TD-Révisions : Mécanique du point

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1 TD TD-Révisions : Mécanique du point 1 Point matériel soumis à un seul champ de force centrale Soit un point matériel M de masse m soumis à une force centrale F de centre de force O. On étudie son mouvement dans un référentiel galiléen R g. Dans un premier temps on repère le point M en coordonnées sphériques (r, θ, φ). 1. Définir une force centrale. 2. Montrer que le moment cinétique de M en O L O se conserve. Montrer alors que le mouvement s effectue dans un plan passant par le centre de force. Par la suite on étudiera le mouvement du point M dans le plan du mouvement défini à la question précédente, de repère polaire (O, u r, u θ ). 3. Montrer que L O = mc u z où C = r 2 θ est appelée constante des aires. 4. On rappelle que la vitesse aréolaire correspond à l aire balayée par le vecteur OM par unité de temps. Montrer la loi des aires : da da dt dt = C 2 On donne l aire balayée par OM pendant dt : da = 1 2 OM d OM. 2 Conservation de l énergie mécanique : état lié et état de diffusion On considère la situation du paragraphe précédent, en considèrant cette fois que la force centrale est de norme invariante par rotation autour de O : F = F(r) u r, et dérove d une énergie potentielle E p (r). 1. Montrer que l énergie mécanique peut s écrire sous la forme : E m = E cr + E peff E cr = 1 2 mṙ2 est l énergie cinétique radiale E peff = 1 2 mc2 r 2 + E p(r) est l énergie potentielle effective 2. Sur les graphes ci-dessous on a tracé l énergie potentielle effective enf onction de r dans les cas d une force d intreraction de type newtonienne attractive et répulsive. Dans chacun des cas suivants, préciser si le point matériel M se trouve dans un état lié ou un état de diffusion, ainsi que le domaine de définition de r : a) Interaction attractive, E m > 0 b) Interaction attractive, E m = 0 c) Interaction attractive, E m < 0 d) Interaction attractive, E m = E peff (r o ). Préciser la nature du mouvement. e) Interaction répulsive, E m > 0 1 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016

2 TD 3 Mouvement dans un champ de force newtonien On étudie le mouvement d une planète, considérée comme un point matériel P de masse m, dans le référentiel héliocentrique, de centre S. On note M la masse du Soleil. 1. Enoncer les trois lois de Kepler. Pour simplifier, on considère le cas particulier où le mouvement de la planète est circulaire de rayon R. On a donc SP = R u r. 2. Montrer que le mouvement est uniforme et donner l expression de la vitesse v de P en fonction de G la constante de gravitation universelle, M et R. 3. Etablir la troisième loi de Kepler dans le cas de l orbite circulaire. Certains satellites de communication doivent toujours être positionnés au même endroit du ciel à partir d un point terrestre (par exemple, certaines antennes paraboliques de télévision par satellite pointent vers un satellite donné et sont réglées une seule fois) : de tels satellites sont dits géostationnaires. Leur période de révolution autour de la Terre doit donc être égale à celle de rotation de la Terre sur elle-même. La trajectoire d un satellite est située dans un plan contenant le centre de la Terre. Si ce plan n est pas celui de l Équateur, le satellite ne peut rester au-dessus d un même point de la surface terrestre. Un satellite géostationnaire évolue donc dans le plan équatorial. 4. Calculer l altitude d un satellite géostationnaire. Données : G = 6, SI, M T = 6, K g. On définit les vitesses cosmiques : Vitesse en orbite basse : il s agit de la vitesse d un satellite "rasant" la surface de l astre considéré. Vitesse de libération : il s agit de la vitesse minimale à communiquer à un objet soumis uniquement à une force gravitationnelle pour qu il puisse s éloigner à l infini du centre de force. 5. Exprimer puis calculer la vitesse en orbite basse d un satellite terrestre. 6. Exprimer puis calculer la vitesse de libération d un satellite terrestre. On fera l hypothèse que le satellite n est soumis à aucun frottement. 4 Quelques sujets de concours Extrait de e3a-psi-2007 : étude mécanique d une fusée et de son satellite. Thèmes abordés : bilan de quantité de mouvement (bon entrainement sur les bilans macroscopiques!) et mouvement en orbite circulaire. Extrait de Mines-Pont-PSI-2011 : métro gravitationnel. Thèmes abordés : théorème de Gauss pour le champ de gravitation (bon entrainement!), mouvement à force centrale. Extrait de e3a-mp-2015 : Atterrissage du module Philae. Thèmes abordés : mouvement à force centrale, énergie, résolution grapho-numérique. 2 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016

