Sommaire. Introduction : Définition du problème

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1 Sommaire Introduction : Définition du problème I. Modélisation du problème : a) Théorie des graphes b) Connexité du dessin, plus petit collier ouvert c) Programmation d un algorithme, plus petit collier fermé - description de l algorithme - code - résultats II. Recherche de méthodes pour la construction de colliers : a) Utiliser seulement trois carrés - deux carrés impaires et un pair - autres équations b) Utiliser seulement des carrés impairs c) Agrandir un collier déjà trouvé III. Quelques colliers trouvés avec ces méthodes

2 Présentation du sujet : Diophante veut offrir à Hypatie un collier de perles. Il possède p perles numérotées de 1 à p : Il voudrait que l agencement des perles de ce collier suive une règle originale : la somme de deux numéros adjacents est toujours un carré parfait. Il doit bien évidemment utiliser toutes les perles de 1 à p. Diophante qui est pingre a demandé au joaillier de trouver un collier avec p le plus petit possible. Quelle est la valeur de p la plus petite possible pour un collier ouvert? et pour un collier fermé?

3 a) Théorie des graphes I. Modélisation du problème On écrit tous les nombres de 1 à p sur un cercle, ils représentent toutes les perles à utiliser (ce seront les sommets du graphe). On relie deux nombre par un trait (arête du graphe), lorsque leur somme est un carré, nous appellerons cela une liaison entre deux perles. On complète ainsi le dessin (= graphe) jusqu à ce que toutes les liaisons possibles soient dessinées :

4 On appelle chemin une suite de liaisons mises bout à bout, reliant 2 perles appelées extrémités du chemin : Ici, le chemin rose va de 1 vers 10 (les extrémités) en passant par les liaisons (1 ; 3), (3 ; 6) et (6 ; 10). Pour résoudre notre problème, on cherche donc un chemin qui passe par toutes les perles une et une seule fois (on appelle cela un chemin hamiltonien). On dira que le dessin est connexe lorsque chaque fois que l on prend deux perles, il existe un chemin qui les relie : Graphe non connexe Graphe connexe Le premier graphe est non connexe car il n existe pas de chemin reliant A et D. Dans le second, on peut aller de A vers D en passant par E. Et de chaque autre perles, on peut atteindre toutes les autres perles.

5 Si le dessin est connexe et que de toutes les perles partent exactement deux liaisons alors il possède un chemin qui passe par toutes ses perles une et une seule fois. De plus ce chemin revient à son point de départ : Ici on peut faire le chemin AEBDCA qui passe une et une seule fois par chaque perle et qui revient à son point de départ. Cette configuration correspond à notre problème de collier fermé. De même, si le dessin est connexe et que de exactement deux perles partent une seule liaison et de toutes les autres il en part exactement deux, alors le dessin possède un chemin passant une et une seule fois par chaque perle. Mais dans ce cas, le chemin ne revient pas à son point de départ et ses extrémités sont les deux perles qui n ont qu une seule liaison : Ici on peut faire le chemin CAEBD qui passe une et une seule fois par chaque perle sans revenir à son point de départ. Cette configuration correspond à notre problème de collier ouvert.

6 b) Connexité du dessin On observe qu à partir de p=14, le dessin est connexe : À partir de p=14, à chaque fois que l on rajoute une perle, elle est forcément reliée à au moins une perle qui était déjà sur le dessin. Donc, le dessin est connexe à partir de p=14. Ceci est vrai pour un dessin où toutes les liaisons sont dessinées. Ici, le dessin de 14 est connexe mais les perles 10, 9 et 8 ont une seule liaison. Donc pour p=14, on ne peut pas faire de collier.

7 On fait donc le dessin pour p=15 : On observe que : - Le dessin est connexe. - Les perles 8 et 9 n ont qu une seule liaison. - Les perles 3 et 1 ont 3 liaisons. - Toutes les autres perles ont deux liaisons. Il y a donc un problème pour les perles 1 et 3. Mais si on supprime la liaison qui les relie (la liaison 1-3), on a : 2 perles qui ont une liaison, toutes les autres ont deux liaisons et le dessin est toujours connexe. On obtient donc : Ce dessin répond aux critères du collier ouvert, en effet : C est donc le plus petit collier ouvert.

