Analyse de la variance à un facteur

Transcription

1 ANOVA 1 1 / 44

2 But : comparer la moyenne de p groupes en ne faisant qu'un seul test. Moyen : estimer la variance de deux façons diérentes, et comparer ces estimations. Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Tout ensemble 2 / 44

3 Dans chacun des groupes, les données sont assez peu étalées : la variance est faible ; si on considère toutes les données ensemble, la variance est élevée. Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Tout ensemble 3 / 44

4 Modèle n observations réparties en p groupes d'eectifs n 1,...,n p. X ij = j e observation du groupe i, i = 1,...,p et j = 1,...,n i les X ij sont normaux, l'espérance dépend du groupe i X ij N (µ i,σ 2 ) On teste H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ p, vs H 1 : au moins deux des µ i sont diérents. 4 / 44

5 Reformulation comme modèle linéaire De façon équivalente X ij = µ + α i + E ij où les E ij sont indépendantes de loi N (0,σ 2 ). On doit imposer i n i α i = 0 pour que la paramétrisation soit unique. La moyenne du groupe i est µ i = µ + α i. On a i n i µ i = i n i (µ + α i ) = nµ. Avec ces notations, on teste H 0 : α 1 = = α p = 0 vs H 1 : au moins un α i est non nul. 5 / 44

6 Notations Pour alléger un peu les calculs, on note n i X i+ = X ij X i = 1 X i+ n i j=1 X ++ = p X ij = i+ X = ij i=1x 1 n X ++ = 1 p n i X i n i=1 Ainsi, X i est la moyenne empirique de l'échantillon issu du groupe i, et X est la moyenne empirique de l'ensemble. On note également les sommes de carrés des observations par n X 2 i+ = i j=1 X 2 ij X 2 ++ = ij X 2 ij 6 / 44

7 Estimation des paramètres µ,α 1,...,α p On estime µ par la moyenne de l'ensemble µ = X et on a α i = X i µ = X i X. 7 / 44

8 Sommes de carrés Pour estimer la variance des données prises dans leur ensemble on dénit la somme des carrés totaux : SCT = (X ij X ) 2 = X ij n (X ++) 2 σ 2 χ 2 (n 1) sous H 0 et le carré moyen total CMT = 1 n 1 SCT qui est (sous H 0) un estimateur sans biais de σ 2 (avec n 1 ddl). 8 / 44

9 Sommes de carrés Pour estimer la variance des données groupe par groupe, on dénit la somme des carrés du groupe i : n i SC i = (X ij X i ) 2 = X 2 i+ 1 (X i+ ) 2 σ 2 χ 2 (n i 1) n i j=1 Pour chaque groupe on a une estimation de σ 2 par 1 n i 1 SC i. On somme les SC i pour obtenir la somme des carrés résiduels p p n i SCR = SC i = (X ij X i ) 2 σ 2 χ 2 (n p) i=1 i=1 j=1 Le carré moyen résiduel : CMR = 1 SCR est donc un estimateur sans biais n p de σ 2 (avec n p ddl). 9 / 44

10 Comparer CMR et CMT? Des valeurs de CMT beaucoup plus grandes que CMR plaident pour H 1. Mais CMT et CMR ne sont pas indépendantes : comparaison dicile. On est amené à considérer la somme des carrés factoriels p p p SCF = n i ( α i ) 2 = n i (X i X ) 2 1 = (X i+ ) 2 1 n i n (X ++) 2 i=1 i=1 i=1 On a également la formule suivante pour SCF SCF = 1 n i n k (X i X k ) 2. n i<k 10 / 44

11 Le théorème On a SCT = SCF + SCR. D'autre part sous H 0 on a SCR σ 2 χ 2 (n p) SCT σ 2 χ 2 (n 1) d'où SCF σ 2 χ 2 (p 1). De plus, SCF et SCR sont indépendants. 11 / 44

