1 La symétrie axiale. Épisode 2 - Transformations Activités mathématiques 5e

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1 Pour ce deuxième épisode, ta mission est de : Reconnaitre et utiliser la symétrie axiale Reconnaitre et utiliser la symétrie axiale Utiliser les propriétés de la symétrie centrale Reconnaitre un axe ou un centre de symétrie d une figure 1 La symétrie axiale Découverte n 1 : jardin à l française Le jardin à la française est un type de jardin aux formes régulières créé au XVI e siècle. Il connait toutefois son apogée au XVII e, grace notamment à la création, pour Louis XIV, des jardins du château de Versailles par André Le Nôtre. Julie visite le château de Villandry près de Tours et elle dit à ses parents qu elle reconnaît des axes de symétrie pour les plans suivants. Es-tu d accord? Figure 1 Figure 2 Figure 3 1. Rappelle la définition de deux figures symétriques par rapport à une droite. 2. Avec ton équerre et ton compas, trace le point A symétrique du point A par rapport à la droite (d). N oublie pas de coder ta construction. A C (d) B 3. Recommence avec le point B. On nommera B son point symétrique par rapport à la droite (d). N oublie pas de coder ta construction. 4. Et pour le symétrique du point C par rapport à cette droite (d)? 5. Quel rôle joue la droite (d) pour le segment [AA ]? Et pour le segment [BB ]? N. SANS Page 1 Lycée Français Jean Giono

2 Bilan 1 Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsqu elles se superposent par pliage suivant cette droite. Exemple : Dans ce cas, la droite (d) est la médiatrice des segments [AA ] et [BB ]. Bilan 2 La médiatrice d un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu en formant un angle droit. Remarques : 1. La droite (d) est l ensemble des points équidistants de A et de A 2. Si un point appartient à la droite (d) alors son symétrique par rapport à cette droite est lui-même. Exercice n 1 : Avec un quadrillage... Sur cette figure, construire le symétrique du point A par rapport aux droites (d 1 ), (d 2 ) et (d 3 ). (d 1 ) (d 3 ) A (d 2 ) N. SANS Page 2 Lycée Français Jean Giono

3 Exercice n 2 : Sans quadrillage Sur cette feuille, construire le symétrique A B C du triangle ABC par rapport à la droite (d). (d) A C B 2 La symétrie centrale Découverte n 2 : Bubulles... Associer à chaque couple de poissons proposés ci-dessus une des actions énoncées ci-dessous : «Après un demi-tour autour d un point, l un des poissons se superpose sur l autre», «Après pliage suivant une droite, l un des poissons se superpose sur l autre», «Après l?avoir fait glissé sans le tourner, l un des poissons se superpose sur l autre». Parmi les trois actions proposées, quelle est celle qui a été répété plusieurs fois? Quel est le nom donné à chacune de ces trois actions? Nous les appellerons des «transformations géométriques». N. SANS Page 3 Lycée Français Jean Giono

4 Découverte n 3 : Les bateaux... Julien a décalqué le bateau violet puis a construit quatre autres bateaux à l aide de celui-ci. 1. Trois de ces bateaux ont été obtenus par la même méthode. Laquelle? Quel est le bateau qui ne respecte pas cette méthode et pourquoi? On ne tiendra plus compte de ce bateau dans le reste de cette découverte. 2. Dans cette transformation géométrique, quelle est la trajectoire du point A? Matérialise la sur le dessin ci-contre. 3. Certains bateaux sont à moins d un demi-tour, d autres à plus d un demi-tour du bateau de départ. Peux-tu préciser lesquels? 4. Parmi les bateaux dessinés, y en a-t-il deux qui se déduisent l un de l autre par un demi-tour autour du point O? Si oui, précise lesquels. Découverte n 4 : Demi-tour!... On a construit ci-dessous le bateau qui se situe «exactement» à un demi-tour du bateau de départ. Dans cette transformation le point A (haut du mat) se retrouve en A. Que peut-on dire des trois points O, A et A? Que peut-on dire des deux distances OA et OA? En déduire la position particulière du point O sur le segment [AA ] Recommencer avec les points B, C et D et leur symétrique B, C et D. Bilan 3 La transformation géométrique qui consiste à effectuer un demi-tour autour du point O est une symétrie centrale de centre O. Dans cette transformation, le point O est appelé le centre de la symétrie, il est situé au milieu de tout segment reliant un point et son image (son symétrique) N. SANS Page 4 Lycée Français Jean Giono

