Note concernant mon Travail de Recherche

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1 Note concernant mon Travail de Recherche 1 La doctrine de Wilson "Game Theory has a great advantage in explicitly analyzing the consequences of trading rules that presumably are really common knowledge; it is deficient to the extent it assumes other features to be common knowledge, such as one player s probability assessment about another s preferences or information. I foresee the progress of game theory as depending on successive reductions in the base of common knowledge required to conduct useful analysis of practical problems. Only by repeated weakening of common knowledge assumptions will the theory approximate reality." Robert Wilson (1987) 1.1 Modèles et structures d information Les modèles utilisés en économie contiennent toujours une représentation de l information dont disposent les agents. Cette représentation n est, bien sûr, qu une approximation de la réalité et il est donc nécéssaire de s interroger sur la "robustesse" des prédictions économiques lorsque cette représentation est modifiée ou affinée. La littérature sur laquelle mon travail de thèse s appuie essaie de répondre aux questions suivantes: que se passe-t-il si on fait varier "très légèrement" dans un modèle les structures d information? que doit-on 1

2 entendre par "très légèrement"? La modélisation: une idéalisation des structures informationnelles Le modélisateur, lorsqu il doit représenter l information des agents, rencontre deux types de difficultés. D une part, "en aval", la nécessité de donner des conclusions ou des recommandations l amène à simplifier, pour être capable de les traiter, les modèles et donc aussi les structures d information qu ils contiennent. D autre part, "en amont", le modélisateur ne connaît pas toujours précisément l information dont disposent les agents: les agents peuvent avoir intérêt à cacher, à des fins stratégiques, tout ou partie de ce qu ils savent. Leurs connaissances peuvent évoluer dans le temps. Ajoutons qu ils ne savent pas toujours eux-mêmes, d une manière claire et consciente, ce qu ils savent. Leur poser des questions peut les amener à réinterroger leurs connaissances et donc à faire évoluer leurs perceptions, etc... La simplification des structures d information peut prendre, selon les contextes, plusieurs formes: hypothèse de connaissance commune, de "common prior", signaux privés et indépendants, signaux unidimensionnels, absence d apprentissage ou de communication entre les agents, modèles d information partitionnels Articulation avec la théorie économique La littérature qui s inscrit dans le champ de recherche de cette thèse a une double articulation avec la théorie économique. La démarche de cette littérature est, d abord, critique puisqu elle vise à vérifier la fiabilité des prédictions des modèles. Mais certains travaux dans cette littérature ont aussi une valeur explicative ou prédictive. Cette dichotomie est un peu artificielle dans la mesure où les deux démarches sont parfois mêlées. C est néanmoins celle utilisée dans la très brève revue de littérature qui suit. 2

3 a) La démarche critique. En théorie des jeux, des articles récents (Weinstein et Yildiz (2007); Ely et Peski (2007)) reprennent la critique formulée par Wilson et mettent en garde sur les limites des modèles couramment utilisés en théorie économique. Pour énoncer leur résultat d une manière très informelle, ils montrent que certaines hypothèses apparemment innocentes (espace de type fini ou common prior par exemple) sont en fait fragiles d un point de vue informationnel. Ces articles suggèrent donc que l économiste (qui généralement utilise ce type de modèle "simple") doit être très précautionneux dans l interprétation des résultats qu il obtient. Cette démarche critique s exerce également, à un niveau plus appliqué dans différents champs de la théorie économique. Ainsi en théorie des mécanismes et de l implémentation, une littérature en expansion (Bergemann et Morris (2005); Chung et Ely (2003, 2007)) part du constat que le planificateur ne sait pas toujours dans quel environnement les agents se trouvent et étudie la robustesse des mécanismes qu il construit. Les conditions de robustesse proposées par cette littérature sont souvent très exigeantes (cf. Jehiel, Meyerter-vehn, Moldovanu et Zame (2006) pour la condition d ex-post implémentation). Le quatrième article de ma thèse intitulé "Implémentation Localement Robuste" et coécrit avec Olivier Tercieux appartient à cette littérature. b) La démarche prédictive ou explicative. Même si cela peut paraître paradoxal, la complexification de la structure informationnelle peut parfois simplifier l analyse économique. Le concept de "jeu global" fondé par Carlson et Van Damme (1993) s inscrit dans cette optique. Le principe est de remplacer un jeu à information complète (et où les équilibres sont multiples) par un jeu en information incomplète où chaque agent reçoit un signal privé arbitrairement précis. Carlson et Van Damme (puis, dans un cadre étendu, Frankel, Morris et Pauzner (2003)) ont montré que, sous certaines conditions, dans ce jeu 3

4 légèrement modifié, il existe un unique profil de stratégies rationalisable. Autrement dit, si l on accepte le fait que la rationalité des agents est connaissance commune, on peut prédire précisément leur comportement. Le caractère prédictif de l outil des "jeux globaux" a donné lieu à une vaste littérature appliquée 1. Le premier article de ma thèse, qui s intitule "Jeux Globaux Multidimensionnels" généralise les résultats de Frankel, Morris et Pauzner à des espaces d actions et de signaux multidimensionnels. Le second article de ma thèse, intitulé "Politique de Communication et Complémentarités Stratégiques" utilise l argument des jeux globaux pour analyser un problème de révélation d information par un agent informé en présence de complémentarités stratégiques entre les actions des agents non-informés. En présence d équilibre multiples, les tests de robustesse peuvent permettre de sélectionner un équilibre parce qu il a une "stabilité informationnelle" plus importante que les autres. Il constitue alors une sorte de point focal pour l analyse économique. La notion d équilibre robuste fondée par Morris et Kajii (1997) correspond à cette approche. Le troisième article de ma thèse, intitulé "Contagion dans les Jeux à Complémentarités Stratégiques" (et coécrit avec Olivier Tercieux) porte sur ce concept. Enfin, le fait d explorer des environnements informationnels plus complexes, d analyser les conséquences de structures d information plus riches peut permettre d éclairer certains phénomènes ou de lever des paradoxes. Plusieurs points de la théorie économique (délais en théorie de la négociation (Yildiz (2003)) ou problème d extraction de la rente informationnelle en théorie des mécanismes (Neeman (2004), Heifetz et Neeman (2006))) ont été abordés récemment avec cet état d esprit. Dans mon travail de thèse, je me suis particulièrement intéressée à l hypothèse d information complète. Un jeu est en information complète si la matrice des paiements de ce 1 voir Morris et Shin (2003) pour une revue de littérature sur ce sujet. 4

