme de pourcentage. Dans ces deux derniers cas on utilise souvent un arrondi. Par convention, une évolution exprimée en pourcentage est toujours un taux d évolution (ou variation relative). D-Suhard 1STG Page 1

2 Exercice 2 Compléter le tableau Une température passe de 15 C à 18 C ; Une production passe de 4 à 10 tonnes ; Un prix passe de 12 à 9. TVA à 19,6 % Valeur initiale V I Valeur finale V F Variation absolue 686 Coeff. mult. c = Taux d évolution t = Le taux d évolution de la température est de. La température a Le taux d évolution du prix est de. Le prix a Le taux d évolution de la production est de. La production a Remarques : Une variation absolue garde l unité des valeurs V I et V F, par contre un coefficient multiplicateur ou un taux d évolution n ont pas d unité. Un taux d évolution n est pas une proportion. Une proportion est toujours comprise entre 0 et 1 mais pas un taux d évolution. Dans l exemple le taux est supérieur à 1 (augmentation de plus de 100 %) et dans l exemple il est négatif (baisse). Propriété 2 c = 1 + t (ou t = c 1) ; V F = c V I = ( 1 + t ) V I. Cas des hausses et des baisses Un coefficient multiplicateur est toujours positif. Soit a un réel positif et inférieur à 100 dans le cas d une baisse. baisse de a % hausse de a % Une baisse de 100 % est associée à un Variation absolue négative positive coefficient multiplicateur égal à et à un taux d évolution égal à c = 1 a c = 1 + a Coefficient multiplicateur Une baisse de plus de 100 % n a pas 0 c 1 c 1 de sens. Une hausse de 100 % est associée à un a % ou t = a a % ou t = a Taux d évolution coefficient multiplicateur égal à 1 t 0 t 0 et à un taux d évolution égal à Propriété 3 Un coeff. multiplicateur inférieur à 1 correspond à une baisse de a %, avec a = c. Un coeff. multiplicateur supérieur à 1 correspond à une hausse de a %, avec a = 100 c 100. Exercice 3 Taux d évolution + 0,3 % + 30 % % % % 0,3 % 30 % Coeff. multiplicateur 100 % 0,5 0, ,075 1,42 3,2 12,5 Exercice 4 Le tableau donne partiellement la fréquentation du cinéma en millions de spectateurs en France de 1989 à Année Spectateurs 120,9 130,2 D-Suhard 1STG Page 2

3 1) Calculer la variation absolue de 1989 à 1995 et le taux d évolution de 1989 à ) Sachant que la variation relative de 1995 à 2002 est de 15,2 %, calculer la fréquentation en ) La variation relative de 2001 à 2002 est de 0,02. En déduire la fréquentation en Exercice 5 Un employé se voit proposer deux options pour l augmentation de son salaire mensuel, exprimé en euros, au 1 er janvier de chaque année. option 1 : l augmentation est chaque 1 er janvier de 39 ; option 2 : l augmentation est chaque 1 er janvier de 3 %. Compléter le tableau en arrondissant les pourcentages à 0,01 %. option 1 option 2 Année Salaires en euros Variation absolue Variation relative en % Cas de la TVA Comment, avec un taux de TVA de a%, passer d un renseignement (prix, prix TTC, montant de la TVA) à un autre? Ici la valeur initiale est le prix (hors taxe) et la valeur finale est le prix TTC (toutes taxes comprises). a 100 TVA a Exemple pour une TVA à 19,6 % TTC ou + TVA TTC TVA TTC TTC a TTC TTC prix TVA TVA a 100 TVA TVA + TTC III. ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES Exercice 6 Le prix d un article subit deux augmentations successives de 22 % et de 15 %. 1) Calculer le pourcentage global d augmentation? 2) Le prix final est de 94. Calculer le prix initial. Exercice 7 La population d une ville augmente chaque année de 3 %. 1) Calculer le pourcentage d augmentation sur 2 ans, 3 ans et 10 ans. Arrondir à 0,01 %. 2) Déterminer, à l aide de la calculatrice, au bout de combien d années la population double. Propriété 4 Soient deux évolutions successives schématisées ainsi : V 1 c1 V 2 c 2 c Le coefficient multiplicateur global c est le produit des coefficients multiplicateurs. c = c 1 c 2 = ( 1 + t 1 ) ( 1 + t 2 ) V 3 D-Suhard 1STG Page 3

