1 Introduction COMPORTEMENT MECANIQUE D UNE AUBE DE TURBINE MONOCRISTALLINE

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1 COMPORTEMENT MECANIQUE D UNE AUBE DE TURBINE MONOCRISTALLINE Introduction. Aubes de turbines et monocristaux Les aubes de turbines de la partie chaude des moteurs d avion sont soumises à de sévères sollicitations thermo mécaniques. La rotation du disque de turbine est à l origine d une force centrifuge qui engendre des contraintes radiales importantes dans l aube. Les températures subies par l aube peuvent atteindre C localement. D autre part, l aube est refroidie grâce à un flux d air plus froid circulant dans un réseau complexe de microcanalisations dans la pièce. Il existe donc un gradient important de température entre l intérieur et l extérieur de la paroi de l aube. En conséquence, l état de contrainte local devient complexe et fortement multiaxial. Les alliages métalliques les mieux adaptés pour faire face à de telles conditions sont les superalliages à base de nickel. Pour l application aube de turbine, la structure monocristalline s est avérée la mieux adaptée pour résister au fluage. L aube présentée sur la figure est un monocristal cubique à faces centrées. L objectif du problème est d étudier la réponse élastoplastique d un monocristal simplifié (monocristal plan) à diverses sollicitations représentatives de ce que voit une aube de turbine. On analysera successivement la traction et les chargements multiaxiaux.. Définition du monocristal plan et notations Les vecteurs sont soulignés et les tenseurs d ordre ont un tilde en dessous. On distingue deux repères : le repère de travail (X, X ) associé à la pièce étudiée et un repère dit cristallographique attaché à deux directions orthogonales particulières et du monocristal. Sur la figure 3, le monocristal plan est représenté par un carré sur lequel on a tracé quelques directions privilégiées. On suppose dans la suite que les directions et du monocristal coïncident respectivement avec les directions X et X. En conséquence toutes les composantes de vecteurs et de tenseurs seront données dans ce repère commun. Un système de glissement est caractérisé par la donnée d un plan de glissement de normale n et d une direction de glissement l. Dans le cas du monocristal plan, on tiendra compte des 3 systèmes de glissement suivants : n = n = l = n 3 =, l =, l = n =, l 3 = () () (3) La cission résolue τ s sur le système s, est alors la contrainte s appliquant sur le plan de glissement dans la direction de glissement : Le tenseur des contraintes est noté σ. τ s = l s.(σ.n s ) = l s.σ.n s = l s i σ ij n s j (4)

2 Fig. Aube de turbine monocristalline multiperforée (source SNECMA). La hauteur de la pièce est de cm. Les trous sont destinés à laisser circuler une flux d air froid pour refroidir l aube qui reçoit le flux des gaz de combustion. Comportement élastoplastique du monocristal plan Le critère de plasticité permettant de dire si un système de glissement s s active ou non est la loi de Schmid. Le système s est dit activé si la cission résolue τ s atteint une valeur critique τ s c. La fonction de charge s écrit donc pour le système s : f s (σ ) = τ s τ s c (5) On suppose que la cission résolue critique initiale est identique pour les 3 systèmes considérés.. Limite d élasticité en traction simple On réalise un essai de traction dans une direction t faisant un angle θ avec la direction X : cos θ t = sin θ (6) Donner les composantes du tenseur des contraintes dans le repère (X, X ). On pourra utiliser le fait que le tenseur de contrainte de traction dans une direction t est défini comme : σ = σ t t (7) où σ est la contrainte dans la direction de traction. Quels sont les systèmes actifs en traction selon l angle θ? Calculer alors la limite d élasticité σ Y en fonction de θ et de τ c. Pour quelle(s) orientation(s) la limite d élasticité est elle la plus forte?