5 Exercice n 3 : À main levée.... Capture d e cran a png Exercice n 4 : Avec des quadrillages N. SANS Page 5 Lycée Français Jean Giono

6 Exercice n 5 : Avec la règle Exercice n 6 : Avec la compas N. SANS Page 6 Lycée Français Jean Giono

7 Découverte n 5 : Sans quadrillage, avec une régle et un compas Symétriques de points Tracer à la règle et au compas le symétrique noté B du point B par rapport au point N. Tracer à la règle et au compas le symétrique noté H du point H par rapport au point N. Tracer à la règle et au compas le symétrique noté N du point N par rapport au point M. Es-tu capable de trouver le symétrique du symétrique de B par rapport à M? 2. symétrique d un segment Tracer à la règle et au compas le symétrique du segment [AC] par rapport au point B. H A B M N Que peut-on dire de la longueur du segment [AC] et de la longueur de son symétrique? B Enoncer une propriété. 3. Symétrique d une droite Tracer à la règle et au compas le symétrique de la droite (d) par rapport au point F. C Que peut-on dire de la position relative de la droite (d) et de son symétrique? Enoncer une propriété. 3. Symétrique d une figure Tracer à la règle et au compas le symétrique de la figure par rapport au point A. (d) F Que peut-on dire de la mesure des angles du triangle GID et de son symétrique? I G Enoncer une propriété. Que peut-on dire du périmètre et de l aire des deux figures? D A N. SANS Page 7 Lycée Français Jean Giono

8 Bilan 4 Soit O un point. Par la symétrie de centre O : le symétrique d un point M distinct de 0 est le point M tel que O est le milieu de segment [MM ] ; le symétrique du point O est lui-même. Le symétrique d un point M par rapport à un point O est obtenu en reportant la longueur OM de l autre coté du point O. O M Pour construire le symétrique de M par rapport à O... O M On trace la demi-droite [MO). // M O // M On reporte la longueur OM de l autre coté du point O. Bilan 5 1. L image d un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs. A B O B A 2. Le symétrique d une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. On dit que la symétrie centrale conserve l alignement. d d P P O M M 3. Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme. On dit que la symétrie centrale conserve les angles, les périmètres et les aires. Exercice n 7 : Vocabulaire... Observer la figure ci-contre et compléter sur cette feuille les phrases suivantes avec le point qui convient. 1. Le symétrique de A par rapport à H est... F J est le symétrique de J par rapport à G. 3. E et F sont symétriques par rapport à Le symétrique de H par rapport à C est est le milieu du segment [BG]. A I E G H C D B N. SANS Page 8 Lycée Français Jean Giono

9 Exercice n 8 : Avec des triangles Soit le triangle ABC dessiné ci-dessous. Tracer en vert le symétrique du triangle ABC par rapport au point A. Tracer en rouge le symétrique du triangle ABC par rapoort au point O. Vous n oublierez pas de bien coder vos constructins. Comparer l aire des trois triangles. B O A C Exercice n 9 : Une enquête Figure à effectuer sur feuille blanche. Soit ABC un triangle isocèle en A. Construire le symétrique de ce triangle par rapport au point A. On nommera B et C les symétriques respectifs des points B et C. Quelle est la nature du quadrilatère BCB C? Jusitifier! À quelle condition obtiendrait-on un carré? Exercice n 10 : Encore une enquête Figure à effectuer sur feuille blanche. Tracer un segment [EF] de longueur 4 cm. Placer un point I qui n appartient pas à ce segment [EF]. Construire le symétrique [E F ] du segment [EF] par rapport au point I. Sans mesurer [E F ] et en justifiant, donner la longueur du segment [E F ]. Exercice n 11 : Une dernière enquête.... B A O (C) Soit le cercle (C) de centre O et de rayon 2 cm. Construire le symétrique de (C) par rapport au point O. Puis au point B puis au point A. Que constates-tu? N. SANS Page 9 Lycée Français Jean Giono