12 Le test De tout ce qui précède, on déduit que le quotient F = CMF SCF /(p 1) = CMR SCR/(n p) suit sous H 0 une loi F de degrés de liberté p 1 et n p. On obtient un test de risque α en rejetant H 0 quand F > F p 1,n p 1 α (test unilatéral). Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F facteur SCF p - 1 CMF = SCF/(p-1) F = CMF/CMR résidus SCR n - p CMR = SCR/(n-p) Total SCT n / 44

13 Contrastes On peut vouloir comparer seulement deux groupes parmi les p groupes. On dénit le contraste C ik = µ i µ k = α i α k. On estime sa valeur par Ĉ ik = X i X k N (C ik,σ 2 ( 1ni + 1nk )) On estime σ 2 par CMR avec (n p) ddl test t à n p ddl pour tester l'égalité quantiles de la loi t(n p) pour un intervalle de conance Remarque : ceci peut se généraliser à une combinaison c i α i pourvu que i c i = / 44

14 Anova partielle On peut vouloir faire l'anova sur seulement une partie des p groupes, par exemple sur les trois groupes 1, 3, 5 (tester H 0 : µ 1 = µ 3 = µ 5 ). Comme dans le cas des contrastes, il est souhaitable d'utiliser la totalité des p groupes pour l'estimation de la variance par le CMR. Reste à calculer la SCF pour les seuls groupes dont on veut comparer la moyenne. Si I est l'ensemble des indices des groupes à comparer, SCF I = 1 i I n i n i n k (X i X k ) 2 = i<k i,k I 1 i I n i i<k i,k I n i n k Ĉ 2 i,k. 14 / 44

15 Anova partielle Dans le cas où I = {1,3,5} cela donne SCF 1,2,3 = 1 ( n 1 n 3 (X 1 X 3 ) 2 + n 1 n 5 (X 1 X 5 ) 2 + n 3 n 5 (X 3 X 5 ) 2) n 1 + n 3 + n 5 On réalise ensuite le test en calculant SCF I /(p I 1) SCR/(n 1) où p I est le nombre de groupes dans I (3 dans notre exemple). Ce quotient suit une loi F (p I 1,n 1). 15 / 44

16 Comparaison de modèles emboîtés En testant H 0 : µ 1 = = µ p on a implicitement comparé les modèles (a) et (b) suivants : (a) on contraint µ 1 = = µ p (un paramètre) (b) µ 1,...,µ p varient librement (p paramètres) Clairement (a) est un cas particulier de (b) : si µ 1,...,µ p varient librement, alors il est possible d'avoir µ 1 = = µ p. On dit que (a) est emboîté dans (b). Le test de l'anova peut être interprété comme répondant à la question : est-ce que le modèle (b) explique (signicativement) mieux les observations que le modèle (a)? 16 / 44

17 Comparaison de modèles emboîtés On a également, en faisant une anova partielle sur les groupes 1, 3 et 5 considéré implicitement le modèle (c) µ 1 = µ 3 = µ 5, les autres µ i varient librement (p 2 paramètres) et on l'a comparé au modèle (b) (à p paramètres) dans lequel il est emboîté, ce qui est une façon de répondre à la question : est-ce que le modèle (b) explique (signicativement) mieux les observations que le modèle (c)? 17 / 44

18 Comparaison de modèles emboîtés On peut de façon générale comparer deux modèles emboîtés, pas seulement quand le plus grand modèle est le modèle (b) (p paramètres). Pour cela on dénit la somme de carrés (résiduels) associée à un modèle : elle se calcule en fusionnant les groupes qui sont confondus par le modèle. Dans le modèle (a), il n'y a qu'un groupe : la somme des carrés est SCT Dans le modèle (b), il y a p groupes, et la somme des carrés SCR Dans le modèle (c), il y a p 2 groupes, dont un formé par fusion des groupes 1, 3 et 5. Le nombre de degrés de liberté de la somme de carrés associée à un modèle à k paramètres est n k. 18 / 44