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5 ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D ADMISSION 2011 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI (Durée de l épreuve: 3 heures) L usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I PSI. L énoncé de cette épreuve comporte 7 pages. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il aura été amené à prendre. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. TRANSPORTS PLANÉTAIRES Ce problème étudie divers aspects physiques du voyage à l échelle planétaire. Il est composé de deux parties indépendantes, la première envisage le déplacement d un train dans un tunnel creusé dans la sphère terrestre, la seconde étudie la montée d un ascenseur le long d un câble vertical fixé à l équateur. Dans tout le problème la Terre est assimilée à un corps sphérique homogène de rayon r T, de centre O T et de masse volumique homogène µ T. Pour les applications numériques on prendra µ T = 5, kg.m 3, r T = 6, m, et on utilisera 3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de gravitation de Newton G = 6, m 3.kg 1.s 2. Les vecteurs sont surmontés d un chapeau s ils sont unitaires û x ou d une flèche dans le cas général OP. Une quantité surmontée d un point désigne la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité θ = dθ. Les nombres complexes sont soulignés z C, à l exception dt de j tel que j 2 = 1. I. Le métro gravitationnel Dans toute cette partie on néglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-même et on se place dans le référentiel géocentrique que l on supposera galiléen. I.A. Etude préliminaire On considère un point P situé à l intérieur de la sphère terrestre. On note O T P = r = r û r et g(p) le champ gravitationnel créé par la terre en P.

6 Transports planétaires 1 Justifier que g(p) est porté par û r et que son module ne dépend que de r, on notera donc g(p) = g(r)û r. En utilisant le théorème de Gauss gravitationnel, déterminer l expression de g(r) en fonction de ω 2 = 4 3 πgµ T et r. 2 Déduire de la question précédente que la force de gravitation s exerçant sur un point de masse m situé en P dérive de l énergie potentielle E p (r) = E p mω2 r 2 où E p0 est une constante qui dépend de la référence choisie et que l on ne demande pas d expliciter. Quelle est la dimension de ω? I.B. Le tunnel droit On relie deux points A et B de l équateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le schéma de la figure 1 qui présente également les notations utilisées. FIG. 1 Le tunnel droit On considère un mobile ponctuel P de masse m se déplaçant dans le tunnel sous l effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est repérée sur le segment [AB] par la coordonnée x telle que PH = x û x où le vecteur unitaire û x est colinéaire à AB et de même sens et H est la projection orthogonale de O T sur [AB]. On note finalement h = O T H. Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l axe du tunnel grâce à un système de confinement. Il n y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnétiques! On suppose enfin qu un vide suffisament poussé a été créé dans le tunnel. Sous toutes ces hypothèses, on considérera que la seule force qui s applique au mobile est la force de gravitation qu exerce sur lui la terre. À l instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale. 3 Déterminer l équation différentielle (linéaire) du second ordre vérifiée par x(t). En déduire l expression de x(t) en fonction de h, r T, ω et t. 4 Déterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte? 5 Exprimer la durée τ 0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numérique. I.C. Projet de métro Pour desservir plusieurs points sur l équateur, on considère un système de tunnels représentés sur la figure 2. Page 2/7

7 Physique I, année 2011 filière PSI FIG. 2 Le système de tunnels Un tunnel circulaire est percé à une distance r H du centre de la Terre dans le plan de l équateur et l on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontée A 1 H 1 A 2 H 2, etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points H 1, H 2,. Chaque jonction est tangentielle, c est-à-dire que A 1 H 1. O T H 1 = A 2 H 2. O T H 2 = = 0. Les points H 1, H 2,... sont équipés d un système d aiguillage assurant la continuité du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remontée et le tunnel circulaire. On assimile cette rame à un point matériel P de masse m astreint à circuler dans l axe du tunnel et sans contact avec ses parois grâce au système de confinement. À l instant t = 0, on laisse tomber une rame du point A 1 et sans vitesse initiale. 6 Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H 1 H 2. Déterminer la vitesse de la rame sur cette portion, en déduire que la durée τ 1 du transfert de H 1 vers H 2 se met sous la forme τ 1 = θ ω f (y) où y = r T /r H et f est une fonction que l on déterminera. 7 Déterminer la durée totale τ du voyage de A 1 vers A 2 en fonction de θ, ω et y. Déterminer la valeur numérique de τ pour un voyage tel que θ = π/3 avec r H = r T /2. Comparer les caractéristiques de ce voyage avec son équivalent à la surface de la terre. 8 Avec un diamètre moyen de 7 m, évaluer la quantité de déblais à évacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu un tunnel radial. Commenter le résultat obtenu. L une des nombreuses hypothèses nécessaires à la réalisation d un tel projet est la création et le maintien d un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut être que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l air de densité volumique de masse ρ maintenu à la pression p et à la température ambiante. Ce dernier point serait à discuter dans le cadre d une étude plus complète que nous ne mènerons pas ici. On supposera que p et ρ sont constantes dans l enceinte du tunnel et que l air s y comporte comme un gaz parfait. Pour cette étude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire. Des expériences d aérodynamique montrent que le mouvement d un solide dans un gaz au repos est soumis à une force de frottement, dite traînée. Cette traînée dépend de la taille caractéristique L et de la vitesse v du solide ainsi que de la densité ρ du gaz dans lequel s effectue le mouvement. Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