5 jeu est connaissance commune, autrement dit, si chacun sait les paiements du jeu, chacun sait que chacun les sait, chacun sait que chacun sait que chacun les sait, etc... jusqu à l infini. Cette hypothèse, qui est couramment employée en théorie économique (à des fins de tractabilité), a des implications stratégiques qui ne sont pas innocentes. Les quatre articles de ma thèse portent sur des modèles en information "presque complète", c està-dire des situations informationnelles très "proches" de l information complète dans le sens où chacun sait "précisément" les paiements du jeu, sait que chacun les sait, sait que chacun sait que chacun les sait, etc... jusqu à un ordre arbitrairement élevé mais fini. Les interactions stratégiques qui apparaissent dans ce type de jeu peuvent être très différentes de celles qui correspondent à la situation d information complète. En effet, les croyances d ordre élevé, c est-à-dire les croyances des agents sur les croyances des (autres) agents sur les croyances des (autres) agents (... et cela un nombre "élevé" de fois) sur la matrice de paiements du jeu peuvent avoir un impact stratégique très fort sur le comportement des agents à l équilibre. Le premier article à examiner le rôle des croyances d ordre élevé et les conséquences stratégiques de l information complète est celui d Ariel Rubinstein (1989) intitulé: "Le Jeu du Courrier Electronique: Comportement Stratégique en Situation d Information "Presque Complète"." 1.2 Le jeu du courrier électronique Le protocole inventé par Rubinstein Le modèle de Rubinstein est très simple mais véhicule quelques intuitions fondamentales. De plus, les trois types de "perturbations" (ou d approximations) de l information complète qui sont utilisées dans ma thèse peuvent être perçues comme trois généralisations dans trois 5

6 directions différentes de l idée de Rubinstein. Un jeu très simple est proposé, à deux actions et deux joueurs. Ce jeu sera le fil conducteur de cette introduction. Chaque joueur doit choisir entre une action A (pour "Attaquer") et une action N A (pour "Ne pas Attaquer"). La matrice des paiements est paramétrée par θ. A NA A θ,θ θ 1,0 NA 0,θ 1 0,0 Il y a deux états de la nature: a et b. Lorsque l état de la nature a est réalisé, le paramètre θ vaut -2/5. Lorsque b est réalisé, il vaut 2/5. La probabilité ex ante de l état a est 1 p (et celle de l état b est p). On note G a et G b les jeux en information complète associés respectivement à a et b. Dans le jeu G a, l action A est strictement dominée et le seul équilibre de Nash est donc le couple (NA, NA). Le jeu G b possède deux équilibres de Nash en stratégie pure: (A, A) et (NA, NA), le résultat Pareto-dominant étant associé au couple d action (A, A). Imaginons à présent, comme le fait Rubinstein, que le joueur 1 soit informé sur l état de la nature réalisé mais non le joueur 2, que les joueurs communiquent par l intermédiaire d ordinateurs et que le protocole soit le suivant. Si le jeu est G b, alors l ordinateur du joueur 1 envoie automatiquement un message à l ordinateur du joueur 2. Si le jeu est G a aucun message n est envoyé. Si un ordinateur reçoit un message alors il envoie automatiquement une confirmation. Il est par ailleurs possible qu un message envoyé n arrive pas. La probabilité d un pareil événement est notée ε. Si un message n arrive pas alors la communication entre les joueurs s interrompt définitivement. A la fin de la phase de 6

7 communication, l écran de chaque joueur indique le nombre de messages que sa machine a envoyés Analyse du jeu La situation informationnelle que nous venons de décrire correspond au jeu en information incomplète suivant. L espace des états du monde est Ω = {(q 1, q 2 ) N N: q 1 = q 2 ou q 1 = q 2 +1}. Dans l état (q, q), l ordinateur du joueur 1 envoie q messages, tous arrivent à l ordinateur du joueur 2 et le q eme message du joueur 2 n arrive pas a destination. Dans l état (q + 1, q), l ordinateur du joueur 1 envoie q + 1 messages et le dernier s égare. Le type d un joueur i correspond au nombre de messages envoyés par son ordinateur. Les probabilités ex ante de chaque état sont données par: p(0, 0) = 1 p, p(q+1, q) = pε(1 ε) 2q, et p(q + 1, q + 1) = pε(1 ε) 2q+1 pour tout entier positif q. Les paiements du jeu sont donnés par G a si l état réalisé est (0, 0). Ils sont donnés par G b sinon. Lorsqu un joueur voit s afficher sur son écran un nombre "très élevé", la situation informationnelle semble "très proche" de la connaissance commune. En fait, les croyances des joueurs jusqu à un ordre "très élevé" sont les mêmes que celles associées à G b. Développons cette idée d une manière un peu plus formelle. On appelle "croyance d ordre 1" du joueur 1 sa croyance sur l état de la Nature qui est réalisé. Si l on prend aussi en compte la croyance du joueur 1 sur la croyance d ordre 1 du joueur 2, on obtient "la croyance d ordre 2" du joueur 1. En incorporant également la croyance du joueur 1 sur la croyance d ordre 2 du 7