19 Comparaison de modèles emboîtés Dans le cas du modèle (c) on calcule SC 1,3,5 par SC 1,3,5 = i=1,3,5 ( ) 2 X 2 i+ 1 X i+ n 1 + n 3 + n 5 i=1,3,5 C'est la somme des carrés dans le groupe obtenu par fusion des groupes 1, 3 et 5. La somme des carrés associée au modèle (c) est SC 1,3,5 + SC 2 + SC / 44

20 Comparaison de modèles emboîtés Pour comparer deux modèles emboîtés, on part de leur somme de carrés. On fera une table de Fisher, avec une ligne par modèle : la ligne associée à un modèle à k paramètres est Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens modèle SCR mod n k CMR mod = SCR mod /(n k) 20 / 44

21 Comparaison de modèles emboîtés Si un modèle (d) est emboité dans un modèle (e), la somme de carrés SC d est plus grande SC e. Pour tester si le modèle (e) explique signicativement mieux les données que le modèle (d), on fait un tableau d'analyse de la variance comme ceci : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F H d H e SCF = SCR d SCR e n = n d n e CMF = SCF /n F = CMF /CMR e H e SCR e n e CMR e = SCR e /n e H d SCR d n d CMR d = SCR d /n d 21 / 44

22 Exemple Temps de clairance parasitaire (TCP), pour un traitement anti-paludéen, patients de quatre régions diérentes : deux régions africaines (groupes 1 et 2) et deux régions asiatiques (groupes 3 et 4). Tester l'hypothèse selon laquelle le traitement a la même ecacité dans ces quatre régions. n i x i+ x 2 i+ Groupe Groupe Groupe Groupe Total / 44

23 Exemple On peut compléter le tableau par les sommes de carrés de chacun des groupes, et par la SCT. Par ex. SC 1 = x n 1 (x 1+ ) 2 = /10 = 4923,6. SCT = x n (x ++) 2 = /40 = n i x i+ x 2 i+ SC i Groupe ,6 Groupe ,9 Groupe ,9 Groupe ,6 Total / 44

24 Exemple On peut compléter le tableau par les sommes de carrés de chacun des groupes, et par la SCT. Par ex. SC 1 = x n 1 (x 1+ ) 2 = /10 = 4923,6. SCT = x n (x ++) 2 = /40 = n i x i+ x 2 i+ SC i Groupe ,6 Groupe ,9 Groupe ,9 Groupe ,6 Total On obtient SCR en sommant les SC i : SCR = 4923, , , ,6 = / 44

25 Exemple On calcule ensuite SCF = SCT SCR = Alternativement SCF = 1 n i n k (x i x k ) 2 n i<k SCF = 100 ( (56,8 62,1) 2 +(56,8 87,9) 2 +(56,8 73,2) (62,1 87,9) 2 +(62,1 73,2) 2 = (87,9 73,2) 2 ) 24 / 44

26 Exemple Encore une façon de calculer SCF : p SCF = n i (x i x ) 2 i=1 ) = 10 ((56,8 70) 2 +(62,1 70) 2 +(87,9 70) 2 +(73,2 70) 2 = 5673 Et une dernière... p 1 SCF = (x i+ ) 2 1 n i n (x ++) 2 i=1 = = / 44

27 Exemple Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F facteur résidus Total / 44

28 Exemple Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F facteur résidus Total / 44

29 Exemple Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F facteur F = 3,46 résidus ,8 Total ,3 26 / 44

30 Exemple Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F facteur F = 3,46 résidus ,8 Total ,3 La valeur de F est à comparer avec le quantile 0,95 de F (3,36) = 2,8 : on rejette l'hypothèse d'égalité. 26 / 44

31 Exemple Deuxième question : comparer les modèles emboîtés (a) Le modèle à un paramètre où le traitement a la même ecacité dans les quatres groupes ; (b) le modèle à deux paramètres où le traitement a la même ecacité dans les groupes africains, et la même ecacité dans les groupes asiatiques ; (c) le modèle à quatre paramètres, un pour chaque groupe. La SCR pour le modèle (a) est SCR a = SCT = avec 39 ddl ; pour le modèle (c) c'est SCR c = avec 36 ddl ; la comparaison entre ces deux modèles a été faite dans l'anova que nous venons d'achever. Reste à comparer (a) et (b), puis (b) et (c). 27 / 44

