Modélisation des grands systèmes chimiques

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1 Modélisation des grands systèmes chimiques SYST004-0 Georges Heyen Laboratoire d Analyse et Synthèse des Systèmes Chimiques Université de Liège Cours Ajustement paramétrique Comment calibrer un modèle?

2 Plan Modèles boîte grise et calibrage Estimation des paramètres et de la structure du modèle: Linéaire non linéaire Discrimanation entre modèles Validation du modèle Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 3 Modèles boîte grise Les modèles de procédés Développés à partir de principes fondamentaux (partie boîte blanche ) Dont une partie des paramètres ou de la structure ne sont pas connus (partie boîte noire ) sont appelés des modèles boîte grise Exemple : réacteur parfaitement mélangé Bilan matière et chaleur = équations rigoureuses : boîte blanche Cinétique = équations empiriques : boîte noire Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 4

3 Calibrage du modèle Concept et position du problème Connaîssant: un modèle boîte grise des données d ajustement (valeurs mesurées) un critère d ajustement (fonction objectif) Estimer: la valeur des paramètres ou d éléments structuraux Exemple : chaleur spécifique modèle = polynôme on donne des valeurs expérimentales [T, Cp] choix de l ordre du polynôme (structure du modèle) valeur des coefficients (calibrage des paramètres) Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 5 Calibrage du modèle Etapes de la solution Analyse des spécifications du modèle Echantillonnage (cas d un modèle dynamique et continu) Analyse et pré-traitement des données Vérification de la cohérence Rejet de valeurs erronées Validation Estimation des paramètres et de la structure du modèle Evaluation de la qualité de l estimation Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 6 3

4 Formulation générale de l estimation paramétrique Connaissant: Le modèle du système : ( M ) ( M ) y = Μ( x, p ) Un jeu de valeurs expérimentales : D [, k] = x( i), y( i) i =,..., k Une fonction critère : L( p) = ( M ) y y { } Calculer : une estimation pˆ de p ( M) telle que L( p) = y y ( M) min Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 7 Exemple d estimation paramétrique Modèle du système : réacteur parfaitement mélangé isotherme, compositions x A identifier : cinétique r(x) = k x (hypothèse : réaction irréversible d ordre ) Valeurs expérimentales : x pour différents x et différents temps de séjour Une fonction critère : minimiser la somme des carrés entre les x observés et les x prédits en jouant sur la valeur de la constante cinétique k Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 8 4

5 Formulation générale de l identification de structure du modèle Connaissant: Le modèle du système: (non paramétrique) ( ) y M = Μ( x) Un jeu de mesures: Une fonction objectif: D [, k] = { x(i), y( i) i =,..., k} (M) L( p) = y y Calculer: un estimateur Μ ˆ of Μ tel que L( p) min structures candidates dans DOM Μ Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 9 Exemple d identification de structure du modèle Modèle du système : réacteur parfaitement mélangé isotherme, compositions x A identifier : cinétique r(x), plusieurs modèles candidats à discriminer : r = kx r = k x r = kx k x Valeurs expérimentales : x i pour différents x i et différents temps de séjour Une fonction critère : minimiser la somme des carrés entre les x observés et les x prédits en jouant sur la valeur des constantes cinétiques k pour chacun des modèles candidats On conserve le meilleur s il arrive à reproduire les observations avec une précision comparable à celle des mesures Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 0 5

6 Estimation paramétrique : critère des moindres carrés (linéaire) On donne : n Un modèle linéaire : ( M) T y = x p = Linéaire en fonction des paramètres xi pi i= Une seule variable dépendante y mesures: d( i) = ( y( i); x ( i),..., xn ( i)), i =,..., m On suppose que les x sont connus sans erreur Fonction critère: L WSOS ( p) = i= j= Calculer: unestimateur tel que m m ( y( i) y ( M ) ( i)) W ( y( i) y ij p of p ( M) L( p) min ( M ) ( i)) Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques Exemple : moindres carrés linéaire Modèle : y = a b x Erreur sur y : normale, de moyenne nulle Pas d erreur sur x On minimise la somme des carrés Si σ est constant, on peut l ignorer N exp SSQ = ( y a bx )( y a bx ) i= i i i i min N exp On annule les dérivées de SSQ par rapport à a et b : i= = y a y b x y ab x b x N a i i i i i i exp dssq yi b xi anexp 0 da = = dssq xy i i a xi b xi 0 db = = yi a bx i σ i exp i i = an b x = y a x b x x y i i i i Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 6

7 x Y Nexp Σx ΣY ΣxY Σx ΣY Exemple = an b x = y exp i i a x b x x y i i i i a = b a= b= y prédit Y Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 3 Généralisation à plusieurs variables Modèle y = ax ax... anxn ( yi ax ax... anxn) Critère min i σ i En développant les conditions de minimum, on a : T T T T ( X WX) pˆ = X Wy ou pˆ = ( X WX) X Wy x () x ()... x () y() a n x() x()... xn() y() a X =, y =, pˆ = x ( m) x ( m)... x ( m) ym ( ) a n n W = matrice de pondération = diag(/σ ) (inverse de la covariance) N = nombre de paramètres, m=nombre d expériences (m>n) Si on veut un terme indépendant a 0 on introduit une variable x 0 valant Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 4 7

