Préparer et réussir son entrée en Terminale S

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1 Mathématiques Rentrée 2017 Lycée Le Corbusier Poissy Préparer et réussir son entrée en Terminale S La clef de la réussite, c'est bien sûr un travail régulier et approfondi tout au long de l'année mais on ne peut construire que sur des bases solides Pour vous aider à bien démarrer l'année en Terminale S, voici un recueil d'exercices mêlant remise à niveau et approfondissement Profitez de la dernière quinzaine d'août pour travailler toutes ces notions (les corrections sont disponibles en envoyant un mail à l'adresse gmailcom ) Vous trouverez ci-dessous un planning possible de révisions : Dimanche 20/08 Exercice 1 Dérivation Lecture graphique + étude algébrique Lundi 21/08 Exercice 2 Suites Modélisation + algorithme + suite auxiliaire Mardi 22/08 Exercice 3 Probabilités Arbre + variable aléatoire Pour s'échauffer, et revoir les bases Mercredi 23/08 Pause Jeudi 24/08 Exercice 4 Suites Etude de u n = f (n) Vendredi 25/08 Exercice 5 Dérivation Optimisation + Prise d'initiative Pour approfondir Samedi 26/08 Exercice 6 Suites Etude + suites auxiliaires Dimanche 27/08 Pause Lundi 28/08 Exercice 7 Probabilités Arbre + loi binomiale + algorithme Mardi 29/08 Exercice 8 Suites Etude (presque) complète Mercredi 30/08 Exercice 9 Fonctions Etude complète Pour se familiariser au bac aux longs exercices Bonnes vacances!!

2 Exercice 1 : Avant de commencer, tu as besoin de revoir le nombre dérivé? Souviens-toi il y a quelques mois : Tu peux également t'exercer ici : Partie A : Etude graphique On considère la fonction f définie et dérivable pour tout réel x dont la courbe C f est : La courbe passe par les points A(2 ; 3), B(0 ; - 1) et I (1 ; 1) Elle admet également en A et B des tangentes parallèles à l'axe des abscisses On répondra avec la précision permise par le graphique 1) Donner la valeur de f ' (1) 2) Quelles sont les solutions de l'équation f ' (x) = 0? Expliquer brièvement 3) Jérémy affirme que f ' (3) > 0 A-t-il raison? Justifier 4) Construire sur [- 4 ; 4] le tableau de signes de sa dérivée f ' Partie B : On admet à présent que Etude algébrique f (x) = x2 + 2 x 2 x 2 2x + 2 1) Justifier que f est bien définie sur R 4 x(- x + 2) 2) Montrer que pour tout réel x, f ' (x) = En déduire les variations de f ( x 2 2x + 2) 2 3) Déterminer l'équation réduite de Δ, la tangente à C f au point I

3 Exercice 2 : Dans une ville, un service periscolaire comptabilise 150 élèves inscrits en septembre 2014 On admet que chaque année, 80% des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 40 nouveaux élèves inscrits La capacité d'accueil du service est de 190 élèves maximum On modélise cette situation par une suite numérique (u n ) où u n représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année n, avec n un nombre entier naturel 1) Décrire par une phrase ce que représente u 0 puis donner sa valeur 2) Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre ) Justifier que pour tout entier naturel n, on a u n+1 = 0,8 u n ) On donne l'algorithme suivant : Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : n prend la valeur 0 u prend la valeur 150 Traitement : Tant que u 190 : u prend la valeur 0,8u+40 n prend la valeur n+1 Fin Tant que Sortie : Afficher n 4) a Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire 4) a l'exécution de l'algorithme Arrondir les résultats au centième Valeur de n Valeur de u 150 Condition u 190 VRAIE 4) b En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat 5) Pour tout entier naturel n, on pose v n = 200 u n 4) a Montrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1 er terme 3) b Justifier que pour tout entier naturel n, on a : u n = ,8 n 3) c Justifier que la capacité d'accueil du service sera bien dépassée en 2022 Tu aimerais t'exercer sur les suites définies en fonction d'une autre suite (= suites auxiliaires)? => Envoie un mail à l'adresse fournie en première page Tu as des difficultés avec les algorithmes mais tu aimerais y arriver voilà ce qu'il te faut pour progresser! Clique sur nouveau pour recommencer

4 Exercice 3 : Tu as des difficultés avec les arbres de probabilités voilà ce qu'il te faut pour t'exercer! Clique sur nouveau pour recommencer