8 (Les questions relatives au caractère non galiléen du référentiel sont hors e3a MP 2015 programme) Rosetta est une mission spatiale de l'agence spatiale européenne dont l'objectif principal est de recueillir des données sur la composition du noyau de la comète 67P/Tchourioumov- Guérassimenko et sur son comportement à l'approche du Soleil. La sonde spatiale s'est placée en orbite autour de la comète puis, après une période d'observation de plusieurs mois, a envoyé le 12 novembre 2014 Philae, un petit atterrisseur, se poser sur sa surface pour analyser la composition de son sol et sa structure. Le problème est constitué de quatre parties.la première traite de la descente du module Philae vers la comète.la seconde s intéresse aux communications entre la sonde Rosetta et la Terre. La troisième concerne les aspects thermiques de la comète lorsque celle-ci se rapproche du Soleil. La dernière partie de cette épreuve est consacrée à la chimie des ergols, composés destinés à fournir l énergie nécessaire à la propulsion de Rosetta. PREMIÈRE PARTIE ATTERRISSAGE DU MODULE PHILAE Données : masse de la comète : mm cccccc = 1, kkkk masse volumique de la comète : μμ cccccc = 400 kkkk mm 3 période de rotation propre de la comète : TT cccccc = 12,4 h constante gravitationnelle : GG = 6, mm 3 kkgg 1 ss 2 distance de largage par rapport au centre : rr llllllll = 22,5 kkkk masse de la sonde Rosetta : mm rrrrrr = 1500 kkkk masse de l atterrisseur Philae : mm pph = 98 kkkk vitesse de la lumière dans le vide : cc = 3, mm ss 1 Dans cette partie, la comète est modélisée par une boule homogène de masse mm cccccc et de masse volumique μμ cccccc. La distance entre un point MM et le centre OO de la comète est notéerr = OOOO. A / CHAMP GRAVITATIONNEL DE LA COMETE A1. Déterminer le rayon rr cccccc de la boule équivalente à la comète. A2. Montrer, en appliquant soigneusement le théorème de Gauss, que le champ gravitationnelgg cccccc dû à la comète, s écrit gg cccccc = GG mm cccccc rr 2 ee rr (pour rr > rr cccccc ). A3. Vérifier par analyse dimensionnelle l homogénéité de la relation obtenue. A4. Peut-on considérer le champ gravitationnel de la comète uniforme lors de la chute du module Philae, suite à son largage?

9 B / TRAJECTOIRE DE PHILAE Approche numérique de l équation du mouvement On étudie la chute libre de l atterrisseur Philae, dans un référentiel dont l origine est le centre OO de la comète et qui tourne avec Rosetta, de sorte que le vecteur ee rr pointe constamment vers l atterrisseur (accélération aa = rr ee rr ). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen. B1. Etablir l équation du mouvement de l atterrisseur Philae, une fois séparé de Rosetta, en projection sur l axe radial. Cette équation peut être résolue numériquement. L évolution temporelle de la distance rrest représentéesur la figure 1, à partir de la distanceinitiale rr(tt = 0) = rr llllllll, pour différentes vitesses verticales initiales vv 0 = rr (tt = 0). distancerr(mm) i h g f e d i h g f e d c b a temps(ss) Figure 1 - Evolution temporelle de l altitude pour différentes vitesses initiales : a :vv 0 = 0 mm ss 1 b : vv 0 = 0,15 mm ss 1 c : vv 0 = 0,30 mm ss 1 d :vv 0 = 0,45 mm ss 1 e : vv 0 = 0,60 mm ss 1 f : vv 0 = 0,75 mm ss 1 g :vv 0 = 0,90 mm ss 1 h : vv 0 = 1,05 mm ss 1 i : vv 0 = 1,20 mm ss 1 B2. Déterminer la duréeττ 0 de la chute de Philae s il est abandonné par Rosetta avec une vitesse verticale nulle. B3. La durée réelle de la chute estττ 7 h. En déduire la vitesse verticale initiale communiquée à l atterrisseur.

