Perturbation du mouvement d un satellite géostationnaire par la Lune et le Soleil

Transcription

1 Perturbation du mouvement d un satellite géostationnaire par la une et le Soleil Guy Munhoven Projet de groupe pour le cours (Méthodes numériques et éléments de programmation (SPAT0002-1) à l université de iège, année académique Version 1.0 du 04 novembre 2010 Instructions Je vous demande de résoudre les problèmes énoncés ci-dessous et de me faire parvenir un rapport de dix à quinze pages avec vos résultats, hors annexes éventuelles. Vous devrez y présenter et justifier, de manière précise, aussi bien les approches adoptées, que les résultats obtenus. es résultats feront également l objet d une discussion. Vous pourrez me transmettre votre rapport sous forme électronique ou imprimée, et en tout cas pour le mardi, 21 décembre 2010, à 16:00. Je vous demande par ailleurs de me transmettre, pour la même date, par courrier électronique, un jeu complet de tous les codes source des routines Fortran 95 que vous aurez utilisées pour la résolution des problèmes, quelque soit leur provenance (que vous les ayez développées par vous-mêmes, que nous les ayons construites ensemble au cours, modifiées ou non, qu elles proviennent de librairies publiques, ou d ailleurs encore). Toutes les sources doivent être documentées avec précision, toutes les modifications apportées clairement signalées, et la contribution de votre équipe à la solution du problème doit pouvoir être clairement établie. es travaux de programmation devront obligatoirement être réalisés en Fortran 95 ; vous pourrez utiliser un logiciel de visualisation de votre choix. 1

2 Nous fixerons ensemble une date pour une courte présentation orale de vos résultats pendant la session de d examens de janvier. Chaque équipe synthétisera son travail en dix minutes devant la classe. Vous avez le droit de discuter des problèmes entre vous. Je vous y invite et vous y encourage par ailleurs formellement. Chaque équipe devra cependant procéder à sa propre résolution (codes etc.) et à la rédaction de son propre rapport, et être à même d expliquer les méthodes qu elle aura utilisées. Je reste à votre disposition pour tout éclaircissement, qui pourrait d avérer nécessaire. Certaines parties des problèmes demandent de l imagination, d autres de la rigueur. Soyez généreux avec les deux. Introduction e problème à N corps : condensé théorique Nous nous basons ici, à l une ou l autre différence de notation près, sur les développements présentés au chapitre 7 du cours Mécanique céleste et trajectoires spatiales de G. Rauw (cours SPAT006-1, année académique , université de iège). Pour le problème général d un système isolé à N corps (i.e., non soumis à des forces externes), l équation de mouvement pour l un quelconque de ces corps k de masse m k (k = 0,..., N 1) dans un référentiel d inertie s écrit : d 2 k 1 x k x i x k m k = Gm dt 2 k m i x i x k + x i x k Gm k m i x i x k, i=0 i=k+1 k = 0,..., N 1 en notant x i = OP i le vecteur position du centre de masse d un corps i, situé en P i par rapport à l origine du référentiel, O. En raison de l hypothèse d absence de forces externes, une première simplification peut être opérée en choisissant comme origine le centre de masse C du système, ce qui réduit le problème à un problème à N 1 corps : par définition ( k=0 m k ) OC = k=0 m k x k = 0 et, en sommant les équations de mouvement, nous trouvons que k=0 m k d 2 x k dt 2 = 0. 2

3 Il en résulte que d 2 OC dt 2 = 0. En notant u k = CP k, ce qui a comme conséquence que u k = x k OC, nous avons et d 2 u k u 0 u k = Gm dt 2 0 u 0 u k + OP k OC = u i x k u i u k, k = 1,..., N 1 d 2 u 0 u i u 0 = Gm dt 2 i u i u 0, i=1 ainsi que m k u 0 = u k. i=1 m 0 Dans notre cas, où le système est composé de la Terre, du satellite, de la une et/ou du Soleil, nous sommes intéressés par le mouvement relatif du satellite par rapport à la Terre. En choisissant comme corps de référence le corps 0, et en notant r k = P 0 P k = OP k OP 0 = u k u 0 (k = 1, N 1) le vecteur position relatif du corps k par rapport au corps 0, le mouvement du corps k peut être exprimé comme suit : d 2 r k = d2 u k dt 2 dt d2 u 0 2 dt 2 u 0 u k = Gm 0 u 0 u k + r k = Gm 0 r k + r k = Gm 0 r k + u i x k u i u k i=1 r i r k r i r k r i Gm i r i i=1 ( ri r k r i r k r i r i u i u 0 u i u 0 ) r k Gm k r k. équation générale gouvernant le mouvement d un corps k quelconque du système par rapport au corps 0 s écrit donc d 2 r k dt 2 = G(m 0 + m k ) r k r k + ( ri r k r i r k r ) i r i En général, on choisit comme corps 0 le corps le plus massif du système. Ce n est cependant pas obligatoire, et ici, nous allons choisir la Terre comme (1)

