Indépendance linéaire Bases Dimension

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1 Indépendance linéaire Bases Dimension Combinaison linéaire Définition Dans l espace vectoriel V le vecteur w est combinaison linaire des vecteurs v, v,, v r, s il existe des scalaires k, k,, k r tels que w = k v + k v + + k r v r Exemples Dans R, soit Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL v = 8 6, v = et w = 5 5 6, e = w est combinaison linéaire des vecteurs v et v En effet, on peut vérifier que w = v v 8 6 = Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL e n est pas combinaison linéaire des vecteurs v et v En effet, on cherche une solution de k k = 8 k + k =, soit 8k = k + k = 6 6k + k = qui est un système inconsistant Dans P soit p (t) = + 8t + t + 6t p (t) = + t + t Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL

2 et q(t) = 5 + t + 5t + 6t u(t) = Le polynôme q(t) est combinaison linéaire des polynômes p (t) et p (t) En effet on vérifie que q(t) = p (t) p (t) Le polynôme u(t) n est pas combinaison linéaire des polynômes p (t) et p (t) En effet, on cherche k et k tels que u(t) = k p (t) + k p (t), c est-à-dire = k ( + 8t + t + 6t ) + k ( + + t + t ) L identification des coefficients conduit au même système inconsistant que celui de l exemple Dans M soit [ ] [ ] 8 C =, C 6 = et [ ] [ ] 5 A =, B = 5 6 A est combinaison linéaire des matrices C et C En effet on vérifie que A = C C B n est pas combinaison linéaire des matrices C et C En effet, on cherche k et k tels que B = k C + k C, ce qui conduit au même système inconsistant que ceux des exemples précédents Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 5 Théorème Dans l espace vectoriel V, soit l ensemble de vecteurs S = { v,, v r } Alors L ensemble W des combinaisons linaires de S forme un sousespace vectoriel de V W est le plus petit sous-espace vectoriel de V contenant S Pr On vérifie les deux conditions : (a) V W car V = v + + v r (b) a W, b W a + λ b W car a W (k,, k r ) tels que a = k v + + k r v r b W (k,, k r) tels que b = k v + + k r v r d où : a + λ b = (k + λk ) v + + (k r + λk r) v r a + λ b est bien une combinaison linéaire d éléments de W (a) S W, car tout élément v k de S s écrit comme la combinaison linéaire v k = v + + v k + + v r (b) D autre part, tout sous-espace W de V contenant S contient par définition toutes les combinaisons linéaires de S Ainsi W W Définition On appelle lin(s) l espace vectoriel engendré par (les combinaisons linéaires de) S Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 6 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL

3 Indépendance linéaire Définition Soit S = { v,, v r } un ensemble de vecteurs de l espace vectoriel V S est dit linéairement indépendant (ou encore libre) si l équation vectorielle k v + + k r v r =, dans les inconnues (k,, k r ), ne possède que la solution triviale k = = k r = Dans le cas contraire, S est dit linéairement dépendant (ou encore lié) Exemples Dans R, soit S =, S est linéairement dépendant, car + 5, +, =, Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 8 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 9 Dans R, soit S =, S est linéairement indépendant, car x + y = Dans V, espace vectoriel quelconque, { x = y = Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL (a) S = { V } est linéairement dépendant, car λ V = V λ R (b) S = { a}, a V est linéairement indépendant, car alors λ a = V λ = Remarque Dans V, un ensemble S = { v,, v r } avec r est linéairement dépendant si et seulement si l un de ces vecteurs se laisse exprimer comme combinaison linéaire des autres En effet, k v + + k r v r = k } v = k k v k r k v r Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL

4 ainsi dans l exemple on a = soit a a m a n a nm k k m = : système homogène avec plus d inconnues que d équations, qui possède donc des solutions autres que la solution triviale Théorème Dans R n, soit S = { a,, a m } Si m > n alors S est linéairement dépendant Pr L équation vectorielle k a + + k m a m = s écrit a a m k + + k m = a n a nm Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Base et dimension Définition Dans l espace vectoriel V, la collection S = { v,, v n }, n < est une base de V si et seulement si S est linéairement indépendant S engendre V Exemples Base canonique de R n Soit BC = }{{} e, }{{} e,, }{{} e n BC est linéairement indépendant car l équation k e + k e + + k n e n = Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 5

5 s écrit aussi I n k k k n =, système qui n a que la solution triviale BC engendre R n car tout vecteur x R n s écrit : x = x x x n = x + x c est-à-dire x = x e + x e + + x n e n + + x n Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 6 (Les composantes du vecteur x sont également les coefficients des vecteurs de BC dans la combinaison linéaire) Dans R, la collection S =,, Vérification : Il suffit de constater que la matrice A = 5 5 est une base de R Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL est inversible Alors, puisque toute combinaison linéaire de S s écrit 5 5 k k + k + k = k = A k, k S est linéairement indépendant, car, A étant inversible, le système A k = n a que la solution triviale S engendre R, car, A étant inversible, le système A k = x possède une solution unique, k = A x quelque soit x R Base canonique de P n Soit BC = { e (t) = t, e (t) = t,, e n (t) = t n} BC est linéairement indépendant, car k e (t) + k e (t) + + k n e n (t) = t c est-à-dire k + k t + + k n t n = t est vrai seulement si k = k = = k n = (théorème fondamental de l algèbre) BC engendre P n, car tout polynôme p(t) = a + a t + + a n t n P n s écrit p(t) = a e (t) + a e (t) + + a n e n (t) (Les coefficients du polynôme p(t) sont également les coefficients des vecteurs de BC dans la combinaison linéaire) Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 8 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 9