8 joueur 2, on obtient la croyance d ordre 3 du joueur 1, etc... Examinons maintenant les croyances d ordre élevé des joueurs selon l état du monde réalisé. Dans les états (1,0) et (1,1), le joueur 1 sait que le jeu est G b mais ne sait pas que le joueur 2 le sait. Sa "croyance d ordre 1" est donc la même que lorsque G b est connaissance commune mais sa croyance d ordre 2 est différente. Dans les états (1, 1) et (2,1), le joueur 2 sait que le jeu est G b et sait que le joueur 1 le sait mais ne sait pas si le joueur 1 sait ou non qu il sait que le jeu est G b. Autrement dit, les croyances d ordre 1 et 2 du joueur 2 sont identiques à celles où le jeu G b est connaissance commune, mais sa croyance d ordre 3 est différente. On peut continuer le raisonnement et montrer que, pour tout q > 1, dans les états (q, q) et (q, q 1), les q premières croyances du joueur 1 sont identiques à celles associés à la connaissance commune de G b. De même, on peut montrer que, dans les états (q, q) et (q + 1, q), les q + 1 premières croyances du joueur 2 sont les mêmes que celles associées à la connaissance commune de G b. Supposons maintenant que l on ait: pε < 1 p. (Cette condition est satisfaite lorsque ε est suffisamment petit ou lorsque p est suffisamment faible.) On va montrer que ce jeu a un unique équilibre de Nash où les deux joueurs choisissent l action NA... même si chaque ordinateur a envoyé un grand nombre de messages! Dans l état (0,0), l action NA est strictement dominante pour le joueur 1. Si le joueur 2 ne reçoit pas de message, il concluera qu avec une probabilité de (1 p)/[(1 p) + pε], l état réalisé est (0,0), et qu avec une probabilité de pε/[(1 p) + pε], l état est (1,0). Il est alors strictement optimal pour le joueur 2 de choisir l action N A. Supposons maintenant que l ordinateur du joueur 1 n ait envoyé qu un seul message. Dans ce cas, le joueur 1 attribue une probabilité de ε/[ε + (1 ε)ε] à (1,0) et de ε(1 ε)/[ε + (1 ε)ε] à (1,1). Comme ε/[ε + (1 ε)ε] est strictement supérieur à 1/2, son action optimale sera NA, etc... 8

9 il est possible d itérer ce raisonnement pour toute quantité de message envoyée par l un ou l autre des ordinateurs. Ce résultat peut sembler assez contre-intuitif... Il y a, en fait, (au moins) deux lectures du paradoxe du courrier électronique. La première consiste à souligner le très haut niveau de rationalité qui est accordé aux agents dans la résolution du modèle. Si l on interprète le jeu de Rubinstein de cette façon, le travail de l économiste doit consister à construire des modèles "plausibles" où la rationnalité des agents est suffisamment limitée pour qu une telle sensibilité aux croyances d ordre élevé n apparaisse pas. Mais il est également possible de voir, comme nous l avons écrit, dans le paradoxe de Rubinstein une illustration utile, même si elle peut paraître extrême, de l importance des croyances d ordre (très) élevé dans les comportements stratégiques des agents. Le travail de l économiste consiste alors à examiner le contenu exact (en termes de comportements stratégiques) de l hypothèse d information complète. C est cette voie qu a suivie mon travail de thèse. D un point de vue plus technique, nos article s appuient sur trois "variations" différentes sur le thème du courrier électronique. Dans la suite de cette introduction, est exposé, dans trois sections séparées, le contenu théorique de chacune d entre elles. Je présente également brièvement ma contribution. 2 Les jeux globaux L argument des jeux globaux consiste à remplacer un jeu en information complète par un jeu en information incomplète où chaque agent reçoit un signal sur l état de la nature qui est réalisé. Comme ce signal est, pour chaque agent, arbitrairement précis, on est "très proche" de l information complète. Les jeux globaux sont utilisés pour résoudre le 9

10 problème des équilibres multiples en présence de complémentarités stratégiques. Dans la sous-section qui suit, est présentée la notion de jeu à complémentarités stratégiques et les principaux résultats théoriques qui lui sont associés. 2.1 Jeux à complémentarités stratégiques Définition Les jeux à complémentarités stratégiques sont des jeux où l ensemble des stratégies de chaque joueur est (partiellement) ordonné et où, pour chaque joueur, l incitation à jouer une stratégie plus élevée augmente lorsque ses adversaires jouent eux-mêmes un profil de stratégies plus élevé. Des complémentarités stratégiques apparaissent dans de nombreuses situations économiques. Pour donner une liste non exhaustive: phénomènes de bulle et de crise spéculative, cycles économiques, problèmes liés aux "biens réseaux" (ex: téléphone, internet,...). Dans ces jeux, il y a généralement plusieurs équilibres de Nash possibles. Ainsi, pour prendre l exemple des biens réseaux, si chaque consommateur potentiel est convaincu qu une nouvelle technologie liée à un bien réseau n aura pas de succès, aucun n ose l acheter... et de fait, elle n arrive pas à s implanter. Au contraire, si au terme d une campagne publicitaire réussie, chacun est persuadé que cette nouvelle technologie est promise à un bel avenir, chacun l achète... et elle devient un standard. On emploie souvent le terme, pour décrire ces phénomènes, "d anticipations auto-réalisatrices". Les jeux à complémentarités stratégiques (ou jeux supermodulaires) possèdent certaines particularités techniques qui permettent de simplifier leur analyse. Nous les présentons dans la sous-section qui suit. 10

11 2.1.2 Quelques résultats théoriques Une relation binaire sur un ensemble non vide X est un ordre partiel si elle est réflexive, transitive et antisymétrique. Soit X un ensemble partiellement ordonné. Pour tout couple (x, y), on définit le supremum de x et de y de la manière suivante: x y = inf{z X z x, z y}. De même, on définit l infimum de x et de y, comme suit: x y = sup{z X z x, z y}. On dit que l ensemble X est un treillis si, pour tout x, y X, les éléments x y et x y existent et appartiennent également à X. Un sous-ensemble L de X est un sous-treillis s il est également fermé sous les opérateurs et. Définition 1. Une fonction f : X R est supermodulaire si, pour tout t T, et tout couple (x, y) X f(x y, t) + f(x y, t) f(x, t) + f(y, t). Définition 2. Une fonction f : X T R a des différences croissantes en (x, t) si pour tout x x et t t, f(x, t ) f(x, t ) f(x, t) f(x, t). Nous définissons maintenant le concept de jeu à complémentarités stratégiques (ou supermodulaire). Tout au long de cette introduction, nous adoptons pour désigner un jeu (en information complète) les notations suivantes. L ensemble des joueurs est N = {1,..., N} et est indexé par i. L ensemble d action de chaque joueur i est A i. L ensemble des profils d actions est A = Π i N A i. Enfin, la fonction de paiement du joueur i est u i : A R. Définition 3. Un jeu (N, A, u) est supermodulaire si pour tout i: l ensemble A i est un treillis, et, 11