8 Modèle général linéaire en ses paramètres Modèle ( ) ( ) ( ) y = a f x a f x a f x... n n Par exemple : y = ax ax a3 x a4 x On peut quelquefois linéariser des modèles nonlinéaires : * B P = exp A DT T C * B ln P = A DT T C * ( T C) ln P = A( T C) B DT( T C) Tln P* = ( AC B) ( A CD) T DT Cln P* Par régression linéaire, on peut lors identifier 4 grandeurs dérivées des paramètres originaux : (ACB), (ACD), D et C Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 5 Propriétés de l estimation moindres carrés T T Estimation: pˆ = ( X WX) X Wy Les paramètres dépendent donc linéairement des mesures La précision des paramètres (covariance) est donc liée à celle des mesures ε: T COV{ pˆ} = ( X WX) ε Si les erreurs de mesures suivent une distribution normale, il en est de même des paramètres: pˆ ~ N( p, COV{ˆ}) p Et leur estimation est sans biais : E {ˆ} p = p Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 6 8

9 Comment juger de la qualité de l ajustement? Les résidus doivent être indépendants et r ~ N(0, ε ) distribués comme les erreurs expérimentales : r x random r r r x x x non random Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 7 Domaine de confiance et intervalles p p U E B p (M) p L A p L p (M) p U p Intervalles de confiance pour un paramètre pˆ i ± t( m, α) s p, sp = [ COV p}] i i ii {ˆ Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 8 9

10 Régression séquentielle On peut construire un algorithme qui choisit dans une série de termes ceux qui diminuent le plus nettement la somme des carrés des résidus A chaque itération, on vérifie que le terme introduit réduit la somme des carrés de résidus de manière significative par rapport au cas précédent (test en F : rapport de variances) On vérifie que chaque coefficient est significativement différent de zéro (test en t) On examine la possibilité de permuter des termes On compare la variance par rapport à la régression à la variance expérimentale (éviter de «modéliser les erreurs») Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 9 Méthode des moindres carrés pour un modèle non-linéaire Solutions possible Transformation en un modèle linéaire par changement de variables Solution par optimisation numérique On utilise souvent l algorithme de Levenberg-Marquard pour minimiser la somme des carrés des résidus Propriétés distribution des paramètres non Gaussienne domaine de confiance et intervalles de confiance non symétriques Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 0 0

11 Méthode du maximum de vraisemblance On considère que pour chaque observation, l incertitude expérimentale est associée à une incertitude sur les paramètres Réaliser une mesure correspond à utiliser le modèle avec des valeurs de paramètres aléatoires, tirée d une distribution (supposée normale) On cherche à caractériser cette distribution connaissant les mesures : Quelle est la distribution de paramètres la plus vraisemblable pour expliquer la distribution de mesures observée? Distribution «a priori» : connaissance préalable des paramètres Contribution des mesures disponibles La distribution finale résulte de la pondération de ces contributions. On choisit les valeurs de paramètres maximisant cette distribution Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques Utilisation du logiciel NLPE Régression multilinéaire séquentielle Modèles algébriques non-linéaires à réponses multiples Plusieurs variables dépendantes Modèles différentiels non-linéaires à réponses multiples On fournit un fichier contenant les mesures et le modèle On reçoit un rapport Logiciel disponible : NLPE.zip Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques

12 Exemple linéaire Le fichier de données contient notamment : Les valeurs expérimentales (la variable dépendante y et les indépendantes X) La définition de variables secondaires (fonctions des variables indépendantes) et un programme FLEX pour les calculer Le niveau de tolérance pour les tests en F (rapport de variance) et en t (écart à zéro des paramètres) L écart-type de la variable mesurée Une préférence pour l introduction prioritaire de certains termes Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 3 Exemple non linéaire algébrique Le fichier de données contient notamment : Les valeurs expérimentales (dépendante(s) et indépendante(s ) La modèle (calcul des variables dépendantes en fonctions des variables indépendantes et des paramètres) sous la forme d un programme FLEX La liste des paramètres Une valeur initiale pour l optimiseur Des bornes Leur distribution a priori (moyenne et écart-type) Éventuellement leur matrice de covariance Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 4

13 Exemple non linéaire différentiel Le modèle est constitué d équations différentielles ordinaires, dont on examine éventuellement plusieurs profils Chaque profil est caractérisé par des conditions opératoires fixes et par des valeurs initiales des variables d état Les variables observées sont soit les variables d état, soit des combinaisons linéaires de celles-ci Les paramètres à identifier interviennent dans les équations différentielles comme conditions initiales inconnues comme coefficients inconnus dans les relations variables observée-variable d état Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 5 Exemple non linéaire différentiel Le fichier de données contient notamment : Les valeurs expérimentales (dépendante(s) et indépendante(s) ) La modèle (calcul du membre de droite des équations différentielles en fonction des variables d état) sous la forme d un programme FLEX Les conditions initiales pour chaque profil La liste des paramètres Une valeur initiale pour l optimiseur Des bornes Leur distribution a priori (moyenne et écart-type) Éventuellement leur matrice de covariance Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 6 3

14 Discrimination de modèles Pour chaque modèle, on optimise les paramètres On favorise un modèle Dont la somme des carrés des résidus est faible Dont le nombre de paramètres est petit Le test en F permet de comparer les variances en tenant compte des degrés de liberté, et donc de comparer obectivement deux modèles dont le nombre de paramètres peut différer Un bon modèle doit reproduire les mesures avec une variance résiduelle similaire à la variance expérimentale Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 7 Validation de modèle On peut valider un modèle en le comparant à des mesures non utilisées pour en ajuster les paramètres On teste ainsi la capacité prédictive du modèle Il est bon de vérifier dans quelle mesure le modèle est capable d extrapoler le comportement du procédé en dehors de l intervalle de mesures Décembre 00 Modélisation des grands systèmes chimiques 8 4