32 Exemple Pour calculer la somme des carrés pour le modèle (b), il faut fusionner les groupes 1 et 2 (groupes africains) et 3 et 4 (groupes asiatiques). n i x i+ x 2 i+ Groupe 1+2 (afr) Groupe 3+4 (asi) / 44

33 Exemple Pour calculer la somme des carrés pour le modèle (b), il faut fusionner les groupes 1 et 2 (groupes africains) et 3 et 4 (groupes asiatiques). n i x i+ x 2 i+ SC i Groupe 1+2 (afr) ,95 Groupe 3+4 (asi) ,95 28 / 44

34 Exemple Pour calculer la somme des carrés pour le modèle (b), il faut fusionner les groupes 1 et 2 (groupes africains) et 3 et 4 (groupes asiatiques). n i x i+ x 2 i+ SC i Groupe 1+2 (afr) ,95 Groupe 3+4 (asi) ,95 La somme des carrés pour le modèle (b) est donc avec 40 2 = 38 degrés de libertés. SCR b = 9464, ,95 = 20869,9 28 / 44

35 Exemple Comparons les modèles (a) et (b) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (a)-(b) (b) (2 par.) ,9 38 (a) (1 par.) / 44

36 Exemple Comparons les modèles (a) et (b) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (a)-(b) 4 452,1 1 (b) (2 par.) ,9 38 (a) (1 par.) / 44

37 Exemple Comparons les modèles (a) et (b) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (a)-(b) 4 452, ,1 F = 8,1 (b) (2 par.) , ,2 (a) (1 par.) / 44

38 Exemple Comparons les modèles (a) et (b) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (a)-(b) 4 452, ,1 F = 8,1 (b) (2 par.) , ,2 (a) (1 par.) La statistique F = 8,1 est à comparer au quantile d'ordre 0,95 de F (1,38), qui vaut environ 4 : on rejette l'hypothèse nulle (le modèle (a) sut à expliquer les observations) au prot du modèle (b). 29 / 44

39 Exemple Comparons les modèles (b) et (c) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (c) (4 par.) ,0 36 (b) (2 par.) , / 44

40 Exemple Comparons les modèles (b) et (c) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (b)-(c) 1 210,9 2 (c) (4 par.) ,0 36 (b) (2 par.) , / 44

41 Exemple Comparons les modèles (b) et (c) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (b)-(c) 1 210, ,5 F = 1,33 (c) (4 par.) , ,8 (b) (2 par.) , / 44

42 Exemple Comparons les modèles (b) et (c) : Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F (b)-(c) 1 210, ,5 F = 1,33 (c) (4 par.) , ,8 (b) (2 par.) ,9 38 La statistique F = 1,33 est à comparer au quantile d'ordre 0,95 de F (2,36), qui vaut environ 3,2 : le modèle (c) n'explique pas signicativement mieux les observations que le modèle (b)....autrement dit, la variabilité entre les groupes est pour l'essentiel due à une variance inter-continentale. 30 / 44

43 ANOVA 2 31 / 44

44 Analyse de la variance à deux facteurs Dans l'anova 1, on a une source possible de variations, par exemple des niveaux de traitement. On considère ici le cas où on a deux sources de variations possibles qui se croisent : deux traitements simultanés (par ex. deux molécules diérentes administrées simultanément à des doses variées) un traitement (à plusieurs niveaux), et une covariable : par ex. le sexe des patients (deux niveaux) ; on peut même considérer que chaque patient répond diéremment au traitement et inclure un eet patient dans le modèle. 32 / 44

45 Analyse de la variance à deux facteurs Notations X ijk = observation numéro k dans le groupe où le premier facteur (facteur A) est au niveau i et le second facteur (facteur B) est au niveau j ; i = 1,...,p, j = 1,...,q, k = 1,...,n ij. Comme pour l'anova 1, on a des notations abrégés pour les sommes et moyennes prises sur un indice : n i+ = X ij+ = X i++ = X +j+ = q n ij, n +j = j=1 n ij k=1 X ijk, X ij = q X ij+, X i = j=1 p X ij+, X j = i=1 p n ij, i=1 1 n ij X ij+, 1 n i+ X i++, 1 n +j X +j+, X +++ = ijk X ijk, X = 1 n X / 44

