Exercices d'application

Transcription

1 Ecole Supérieure du Commerce Extérieur Première Année Mathématiques Financières Chapitre 6 OPERATIONS FINANCIERES A LONG TERME AMORTISSEMENT DES EMPRUNTS INDIVIS Travaux Dirigés Corrigés des exercices (Rédaction : Pierre Iglésis) Exercices d'application Les techniques de calcul à utiliser dans ce chapitre sont à rapprocher des techniques de calcul utilisées dans le chapitre 3 : Opérations financières à long terme Capitalisation. * Exercice 6.1 * Un emprunt indivis d un montant de est amortissable au moyen de 12 annuités constantes. Taux d intérêt : 9 %. 1. Calculer la dette résiduelle (dette restant à rembourser) après paiement de 7 échéances. 2. Calculer le montant de l annuité constante de remboursement et présenter la 8 ème ligne du tableau d amortissement de cet emprunt. 1. Dette résiduelle après paiement de 7 échéances La dette résiduelle est la dette restant à rembourser après le paiement de la 7 ème annuité. D i 0,09 1,09 1,09 soit : D n 12 ou encore : D , ,09 1 p ème ligne du tableau d amortissement Calculons l annuité constante de remboursement : C ,09 i 0,09 soit : a ou encore : a ,53 1 n 1, ème ligne du tableau d amortissement Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité en début de période de la période de la période de la période , , , ,53 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 1/32

2 * Exercice 6.2 * Voici un extrait du tableau d'amortissement d'un emprunt indivis remboursé au moyen de 120 mensualités constantes de fin de période : Mois Capital restant dû Intérêt Amortissement Mensualité en début de période ,00 84,03 212, , ,54 1. Quelle est en années la durée de l'emprunt? 2. Quel est le taux mensuel de l'emprunt? 3. Quel est le taux actuariel de l'emprunt (c'est-à-dire le taux annuel équivalent au taux mensuel calculé précédemment)? 4. Quel est le montant du premier amortissement? Quel est le montant du deuxième amortissement? Quel est le montant du dernier amortissement? 5. Quel est le capital encore dû immédiatement après le paiement de la 60 ème mensualité? 6. A partir de cette date, la mensualité est réduite à 159,25, le taux de l'emprunt restant inchangé. La durée du remboursement est évidemment augmentée. Quel sera dans ces conditions le nombre total de mensualités de l'emprunt? 1. Durée de l emprunt : Il y a 120 mensualités, donc la durée de l'emprunt est 10 ans. 2. Taux mensuel : C I 84,03 d où : 84,03 t% soit : 84,03 t% 0, , 420 % Taux actuariel Pour un capital de 1 placé pendant 1 an au taux annuel i, la valeur acquise est : 1 1 i 1 1 i Le même capital placé pendant 12 mois au taux mensuel 0,00420, la valeur acquise est : , ,00420 On doit donc avoir : 1, i soit : i 0, ,158 % 4. Premier amortissement Le premier amortissement m 1 est la différence entre la première mensualité et la première part d'intérêt : m 1 = 212,54 84,03 = 128,51 Deuxième et dernier amortissements Les amortissements forment une progression géométrique de raison 1i 1, On en déduit le deuxième amortissement m 2 et le 120 ème amortissement m 120 : m 2 = m 1 1, = 129,05 m 120 = m 1 1, = 211,65 (Remarque : on peut également obtenir le dernier amortissement par le quotient 212,54 : 1,00420) π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 2/32

3 5. Capital encore dû immédiatement après le paiement de la 60 ème mensualité C i 1, , ,00420 soit : D ,78 n 1, Date à partir de laquelle la mensualité est réduite à 159,25 Il s'agit à présent de rembourser un capital de ,78 en n mensualités de 159,25, le taux mensuel étant 0, %. 0, On a donc l'équation suivante : 159, ,78 1 1, n n 11250,78 0, , , ,78 0, , n 159,25 n 1, , n En utilisant les logarithmes : ln 1, ln 0, n ln 1, ln 0, ln 0, ln 1, Nombre total de mensualités : n 83, mois 144 mois, soit une durée totale de 12 ans π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 3/32