4 Le taux global d évolution t vérifie : 1 + t = ( 1 + t 1 ) ( 1 + t 2 ). Cette propriété se généralise à plusieurs évolutions. Une hausse de 22 % suivie d une hausse de 15 % ne correspond pas à une hausse de 37 % (voir ex. 6) Ajouter des pourcentages de hausses (ou de baisses) n a pas de sens. IV. ÉVOLUTION RÉCIPROQUE Exercice 8 Un objet à un prix initial de 13 est augmenté de 30 %. 1) Calculer son nouveau prix. 2) Vérifier qu une baisse de 30 % de ce nouveau prix ne permet pas de revenir au prix initial. 3) Calculer le pourcentage de la baisse à appliquer au nouveau prix pour revenir au prix initial. Propriété 5 Soit t le taux d évolution de V I à V F et t le taux d évolution réciproque de V F à V I. 1 Le coefficient multiplicateur c de V F à V I.est c = 1 + t = 1 + t. V I ( 1 t ) V F ( 1t ') Une augmentation de a % suivie d une baisse de a %, et inversement, conduit toujours à une baisse. Exercice 9 Retrouver la réponse à la question 3 de l exercice 8 à l aide de l égalité 1 + t = t. Exercice 10 Une entreprise annonce en 2008 une baisse de 15 % du chiffre d affaires par rapport à Calculer le pourcentage, arrondi à 0,1 %, de la hausse du chiffre d affaires à prévoir au cours de l année 2009 pour retrouver le chiffre d affaires de V. POURCENTAGE DE POURCENTAGE Propriété 6 Pour prendre a % de b % d une quantité on multiplie cette quantité par Ce qui revient à prendre a b 100 % de cette quantité. a 100 b 100. Exercice 11 Une forêt est composée de pins et de chênes. 30 % des arbres sont des chênes. Parmi ceuxci, 10 % sont parasités par un champignon. Parmi les pins, un sur cinq est parasité par ce même champignon. Nous allons rendre compte de ces données à l aide d un tableau puis à l aide d un arbre. 1) Compléter le tableau de pourcentages ci-contre. Les pourcentages sont tous exprimés par rapport à l ensemble des arbres. C (chêne) (1) (malade) (pas malade) Total P (pin) (2) Total 100% 2) Compléter le schéma suivant : C Il y a de chênes malades parmi les arbres. Il y a de chênes sains parmi les arbres. P Il y a de Il y a de D-Suhard 1STG Page 4

5 3) Donner le pourcentage d arbres malades. VI. COPARAISONS ET SOES DE POURCENTAGES Exercice % du territoire de la Norvège est boisée pour 28 % seulement du territoire de la France. Dans quel pays la superficie boisée est-elle la plus importante? Pour indication la superficie de la Norvège est de km² et celle de la France de km². À retenir : En général on ne peut pas comparer deux pourcentages qui portent sur deux ensembles de référence distincts. Exercice 13 Dans une classe les deux langues vivantes 1 sont l anglais et l allemand. 40 % des élèves sont des garçons étudiant l anglais en LV1 et 21 % sont des garçons étudiant l allemand en LV1. Quel est le pourcentage de garçons dans la classe? Exercice 14 On passe une annonce dans deux journaux d une ville : Infos, qui est lu par 20 % des habitants, et Bonjour, qui est lu par 15 % des habitants. On précise que 2 % des habitants lisent ces deux journaux. Calculer le pourcentage des habitants qui vont pouvoir lire cette annonce. B B Total I I Total 100 % À retenir : L addition de deux pourcentages n a de sens que lorsque ces pourcentages portent sur des parties disjointes (Elles n ont pas d éléments communs) d un même ensemble de référence. Dans l exercice 13 les parties A (LV1 anglais) et D (LV1 allemand) sont disjointes (un élève a une seule LV1) Dans l exercice 14 les parties I (Infos) et B (Bonjour) ne sont pas disjointes, elles ont en commun les lecteurs des deux journaux. Exercice 15 Des élèves entrent ensemble en Seconde. Trois ans plus tard, 40 % passent un bac général et 20 % un bac technologique. Parmi ces candidats, 80 % réussissent le bac général et 70 % le bac technologique. Quel est le pourcentage de réussite au bac en trois ans dans ce lycée? VII. LES INDICES Lorsque l on a des évolutions successives en fonction du temps, il est souvent pratique de les présenter en utilisant la notion d indice. On choisit une année de référence n, on affecte l indice 100. Les autres indices seront calculés proportionnellement aux valeurs respectives. Valeur de l année k On pourra donc utiliser la formule : Indice de l année k = Valeur de l année de référence 100 On dit alors que les indices sont les indices base 100 en l année n. Exercice 16 Les charges d une société sont données par le tableau ci-dessous. Compléter le tableau. Année D-Suhard 1STG Page 5

6 Charges en euros taux d évolution (1) Indice base 100 en 2002 Indice base 100 en 2003 (1) Les économistes l appellent souvent taux de croissance, ce qui peut déconcerter quand il est négatif Exercice 17 La feuille de calcul d un tableur ci-dessous présente les charges d une société données par le tableau ci-dessous. A B C D E 1 Années Charges Coefficient multiplicateur 4 Taux d évolution 5 Indice base 100 en Indice base 100 en (1) Les économistes l appellent souvent taux de croissance, ce qui peut déconcerter quand il est négatif. 1) Quelle formule faut-il écrire dans la cellule C3 à recopier vers la droite jusqu à la cellule E3? 2) Quelle formule faut-il écrire dans la cellule C4 à recopier vers la droite jusqu à la cellule E4? 3) Remplir les cellules de C3 à E3 puis les cellules de C4 à E4. 4) Quelle formule faut-il écrire dans la cellule C5 à recopier vers la droite jusqu à la cellule E5? Remplir les cellules de C5 à E6. D-Suhard 1STG Page 6