46 Analyse de la variance à deux facteurs Plans d'expérience équilibrés On ne considèrera que des données équilibrées, c'est-à-dire n ij = 1 n n i+n +j Si on présente les données dans un tableau, dans toutes les lignes les nombres d'observations sont dans des proportions identiques ; et dans toutes les colonnes les nombres d'observations sont dans des proportions identiques. B 1 B 2 B 3 Niveau A 1 n 11 = 2 n 12 = 4 n 13 = 10 Niveau A 2 n 21 = 1 n 22 = 2 n 23 = 5 Niveau A 3 n 31 = 3 n 32 = 6 n 33 = 15 Niveau A 4 n 41 = 4 n 42 = 8 n 43 = / 44

47 Analyse de la variance à deux facteurs Modèle Le modèle est X ijk = µ + α i + β j + γ ij + E ijk, où les E ijk sont indépendantes de loi N (0,σ 2 ), avec les contraintes suivantes sur les paramètres : i, p n i+ α i = 0, i=1 q n +j γ ij = 0, j, j=1 q n +j β j = 0, j=1 p n i+ γ ij = 0. i=1 Les diérentes hypothèses à tester sont H 0A : i,α i = 0 (pas d'eet du facteur A) ; H 0B : j,β j = 0 (pas d'eet du facteur B) ; H 0AB : i,j,γ ij = 0 (pas d'interaction entre A et B). 35 / 44

48 Analyse de la variance à deux facteurs Estimation des paramètres α i,β j,γ ij Avec les contraintes mentionnées, on a les estimations suivantes : µ = X α i = X i µ = X i X β j = X j µ = X j X γ ij = X ij α i β j µ = X ij X i X j + X 36 / 44

49 Analyse de la variance à deux facteurs Les sommes de carrés SCT = ijk (X ijk X ) 2 = X n (X +++) 2 n 1 ddl p p SCF A = n i+ ( α i ) 2 1 = (X i++ ) 2 1 i=1 i=1 n i+ n (X +++) 2 q ) 2 SCF B = n +j ( βj q 1 = (X +j+ ) 2 1 j=1 j=1 n +j n (X +++) 2 p q SCF AB = n ij ( γ ij ) 2 i=1 j=1 p 1 ddl q 1 ddl (p 1)(q 1) ddl p q n ij SCR = (X ijk X ij ) 2 n pq ddl i=1 j=1 k=1 On a SCT = SCF A + SCF B + SCF AB + SCR 37 / 44

50 Analyse de la variance à deux facteurs Les tests On a les statistiques de test suivantes. sous H 0A : F A = CMF A CMR F (p 1,n pq) sous H 0B : F B = CMF B CMR F (q 1,n pq) sous H 0AB : F AB = CMF AB CMR F ((p 1)(q 1),n pq) 38 / 44

51 Analyse de la variance à deux facteurs Cas particulier : une observation par cellule Si tous les n ij sont égaux à 1, on a n = pq et dans les calculs qui précèdent on trouve SCR = 0 avec 0 ddl. On ne peut pas réaliser les tests ainsi! La solution est de postuler qu'il n'y a pas d'interaction, que H 0AB est vrai. X ij = µ + α i + β j + E ij. On peut alors prendre SCF AB comme somme de carrés résiduels (à (p 1)(q 1) ddl) (c'est bien la somme des carrés résiduels du modèle où les γ ij sont nuls), et la noter SCR = SCF AB. On a alors SCT = SCF A + SCF B + SCR et on peut tester H 0A au moyen de F A = CMF A F (p 1,n p q + 1) et CMR H 0B au moyen de F B = CMF B F (q 1,n p q + 1). CMR 39 / 44