4 Exercices d entraînement Séance 1 * Exercice 6.3 * Un particulier obtient auprès de sa banque un prêt à intérêts composés au taux annuel de 4 % (capitalisation annuelle des intérêts). Il souhaite souscrire à un plan de remboursement à annuités constantes sur cinq ans. 1. Sachant que son revenu annuel est de et que la Loi limite l annuité de remboursement à 30% du revenu annuel maximum, déterminer l annuité de remboursement maximale qu il peut verser. 2. Déterminer la somme qu il peut emprunter s il s engage à verser tous les ans, sur cinq ans, l annuité maximale de remboursement. 3. Dresser le tableau d amortissement. 1. Annuité de remboursement maximale : 30% Somme qu il peut emprunter C 0 capital emprunté a soit : i 0,04 n ,04 C ,48 0,04 3. Tableau d amortissement Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité en début de période de la période de la période de la période , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 TOTAL , , ,00 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 4/32

5 * Exercice 6.4 * Pour les frais d aménagement d un nouveau magasin, une société contracte le 1 er janvier 1998 un emprunt auprès de sa banque, qui lui propose de mettre à sa disposition une somme aux conditions suivantes : Amortissement de l emprunt en 10 annuités constantes, la 1 ère venant à échéance dans un an Montant du 1 er amortissement : 3 283,07 Montant du 2 ème amortissement : 3 808, Calculer le taux de l emprunt. 2. Calculer le montant de l annuité de remboursement. 3. Calculer le montant du 10 ème amortissement. 1. Taux de l emprunt La Loi des amortissements (emprunt régi par le système des annuités constantes) permet d écrire que les amortissements forment une progression géométrique de raison 1 i. (cf. 4.1.) Par conséquent : 3283,07 1 i 3808, ,36 1 i 1,160 soit : 16% de taux d emprunt 3283,07 2. Montant de l annuité de remboursement Calculons le capital emprunté : C 0 capital emprunté er m1 3283,07 (1 amortissement) i 0,16 n 10 d où : 0, ,07 C 0 1, ,07 C0 0, ,07 C , (cf. 4.2.) L annuité (de la première année entre autres) est égale au 1 er amortissement plus les intérêts de l année Soit : a 3283,07 16% ,07 3. Montant du 10 ème amortissement Les amortissements forment une progression géométrique de raison 1i 1,16. En utilisant la relation entre deux termes quelconques ( m 1 et m 10 ) d une suite géométrique (cf. MF1 Chapitre 3 Partie A Paragraphe 3.3.), on obtient : 10 1 m 3283,07 1, ,39 10 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 5/32

6 * Exercice 6.5 * Un emprunt de est remboursé en 3 annuités : Un versement de à la fin de la 1 ère année Un versement de à la fin de la 2 ème année Un versement de x à la fin de la 3 ème année, qui permet d éteindre la dette. Le taux annuel étant de 9 %, dresser le tableau d amortissement de cet emprunt et déterminer ainsi la valeur x du troisième versement. Tableau d amortissement Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité en début de période de la période de la période de la période ,00 720, , , ,00 424, , , ,80 193, , ,83 TOTAL 1 337, , ,83 L amortissement de la 3 ème période est le capital dû au début de la 3 ème année. La 3 ème annuité est la somme du 3 ème amortissement et des intérêts de la 3 ème année : x = 2 337,83 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 6/32