8 c) Programmation d un algorithme On notera un collier entre crochets, les perles seront séparées par des virgules. Exemple : [,1,8,17, ] Description des fonctions de l algorithme : - fonction suitechemin À partir d'un collier de longueur n, on génère tous les colliers de longueur n+1 qui commencent par la même séquence. Pour cela, on ajoute à la fin une perle : - qui n'est pas dans le collier de longueur n, - telle que la somme de cette perle et de l extrémité du collier précédent soit un carré. - fonction cheminssuivants En appliquant ce procédé à tous les colliers ouverts de longueur n, on obtient tous les colliers ouverts de longueur n+1. - fonction cycles En répétant ce procédé p-1 fois, on peut obtenir, à partir du collier [1], l'ensemble des colliers ouverts avec p perles qui commencent par un 1. - fonction recycle Il ne reste plus qu'à tester tous les colliers obtenus pour sélectionner ceux que l on peut refermer. On obtient ainsi tous les colliers fermés de longueur p.

9 Voici le code de l algorithme programmé en SQL : import List import Control.Monad -- la représentation d'un graphe : -- une liste de sommets, à chaque sommet est associée une liste d'arètes type Graphe = [(Int,[Int])] {---- Génération du graphe ----} squares = map (\x -> x*x) [1..] generergraphe :: Int -> Graphe generergraphe n = [(x,[z-x z <- takewhile (<= n+x) squares, z-x > 0, z-x /= x]) x <- [1..n] ] -- Donne les informations concernant un sommet du graphe sommet :: Graphe -> Int -> (Int,[Int]) sommet graphe n = let Just e = lookup n graphe in (n,e) {- pour générer les cycles : ajoute 1 élément à chaque collier -} cycles' :: [[Int]] -> Graphe -> Int -> [[Int]] cycles' cyclesgeneres _ 0 = cyclesgeneres cycles' cyclesgeneres graphe n = (cycles' $! cheminssuivants) graphe (n-1) where suivants chemin = suivants' graphe chemin suitechemin chemin = map (\elemsuivant -> elemsuivant:chemin) (suivants chemin) cheminssuivants = concatmap suitechemin cyclesgeneres -- On enlève les éléments qui apparaissent déjà dans le chemin suivants' graphe chemin = filter (\e -> List.notElem e chemin) (suiv'' graphe (head chemin)) -- Donne les éléments qui peuvent apparaître à la suite d'un certain élément suiv'' :: Graphe -> Int -> [Int] suiv'' graphe p = snd (sommet graphe p) {- génère un collier fermé -} recycle :: Int -> [[Int]] recycle n = filter (\(fin:_) -> fin `elem` snd (sommet graphe 1) ) $ cycles' [[1]] graphe (n-1) where graphe = generergraphe n

10 Résultats : On fait tourner cet algorithme sur un ordinateur avec un p de plus en plus grand. Le premier résultat que l on obtient est pour p=32 : [15, 10, 26, 23, 2, 14, 22, 27, 9, 16, 20, 29, 7, 18, 31, 5, 11, 25, 24, 12, 13, 3, 6, 30, 19, 17, 32, 4, 21, 28, 8, 1] On peut donc conjecturer qu il faut au minimum 32 perles pour faire un collier fermé. En effet, on peut démontrer que pour p<31 il n y a pas de collier fermé : On a vu précédemment que pour p<15 il n y avait pas de solution pour les colliers ouverts, donc pas de solutions pour les colliers fermés (un collier fermé est un collier ouvert où l on a pu joindre les extrémités). Pour p=15, on a vu qu il y a deux perles avec une seule liaison, ce qui empêche la construction d un collier fermé. L une de ces deux perles est 8. 8 peut être relié à 1, 8, 17, 28 Or on ne peut pas relier 8 à 8. Donc pour que 8 ait deux liaisons, il faut prendre p 17. Ceci est dû au fait que 8 est la moitié d un carré. De même, pour que 18 ait deux liaisons, il va falloir prendre p 31. Donc on ne peut pas construire de collier fermé pour p<31. Nous n avons pas de démonstration pour p=31, mais nous avons fait chercher à l ordinateur toutes les possibilités et il n en a pas trouvé. On peut donc en déduire que le plus petit collier fermé est pour p=32.