12 la fonction u i est supermodulaire en a i, et a des différences croissantes en (a i, a i ). Le théorème de Topkis (1968), dont une version est donnée ci-dessous est l outil fondamental dans l analyse des jeux supermodulaires. Nous rappelons préalablement deux définitions. Un sous-ensemble C d un treillis est une chaîne si et seulement s il est totalement ordonné. Une fonction f : X R est semi-continue supérieurement si et seulement si, pour toute chaîne C, d une part, lim x X,x inf(c) f(x) f(inf(c)) et, d autre part, lim x X,x sup(c) f(x) f(sup(c)). Théorème 1 (Topkis). Soient X un treillis compact métrique et T un ensemble partiellement ordonné. Soit f : X T R une fonction qui: (a) est supermodulaire et semi-continue supérieurement sur le treillis X pour tout t T, et (b) a des différences croissantes en (x, t). Soit φ(t) = arg max x X f(x, t). Alors: 1. Pour tout t, φ(t) est un sous-treillis compact et non-vide. 2. La correspondance φ est croissante dans le sens où, pour tout t > t, et pour tout couple (x, x ) avec x φ(t) et x φ(t ), on a: x x φ(t ) et x x φ(t). Le théorème de Topkis permet de prouver le théorème suivant dû à Milgrom et Roberts (1990). Théorème 2. Soit (N, A, u) un jeu supermodulaire. Alors, l ensemble des stratégie survivant à l élimination itérée des stratégies strictement dominées a un plus grand et un plus petit élément s et s. De plus, s et s sont des équilibres de Nash. Par conséquent, dans les jeux supermodulaires, il existe toujours un équilibre de Nash en stratégies pures. De plus, si un jeu possède un unique équilibre de Nash, alors il est résoluble par dominance itérée. 12

13 Vives et Van Zandt (2007) ont montré qu il était possible d étendre l argument de Milgrom et Roberts à certains jeux bayésiens. Nous adoptons (en plus des notations cidessus), dans la suite de cette introduction, pour désigner un jeu bayésien les notations suivantes. L espace des états est T = T 0 T 1 T 2... T n où, pour tout i N, T i est l espace de type du joueur i et où T 0 correspond à l incertitude résiduelle. La probabilité à priori sur l espace T est notée P. Pour chaque joueur i, elle permet de définir la fonction de probabilité conditionnelle p i qui à tout type t i associe une distribution sur T i. La fonction de paiement u i du joueur i a pour ensemble de définition A T. Un des résultats prouvés par Van Zandt et Vives est le suivant 2. Théorème 3. Supposons que pour chaque joueur i: 1. La fonction u i est supermodulaire en a i, a des différences croissantes en (a i, a i ) et en (a i, t), et que: 2. p i : T i (T i ) est croissante par rapport à l ordre partiel sur (T i ) de la dominance stochastique d ordre 1. Alors, l ensemble des stratégies survivant à l élimination itérée des stratégies strictement dominées a un plus grand et un plus petit élément s et s qui sont tous deux des équilibres Nash-Bayésiens. De plus, chaque équilibre est en stratégies croissantes. Nous pouvons maintenant présenter les principaux résultats théoriques liés aux jeux globaux. 2 Par souci de simplicité, nous omettons, dans la présentation de ce résultat, certaines hypothèses techniques de continuité et de mesurabilité nécessaires lorsque l espace des actions A ou celui des types T est infini. 13

14 2.2 L argument des jeux globaux Le concept de jeu global a été introduit par Carlsson et Van Damme (1993). Dans ce type de jeux, au lieu de connaître précisément la matrice des paiements, les joueurs observent un signal légèrement bruité. Par ailleurs, on suppose qu il y a, avant l observation des signaux par les agents, une étape "ex ante" où "tous les paiements" sont possibles. Le nom de "jeu global" vient de l idée que, pour comprendre le comportement stratégique d un joueur d un type donné, il faut analyser le jeu "d une manière globale". Nous présentons tout d abord un premier exemple simple qui permet de comprendre le type de raisonnement utilisé dans l analyse des jeux globaux Un premier exemple Cet exemple reprend la matrice de paiement introduite en Section 1 pour présenter le jeu du courrier électronique. A NA A θ,θ θ-1,0 NA 0,θ-1 0,0 Examinons, dans un premier temps, les équilibres de Nash lorsque le paramètre θ est connaissance commune. Si θ < 0, alors l action A est strictement dominée pour chaque joueur, et par conséquent, (NA, NA) est le seul équilibre de Nash du jeu. Inversement, si θ > 1, NA est une action strictement dominée et (A, A) constitue l unique équilibre de Nash du jeu. Enfin, lorsque θ appartient à l intervalle [0, 1], il y a deux équilibres de Nash stricts (un où les deux joueurs attaquent, et l autre où aucun joueur n attaque) et un équilibre de Nash mixte. 14

15 Supposons maintenant que les joueurs n observent pas directement θ. Plus précisément, on s intéresse au jeu en information incomplète suivant. On suppose que chaque joueur croit que θ est uniformément distribué sur le segment [ L, 1 + L] où L est un réel strictement positif. De plus, chaque joueur i reçoit un signal x i = θ + νε i, où chaque variable de bruit ε i suit une loi de densité f dont le support est [ 1, 1], les variables ε i et ε j étant indépendantes. On suppose que l espérance du bruit est nulle. Le facteur d échelle ν est choisi strictement inférieur à L et indique le "niveau" du bruit et est strictement inférieur à L. Dans ce jeu "global", une stratégie pure est une fonction s i : [ L ν, 1 + L + ν] {A, NA}. Supposons maintenant que le joueur 1 est sûr que le joueur 2 va suivre une stratégie "à seuil" où il choisit A si et seulement s il reçoit un signal supérieur à k. L espérance du bruit étant nulle, la valeur espérée que le joueur 1 attribue à θ est précisément égale à la valeur de son signal x 1. Le paiement espéré de l action A est donc pour lui: x 1 p(x 1, k), (1) où p(x 1, k) est la probabilité que le joueur 2 reçoive un signal inférieur à k lorsque le joueur 1 reçoit le signal x 1. Notons que cette probabilité est strictement décroissante avec x 1. Soit b(k) l unique valeur de x 1 telle que l expression (1) est égale à zéro. La meilleure réponse de l agent 1 consiste à suivre la stratégie à seuil associée à b(k) et pour que la stratégie associée au seuil k corresponde à un équilibre symétrique, on doit avoir: b(k) = k. Observons que, lorsque x 1 est strictement négatif, l action NA est strictement dominante pour le joueur 1, et que, lorsque x 1 est strictement supérieur à 1, l action A est strictement dominante pour ce même joueur. On en déduit que, pour que la stratégie associée au seuil k corresponde à un équilibre symétrique à seuil, il est nécessaire que k appartienne à l intervalle [0, 1]. 15