7 * Exercice 6.6 * On rappelle : Le capital constitué par le versement d un capital initial et de mensualités constantes de fin de période est donné par : C n C 0 1 i n a 1 in 1. i Le capital emprunté remboursable par des mensualités constantes de fin de période vérifie : 11i n C0 a i Les parties A et B sont totalement indépendantes. Partie A Un particulier souscrit un Authentic Projet PEL (Plan d Epargne Logement) au taux annuel de 4,25% avec capitalisation annuelle des intérêts. Il verse, pour une durée de 4 ans, la somme de ,00, au titre du dépôt initial, et s engage à effectuer des versements mensuels de 300, Montrer que le taux mensuel équivalent au taux annuel de 4,25% est de 0,347% (arrondi à 3 chiffres après la virgule par défaut). On utilisera cet arrondi dans la suite de l exercice. 2. Sachant qu'au bout de quatre ans le particulier bénéficie d'une prime égale au montant des intérêts acquis, de quel capital dispose-t-il au bout de quatre ans? Partie B Lors d un prêt consenti en septembre 2006 et dont le remboursement par mensualités constantes de fin de période a commencé le 30 septembre 2006, le Service des Prêts a adressé à un particulier un tableau d amortissement dont un extrait est donné ci-dessous : Date Echéance Capital restant dû Amortissement (ou Capital amorti) Intérêts Montant de l échéance 30/01/ ,80 581,70 194,30 776,00 28/02/ ,10 583,50 192,50 776,00 30/03/ ,60 585,30 190,70 776,00 30/04/ ,30 587,10 188,90 776,00 Le prêt a été consenti au taux annuel d intérêts composés avec capitalisation annuelle des intérêts de 3,75% (soit au taux mensuel d intérêts composés avec capitalisation mensuelle des intérêts de 0,307%) et doit être remboursé en 98 mensualités. Déterminer le montant du prêt. π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 7/32

8 Partie A 1. Taux mensuel et annuel équivalents Appelons i a 0,045 et i m les taux annuel et mensuel pour 1 euro équivalents. C 1 i 1, 0425 La valeur acquise par un capital de 1 placé pendant 1 an est : 1 1 an a La valeur acquise par le même capital de 1 placé pendant 12 mois est : C 1 i 12 Les deux valeurs acquises étant égales, on obtient : 12 Soit : m 1i 1, 0425 m m 1 12 i 1, i 0,00347 ou encore : un taux mensuel de 0,347%. 12 mois m 2. Capital disponible au bout de quatre ans Au bout de n 4 ans 48 mois le capital initial C et les n 48 mensualités d un montant constant de a 300 constituent un capital de : C , , , C ,65 Le particulier a versé le capital initial C et 48 mensualités d un montant constant de a 300 soit : Le montant des intérêts acquis (donc de la prime) est : intérêts ou prime = 33352, intérêts ou prime = 3 952,65 Le particulier dispose au bout de quatre ans de : capital disponible = 33352, ,65 capital disponible = ,30 Partie B Montant du prêt Le montant D du prêt remboursable en n 98 mensualités d un montant constant de a 776 et consenti au taux mensuel d intérêts de 0,00307 pour un euro vérifie : , D 1, ,00307 D ,77 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 8/32

9 * Exercice 6.7 * Un particulier emprunte sur 4 ans, remboursables à annuités constantes. Le taux annuel d intérêts est 7,5 % et les frais de dossier s élèvent à Calculer le coût actuariel net de cet emprunt. On donne : pour 7,50 % Pour 7,75 % t t 1 1t t 4 3, , Coût actuariel de l emprunt C frais 1500 a = annuité de remboursement n 4 t = taux effectif global pour 1 an et 1 et n 1 1t C0 frais a t (cf. 6.) On calcule l annuité de remboursement : C i 0,075 n 4 soit : ,075 a ,075 4 Finalement : t t 11 t , t Par interpolation linéaire : Augmentation Diminution 7,75 7,5 0,25 % 3, , , ,25 0, ,168 % 0, , , ,01256 Soit : taux effectif global annuel de 7,5 0,168 7,668 % π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 9/32

10 Exercices d entraînement Séance 2 * Exercice 6.8 * Une entreprise souhaitant emprunter s adresse à une banque qui lui propose un emprunt remboursable par annuités constantes au taux de 7,5 %. Le capital restant dû après la 6 ème annuité est de Quelle est la durée de l emprunt? Durée de l emprunt C i 0,075 p 6 D d où : 1,075 1,075 n 1,075 1 n n 1,075 1 n 6 1,075 1, , n 6 n 1,075 1,075 0, ,075 1 n n 6 (cf. 4.4.) 1,075 0, ,075 1,075 0, n 0, ,075 1, n 1, ,075 2, ,51205 n En passant aux logarithmes : ln 1,075 ln 2, n ln 1,075 ln 2, ln 2, n 10 ans ln 1,075 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Travaux Dirigés Corrigés page 10/32