3 tauet(x) tau3(x) Fig. Valeur absolue des cissions résolues normalisées par σ/ pour les trois systèmes de glissement pour un monocristal plan en traction simple. Le tenseur des contraintes de traction se met sous la forme σ = σt t = cos θe e + sin θe e + sin θ cos θ(e e + e e ) On calcule successivement les cissions résolues sur les 3 systèmes de glissement : τ = σ(t l )(t n ) = σ cos θ τ = σ(t l )(t n ) = σ cos θ τ 3 = σ(t l 3 )(t n 3 ) = σ sin θ La courbe de la figure montre que les systèmes et sont simultanément actifs pour θ [ : π/8] [3π/8 : π/]. Le système 3 est actif pour θ [π/8 : 3π/8]. La limite d élasticité vaut alors σ Y = τ c cos θ ou σ Y = τ c sin θ Elle est maximale en θ = π/8 ou 3π/8 et vaut alors 4τ c /.. Surface de charge en traction/compression/cisaillement On soumet le monocristal à l état de contraintes de traction/cisaillement combinés suivant : σ σ = σ σ (8) Tracer la surface limite du domaine d élasticité dans le plan (σ, σ ). Pour cela on tracera la frontière de ce domaine pour chaque système de glissement indépendant. Le domaine d élasticité du monocristal est alors l intersection des domaines d élasticité pour chaque système.

4 Fig. 3 Monocristal plan représenté par un carré avec les directions l, l et le vecteur normal n 3 caractérisant les systèmes de glissement. Le repère cartésien de travail est désigné par les axes X et X. On calcule successivement les trois cissions résolues sur chaque systèmes de glissement : τ, = σ /, τ 3 = σ Le domaine d élasticité dans le plan σ, σ est donc un rectangle de largeur τ c et de longueur 4τ c..3 Surface de charge en traction/compression biaxiale On soumet le monocristal à l état de contraintes de traction/compression biaxiale suivant : σ σ = σ (9) Déterminer et tracer le domaine d élasticité du monocristal dans le plan (σ, σ ). Justifier que le domaine obtenu est non borné. Les cissions résolues correspondantes sont τ, = σ σ, τ 3 = Le système 3 ne peut être activé dans ces conditions. Il s ensuit que le domaine d élasticité dans le plan σ, σ est bande délimitée par les droites parallèles d équations σ σ τ c = et σ σ + τ c =.

5 3. Mécanismes d écrouissage dans les métaux monocristallins Données pour le nickel : Vecteur de Burgers b=.5 - m ; Module de cisaillement µ=8 GPa 3. On reprend le cas de la traction simple de la question. pour étudier l écrouissage du matériau. On suppose que l aube monocristalline est un alliage à base de nickel sans précipités (ce qui est faux dans la réalité). 3.. On se place tout d abord dans le cas d un chargement en traction uniaxiale lorsque θ = π Rappelez le nombre et quel(s) système(s) s activent dans ce cas. Indiquez quels sont les types d obstacles que rencontreront les dislocations. Seul le système 3 s active. Etant donné qu un seul système s active, que le matériau étudié est un monocristal et que l on suppose qu il n y a pas de précipités, les deux seuls obstacles au mouvement des dislocations sont : le frottement de réseau et les interactions à longue distance entre les dislocations du système activé (on peut avoir quelques interactions à courte distance entre les dislocations mobiles du système activé et les dislocations immobiles des autres systèmes non activés) On suppose que le système actif est le système 3 (voir paragraphe.) qui a pour plan de glissement le plan n 3 = e et comme direction de glissement l 3 = e. Ce système de glissement contient deux dislocations vis et une dislocation coin. a. Tracez sur un schéma le plan de glissement et placer une dislocation vis, puis une dislocation coin, leurs vecteurs de Bürgers b coin et b vis respectifs et leurs vecteurs glissements g coin et g vis respectifs. On supposera que les dislocations sont rectilignes et infinies c'est-à-dire que leur ligne s étend de part et d autre du plan. Pour faire le tracé des dislocations, il est plus simple de se placer dans le plan de glissement, c est-à-dire le plan (e, e 3 ) x 3 b coin =b vis Dislocation vis g vis g coin Dislocation coin x