16 Comme le prior est uniformément distribué sur l intervalle [ L, L + 1], on peut vérifier que l on a, pour tout k [0, 1]: p(k, k) = 1/2. Ceci est intuitif: la densité du bruit f étant la même pour les deux joueurs, quand un joueur reçoit le signal k, il n a pas plus de raisons de croire que son adversaire a reçu un signal supérieur au sien qu il n a de raisons de croire que ce dernier a reçu un signal inférieur au sien. Par conséquent, le seul équilibre symétrique à seuil correspond à k = 1/2. En fait, on peut même montrer que ce jeu est résoluble par stricte dominance itérée. En effet, le Théorème 3 présenté dans la sous-section précédente s applique dans notre cadre. Par conséquent, le plus petit profil de stratégie rationalisable de ce jeu est un équilibre en stratégies à seuil. Comme le jeu est symétrique, ce plus petit profil de stratégie rationalisable doit l être également. De même, le plus grand profil de stratégie rationalisable de ce jeu est un équilibre symétrique à seuil. Or nous avons montré que ce jeu possède un unique équilibre symétrique à seuil. L intuition-clé de cette exemple est que, comme le prior est uniforme sur [ L, L + 1] et ν < L, chaque joueur i recevant un signal x i [0, 1] attribue une probabilité de 1/2 à ce que son adversaire reçoive un signal strictement plus élevé et une probabilité de 1/2 à ce que son adversaire reçoive un signal strictement plus faible. Cette propriété est vraie quelque soit le niveau de bruit. Cependant, à la limite, lorsque le bruit tend vers zéro, elle cesse brutalement de l être. En effet, lorsque le facteur ν est égal à zéro, chaque joueur attache une probabilité de 1 au fait que son adversaire reçoit exactement le même signal que lui. Le fait que cette propriété stratégique fondamentale soit perdue dans le jeu dégénéré où l information est complète est à l origine de la multiplicité des équilibres. 16

17 2.2.2 Le résultat de Carlsson et Van Damme (1993) Le résultat de Carlsson et Van Damme (1993) constitue une généralisation de ce que nous venons de montrer dans l exemple qui précède. Carlsson et Van Damme s intéressent à l ensemble des jeux à deux joueurs et deux actions et associent, à la matrice des paiements, un vecteur θ R 8, comme suit: A NA A θ 1,θ 2 θ 3,θ 4 NA θ 5,θ 6 θ 7,θ 8 Il y a, en ce qui concerne les équilibres de Nash du jeu, trois configurations possibles: ou bien, 1) il existe un unique équilibre de Nash où les deux joueurs jouent en stratégies mixtes; ou bien, 2) il existe un unique équilibre de Nash strict où les deux joueurs jouent en stratégies pures; ou bien, 3) il y a deux équilibres de Nash stricts en stratégie pure et un équilibre de Nash mixte. Dans ce dernier cas, Harsanyi et Selten (1988) ont proposé le critère de risque-dominance pour sélectionner un équilibre. Supposons que (A, A) et (B, B) soient des équilibres de Nash stricts du jeu ci-dessus (i.e θ 1 > θ 5, θ 7 > θ 3, θ 2 > θ 4, et θ 8 > θ 6 ). Alors, (A, A) est un équilibre risque-dominant si (θ 1 θ 5 )(θ 2 θ 4 ) > (θ 7 θ 3 )(θ 8 θ 6 ) (2) Remarquons que lorsque le jeu est symétrique (c est-à-dire lorsque: θ 1 = θ 2, θ 7 = θ 8, θ 3 = θ 6, et θ 4 = θ 5 ), la condition de l équation (2) peut se réécrire comme suit: θ 1 + θ 3 > θ 7 + θ 5. (3) 17

18 Autrement dit, lorsqu un joueur attribue une probabilité de 1/2 à ce que son adversaire choisisse l action A et une probabilité de 1/2 à ce qu il choisisse l action NA, il préfère strictement l action A. Génériquement, s il existe deux équilibres de Nash en stratégie pure, un et un seul de ces deux équilibres est risque-dominant. Ainsi, dans l exemple simple présenté en début de section, on peut vérifier que: 1) lorsque θ > 1/2, l équilibre (A, A) est risque-dominant, 2) lorsque θ < 1/2, l équilibre (NA, NA) est risque-dominant, et 3) lorsque θ = 1/2, il n y a pas d équilibre risque-dominant. On considère à présent le jeu en information incomplète G(ν) suivant. Chaque joueur observe un signal x i = θ + νε i où ε i est un terme de bruit de dimension 8 et où ν est strictement positif. On suppose que les variables ε 1 et ε 2 sont indépendantes et ont chacune une distribution de support compact. Une stratégie pour un joueur est une fonction de R 8 dans l ensemble d action {A, NA}. A tout profil de stratégies dans le jeu G(ν) et à toute réalisation du vecteur de paiement θ, on peut associer la distribution des profils d actions dans le jeu (en faisant la moyenne par rapport aux réalisations des signaux). Le résultat de Carlsson et Van Damme concerne ce qui se passe à la limite, lorsque le facteur d échelle ν tend vers zéro, et généralise le résultat présenté en début de section. Théorème 4. Pour toute suite de jeux G(ν k ) où ν k tend vers zéro et toute suite d équilibres dans ces jeux, la distribution moyenne des profils d actions converge vers l unique équilibre de Nash (s il y en a un) ou l équilibre de Nash risque-dominant (s il y en a un) L extension de Frankel, Morris et Pauzner (2003) Le résultat de Carlsson et Van Damme est double. D une part, lorsque le bruit tend vers zéro, il y a une unique stratégie qui survit à l élimination itérée des stratégies strictement 18