11 II. Recherche de méthodes pour la construction de colliers : a) Utiliser seulement trois carrés Utiliser deux carrés impairs et un carré pair En observant le collier pour p=15, on peut remarquer qu on utilise seulement 3 carrés : Le 25, le 16 et le 9 sont utilisés. On observe que 9 donne une liaison supplémentaire aux nombres de 1 à 8 (avec 1+8=9), de la même manière : 25 donne une liaison supplémentaire aux nombres de 10 à 15 (10+15=25) 16 donne une liaison supplémentaire à tous les nombres (1+15=16) sauf à 8 (car 8+8=16 et 8 ne peut être relié à 8) Les extrémités sont 8 et 9. Si on tente de généraliser cela en prenant x 2, y 2 et z 2 trois carrés avec x, z impairs et y pair, ce qui précède devient : - x 2 donne une liaison supplémentaire aux nombres de 1 à x 2-1 (avec 1+(x 2-1)=x 2 ). (*) - z 2 donne une liaison supplémentaire aux nombres de x 2 +1 à p (avec (x 2 +1)+p=z 2 ). (**) - y 2 donne une liaison supplémentaire à tous les nombres de 1 à p (avec 1+p=y 2 ) sauf à y 2 /2 (car y est pair donc (y 2 /2)+ (y 2 /2)=y 2 ). (***)

12 Ainsi, toutes les perles ont deux liaisons sauf x 2 et y 2 /2 qui sont les extrémités. En utilisant les relations (*), (**) et (***), on obtient l équation suivante : x 2 +y 2 =z 2 Conclusion : si on trouve trois carrés tels que x 2, z 2 impairs, y 2 pair et x 2 +y 2 =z 2 alors, le dessin pour p=y 2-1 en utilisant seulement les liaisons données par x 2, y 2 et z 2 est tel que : - Les perles y 2 /2 et x 2 ont une seule liaison. - Toutes les autres perles ont deux liaisons. Donc si cela est vérifié et que le dessin obtenu est connexe, alors on a un collier ouvert. On peut le construire en effectuant l algorithme suivant : - On part de u 1 = x 2 que l on relie à u 2 = y 2 - x 2. - Si u 2 est dans l intervalle [1 ; x 2-1] alors on le relie à u 3 = x 2 - u 2. Si u 2 est dans l intervalle [x 2 +1 ; p] alors on le relie à u 3 = z 2 - u 2. - On relie u 3 à u 4 = y 2 - u Si u 2n est dans l intervalle [1 ; x 2-1] alors on le relie à u 2n+1 = x 2 u 2n. Si u 2n+1 est dans l intervalle [x 2 +1 ; p] alors on le relie à u 2n+1 = y 2 u 2n. - On relie u 2n+1 à u 2n+2 = y 2 u 2n+1. - On répète cette opération jusqu à arriver à y 2 /2. Liste de quelques solutions qui donnent des colliers ouverts : x y z p

13 Remarque : On peut essayer de refermer le collier en cherchant des entiers qui vérifient x 2 +y 2 =z 2 et x 2 +y 2 /2 = t 2. Où t 2 est un carré parfait. Mais l ordinateur ne trouve pas de solutions pour p Autres équations: De la même manière, on peut trouver des colliers ouverts pour des nombres vérifiant : - x impair, y et z pairs et x 2 + y 2 = z 2 +1 On a ainsi : x y z p qui donnent des dessins connexes et donc des colliers ouverts d extrémités y 2 /2 et z 2 /2. - On réussit à fermer quelques colliers pour : x et z pairs, y impair et x 2 + y 2 = z Pour refermer le collier on cherche des solutions qui vérifient : x 2 +z 2 =2t 2 On trouve les solutions suivantes : x y z t p

14 b) Utiliser seulement des carrés impairs On remarque qu un carré impair x 2 peut donner des liaisons supplémentaires aux perles de 1 à x 2-1. En revanche un carré pair y 2 en donne aux perles de 1 à y 2-1 sauf à y 2 /2. Cette perle se retrouve donc avec une liaison de moins que les autres. C est pour cela que l on décide d utiliser uniquement des carrés impairs. On remarque que pour le dessin pour p=72 qui n utilise que les carrés impairs : 9, 49, 81 et 121, toutes les perles ont exactement deux liaisons.