11 * Exercice 6.9 * Un emprunt d un montant initial de est amorti en 8 échéances annuelles ; taux d intérêts : 15 %. La première moitié de la dette contractée est remboursable suivant le système des amortissements annuels constants, en 4 échéances. Les 4 dernières échéances sont faites d annuités constantes. Présenter le tableau de remboursement. Tableau de remboursement Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité en début de période de la période de la période de la période , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,68 TOTAL , , ,72 Amortissements constants : Annuités constantes Après les 4 premières années, la dette est de C ,15 i 0,15 soit : a ,68 1 n 1, π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 11/32

12 * Exercice 6.10 * M. POSIERES emprunte un capital de remboursable en 8 ans à 9 % et opte pour la procédure du remboursement in fine. 1. Dresser le tableau d amortissement de cet emprunt. 2. Dans le même temps, et dans le but de mieux répartir sa charge d emprunt, M. POSIERES se constitue un «fond d amortissement» à 5 % en versant annuellement sur un compte épargne une somme constante A de manière à ce que sa charge d emprunt annuelle soit constante. Indication : Le «fond d amortissement» sert à payer le dernier amortissement dans le cas de la procédure du remboursement d un emprunt in fine. Se constituer un fond d investissement revient donc à verser, dans le cas de M. POSIERES, 8 annuités constantes de placement, ces 8 annuités devant avoir pour valeur acquise lors du paiement de la dernière. a. Calculer la somme constante A versée annuellement sur le compte épargne. b. Quel est le taux effectif de cette opération? 8 1 1t 11t 8 On donne : pour 11 % 5, ; pour 11,25 % 5, t t c. Si vous étiez dans le cas de M. POSIERES et que vous voudriez rembourser votre emprunt en 8 versements constants, auriez vous fait le choix de M. POSIERES? Quel aurait été votre choix? Pourquoi? 1. Tableau d amortissement Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité en début de période de la période de la période de la période , ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , , , ,00 TOTAL , , ,00 2.a. Annuité constante A Le versement des 8 anuités (d un même montant A) doit permettre à M. POSIERES de disposer d une somme de au moment du paiement du dernier amortissement de l emprunt. C0 A C i 0,05 n 8 soit : 8 1, A 0,05 d où : A 47124,82 9, π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 12/32

13 2.b. Taux effectif La charge annuelle de M. POSIERES est constituée des intérêts de l emprunt ( ) et de l annuité du fond d investissement (47 124,82 ) soit : , ,82 Le taux effectif t de cet emprunt vérifie : C a 1t ,82 soit : ,82 t n 8 11 t , t 87624,82 Interpolation linéaire Augmentation Diminution 11, ,25 % 5, , , ,25 0, ,058 % 0, , , , Soit : taux effectif global annuel de 110,058 11,058 % 2.c. Examen du choix de M. POSIERES Il faut calculer l annuité constante dans le cas du remboursement de cet emprunt par 8 annuités constantes. La comparaison entre cette annuité et la charge annuelle de M. POSIERES (amortissement in fine plus fond d amortissement) permettra de savoir quelle démarche est la plus favorable. C i 0,09 n 8 d où : ,09 a 81303,47 1 1,09 8 Conclusion Nous n aurions pas fait le choix de M. POSIERES. Nous aurions opté pour le remboursement par annuités constantes. Annuellement, nous aurions fait une économie de 87624, , ,35. π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 13/32

14 * Exercice 6.11 * Un emprunt est remboursable au moyen d annuités constantes. On relève entre autres, dans le tableau d amortissement de cet emprunt, les indications suivantes : Intérêt contenu dans la 5 ème annuité : 6 263,78 Amortissement contenu dans cette même annuité : 5 477,26 Amortissement contenu dans la 8 ème annuité : 7 290,23 1. Calculer le montant de la dette initiale. 2. Calculer le nombre d annuités. 1. Montant de la dette initiale Tableau d amortissement Période Capital dû Intérêts Amortissement Annuité en début de période de la période de la période de la période , , , , , , ,23 Montant de l annuité constante (ligne 5) : 6263, , ,04 Calcul du taux d intérêt Les amortissements (remboursement à annuités constantes) forment une progression géométrique de raison 1 i. En utilisant la relation entre deux termes quelconques d une suite géométrique, on obtient : 8 5 soit : 7290, , 26 1 i 3 m m 1 i ,23 1 i 1, ,26 1i 1, i 1, ,1 soit : 10 % Montant du 1 er amortissement Les amortissements (remboursement à annuités constantes) forment une progression géométrique de raison 1i 1,1. En utilisant la relation entre deux termes quelconques d une suite géométrique, on obtient : 1 5 soit : 4 m m 1 i 1 5 m 5477, 26 1,1 3741,04 1 Intérêt de la première année : 11741, , Dette initiale : % Dette soit : 8000 Dette ,1 π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 14/32

