Le sens électrique chez les poissons

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Cécile Gaudet
il y a 10 ans
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1 Le sens électrique chez les poissons Thomas Boulier École Normale Supérieure, Paris. Maths en mouvement, Université Paris-Descartes, 5 juin 23.

2 Les poissons électriques : fortement vs faiblement Anguille électrique 5V Poisson couteau mv

3 Géographie, taxonomie

4 Électro-localisation active Isopotentiels du champ électrique émis.

5 Électro-localisation active : études comportementales (Von der Emde, et al. Electric fish measure distance in the dark. Nature, 998). Identification: distance, taille, géométrie, conductivité σ, permittivité ε.

6 Applications Robotique sous-marine Imagerie médicale

7 Sommaire Modèle mathématique pour le calcul du champ électrique Équations Simulations numériques Identification d une cible Polarisabilité d un objet Identification à partir d une base de données

8 Sommaire Modèle mathématique pour le calcul du champ électrique Équations Simulations numériques Identification d une cible Polarisabilité d un objet Identification à partir d une base de données

9 Modèle mathématique Champ électrique émis (en l absence d objet) : E

10 Modèle mathématique Champ électrique émis (en l absence d objet) : E Champ électrique mesuré : E

11 Modèle mathématique Champ électrique émis (en l absence d objet) : E Champ électrique mesuré : E Problème :connaissant(e E ) ν sur Ω, déterminer l anomalie D (localisation, identification, traçabilité).

12 Équations aux dérivées partielles Équations de Maxwell : Loi d Ohm (forme locale) : E = ρ ε B = E = iωb B = µ (j s + j i + iωεe) j i = σe

13 Modèle approché Ω λ L Approximation quasi-electrostatique Avec une fréquence ω khz on a une très grande longueur d onde λ := ω εµ 3km L = m (taille du poisson). On néglige donc la propagation des ondes EM. = Il existe un potentiel électrique u tel que E = u.

14 Modèle approché Conditions au bord En prenant l eau comme référence (σ.s m ), le corps est très conducteur (σ b = S m ), et la peau est très fine (δ µm) et très résistive (σ s 4 S m ). = Conditions d impédance à travers la peau.

15 Modèle approché Théorème Si δ est suffisamment petit et σ b est suffisamment grand, alors le potentiel électrique u est proche de la solution du système : u = f, x Ω, (σ + iεω) u =, x Ω c, u ν =, x Ω, [u] ξ u ν =, x Ω, + où ξ := δσ /σ s est appelée épaisseur effective. (Preuve utilise des techniques de potentiels de couche, cf. Zribi 25, Lanza de Cristoforis & Rossi 24.)

c, u ν =, x Ω, [u] ξ u ν =, x Ω, + où ξ := δσ /σ s est appelée épaisseur effective.

16 Sommaire Modèle mathématique pour le calcul du champ électrique Équations Simulations numériques Identification d une cible Polarisabilité d un objet Identification à partir d une base de données

17 Simulations numériques x i x i x i+ f (x i ) f (x i+) f (x i ) x i+ x i. Simulation numérique = discrétisation des équations. Ici, Éléments Finis de Frontières.

18 Simulations numériques Exemple :poissondeformeellipsoïdeetanomalie D = z + δb de conductivité σ et de permittivité ε Sans anomalie. Avec anomalie. (ξ = ). (σ =, ε = ). 2

conductivité σ et de permittivité ε..8 2.8 2.6.5.6.5.4.4.2.2.5.5.8.8.6.4.5.6.4.5.2.2.2.5.2.5 2.

19 Sommaire Modèle mathématique pour le calcul du champ électrique Équations Simulations numériques Identification d une cible Polarisabilité d un objet Identification à partir d une base de données

20 Dipôle électrique Solution fondamentale : G(x)=δ (x) = G(x)= 2π log x. 2. Une charge +δ placée en z et une charge δ placée en z + δp. 3. Potentiel électrique dipolaire : p G(x z).

21 Tenseur de polarisation Potentiel électrique émis U, 2. Objet D = z + δb de conductivité k, potentielélectriqueu, 3. Dipôle électrique équivalent : u(x) U(x) p G(x z), avec p = M(k,D) U(z) Tenseur de polarisation (cf. Ammari-Kang, Polarization and Moment Tensors, 27)

22 Sommaire Modèle mathématique pour le calcul du champ électrique Équations Simulations numériques Identification d une cible Polarisabilité d un objet Identification à partir d une base de données

23 Base de données d objets.5?

24 Utilisation du mouvement et des différentes fréquences = Extraction des dipôles électriques multifréquentiels équivalents {p(ω n )} n.

25 Base de données de dipôles multifréquentiels {p (ω n )} n {p 2 (ω n )} n {p 3 (ω n )} n {p 4 (ω n )} n {p 5 (ω n )} n {p 6 (ω n )} n {p 7 (ω n )} n {p 8 (ω n )} n

26 Résultats % 9% 8% Probability of detection 7% 6% 5% 4% Ellipse 3% Disk A 2% E Square Rectangle % Triangle Different ellipse % % 5% % 5% 2% 25% 3% 35% 4% 45% 5% Strength of noise

27 Conclusion Àvenir: Prise en compte de la turbidité de l eau, Application à la robotique sous-marine (École des Mines de Nantes).

28 Conclusion «L essence des mathématiques, c est la liberté.» Georg Cantor Équations aux dérivées partielles, Simulations numériques, Algorithmes d apprentissage statistique.

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