5 Exercice 4 : On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; + [ par f (x) = 9 x 8 2 x + 1 On considère la suite (t n ) définie par t 0 = 6 et pour tout entier naturel n : t n+1 = f (t n ) 1) Donner l'expression de t n+1 en fonction de t n, pour tout entier naturel n On a tracé ci-dessous dans un repère la courbe C de f, ainsi que la droite D d'équation y = x : 2) a Placer t 0 sur l'axe des abscisses, puis construire sur cet axe les termes t 1, t 2 et t 3 4) b Quelles conjectures peut-on formuler pour la suite (t n )? 3) a Montrer que pour tout entier naturel n : t n+1 t n = - 2(2 t n )2 2t n + 1 5) b On admet que : n N, t n > 2 Démontrer le sens de variation de la suite (t n ) 4) On admet que la suite (t n ) converge vers une limite L solution de l'équation f (L) = L 4) Calculer la valeur de L

6 Exercice 5 (Prise d'initiative) : Dans un repère orthonormé (O ; I ; J ), (H ) est l'hyperbole d'équation y = 2 x On considère M un point quelconque de (H ) d'abscisse x > 0 Problème : On cherche à déterminer la position du point M telle que la distance OM soit minimale Pour cela, on admettra que " OM est minimale " équivaut à " OM 2 est minimale " Le logiciel Xcas fourni le résultat ci-dessous : Démontrer que OM 2 = x logiciel de calcul formel x 2 puis répondre au problème posé en utilisant le résultat fourni par un Exercice 6 (Suites auxiliaires) : On considère la suite (u n ) définie par {u 0 = - 1 u 1 = 0,5 u n+2 = u n+1 0,25u n pour n 0 1) Calculer u 2 et u 3 La suite (u n ) est-elle arithmétique? Géométrique? 2) Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n u n 3) a Calculer v 0 3) b Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,5 3) c En déduire une expression de v n en fonction de n 4) Pour tout entier naturel n, on pose w n = u n v n 4) a Calculer w 0 4) b Montrer que pour tout entier naturel n, w n+1 w n = 2 4) c En déduire une expression de w n en fonction de n 5) À l'aide des questions précédente, montrer que pour tout entier naturel n, u n = 2 n 1 2 n

7 Exercice 7 (Problème type bac) : Les résultats seront arrondis, si nécéssaire, à 10-4 près Un investisseur souhaite acheter des appartements dans le but de les louer Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de ces appartements Une étude des dossiers d'appartements loués dans un vaste secteur montre que : - 5% des appartements loués comportent une seule pièce - Parmi eux, 10% sont rentables pour le propriétaire - 30% des appartements loués comportent deux pièces - Parmi eux, 25% sont rentables pour le propriétaire - Les autres appartements loués comportent tous trois pièces ou plus - Parmi eux, 80% ne sont pas rentables pour le propriétaire On notera les événements : T 1 : "l'appartement comporte une seule pièce" ; T 2 : "l'appartement comporte (au total) deux pièces" ; T 3+ : "l'appartement comporte trois pièces ou plus" ; R : "l'appartement est rentable" 1) Traduire cette situation par un arbre de probabilités 2) On choisit au hasard un dossier 2) Montrer que la probabilité que l'appartement soit rentable est égale à 0,21 L'investisseur choisit, au hasard, 20 dossiers d'appartements parmi ceux présents dans son secteur Le nombre de dossiers étant suffisamment important, on peut assimiler ce choix aléatoire à un tirage de 20 dossiers indépendamment les uns des autres On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables pour le propriétaire sur les 20 dossiers choisis 3) Justifier la loi de probabilité de X et préciser ses paramètres 4) a Calculer la probabilité de choisir exactement 12 appartements rentables pour le propriétaire 4) b Calculer la probabilité de choisir au moins 3 appartements rentables pour le propriétaire 4) c Calculer la probabilité de choisir au moins 15 appartements non rentables pour le propriétaire 5) Calculer P (6 X 16) puis interpréter le résultat obtenu 6) Calculer l'espérance de la variable aléatoire X puis interpréter le résultat obtenu L'investisseur choisit désormais et toujours au hasard n dossiers, où n > 0 On désigne par Y n la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables pour le propriétaire sur les n choisis et on admet que Y n ~ B (n ; 0,21) On note p n la probabilité de l'événement : "au moins un appartement sur n est rentable pour le propriétaire" 7) a Montrer que p n = 1 (0,79) n Variables : n est un entier naturel p est un réel 7) b Compléter l'algorithme ci-contre de sorte 7) b qu'il affiche le nombre minimal de dossier Initialisation : n prend la valeur 1 7) b à sélectionner pour que p n 0,999 p prend la valeur 0,21 7) c Déterminer à l'aide de la calculatrice cet Traitement : Tant que : 7) c affichage, et interpréter le résultat n prend la valeur p prend la valeur Fin Tant que Sortie : Afficher