6 b. Calculez la force de Peach & Kohler (par unité de longueur) exercée par le tenseur des contraintes appliquées sur la dislocation vis. L expression de la force de Peach & Kohler par unité de longueur de la ligne de dislocation est : avec f = σ. b vis l vis σ = σ, b b vis = l vis = d où f = σb = σb e 3 (la force est bien perpendiculaire à la ligne de dislocation) c. On relâche le chargement. On considère les deux dislocations vis. On s intéresse à une des deux dislocations vis (appelée dislocation vis N ). On cherche à comprendre l interaction qu elle génère sur l autre dislocation vis (appelée dislocation vis N ). Calculez la force de Peach & Kohler que fait subir la dislocation vis N à la dislocation vis N. Conclure sur le mouvement des deux dislocations vis l une par rapport à l autre. Pour faciliter la visualisation, on se place maintenant dans le plan (e, e 3 ) (perpendiculaire aux dislocations vis) et dans le repère (e r, e θ, e ) x 3 Dislocation N Dislocation N x Dans le repère (e r, e θ, e ) b visn = b visn = et l visn = l visn = b Le champ de contrainte générée par la dislocation vis N vaut

7 σ vis N = σ θz avec σ θz = μb visn πr σ θz = μb πr La force de Peach & Kohler par unité de longueur que fait subir la dislocation vis N à la dislocation vis N vaut : f = σ vis N. b visn l visn f = σ θz. be θ l visn f = μb πr e r Les deux dislocations vis ont le même vecteur de Burgers (même signe), elles se repoussent puisque f est positif. 3.. On se place maintenant dans le cas d un chargement en traction uniaxiale avec θ = π. La densité de dislocation après une déformation de % est ρ= -4 m Rappelez le nombre et quel(s) système(s) s activeront dans ce cas. Les types d obstacles que rencontreront les dislocations sont-ils exactement identiques au cas précédent (paragraphe 3...)? Quel en est la conséquence la courbe contrainte-déformation du monocristal? Dans le cas d un chargement en traction uniaxiale avec θ = π, deux systèmes s activent : les systèmes et. En plus des obstacles cités au paragraphe 3..., les dislocations du système rencontreront très fréquemment des dislocations du système (et réciproquement) donnant lieu à des interactions entre dislocations à courte distance et à un écrouissage supplémentaire appelé durcissement par les dislocations forêt. La pente de la courbe contrainte-déformation du monocristal augmente alors fortement, c est le stade II Estimez par calcul la contribution à la cission critique après déformation de ce mécanisme d écrouissage additionnel. La contribution du mécanisme de durcissement par les dislocations forêt à la cission critique vaut : τ forêt = μb 3 ρ Selon l énoncé : soit τ forêt = 59 MPa µ = 8 GPa ; b =.5 m ; ρ = 4 m

8 3. Dans la réalité, les superalliages monocristallins base nickel contiennent des précipités comme illustré sur la figure Expliquez pourquoi ces précipités ont été introduits. Les précipités ont été introduits pour augmenter la cission critique du matériau. Ils gênent le mouvement des dislocations et ainsi durcissent le matériau La fraction volumique de précipités de %. En observant la figure 3., indiquez par quel mécanisme les précipités sont franchis par les dislocations. En déduire (calculez) la contribution des précipités à la cission critique. Cette contribution au durcissement vous semble- t-elle importante (justifier la réponse)? Figure 3. : Micrographie de microscopie électronique à transmission d un alliage base nickel monocristallin contenant des précipités sphériques. La micrographie a été prise sur une éprouvette sollicitée à 6 MPa et 8 C (de Zhang Y-H, Knowles D., Interim Report /AT9, UTC, Department of Materials Science and Metallurgy, Cambridge University, UK, ) La figure 3. montre que les dislocations franchissent les précipités par le mécanisme d Orowan encore appelé le mécanisme de contournement.

9 La contribution de ce mécanisme à la cission critique vaut τ Orowan = μb f v π R où R est le rayon moyen des précipités et f v la fraction volumique de précipités (f v =. d après l énoncé). D après la micrographie, on peut estimer le rayon moyen des précipités R 5 nm) On trouve alors τ Orowan 4 MPa Cette contribution à la cission critique est la plus forte en comparaison avec celle des autres mécanismes de durcissement et est proche de la contrainte appliquée de 6 MPa.