10 Découverte n 6 : Axe de symétrie et centre de symétrie Avec les drapeaux Pour chaque drapeau, indique les éventuels axes de symétrie et les éventuels centres de symétrie. 2.2 Avec l alphabet braille Le braille permet aux personnes malvoyantes ou non-voyantes de lire un texte avec leurs doigts. Ci-dessous, on propose les motifs issus de l alphabet braille. Repérer les éléments de symétrie de chaque lettre. Ecrire votre prénom et votre nom à l aide de l écriture en braille. 2.3 Avec des oeuvres d art Maurits Cornelis Escher est un artiste néerlendais qui a su intégrer avec harmonie des notions de géométrie dans ses œuvres. On trouve des figures juxtaposées obéissant aux règles des symétries N. SANS Page 10 Lycée Français Jean Giono

11 Bilan 6 1. Dire qu une droite est un axe de symétrie d une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à cette droite sont confondus. 2. Dire qu un point est un centre de symétrie d une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à ce point sont confondus. Exercice n 12 : Avec les panneaux routiers Pour chacun de ces panneaux de signalisation, indique s il a des axes de symétrie et/ou un centre de symétrie. Exercice n 13 : Avec des motifs celtiques Indiquer, parmi les motifs celtiques suivants, ceux qui possèdent un centre de symétrie et/ou des axes de symétrie. N. SANS Page 11 Lycée Français Jean Giono

12 3 Des problèmes Problème n 1 : Les étoiles En 12 heures, les étoiles font un demi-tour autour de l étoile polaire. Construire le symétrique de la grande ourse, étoile par étoile, pour obtenir la position de la grande ourse après 12 heures (on a représenté sa position après 3, 6 et 9 heures et on a donné en exemple le symétrique d une des étoiles) après 9 heures après 6 heures // // après 3 heures 2. Vérifier que le bas de la casserole est parallèle à sa direction 12 heures plus tard. 3. Choisir deux étoiles. Quel quadrilatère obtient-on en les reliant à leur position 12 heures plus tard? Problème n 2 : Les détectives.... ABC est un triangle tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm. I désigne le milieu de segment [AB] et D est le symétrique de C par rapoort à I. Construire la figure. Sans mesurer, mais en justifiant des réponses, donner les mesures AD et BD. Problème n 3 : Le gâteau C est l anniversaire de Julie. Elle partage son gâteau en 12 parts égales. Louis en prend 1 et son symétrique par rapport au centre 12 du gâteau. Fanny en prend 1 et son symétrique par rapport au centre. 6 Guillaume et Julie se partagent le reste équitablement. Quelle fraction de gâteau aura Julie? Problème n 4 : Une démonstration Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm. Construire la médiatrice (d) du segment [AB]. Placer un point C sur (d) mais pas sur [AB]. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifer. Quelle propriété de la médiatrice a-t-on démontré? Problème n 5 : Du tracé Construire le triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 4 cm et CA = 3 cm. Tracer le symétrique de ce triangle par rapport au point C. 2. Construire le triangle équilatéral EFG de côté 6 cm. H est le point d?intersection des trois hauteurs de ce triangle (on rappelle que la hauteur d?un triangle est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé). Tracer le symétrique de ce triangle par rapport à H. 3. Construire le carré IJKL de côté 5 cm. M est le point d?intersection des diagonales de ce carré et N est le milieu du segment [JM]. Tracer le symétrique de ce carré par rapport à N N. SANS Page 12 Lycée Français Jean Giono

13 Défi n 1 : Avec la symétrie axiale Les points A et B sont symétriques par rapport à un axe. Es-tu capable de retouver cet axe? Tu laisseras apparent tes traits de construction A B Défi n 2 : Avec la symétrie centrale.... Les deux cercles sont symétriques par rapport à un point S qui a disparu. Es-tu capable de le retrouver? Trace le centre du cercle symétrique. A B O B A N. SANS Page 13 Lycée Français Jean Giono