6 Base canonique de M m n Soit avec BC = {E ij : i =,, m, j =,, n} E ij = j i BC est linéairement indépendant, car, par le calcul matriciel, l équation m n k ij E ij = m n devient : i= j= k k n k m k mn = BC engendre M m n car toute matrice A M m n, A = (a ij ) Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL s écrit : A = n i= m a ij E ij (Les éléments de la matrice A sont également les coefficients des vecteurs de BC dans la combinaison linéaire) Définition Soit V un espace vectoriel Si V contient une base finie, ou si V est formé du seul vecteur nul, on dira que V est de dimension finie Sinon V est de dimension infinie j= Théorème Soit S = { v,, v n }, n < une base de l espace vectoriel V Alors toute collection comportant un nombre de vecteurs supérieur à n est linéairement dépendante Pr Soit S = { w,, w m } V avec m > n On veut montrer que l équation k w + + k m w m = n a pas que la solution triviale Or, S étant une base, tout vecteur de V s exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de S : w i = n a ij v j, i =,, m j= Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL

7 En remplaçant dans l équation il vient : k (a v + + a n v n ) + + k m (a m v + + a mn v n ) = soit en regroupant les termes : (k a + + k m a m ) v + + (k a n + + k m a mn ) v n = S étant linéairement indépendant, chacune des parenthèses ci-dessus doit être nulle Les k i doivent donc satisfaire : a k + + a m k m = a n k + + a mn k m = Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL système homogène d équations linéaires avec plus d inconnues que d équations, ayant donc des solutions non-triviales Théorème Toutes les bases d un espace vectoriel à dimension finie ont la même cardinalité (même nombre d éléments) Pr soit S et S deux bases de cardinalité respectivement : S = n et S = m Par le théorème précédent on a m n, sinon S serait linéairement dépendant, et n m pour la même raison Définition La dimension d un espace vectoriel V est la cardinalité d une quelconque de ses bases On la note dim(v) Par convention, la dimension de l espace vectoriel composé du seul vecteur nul est égale à zéro Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 5 Exemples dim(r n ) = n, car la base canonique de R n a cardinalité n dim(p n ) = n +, car la base canonique de P n a cardinalité n + dim(m m n ) = mn, car la base canonique de M m n a cardinalité mn { } N (A) : Soit W = x R n A x = avec A : m n quelconque, par exemple A = [ ] La matrice échelonnée réduite de A est R = [ 5 L ensemble des solutions du système A x = est alors x = x x x x = s + t ] 5, s, t R Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 6 Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL

8 Soit S = { v, v } =, 5 W = lin(s) : Toute solution du système A x = est combinaison linéaire de S S est linéairement indépendant, car s + t 5 = [ s t ] = [ Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 8 ] S est donc une base de W, et ainsi dim(w) = Théorème Dans l espace vectoriel V avec dim(v) = n (n > ), soit la collection de vecteurs S = { v,, v n } Si S est linéairement indépendant, alors S est une base de V Si S engendre V, alors S est une base de V Pr Supposons que S n engendre pas V, c est-à-dire qu il existe w V tel que l équation w = x v + +x n v n n a pas de solution ou encore, que le système x w + x v + + x n v n = n a que la Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL 9 solution triviale Mais alors { w S}est linéairement indépendant et compte n + éléments dans un espace vectoriel de dimension n Contradiction! Supposons que S n est pas linéairement indépendant, c est-à-dire qu il existe un vecteur de S, par exemple v, qui se laisse écrire comme combinaison linéaire des autres v = k v + + k n v n Alors tout vecteur engendré par S l est encore par { v,, v n } En itérant au besoin, on arrive ainsi à un ensemble S, linéairement indépendant et encore générateur de V, donc une base de V, de cardinalité S < n Contradiction! Théorème Dans un espace vectoriel V avec dim(v) = n, soit S = { v, v,, v r } un ensemble linéairement indépendant quelconque, avec r < n Alors S peut être complété en une base de V Pr Soit S = { w, w,, w n } une base quelconque de V Il existe au moins un élément w de S qui ne se laisse pas exprimer comme combinaison linéaire de S, sans quoi S serait une base, de cardinalité r En ajoutant cet élément à S on obtient un nouvel ensemble linéairement indépendant de cardinalité r + En itérant le processus, on obtient une base de V Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL Algèbre Linéaire - Th M Liebling, A Prodon, ROSO-EPFL