19 dominées (résultat d unicité à la limite). D autre part, l action jouée à la limite est indépendante de la structure du bruit qu on ajoute (résultat d indépendance par rapport à la structure de bruit). Dans leur extension du modèle de Carlsson et Van Damme, Frankel, Morris et Pauzner (2003) distinguent le résultat d unicité à la limite et celui d indépendance par rapport au bruit. Frankel, Morris et Pauzner considèrent des jeux à complémentarités stratégiques où l espace des actions de chaque joueur est totalement ordonné. D autre part, au lieu d autoriser tous les profils de paiements possibles, il restreignent leur attention à un espace d états unidimensionnel (comme dans le premier exemple) et ordonné de sorte que, lorsqu un état est plus élevé, l incitation à jouer une action plus élevée est plus grande. Pour que le jeu soit "global" comme celui de Carlsson et Van Damme, ils supposent enfin qu il existe des régions de dominance. Plus précisément, leur modèle est le suivant. Un paramètre de paiement t [0, 1] est tiré aléatoirement selon un prior de densité continue ψ. Chaque joueur reçoit un signal x i = t+νη i, où η i est une variable aléatoire distribuée selon une densité de support [ 1, 1] et 2 2 ν > 0 est un facteur d échelle. Les signaux sont conditionnellement indépendants. L utilité du joueur i lorsque le profil d action a est joué et que le paramètre d état t est réalisé est donné par u i (a, t). Les hypothèses sur les fonctions de paiement sont les suivantes: 1. Continuité: pour chaque joueur i et pour chaque action a A, le paiement du joueur i si le profil a est joué est une fonction continue u i (a, ) de t. 2. Complémentarités Stratégiques: pour chaque joueur i et chaque t [0, 1], la fonction u(, t) a des différences croissantes en (a i, a i ). 3. Monotonicité Stricte: il existe un réel strictement positif K 0 tel que pour tout 19

20 a i, a i, a i avec a i < a i, et t, t [0, 1] avec t < t : u i (a i, a i, t ) u i (a i, a i, t ) > u i (a i, a i, t) u i (a i, a i, t) + K 0 (t t). 4. Régions de Dominance: il existe t > 0 tel que pour chaque joueur i, la fonction de paiement associé à tout paramètre t satisfaisant t < t (resp. t > 1 t) rend l action minimale min A i (resp. l action maximale max A i ) strictement dominante. Sous ces conditions, ils prouvent le résultat d unicité: le jeu possède lorsque le facteur d échelle ν tend vers zéro un unique profil de stratégies rationalisable. En revanche, ils montrent (par un exemple) qu il n est en général pas possible d étendre le résultat d indépendance par rapport à la structure du bruit aux jeux à plus de trois joueurs ou à plus de trois actions et donnent également une condition suffisante pour le résultat d indépendance par rapport à la structure du bruit (voir section 3 sur ce point et mon article "Contagion et Complémentarités Stratégiques"). Dans les jeux 2 2, cette condition correspond au critère de risque-dominance. 2.3 Quelques applications économiques des jeux globaux L approche des jeux globaux a maintenant été utilisée dans un grand nombre de cadres économiques où les complémentarités stratégiques entre les agents jouent un rôle crucial: crises monétaires (Morris et Shin (1998), Heinemann (2000), Corsetti, Dasgupta, Morris et Shin (2004)), "investment spillovers" (Chamley (1999), Dasgupta (2007)), paniques bancaires (Rochet et Vives (2004), Goldstein et Pauzner (2005)), crises de dette (Corsetti, Guimaraes et Roubini (2006), Morris et Shin (2006), et Zwart (2007)), effondrement de liquidité (Morris et Shin (2004)), etc... 20

21 Deux enjeux méthodologiques semblent particulièrement importants pour pouvoir étendre l argument employé dans les jeux globaux à des situations plus complexes: l impact de signaux publics et la modélisation de jeux dynamiques. Des travaux récents (Morris et Shin (2003, 2004), Angeletos et Werning (2006)) ont montré que, lorsque, malgré la présence d un signal public, le jeu possède un unique équilibre, cet équilibre est très sensible au signal public. Ceci est dû au fait que, pour un niveau de précision égal entre signal public et signal privé, le signal public donne, à chaque joueur, une prédiction plus forte sur le comportement (à venir) des autres joueurs. Lorsque le signal public est précis en comparaison du signal privé (et donc joue un rôle important), des problèmes de multiplicité peuvent réapparaître. Malgré cela, des prédictions sont parfois possibles (Angeletos, Hellwig et Pavan (2007a)). Le second article de ma thèse "Politique de communication et complémentarités stratégiques" aborde la question des signaux publics dans les jeux globaux. L étude de jeux globaux dynamiques a fait l objet de plusieurs articles théoriques (Giannitsarou et Toxvaerd (2003), Heidhues et Melissas (2006), Chassang (2007)) ou plus appliqués (Morris et Shin (1999), Abreu et Brunnermeier (2003), Goldstein (2005), Goldstein et Pauzner (2004), Dasgupta (2007)). Là aussi, un enjeu important est de parvenir à réaliser des prédictions malgré l éventuelle multiplicité des équilibres (Angeletos, Hellwig et Pavan (2007b)). 2.4 Contribution de la thèse Deux articles de ma thèse portent sur les jeux globaux. Le premier, intitulé "Jeux Globaux Multidimensionnels" peut être vu comme une extension de l article de Frankel, Morris et Pauzner (2003) (ci-dessous FMP) à un cadre où les signaux et les actions sont multidi- 21

22 mensionnels, ou comme une extension de l article de Carlsson et Van Damme (1993) à un cadre où il y a plus de deux joueurs et plus de deux actions. Le second, intitulé "Politique de Communication et Complémentarités Stratégiques", étudie, en utilisant l argument des jeux globaux pour contourner le problème des équilibres multiples, un problème de révélation d information en situation d information incomplète et en présence de complémentarités stratégiques entre les actions des agents non-informés Jeux globaux multidimensionnels Je précise ici que cet article a été profondément modifié depuis ma soutenance: j ai en effet prouvé et généralisé depuis un résultat qui figurait uniquement à titre de conjecture dans la version présentée dans ma thèse. Mon extension des résultats de Frankel, Morris et Pauzner (2003) et de Carlsson et Van Damme (1993) comporte deux volets. a) Extension à des ensembles d actions multidimensionnels: J utilise les travaux existants sur les jeux supermodulaires (en particulier ceux de Vives et Van Zandt (2007)) pour montrer que le résultat "d unicité à la limite" prouvé par Frankel, Morris et Pauzner est encore valide lorsque les ensembles d action des joueurs sont multidimensionnels si les deux hypothèses suivantes sont vérifiées: 1. Pour chaque joueur i, l ensemble d action A i est un treillis. 2. Pour chaque joueur i, la fonction u i est supermodulaire en a i. b) Extension à un ensemble de paramètres de paiements multidimensionnel Ce volet constitue le coeur du papier. Le cadre est le suivant. Nous considérons un modèle où un paramètre de paiement ˆt est tiré aléatoirement selon une distribution a priori dont la densité ψ est de support R M avec M > 1. Pour tout x R M, on écrit x pour 22