52 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Traitement A Traitement B Traitement C n 11 = 4 n 12 = 4 n 13 = 6 n 1+ = 14 Hommes x 11+ = 38,8 x 12+ = 53.5 x 13+ = 53.9 x 1++ = 146,2 x = 382,90 x = 732,81 x = 505,73 x = 1621,44 n 21 = 6 n 22 = 6 n 23 = 9 n 2+ = 21 Femmes x 21+ = 75,1 x 22+ = 72,7 x 23+ = 100,0 x 2++ = 247,8 x = 966,97 x = 894,45 x = 1139,72 x = 3001,14 n +1 = 10 x +1+ = 113,9 x = 1349,87 n +2 = 10 x +2+ = 126,2 x = 1627,26 n +3 = 15 x +3+ = 153,9 x = 1645,45 n ++ = 35 x +++ = 394,0 x = 4622,58 40 / 44

53 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Traitement A Traitement B Traitement C n 11 = 4 n 12 = 4 n 13 = 6 n 1+ = 14 Hommes x 11+ = 38,8 x 12+ = 53.5 x 13+ = 53.9 x 1++ = 146,2 x = 382,90 x = 732,81 x = 505,73 x = 1621,44 n 21 = 6 n 22 = 6 n 23 = 9 n 2+ = 21 Femmes x 21+ = 75,1 x 22+ = 72,7 x 23+ = 100,0 x 2++ = 247,8 x = 966,97 x = 894,45 x = 1139,72 x = 3001,14 n +1 = 10 x +1+ = 113,9 x = 1349,87 n +2 = 10 x +2+ = 126,2 x = 1627,26 n +3 = 15 x +3+ = 153,9 x = 1645,45 n ++ = 35 x +++ = 394,0 x = 4622,58 Première chose à vérier : il s'agit bien d'un plan d'expérience équilibré / 44

54 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Traitement A Traitement B Traitement C n 11 = 4 n 12 = 4 n 13 = 6 n 1+ = 14 Hommes x 11+ = 38,8 x 12+ = 53.5 x 13+ = 53.9 x 1++ = 146,2 x = 382,90 x = 732,81 x = 505,73 x = 1621,44 n 21 = 6 n 22 = 6 n 23 = 9 n 2+ = 21 Femmes x 21+ = 75,1 x 22+ = 72,7 x 23+ = 100,0 x 2++ = 247,8 x = 966,97 x = 894,45 x = 1139,72 x = 3001,14 n +1 = 10 x +1+ = 113,9 x = 1349,87 n +2 = 10 x +2+ = 126,2 x = 1627,26 n +3 = 15 x +3+ = 153,9 x = 1645,45 n ++ = 35 x +++ = 394,0 x = 4622,58 On calcule la somme des carrés dans chacun des 6 groupes, par exemple SC 11 = x n 11 (x 11+ ) 2 = 382, ,82 = 6,54, etc. 40 / 44

55 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Traitement A Traitement B Traitement C n 11 = 4 n 12 = 4 n 13 = 6 n 1+ = 14 Hommes x 11+ = 38,8 x 12+ = 53.5 x 13+ = 53.9 x 1++ = 146,2 x = 382,90 x = 732,81 x = 505,73 x = 1621,44 n 21 = 6 n 22 = 6 n 23 = 9 n 2+ = 21 Femmes x 21+ = 75,1 x 22+ = 72,7 x 23+ = 100,0 x 2++ = 247,8 x = 966,97 x = 894,45 x = 1139,72 x = 3001,14 n +1 = 10 x +1+ = 113,9 x = 1349,87 n +2 = 10 x +2+ = 126,2 x = 1627,26 n +3 = 15 x +3+ = 153,9 x = 1645,45 n ++ = 35 x +++ = 394,0 x = 4622,58 On calcule SCT = x n (x +++) 2 = 4622, = 187, / 44