15 2. Nombre d annuités Les n annuités constantes d un montant de ,04 doivent avoir (à 10 %) une valeur actuelle égale à la dette initiale ( ) : C 0 = ,1 n i = 0,1 soit : , ,04 puis 0,1 0,1 a = 11741, ,1 1 1,1 n 11741,04 n ,1 1 0,1 0, ,04 n En utilisant les logarithmes : ln 1,1 ln 0, n ln 1,1 ln 0, ln 0, n 12 ln 1,1 L emprunt a duré 12 ans. π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 15/32

16 * Exercice 6.12 * Un commerçant souhaite acquérir un lot d armoires frigorifiques pour un montant, taxe comprise, de (livraison et installation comprises). A 1 ère A réception de la facture, le commerçant signe trois effets de commerce de même valeur nominale et d échéances respectives 6 mois, 8 mois et 10 mois en règlement de sa dette (taux d escompte: 6%). 1. Préciser les deux groupes d effets et écrire l équation d équivalence. En déduire la valeur nominale de chaque traite. 2. Quelle est la somme totale payée par le commerçant? B 2 ème solution Le commerçant emprunte, à intérêts composés au taux annuel de 6% (avec capitalisation annuelle des intérêts), une somme de remboursable en 10 mensualités constantes. 1. Déterminer le taux mensuel pour 100 F équivalent au taux annuel de 6%. (On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs.) 2. Déterminer, à l euro près, le montant de la mensualité constante de remboursement. 3. Quelle est la somme totale payée par le commerçant? 4. Réalise-t-il un bénéfice ou une perte par rapport à la 1 ère solution en procédant ainsi? (Justifier la réponse.) C 3 ème solution Le commerçant apprend qu il aurait pu acheter le même lot d armoires frigorifiques au Danemark pour une somme de DKK (livraison et installation comprises). Quel pourcentage d économie ou de perte aurait-il réalisé en achetant son lot d armoires frigorifiques à Copenhague sachant que sa banque prend une commission de 0,5% sur les transactions de devises? (Cours du 9 avril 2009 : Danemark 1 DKK 0,1342.) π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 16/32

17 A.1. Effets de commerce Effet à remplacer Paiement comptant A n A 0 mois Effet de remplacement E n E 6 mois F E n F 8 mois G E n G 10 mois Diviseur fixe associé au taux t : D Equation d équivalence : E E E E E E E E A.2. Somme totale payée par le commerçant Somme totale =3 E soit : somme totale (solution 1) B.1. Taux mensuel équivalent Soit un capital de 1 placé à intérêts composés : pendant 1 an à 6% : C 1 1,06 pendant 12 mois à 100 i% : C 12 1 i d où : 1 i 12 1,06 12 soit : i 1,06 1 d où : i 0,00487 Le taux mensuel équivalent est 0,487%. 12 B.2. Montant de l annuité constante C C0 i a avec i 0,00487 n 1 1 i n 10 mois soit : a B.3. Somme totale payée par le commerçant Somme totale =10 a soit : somme totale (solution 2) B.4. Bénéfice ou perte D après A : le commerçant a versé au bout de 10 mois D après B : Le commerçant aura payé de «crédit». Le commerçant réalise donc un bénéfice de π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 17/32

18 C. Pourcentage d économie ou de perte réalisé Achat des DKK : , ,20 Commission : 0, , ,92 Coût total de l opération : 79983,20 399, ,12 Economie réalisée : , ,88 L économie représente t% du prix payé soit : t% ,88 soit : t 10,685 % t 10, π ESCE 2014 Mathématiques Financières Chapitre 6 Séance de Travaux Dirigés Corrigés page 18/32