23 la norme euclidienne de x, c est-à-dire: x = M (x m ) 2. Enfin, pour tout µ > 0 et tout x R M, on définit B µ (x) par: 1 B µ (x) = {y R M s.t. x y < µ}. Chaque joueur i reçoit un signal légèrement bruité ˆx i = ˆt + ν ˆη i, où ν > 0 est un facteur d échelle et ˆη i est une variable aléatoire de bruit dont la densité χ i est de support B 1 2 (0). Les signaux des joueurs sont conditionnellement indépendants: les variables η i sont mutuellement indépendantes. L utilité du joueur i lorsque le profil d action a est joué et que le paramètre d état t est réalisé est donné par u i (a, t). Toute fonction θ : [0, 1] R M peut être regardée comme une courbe paramétrée de R M. Toutes nos conditions sont locales. Pour chaque joueur i, nous notons u θ i : A [0, 1] R la fonction qui à tout profil d action a A et à tout paramètre t [0, 1] associe le paiement u i (a, θ(t)). Nous nous intéressons à l ensemble Θ des fonctions satisfaisant les conditions suivantes: 1. Continuité: Il existe un voisinage ouvert dans R M de la courbe associée à θ telle que, pour tout joueur i, la fonction de paiement associée à un paramètre quelconque ˆt appartenant à cet ouvert est continue. 2. Complementarités Stratégiques: Il existe un voisinage ouvert dans R M de la courbe associée à θ telle que, pour tout joueur i, la fonction de paiement associée à un paramètre quelconque ˆt appartenant à cet ouvert est supermodulaire en a i et a des différences croissantes en (a i, a i ). 23

24 3. Monotonicité stricte: Il existe un réel strictement positif K 0 tel que pour tout a i, a i < a i et t, t [0, 1] avec t < t : u θ i (a i a i, a i, t ) u θ i (a i a i, a i, t) > K 0 (t t). 4. Régions de Dominance: Il existe t > 0 tel que pour tout joueur i, la fonction de paiement u θ i (, t) associée à tout paramètre t < t (resp. t > 1 t) rend l action minimale min A i (resp. l action maximale max A i du joueur i strictement dominante. Il faut noter qu à tout θ Θ il est possible d associer un jeu global unidimensionnel "à la FMP". C est l intuition fondamentale de notre généralisation. Cependant, pour définir complètement un jeu global unidimensionnel, il faut définir une structure d information unidimensionnelle. On sait que dans les jeux globaux la forme de la distribution a priori est neutre (sous réserve que la densité associée soit continue): en effet, lorsque le bruit tend vers zéro, pour chaque joueur, tout se passe comme si le prior était uniformément distribué sur le (très) petit intervalle des paramètres de paiement a posteriori possible compte-tenu de son signal. Il reste donc uniquement à définir une densité de bruit unidimensionnelle. L article procède de la manière suivante. Pour tout vecteur unitaire v R M et pour tout réel d, on définit L(v, d) par: L(v, d) = {y R M y.v = d}, où le symbole représente le produit scalaire dans R M. Pour chaque joueur i, et chaque vecteur unitaire v R M, on définit maintenant la fonction de densité φ v i : [ 1, 1] 2 2 R+ comme suit. Pour tout d [ 1, 1 ] est la probabilité

25 que le bruit ˆη i appartienne à l ensemble L(v, d). Plus précisément, soit (v 1,..., v M 1 ) une base orthonormé du complément orthogonal du vecteur v dans R M. On a: φ v i (d) =... χ i (dv + h 1 v h M 1 v M 1)dh M 1... dh 1. A tout vecteur unitaire v R M et à tout facteur de bruit ν > 0, il est donc possible d associer un jeu global unidimensionnel G θ (v, ν) avec un distribution a priori uniforme et une structure de bruit associée à la densité φ v i (d). On sait donc que ce jeu possède une unique stratégie rationalisable s θ (v) lorsque le facteur de bruit tend vers zéro. Notre théorème dit que si la stratégie s θ (v) ne dépend pas de v (autrement dit s il existe une stratégie s θ telle que pour tout vecteur unitaire v RM, on a: s θ (v) = s θ ), alors la stratégie s θ sera joueé en θ dans toutes les stratégies rationalisables du jeu global multidimensionnel Ĝ(ν) initial lorsque ν tend vers zéro. Ce résultat a deux applications principales. D une part, supposons que, pour chaque joueur, la densité du bruit χ i dépend uniquement de la norme du bruit et non de la direction de celui-ci. Alors, la structure de bruit du jeu unidimensionnel associé à θ ne dépend pas du vecteur unitaire v R M choisi et donc il existe bien une stratégie s θ telle que s θ (v) = s θ pour tout v. D autre part, si θ est tel qu il existe une stratégie sélectionnée indépendamment de la structure du bruit dans le jeu global unidimensionnel correspondant à θ, la condition écrite plus haute est également vérifieée. C est le cas en particulier si le jeu global unidimensionnel possède une stratégie robuste (pour les liens entre sélection indépendante du bruit et robustesse, voir le quatrième article de ma thèse: "contagion et complémentarités stratégiques"). Comme dans un jeu 2 2 la stratégie qui consiste à jouer l action risque-dominante est robuste, ce résultat constitue donc une généralisation du résultat de Carlsson et Van Damme (1993). 25