56 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Traitement A Traitement B Traitement C n 11 = 4 n 12 = 4 n 13 = 6 n 1+ = 14 Hommes x 11+ = 38,8 x 12+ = 53.5 x 13+ = 53.9 x 1++ = 146,2 x = 382,90 x = 732,81 x = 505,73 x = 1621,44 n 21 = 6 n 22 = 6 n 23 = 9 n 2+ = 21 Femmes x 21+ = 75,1 x 22+ = 72,7 x 23+ = 100,0 x 2++ = 247,8 x = 966,97 x = 894,45 x = 1139,72 x = 3001,14 n +1 = 10 x +1+ = 113,9 x = 1349,87 n +2 = 10 x +2+ = 126,2 x = 1627,26 n +3 = 15 x +3+ = 153,9 x = 1645,45 n ++ = 35 x +++ = 394,0 x = 4622,58 SCF sexe = 1 n 1+ (x 1++ ) n 2+ (x 2++ ) 2 1 n (x +++) 2 = , , = 15,47 40 / 44

57 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Traitement A Traitement B Traitement C n 11 = 4 n 12 = 4 n 13 = 6 n 1+ = 14 Hommes x 11+ = 38,8 x 12+ = 53.5 x 13+ = 53.9 x 1++ = 146,2 x = 382,90 x = 732,81 x = 505,73 x = 1621,44 n 21 = 6 n 22 = 6 n 23 = 9 n 2+ = 21 Femmes x 21+ = 75,1 x 22+ = 72,7 x 23+ = 100,0 x 2++ = 247,8 x = 966,97 x = 894,45 x = 1139,72 x = 3001,14 n +1 = 10 x +1+ = 113,9 x = 1349,87 n +2 = 10 x +2+ = 126,2 x = 1627,26 n +3 = 15 x +3+ = 153,9 x = 1645,45 n ++ = 35 x +++ = 394,0 x = 4622,58 SCF traitement = 1 n +1 (x +1+ ) n +2 (x +2+ ) n +3 (x +3+ ) 2 1 n (x +++) 2 = , , , = 33,66 40 / 44

58 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) On a donc SCT = 187,27, SCF sexe = 15,47, SCF traitement = 33,66, et les sommes des carrés de chacun des groupes sont : Traitement A Traitement B Traitement C Hommes SC 11 = 6,54 SC 12 = 17,25 SC 13 = 21,53 Femmes SC 21 = 26,97 SC 22 = 13,57 SC 23 = 28,61 En sommant on a SCR = 114,46. On est prêts à remplir la table d'anova. 41 / 44

59 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Sexe 15,47 1 Traitement 33,66 2 Interaction Résidus 114,46 29 Total 187, / 44

60 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Sexe 15,47 1 Traitement 33,66 2 Interaction 23,67 2 Résidus 114,46 29 Total 187, / 44

61 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Sexe 15, ,47 F = 3, 92 Traitement 33, ,83 F = 4, 26 Interaction 23, ,83 F = 2, 99 Résidus 114, ,95 Total 187, / 44

62 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures répétées) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Sexe 15, ,47 F = 3, 92 Traitement 33, ,83 F = 4, 26 Interaction 23, ,83 F = 2, 99 Résidus 114, ,95 Total 187,27 34 Après comparaison aux valeurs critiques : F 1,29 2,29 = 4,2 et F = 0,95 0,95 3,3, on constate que seul l'eet du traitement est signicatif. 42 / 44

63 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Patient P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Trait. 1 5,2 5,5 7,1 5,9 5,0 7,1 Trait. 2 6,0 5,3 8,0 5,8 6,5 7,8 Trait. 3 6,5 6,5 8,1 6,0 6,5 7,6 x +j+ 17,7 17,3 23,2 17,7 18,0 22,5 x 2 +j+ 105,29 100,59 180,02 104,45 109,50 169,01 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 x i++ x 2 i++ 6,4 7,4 6,5 7,0 6,5 6,0 75,6 483,14 8,1 7,3 6,7 6,5 6,6 6,6 81,2 557,98 7,5 7,5 6,6 7,1 6,6 6,7 83,2 581,04 22,0 22,2 19,8 20,6 19,7 19,3 240,0 162,82 164,30 130,70 141,66 129,37 124, ,12 43 / 44