15 Mais, ce dessin n est pas connexe. En effet, il y a quatre composantes connexes, soit quatre «bracelets» : Si on colorie les bracelets cela donne le dessin suivant :

16 Ceci nous a amené à étudier le dessin pour n importe quel p en utilisant tous les carrés impairs et uniquement les carrés impairs. On remarque alors que pour p 4, le dessin utilisant uniquement les carrés impairs comporte au moins quatre composantes connexes. On remarque qu à partir de p=44, le dessin des carrés impairs a exactement quatre composantes connexes. (symétrie et congruence modulo 8) Avec une méthode similaire à celle utilisant seulement trois carrés, on peut écrire que : Si on prend quatre carrés impairs : w 2, x 2, y 2 et z 2 On a : - w 2 donne une liaison supplémentaire à toutes les perles de 1 à w x 2 donne une liaison supplémentaire à toutes les perles de w 2 à p. - y 2 donne une liaison supplémentaire à toutes les perles de 1 à y z 2 donne une liaison supplémentaire à toutes les perles de y 2 à p. On a donc : - w 2 +p=x 2 - y 2 +p=z 2

17 Donc : x 2 -w 2 =z 2 -y 2 On peut donc construire de manière analogue d autres bracelets avec des carrés qui vérifient cette relation. c) Agrandir un collier déjà trouvé (1) On va tenter de rallonger le collier ouvert à 15 perles : [8 ; 1 ; 15 ; 10 ; 6 ; 3 ; 13 ; 12 ; 4 ; 5 ; 11 ; 14 ; 2 ; 7 ; 9 ] (2) On étudie le dessin qui va de 16 à 48 et on trouve un collier ouvert qui utilise toutes les perles de 16 à 48 : [16 ; 48 ; 33 ; 31 ; 18 ; 46 ; 35 ; 29 ; 20 ; 44 ; 37 ; 27 ; 22 ; 42 ; 39 ; 25 ; 24 ; 40 ; 41 ; 23 ; 26 ; 38 ; 43 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; 19 ; 30 ; 34 ; 47 ; 17 ; 32] (3) De la même manière, on trouve un collier ouvert qui utilise toutes les perles de 33 à 95 : [73 ; 71 ; 50 ; 94 ; 75 ; 69 ; 52 ; 92 ; 77 ; 67 ; 54 ; 90 ; 79 ; 65 ; 56 ; 88 ; 81 ; 63 ; 58 ; 86 ; 83 ; 61 ; 60 ; 84 ; 85 ; 59 ; 62 ; 82 ; 87 ; 57 ; 64 ; 80 ; 89 ; 55 ; 66 ; 78 ; 91 ; 53 ; 68 ; 76 ; 93 ; 51 ; 70 ; 74 ; 95 ; 49 ; 72] (4) Un collier ouvert qui utilise toutes les perles de 96 à 160 : [96 ; 160 ; 129 ; 127 ; 98 ; 158 ; 131 ; 125 ; 100 ; 156 ; 133 ; 123 ; 102 ; 154 ; 135 ; 121 ; 104 ; 152 ; 137 ; 119 ; 106 ; 150 ; 139 ; 117 ; 108 ; 148 ; 141 ; 115 ; 110 ; 146 ; 143 ; 113 ; 112 ; 144 ; 145 ; 111 ; 114 ; 142 ; 147 ; 109 ; 116 ; 140 ; 149 ; 107 ; 118 ; 138 ; 151 ; 105 ; 120 ; 136 ; 153 ; 103 ; 122 ; 134 ; 155 ; 101 ; 124 ; 132 ; 157 ; 99 ; 126 ; 130 ; 159 ; 97 ; 128 ] On remarque que l on peut relier tous les colliers obtenus bout à bout pour construire un collier à 160 perles : On part de 8, on parcourt le collier à 15 perles qui se finit par la perle 9. On relie 9 à 72, puis on parcourt le collier (3) jusqu à la perle 73. On relie 73 à 96, on parcourt le collier (4) pour arriver à la perle 128 que l on peut relier à la perle 16. On parcourt le collier (2) pour arriver à l extrémité 32 du collier pour p=160. Donc en «rallongeant» le collier à p=15, on peut construire un collier à p=160 perles.