26 La technique de preuve de ce résultat combine un argument de translation et un argument de type géométrique. Ce résultat devrait permettre d étendre la technique des jeux globaux à un ensemble plus large d applications. Je pense que ce résultat montre également la robustesse de l approche de Frankel, Morris et Pauzner, l hypothèse d indépendance par rapport à la direction du bruit semblant assez réaliste. Il est intéressant de noter qu il établit aussi qu une approche "locale" des jeux globaux est possible: toutes nos conditions sont locales (c est-à-dire portent sur un voisinage de θ.) Politique de communication et complémentarités stratégiques Le second article de ma thèse utilise l argument des jeux globaux pour s interroger sur le niveau de transparence optimal dans une politique de communication. Dans cet article, je cherche à analyser la manière dont s articulent trois critères qui semblent essentiels dans la détermination du niveau de transparence optimal d une politique de communication: 1) L information dont dispose l agent économique lui est-elle favorable, "toutes choses étant égales par ailleurs", ou non? 2) Quel impact son choix (concernant le niveau de transparence de sa politique de communication) aura-t-il sur la manière dont les agents vont se coordonner entre eux? 3) Quel impact son choix aura-t-il sur les anticipations de chaque agent sur les actions (à venir) des autres agents? Commentons brièvement ces trois critères. Dans les cadres (stylisés) où seul le premier critère importe, il est possible de réduire l ensemble des agents à un unique agent représentatif et le choix de l opacité constitue un signal négatif sur l information dont dispose l agent informé. Milgrom (1981) et Grossman (1981) ont prouvé, dans ce cadre, un résultat connu sous le nom d unraveling result. Ce résultat dit en substance que si l agent informé dispose d une technologie de communication gratuite, fiable et arbitrairement pré- 26

27 cise, alors il choisira systématiquement la transparence, que cette information soit bonne ou mauvaise. Néanmoins, il n est vrai que si l agent informé connaît précisément la valeur du fondamental pour les agents non-informés. Si, au contraire, l agent informé ne sait pas exactement quel signal sera envoyé aux agents s il choisit la transparence, son choix de politique de communication peut avoir un impact sur la manière dont les agents se coordonnent entre eux, et donc sur la dispersion et la volatilité des actions des agents. J appelle cet impact "effet variance". A cause de "l effet variance", l agent informé peut avoir intérêt à choisir l opacité s il reçoit un signal élevé et le raisonnement qui permet l unraveling result n est plus nécessairement valide. Enfin, en ce qui concerne le troisième critère, on sait que la question de la "gestion des anticipations" est cruciale en présence de complémentarités stratégiques. Mais, à cause du problème des équilibres multiples, l impact de cette troisième dimension sur le choix de l agent informé est difficile à analyser. J utilise la méthode des jeux globaux pour contourner ce problème et je montre que l impact du second critère (i.e. celui lié à "l effet variance") sur le niveau de transparence choisi dépend crucialement de la présence (et de la force) des complémentarités stratégiques (en raison du troisième critère). Plus précisément, en l absence de complémentarités stratégiques, lorsque le coût lié à la transparence augmente, la probabilité ex ante que la transparence soit choisie par l agent informé diminue. En revanche, lorsque les complémentarités stratégiques sont suffisamment fortes et que le coût lié à la transparence (à cause de l effet variance) est suffisamment élevé, une augmentation supplémentaire de ce coût peut entraîner une augmentation de la probabilité ex ante que l agent informé choisisse la transparence. L idée de ce résultat contre-intuitif est que, lorsque la transparence est plus coûteuse, le signal que l agent informé envoie, lorsqu il la choisit, à chaque agent, sur les actions que vont choisir les autres agents, est plus fort. Par conséquent, sa capacité 27

28 à influencer, par ce choix, les anticipations des agents, en d autres termes, son pouvoir de coordination est plus grand. Je présente maintenant une deuxième variation théorique sur le thème du courrier électronique. Les concepts qui sont abordés dans la Section 3 qui suit sont utilisés dans deux articles de ma thèse: "Jeux Globaux Multidimensionnels" et "Contagion dans les Jeux à Complémentarités Stratégiques". 3 La robustesse à l information incomplète 3.1 Motivation Kajii et Morris (1997) proposent un test dont l objectif est de vérifier la robustesse d un modèle en information complète à un grain d information incomplète. L idée économique qui est à l origine de ce test est la suivante. Imaginons qu un économiste s intéresse à une situation particulière et la modélise, pour des raisons de tractabilité, sous la forme d un jeu en information complète. Imaginons également qu il pense qu avec une probabilité (ex ante) très élevée, les paiements des agents correspondent effectivement aux paiements du jeu, que chaque agent connaît son paiement, et sait que chaque agent le connaît,...etc, cela jusqu à un ordre très élevé également (mais fini). (En ce sens, son modèle "correspond" bien à la réalité.) Néanmoins, cet économiste n est pas complètement certain que sa modélisation est correcte. En particulier, il n exclut pas que le vrai jeu est un jeu en information incomplète. Il n exclut pas non plus qu avec une probabilité ex ante extrêmement faible, les paiements des agents soient différents (et même très différents) de ceux donnés par son modèle. Un équilibre (de Nash) du jeu G est robuste à l information incomplète si dans tout jeu "proche" de G, il existe un équilibre (Nash-Bayésien) "proche" de l équilibre en 28

29 question. Afin d illustrer cette idée, reprenons l exemple qui nous sert de fil conducteur. A NA A θ,θ θ-1,0 NA 0,θ-1 0,0 Supposons que le modélisateur croit (mais sans en être "complètement sûr") que la "situation économique réelle" correspond à un jeu en information complète où la valeur du paramètre θ est 2/5. Si l on suit la logique de Kajii et Morris, il ne peut pas exclure complètement que le "vrai jeu" soit un jeu en information incomplète où, avec une probabilité ex ante très faible, le paramètre θ peut (par exemple) prendre la valeur -2/5. On peut choisir dans la construction de Rubinstein une valeur aussi élevée qu on le souhaite pour le paramètre p (qui donne la probabilité ex ante de l événement θ = 2/5) à partir du moment où ε est suffisamment faible pour que l inégalité: pε < 1 p soit vérifiée. Dans ce cas, quelque soit le nombre de messages envoyés ou reçus par les ordinateurs des deux joueurs, ce sera le profil d action NA qui sera joué. Lorsque p est très proche de 1, le jeu construit par Rubinstein est très proche du jeu en information complète associé à θ = 2/5. Par conséquent, l équilibre de Nash (A, A) n est pas "robuste à l information incomplète" selon le test de Kajii et Morris. 3.2 Definition Présentons maintenant d une manière plus formelle ce test. Soit G un jeu en information complète. Notons T G l ensemble des types tels que: (a) les paiements pour chaque joueur sont les mêmes que dans le jeu G et (b) chaque joueur sait ses paiements. On définit, 29