64 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Patient P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Trait. 1 5,2 5,5 7,1 5,9 5,0 7,1 Trait. 2 6,0 5,3 8,0 5,8 6,5 7,8 Trait. 3 6,5 6,5 8,1 6,0 6,5 7,6 x +j+ 17,7 17,3 23,2 17,7 18,0 22,5 x 2 +j+ 105,29 100,59 180,02 104,45 109,50 169,01 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 x i++ x 2 i++ 6,4 7,4 6,5 7,0 6,5 6,0 75,6 483,14 8,1 7,3 6,7 6,5 6,6 6,6 81,2 557,98 7,5 7,5 6,6 7,1 6,6 6,7 83,2 581,04 22,0 22,2 19,8 20,6 19,7 19,3 240,0 162,82 164,30 130,70 141,66 129,37 124, ,12 La somme des carrés factoriels associée au traitement est SCF trait = 1 12 ( (x 1++ ) 2 +(x 2++ ) 2 +(x 3++ ) 2) 1 n (x +++) 2 = 1 12 (75, , ,2 2 ) 1 = 2, / 44

65 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Patient P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Trait. 1 5,2 5,5 7,1 5,9 5,0 7,1 Trait. 2 6,0 5,3 8,0 5,8 6,5 7,8 Trait. 3 6,5 6,5 8,1 6,0 6,5 7,6 x +j+ 17,7 17,3 23,2 17,7 18,0 22,5 x 2 +j+ 105,29 100,59 180,02 104,45 109,50 169,01 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 x i++ x 2 i++ 6,4 7,4 6,5 7,0 6,5 6,0 75,6 483,14 8,1 7,3 6,7 6,5 6,6 6,6 81,2 557,98 7,5 7,5 6,6 7,1 6,6 6,7 83,2 581,04 22,0 22,2 19,8 20,6 19,7 19,3 240,0 162,82 164,30 130,70 141,66 129,37 124, ,12 La somme des carrés factoriels associée aux patients est SCF patients = 1 3 ( (x +1+ ) 2 + +(x +12+ ) 2) 1 n (x +++) 2 = 1 3 (17, , ,2 2 + ) 1 = 16, / 44

66 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Patient P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Trait. 1 5,2 5,5 7,1 5,9 5,0 7,1 Trait. 2 6,0 5,3 8,0 5,8 6,5 7,8 Trait. 3 6,5 6,5 8,1 6,0 6,5 7,6 x +j+ 17,7 17,3 23,2 17,7 18,0 22,5 x 2 +j+ 105,29 100,59 180,02 104,45 109,50 169,01 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 x i++ x 2 i++ 6,4 7,4 6,5 7,0 6,5 6,0 75,6 483,14 8,1 7,3 6,7 6,5 6,6 6,6 81,2 557,98 7,5 7,5 6,6 7,1 6,6 6,7 83,2 581,04 22,0 22,2 19,8 20,6 19,7 19,3 240,0 162,82 164,30 130,70 141,66 129,37 124, ,12 La somme des carrés totaux est SCT = x n (x +++) 2 = 1622, = 22, / 44

67 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Traitement 2,587 2 Patients 16,06 11 Résidus Total 22, / 44

68 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Traitement 2,587 2 Patients 16,06 11 Résidus 3, Total 22, / 44

69 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Traitement 2, ,293 F = 8, 13 Patients 16, ,46 F = 9, 18 Résidus 3, ,159 Total 22, / 44

70 Analyse de la variance à deux facteurs Exemple (mesures uniques) Somme degrés de Carrés Source des carrés liberté moyens F Traitement 2, ,293 F = 8, 13 Patients 16, ,46 F = 9, 18 Résidus 3, ,159 Total 22,16 35 Au seuil 5% la valeur critique pour l'eet traitement est (avec 2 et 22 ddl) vaut environ 3,44, et pour l'eet patient (avec 11 et 22 ddl) 2,25. On conclut que les deux facteurs ont un eet. 44 / 44