4 corps 0, le satellite comme corps 1, la une comme corps 2 et la Soleil comme corps (le soleil comme corps 2 si l effet de la une n est pas prise en compte). De plus, nous n allons résoudre les équations du mouvement que pour le seul satellite. es évolutions dans le temps des mouvements des deux corps perturbateurs vont être prescrits, selon les cas considérés. Mouvements des corps perturbateurs es systèmes d axes et changements de repères Afin de pouvoir établir correctement les équations de mouvement des corps perturbateurs, nous ferons appel à trois systèmes d axes différents, tous centrés en le centre de la Terre, noté T : 1. (T, e 1, e 2, e ), lié au plan équatorial de la Terre, où e 1 T γ (γ dénotant la position du point vernal (le noeud ascendant de l orbite terrestre dans le plan de l écliptique), et où e est orthogonal au plan équatorial et pointe dans la même direction que le vecteur vitesse angulaire de la Terre ; 2. (T, e 1, e 2, e ), lié au plan de l écliptique et où e 1 T γ encore ;. (T, e 1, e 2, e ), lié au plan de l orbite de la une, où e 1 T Ω (Ω dénotant le noeud ascendant de l orbite lunaire dans le plan de l écliptique). En notant i T l inclinaison du plan équatorial de la Terre par rapport au plan de l écliptique (voir figure 1), nous avons, pour tout vecteur r tel que r = x e 1 + y e 2 + z e = x e 1 + y e 2 + z e = x e 1 + y e 2 + z e les relations suivantes entre les différents triplets de coordonnées : x = x y = y cos i T + z sin i T z = y sin i T + z cos i T ou, en notation matricielle x y = 0 cos i T sin i T z 0 sin i T cos i T Notant de plus i l inclinaison de l orbite de la une sur le plan de l écliptique, et o l angle orienté entre γ and Ω (c est-à-dire, la longitude écliptique de Ω), 4 x y z.

5 i T i satellite Ω Ecliptique T γ Soleil o ω s t ω t Ω une ω S t Figure 1 Trajectoires des corps pris en considération : le satellite dans le plan équatorial (en bleu foncé), la une dans son plan orbital (en rouge) et le Soleil dans le plan de l écliptique (en orange). Origines et extensions des différents angles caractérisant les positions des trois corps : ω s t est la longitude du satellite sur son orbite, mesurée ici à partir du point vernal (γ) ; ω t est l anomalie de la une sur son orbite, mesurée à partir de son noeud ascendant sur l écliptique (Ω) ; ω S t est la longitude écliptique du Soleil (mesurée à partir du point vernal, γ) ; o est la longitude écliptique du noeud ascendant de l orbite de la une. 5

6 nous avons alors x y z = e mouvement de la une cos o sin o cos i M sin o sin i M sin o cos o cos i M cos o sin i M 0 sin i M cos i M e mouvement de la une dans son plan orbital s écrit x = r cos (ω t) y = r sin (ω t) z = 0 où r est la distance Terre-une, ω la vitesse angulaire de la une sur son orbite. En combinant les différentes matrices de changement de base, nous obtenons finalement x = x cos o y sin o cos i y = x cos i T sin o + y (cos i T cos o cos i + sin i T sin i ) z = x sin i T sin o + y ( sin i T cos o cos i + cos i T sin i ) e mouvement du Soleil Enfin, pour le mouvement du Soleil, nous adoptons x S = r S cos (ω S t) y S = r S sin (ω S t) z S = 0 où r S est le distance Terre-Soleil et ω S est la vitesse angulaire du Soleil sur son orbite apparente autour de la Terre (dans le plan de l écliptique). Dans le référentiel lié au plan équatorial de la Terre, la position du Soleil est donc x S = x S y S = y S cos i T + z S sin i T z S = y S sin i T + z S cos i T x y z 6