10 Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de la vitesse verticale initiale. B4. Déterminer, par lecture graphique, la vitesse verticale atteinte par Philae au moment du contact avec la comète. distancerr(mm) vitesse verticale rr (mm ss 1 ) Figure 2 - Trajectoires de phase pour différentes vitesses initiales Approche énergétique L objectif est de retrouver la vitesse atteinte par l atterrisseur au moment du contact avec la comète. B5. Etablir l expression de l énergie potentielle gravitationnelleee ppcccccc d un point matériel de massemm situé à la distancerr > rr cccccc du centre de la comète, en fonction degg, mm, mm cccccc et rr (on fixeee ppcccccc (rr ) = 0). B6. Lors de la chute de Philae, préciser comment évolue l énergie mécanique de l atterrisseur. B7. En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par l atterrisseur lors du contact avec la comète. C / PHILAE A LA SURFACE DE LA COMETE On s intéresse à présent au module Philae, une fois celui-ci posé sur la surface de la comète. C1. Lors du largage de Philae, le 12 novembre 2014, plusieurs journalistes commentent l événement : «Philae pèse 1,7 gg sur la comète». Qu en pensez-vous?

11 La comète 67P/Tchourioumov-Guérassimenko tourne sur elle-même avec une période TT cccccc dans le référentiel «cométocentrique»galiléenr 0, dont l origine est le centre OO de la comète et dont les axes pointent vers des directions fixes.le référentielr cccccc lié à la comète n est pas galiléen. C2. Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique à l atterrisseur Philae dans le référentiel R cccccc lié à la comète, indiquer quelle force doit être ajoutée à la force gravitationnelle, ainsi que son nom usuel. C3. Représenter sur un schéma la comète, son axe de rotation, le module Philae posé à sa surface et les deux forces (en plus de la réaction du sol) auxquelles il est soumis. Comment est modifié qualitativement le poids réel de l atterrisseur, par rapport à celui calculé à la question C1? C4. Exprimer littéralement, puis calculer numériquement la variation relative du poids due à la rotation propre de la comète (on suppose que Philae s est posé dans le plan équatorial). Commenter. D / ROSETTA AUTOUR DE LA COMETE Avant de larguer l atterrisseur Philae, la sonde Rosetta s est rapprochée par paliers de la comète. Le 10 septembre 2014, elle se situe sur une orbite circulaire de rayon rr 1 = 30 kkkk. D1. Donner les expressions en coordonnées polaires de la vitesse et de l accélération d un point matérielmm en mouvement circulaire. D2. Exprimer la vitessevv 1 de la sonde en orbite circulaire de rayon rr 1 autour de la comète, en fonction de GG, mm cccccc et rr 1. Effectuer l application numérique. D3. En déduire sa période TT 1. Effectuer l application numérique. La sonde parcourt, à partir du 8 octobre 2014, une orbite elliptique avec un apocentreaa situé à la distance rr aa = rr mmmmmm = 20 kkkk du centreoo de la comète et un péricentre PP caractérisé par rr pp = rr mmmmmm = 10 kkkk. Le 15 octobre, la propulsion est utilisée pour placer la sonde sur une orbite circulaire de rayon rr pp = 10 kkkk. D4. Représenter sur un schéma l orbite elliptique, en faisant apparaître le centre OO de la comète, ainsi que les distances rr aa et rr pp. D5. Exprimer l énergie mécanique de la sonde sur l orbite elliptique. D6. Sur cette orbite, en déduire la vitesse vv pp de Rosetta en PP, en fonction de GG, mm cccccc, rr aa et rr pp. Effectuer l application numérique. D7. Pour placer la sonde en orbite circulaire de rayonrr pp, la propulsion est utilisée lorsque Rosetta est au péricentre. Préciser numériquement la variation de vitesse nécessaire.