18 III. Quelques colliers trouvés avec ces méthodes - Colliers fermés trouvés par l ordinateur avec l algorithme du paragraphe I.c :.p=32 : [15,10,26,23,2,14,22,27,9,16,20,29,7,18,31,5,11,25,24,12,13,3,6,30,19,17,32,4,2 1,28,8,1].p=33 : [15,10,26,23,2,14,22,27,9,16,33,31,18,7,29,20,5,11,25,24,12,13,3,6,30,19,17,32, 4,21,28,8,1].p=34 : [24,25,11,5,20,29,7,18,31,33,16,9,27,22,14,2,23,26,10,6,19,30,34,15,21,28,8,17, 32,4,12,13,3,1].p=35 : [35,29,20,5,4,32,17,8,28,21,15,10,26,23,13,12,24,25,11,14,22,27,9,16,33,31,18, 7,2,34,30,19,6,3,1].p=36 : [35,14,22,27,9,16,33,31,18,7,29,20,5,11,25,24,12,13,36,28,8,17,32,4,21,15,10,2 6,23,2,34,30,19,6,3,1].p=37 : [8,28,36,13,23,26,10,6,30,19,17,32,4,21,15,34,2,7,18,31,33,16,9,27,37,12,24,25, 11,5,20,29,35,14,22,3,1]

19 .p=38 : [24,25,11,38,26,23,2,34,30,19,6,10,15,21,4,32,17,8,28,36,13,12,37,27,22,14,35, 29,20,5,31,18,7,9,16,33,3,1].p=39 : [35,29,20,5,11,38,26,23,13,36,28,8,17,32,4,21,15,34,30,19,6,10,39,25,24,12,37, 27,9,16,33,31,18,7,2,14,22,3,1].p=40 : [8,17,32,4,12,37,27,22,14,35,29,20,5,11,38,26,23,13,36,28,21,15,10,39,25,24,40,9,16,33,31,18,7,2,34,30,19,6,3,1].p=41 : [15,21,4,32,17,19,30,34,2,7,18,31,33,16,9,40,41,8,28,36,13,23,26,38,11,5,20,29, 35,14,22,27,37,12,24,25,39,10,6,3,1].p=42 : [35,29,20,5,11,38,26,23,13,36,28,8,41,40,9,16,33,31,18,7,42,39,25,24,12,37,27, 22,14,2,34,30,19,17,32,4,21,15,10,6,3,1].p=43 : [35,29,20,16,33,31,18,7,9,27,37,12,13,36,28,8,41,40,24,25,39,42,22,14,11,5,4,3 2,17,19,30,34,2,23,26,38,43,21,15,10,6,3,1].p=44 : [35,29,20,44,37,12,13,36,28,8,41,40,24,25,39,42,7,18,31,33,16,9,27,22,14,11,5, 4,32,17,19,30,34,2,23,26,38,43,21,15,10,6,3,1]

20 .p=45 : [35,29,20,16,33,31,18,7,2,34,30,19,17,32,4,45,36,28,8,41,40,9,27,37,44,5,11,14, 22,42,39,25,24,12,13,23,26,38,43,21,15,10,6,3,1].p=46 : [35,46,18,31,33,16,20,29,7,2,34,30,19,17,32,4,45,36,28,8,41,40,9,27,37,44,5,11, 14,22,42,39,25,24,12,13,23,26,38,43,21,15,10,6,3,1] - Méthode avec deux carrés impairs et un carré pair (collier ouvert) : p=15, carrés : 9, 16, p=143, carrés : 25, 144 et 169 : p=575, carrés : 49, 625, 576 :

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