7 Problèmes à résoudre Avant d entamer les travaux de programmation, il faudra que vous choisissiez un système d unités (temps, distances,...) conforme avec les échelles du problème que nous allons étudier, et que vous convertissez toutes les grandeurs et constantes en ces unités. Tous les problèmes seront intégrés sur dix ans, la durée de vie typique d un satellite en orbite géostationnaire. Comme méthode d intégration, je vous suggère d utiliser la méthode de Dormand-Prince 5(4). Cependant, n importe quelle autre méthode suffisamment précise peut convenir. Plusieurs configurations seront testées. Il est cependant possible que la méthode utilisée demande plusieurs millions de pas pour résoudre le problème. Il vous faudra donc éventuellement la modifier pour qu elle ne sorte des résultats que tous les 10 ou 100 pas acceptés. a fonction MODUO(i,j ) pourra vous servir : pour deux grandeurs i et j, elle calcule le reste de la division entière i/j. Dans tous les cas, vous pourrez supposer que l orbite de la Terre et de la une sont circulaires. Vous pourrez aussi négliger la masse du satellite devant la masse de la Terre (m 1 m 0 dans l équation (1), appliquée pour k = 1). De plus, nous supposerons que le point vernal γ est immobile à l échelle de temps considérée. 1. Satellite en orbite non perturbée autour de la Terre Pour commencer, déterminer les conditions initiales pour que le satellite soit en orbite géostationnaire et qu il se trouve sur l axe (T γ) (i.e., l axe des x) en t = 0, supposant que son orbite ne soit pas perturbée. Basez-vous sur de la théorie pour ce faire et utilisez les valeurs des paramètres fournies au tableau 1. Créez un module contenant les valeurs des paramètres requis. 1. Testez différentes valeurs pour la tolérance absolue. Vérifiez l évolution du nombre de pas calculés et acceptés. Quelle est la valeur qui permet d obtenir la meilleure précision au meilleur prix? 2. Estimez la tolérance de la méthode requise pour que l énergie du satellite change de moins d un millionième sur les dix ans. Vérifier le caractère géostationnaire de l orbite du satellite. 2. Perturbation de l orbite du satellite par la une Nous supposerons qu en t = 0, la une se trouve sur l axe (T γ) 7

8 1. Utiliser o = 0 et i M = i T (orbite de la une dans le plan équatorial) ; 2. Utiliser o = 0 et i M suivant le Tableau 1 (orbite de la une inclinée par rapport au plan équatorial) ;. Considérons à présent l angle o (l angle orienté entre γ et Ω voir figure 1) variable, suivant les informations fournies au tableau 1 et i M suivant les données. Pour ces trois cas, est-ce que le caractère géostationnaire de l orbite est maintenu? Si non, quelles sont les déviations observées?. Perturbation par le Soleil Pour ce troisième problème, nos nous intéresserons au rôle perturbateur du Soleil. Ajoutez à votre programme les codes nécessaires pour 1. inclure l effet perturbateur du Soleil seul ; 2. inclure l effet perturbateur du Soleil et de la une combinée (avec o variable et i M suivant les données). Comment est-ce que les effets de ces deux corps se comparent? 4. Équations simplifiées? On pourrait être tenté de simplifier l équation (1) et de négliger la partie dans les termes de la somme du membre de droit. Cela reviendrait r i r i à considérer que le référentiel lié à la Terre est d inertie. Évaluer les conséquences d une telle simplification sur les effets des perturbations par la une et par le Soleil (séparément). Quelques tuyaux et suggestions Pour vos impressions, la fonction intrinsèque ATAN2(y,x ) peut être utile. Elle fournit l angle α en radians tel que tan α = y/x et qui se trouve dans le même quadrant que le point de coordonnées (x, y). Si vous désirez avoir des impressions de résultats à intervalles réguliers, il est plus facile d appeler RKDP54 à intervalles réguliers (dans une boucle dans le programme principal) et de faire en sorte que ce soit le programme principal qui appelle la routine d impression à la fin de chaque intervalle d intégration, et non plus RKDP54. 8

9 Table 1 Données physiques Gm Terre, m s 2 Gm une 4, m s 2 Gm Soleil 1, m s 2 Période sidérale de rotation de la Terre s Période synodique de rotation de la s Terre Période de révolution de la Terre 65,25 j (1 j = s) Période sidérale de révolution de la 27,21661 j une Période de précession du noeud ascendant 18,6 a (1 a = 65,25 j) de la une (rétrograde!) Distance moyenne Terre-Soleil 149, km Distance moyenne Terre-une km 2,45 i T i Rayon terrestre moyen 5, km 9