8 Exercice 8 (Problème type bac) : On considère la suite (u n ) définie par : { u 0 = 3 u n+1 = 2 3 u + 1 n n + 1 pour n 0 3 Partie A : Algorithme On considère l'algorithme ci-contre : Variables : N et k sont des entiers naturels u est un réel 1) Quel sera l'affichage si on entre N = 3? Entrée : Saisir la valeur de N Traitement : u prend la valeur 3 2) Comment modifier cet algorithme pour Pour k allant de 1 à N : 2) qu'il affiche toutes les valeurs de la suite u prend la valeur 2) (u n ), de u 0 à u N? Fin Pour 2 3 u + 1 (k 1) Sortie : Afficher u Partie B : Sens de variation de (u n ) 1) a Calculer u 1, u 2 et u 3 (donner les valeurs exactes) 1) b On donne les valeurs des termes suivants (arrondies au millième près) : u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 4,593 5,395 6,263 7,176 8,117 9,078 10,052 1) c Que peut-on dire du sens de variation de la suite (u n )? 2) On admet que l'inégalité u n n + 3 est vraie pour tout entier naturel n 2) Etudier le sens de variation de la suite (u n ) Partie C : Comportement à l'infini de (u n ) 1) Justifier que la suite (u n ) n'est ni arithmétique, ni géométrique On introduit alors la suite auxiliaire (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n n 2) a Montrer que (v n ) est une suite géométrique 2) b En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 3( 2 n + n 3) 3) a Voici quelques résultats obtenus en appliquant l'algorithme de départ (arrondis à 0,0001 près) : N = u = 20, , , , ,0000 2) b Que peut-on conjecturer sur le comportement à l'infini de la suite (u n ) ainsi que sur sa limite? 4) b Essayer de justifier cette limite

9 Exercice 9 (Etudier une fonction) : On considère la fonction f définie pour tous réels x 0 par f (x) = a x 2 + b x x On admettra que f est dérivable sur son ensemble de définition, et on notera C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (voir en page suivante) Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire On définit la fonction g sur R par g( x) = x 3 3 x On admet que g est dérivable sur R et on note g ' sa fonction dérivée 1) Etudier les variations de g 2) Calculer g( 1) 3) Justifier alors le tableau de signes de g sur R Partie B : Utilisation graphique 1) La courbe C f est donnée en annexe 1 1) a En utilisant les 2 informations mentionnées sur cette courbe, montrer que a et b sont 1) a solutions du système { a + b = 5-2 a + b = 8 1) b Déterminer alors l'expression de f (x) 2) On a représenté 3 courbes en annexe 2 Parmi elles : 2) a Une seule représente la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [ : justifier laquelle 2) b Une seule représente une fonction dont f est la dérivée sur ]0 ; + [ : justifier laquelle Partie C : Etude de la fonction f À partir de maintenant, on admet que f (x) = - x3 + 6 x x + 8 x 2 g (x) 1) a Pour x 0, calculer f ' (x) puis montrer que f ' (x) =, où g est la fonction x 2 définie dans la partie A 5) b En déduire le tableau de variations de la fonction f sur R\{0} 2) On note (T 1 ) la tangente à C f au point d'abscisse 1 6) Montrer que (T 1 ) a pour équation réduite y = - 4 x + 32 Partie D : Position relative de C f et de (T 1 ) 1) Montrer que pour tout réel x 0, f (x) (- 4 x + 32) = -( x 8)( x 1)2 x 2) En déduire la position relative de C f et de (T 1 )

10 ANNEXE 1 On a dispose de deux informations sur la courbe C f : Elle passe par le point A (1 ; 28) Elle admet l'axe des abscisses comme tangente horizontale au point d'abscisse -1 C f ANNEXE 2 : C 1 C 2 C 3