Identités remarquables
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- Martial Damours
- il y a 6 ans
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1 Identités remarquables Objectifs : Établir les formules des trois identités remarquables. Travailler sur les formules à partir d exercices. Travailler sur des exercices d application utilisant les identités remarquables comme outil de résolution. Situations : Triplets pythagoriciens : introduction et motivation des formules. Le travail sur des entiers positifs justifie l existence de deux formules différentes pour la somme et la différence. Considération géométrique. Visualisation d un calcul d aire. Programme de troisième : 2. Nombres et Calculs La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) a les mêmes objectifs que dans les classes antérieures : - maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées ; - acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres ; - réflexion et initiative dans le choix de l écriture appropriée d un nombre suivant la situation. Pour le calcul littéral, l un des objectifs visés est qu il prenne sa place dans les moyens d expression des élèves, à côté de la langue usuelle, de l emploi des nombres ou des représentations graphiques. C est en développant notamment des activités où le calcul littéral présente du sens et où il reste simple à effectuer que l on amène l élève à recourir à l écriture algébrique lorsqu elle est pertinente. connaissances capacités commentaires - Connaître les identités: Dans le cadre du socle commun, les élèves (a + b)(a b) = a2 b2 connaissent l existence des identités remarquables et Identités (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 doivent savoir les utiliser pour calculer une expression remarquables. (a b)2 = a2 2ab + b2 numérique mais aucune mémorisation des formules - Les utiliser dans les deux sens sur des n est exigée. exemples numériques ou littéraux simples. 1
2 Progression Activité 1 : Pythagore de Samos : quelques repères historiques Objectifs : o Réactiver les savoirs relatifs au théorème de Pythagore. o Replacer l enseignement des mathématiques dans une perspective historique. o Construire un lien entre le domaine géométrique et le domaine arithmétique grâce à l introduction de l objet triplet pythagoricien. Fiches élèves à compléter. Acticité 2 : Les triplets pythagoriciens Objectifs : o Exploration de la notion. o Construction d exemples. o Utilisation de l outil informatique. o Dénombrement. Fiche élève à compléter. Fichier tableur. Activité 3 : Décomposition des triplets pythagoriciens Objectifs : o Établir des formules. o Notion de paramètre. o Démontrer les formules. o Identités remarquables carrés de sommes et de différences d entiers positifs. Fiche élève à compléter Synthèse / institutionnalisation. Tableur : triplets pythagoriciens. Exercices Activité 4 : étude géométrique de a² - b² Objectifs : o Établir l identité remarquable sur la différence de deux carrés. o Conjecturer Argumenter Expérimenter Démontrer. Fiche élève étude géométrique. Fiche élève carré d entiers consécutifs Synthèse identités remarquables Exercices. 2
3 Lencer : Cc-by-sa-3.0 Pythagore de Samos Pythagore est un philosophe grec, présocratique. Il est né au environ de 580 av. J.-C sur l ile de Samos et mort vers 495 av. J.-C dans la colonie grecque d Italie de Métaponte. Son nom est associé aux mathématiques, à la philosophie et aux sciences. Copyright : GFDL Théorème de Pythagore : Réciproque du théorème de Pythagore : Plimpton 322 : Plimpton 322 est une tablette d argile babylonienne datant probablement du XVIII e siècle av. J.-C. Elle fait partie des quelques milliers de tablettes offrant un contenu mathématique, parmi les exhumées en deux cents ans de recherches archéologiques Sur cette tablette, sont inscrits, en trois colonnes, des triplets de nombres entiers (a, b, c) vérifiant la propriété suivante : a² + b² = c² De tels triplets s appellent des triplets pythagoriciens. Peut-on trouver une justification à cette appellation? Domaine public. 3
4 Les triplets pythagoriciens Le (3 ;4 ;5) : À l aide d un compas tracer un point C tel que : AC = 4 cm et BC = 3 cm. Vérifier que le triangle ABC est rectangle en C. Démontrer que le triangle ABC est rectangke en C. A B.. Vérifier que (28 ; 45 ; 53) est un triplet pythagoricien :. Compléter les triplets pythagoriciens suivants en trouvant le nombre c : (5 ;12 ; c ) : (8 ;15 ; c ) : (9 ;40 ; c ) : Trouver un nouveau triplet pythagoricien (a, b, c) : Y-a-t-il un nombre infini de triplets pythagoriciens? Ouvrir le fichier tableur triplets (1). Combien y a-t-il de triplets pythagoriciens (a, b, c) tels que a et b soient inférieurs à 10? Combien y a-t-il de couples (a, b) tels que a et b soient inférieurs à 10? Combien y a-t-il de couples (a, b) tels que a et b soient inférieurs à 100? 4
5 Décomposition des triplets pythagoriciens Pour chaque triplet pythagoricien (a ;b ;c), écrire le nombre c sous la forme de la somme de deux carrés. c = u² + v² en choisissant u > v Triplet Décomposition de c u v 2uv u² - v² (3 ;4 ;5) c = 5 = = 1² + 2² 2 1 (6 ;8 ;10) (28 ; 45 ; 53) (5 ;12 ;13) (8 ;15 ;17) (9 ;40 ;41) Pour chaque couple (u ;v) trouvé, calculer 2uv et u² - v². Compléter les deux dernières colonnes du tableau. Choisir de nombres entiers u et v tels que u > v : u = v = Vérifier que (2uv ; u² - v² ; u² + v²) est un triplet pythagoricien. Compléter le tableau suivant : u v a b c Ouvrir le fichier tableur triplets (2) et trouver un nouvel exemple de triplet pythagoricien : Y-a-t-il un nombre infini de triplets pythagoriciens? 5
6 Exercices : Exercice : calcul réfléchi Table des carrés : Nombre Carré Nombre Carré Effectuer, sans utiliser de calculatrice, les calculs suivants : 13² =.. 14² =.. 31² =.. 19² =.. 25² =.. 63² =.. Exercice : Un architecte veut construire une maison sans étage de 208 m² composée de deux surfaces carrées. Le grand salon est rectangulaire doit faire 58 m² ; sa longueur et sa largeur sont chacune composée par l un des côtés des deux carrés. Quelle va être la longueur de la maison? 6
7 Exercice : A B Exprimer l aire de chacun des deux carrés hachurés en fonction de a et b. a Exprimer l aire des deux rectangles blancs en fonction de a et b Exprimer l aire du carré ABCD est fonction de (a + b) D b C Conclusion :. A B BC = a CE = b Conclusion : (a b)² b² D E C 7
8 Étude géométrique de a² - b² E D a² b² F G a² - b² C A B Exprimer la longueur AB en fonction de a et de b : Exprimer la longueur BC en fonction de b : Exprimer la longueur DE en fonction de a : Exprimer les aires des rectangles ABCG et CDEF en fonction de a et de b : Factoriser l expression : a (a b) + b (a b) =. Exercice : Montrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à leur somme : 8
AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
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