Exemple: Analyse élastique d'un portique simple en PRS

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1 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Exemple: Analse élastique d'un portique simple en PRS et exemple présente le calcul d'un portique simple abriqué à partir de Proilés Reconstitués par Soudage (PRS), selon l'e et exemple d'application comprend l'analse élastique de la structure au premier ordre, et toutes les vériications des barres sur la base des caractéristiques eicaces des sections transversales (lasse 4). 5,988 α 7,0 7,0 7,00 0,00 [m]. Données de base Longueur totale : b 7,00 m Espacement : s 7,0 m Portée : d 0,00 m Hauteur au aîtage : h 7,0 m Pente de la toiture : α 5,0,00,00,00,00,00,99,00 : aintiens assurés par des bracons

2 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006. harges harges permanentes Poids propre de la poutre E 99-- ouverture avec pannes G 0,0 k/m pour un portique courant : G 0,0 7,0,6 k/m harge de neige E 99-- Valeur caractéristique de la charge de neige sur la toiture en k/m S 0,8,0,0 0,77 0,68 k/m² pour un portique courant : S 0,68 7,0 4,45 k/m

3 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 s 4,45 k/m α 7,0 0,00 [m] Action du vent E Valeurs caractéristiques en k/m de la charge de vent pour un portique courant G: w 9,8 H: w 5,5 J: w 5,5 I: w 5,5 D: w 4,59 E: w,8 7,0 e/,46,46 0,00 [m]

4 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 4 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS. ombinaisons oeicients partiels Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 E 990 Gmax,5 (harges permanentes) Gmin,0 (harges permanentes) Q,50 (harges variables) ψ 0 0,50 (neige) E 990 Tableau A. ψ 0 0,60 (vent) 0,0,0 ombinaisons ELU E 990 ombinaison : ombinaison : ombinaison : ombinaison 4 : ombinaison 5 : ombinaison 6 : Gmax G + Q S Gmin G + Q W Gmax G + Q S + Q ψ 0 W Gmin G + Q S + Q ψ 0 W Gmax G + Q ψ 0 S + Q W Gmin G + Q ψ 0 S + Q W ombinaisons ELS E 990 ombinaison 0 ombinaison 0 G + S G + W

5 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 5 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan Sections t Poteau t w PRS - uance S55 (ε 0,8) h Largeur des semelles Epaisseur des semelles b 50 mm t mm h w Hauteur de l âme Epaisseur de l âme Hauteur totale Gorge du cordon asse linéique h w 800 mm t w 6 mm h 84 mm a mm 84,8 kg/m b Aire de la section A 8 cm oment d inertie / I 4500 cm 4 oment d inertie / I 6 cm 4 Inertie de torsion I t 4,56 cm 4 Inertie de gauchissement I w 5,5 6 cm 6 odule élastique / W el, 0 cm odule plastique / W pl, 96 cm odule élastique / W el, 50, cm odule plastique / W pl, 8, cm

6 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 6 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Traverse PRS - uance S55 (ε 0,8) Hauteur totale Hauteur de l âme Largeur semelle Epaisseur de l âme Epaisseur semelles Gorge du cordon asse linéique h 84mm h w 800 mm b 40 mm t w 6 mm t mm a mm 8,9 kg/m Aire de la section A 5,6 cm oment d inertie / I 550 cm 4 oment d inertie / I 766 cm 4 Inertie de torsion I t,4 cm 4 Inertie de gauchissement I w 4,557 6 cm 6 odule élastique / W el, 96,0 cm odule plastique / W pl, 99 cm odule élastique / W el, 0,5 cm odule plastique / W pl, 5,8 cm

7 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 7 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan Analse globale Les pieds des poteaux sont supposés articulés. E Les assemblages traverse sur poteau sont supposés paraitement encastrés. L ossature a été modélisée à l aide du logiciel EFFEL. alcul du coeicient d ampliication critique actor α cr Ain d estimer la sensibilité de la structure aux eets du nd ordre, une E 99-- analse modale est eectuée pour déterminer le coeicient d ampliication critique α cr pour la combinaison conduisant à la charge verticale la plus 5.. élevée. ombinaison : Gmax G + Q Q S Pour cette combinaison, le coeicient d ampliication critique est : α cr 9,98 La déormée correspondant au er mode d instabilité est représenté ci-dessous. On obtient : α cr 9,98 > Une analse élastique au er ordre peut être eectuée. L imperection globale peut être négligée lorsque : H 0,5 V. Les eets des imperections initiales d aplomb peuvent être pris en compte par des orces horiontales équivalentes : E () E (4) H eq φ V pour les combinaisons où : H < 0,5 V

8 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 8 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 omb. ELU Poteau gauche Poteau droit Total H, V, H, V, H k k k k k V k 0,5 V -,8-67,,8-67, 0,00-4,4 50,4 89,9 8,80-9,6 6,8 69,9 45,6,84-9,6-87,06 8, -0,6 4,96-87, 8, 4-8, -69,69 70,0-8,89 4,97-5,58,89 5 4,70 6,7 6, -5,6 69,9,75,6 6 54,5,74 5,4,74 69,9 45,48 6,8 Eets des imperections L imperection globale initiale peut être obtenue par : φ φ 0 α h α m E () Où : φ 0 /00 α h 0, 74 h 7,0 α m 0,5( + ) 0, 866 (m nombre de poteaux) m Soit : φ 0,740 0,866, / 00 L imperection globale doit être prise en compte pour la combinaison : E 99-- V (k) H Eq φ.v (k) 5.. (7) 67, 0,55 H Eq est une orce horiontale équivalente à appliquer au sommet du poteau gauche

9 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 9 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan Résultats de l analse élastique 6. Etats Limites de Service Flèche verticale maximale Sous la combinaison 0 (G + S) : w 74 mm L/405 Sous la neige seule (S): w 44 mm L/68 E et E 990 Déplacement horiontal en tête des poteaux : Sous la seule action du vent (W): w x 6 mm h/74 6. Etats Limites Ultimes Le diagramme du moment léchissant est donné en km pour chaque combinaison. ombinaison ombinaison ombinaison

10 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 ombinaison 4 ombinaison 4 ombinaison 5 ombinaison 6

11 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan Vériication du poteau Le poteau est vériié pour la combinaison ELU la plus déavorable : combinaison. 67,4 k (Supposé constant sur la hauteur du poteau) V,,0 k (Supposé constant sur la hauteur du poteau), 670,6 km (en tête du poteau) 7. lassement de la section transversale Âme : h w 800 mm et t w 6 mm c 800,44 79,5 mm E (Tableau 5.) Elancement de l âme : c / t w,9 L âme est léchie et comprimée. Le rapport des contraintes à l ELU est donné par : 67, 4 ψ 0,9 < 0 A La limite pour la lasse est : 4 ε 0,67 + 0, ψ 4 0,8 9, 0,67 0, 0,9 Donc : c / t w,9 > 9, L âme est de lasse 4. Semelle : b 50 mm et t mm c mm Elancement de la semelle : c / t 9,8 E (Tableau 5.) La semelle est uniormément comprimée. La limite pour la lasse est : 4 ε 4 0,8, Donc : c / t 9,8 <, La semelle est de lasse. La section est donc de lasse 4. Le poteau sera vériié sur la base de la résistance élastique de la section eicace.

12 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan aractéristiques eicaces de la section Aire eicace L aire eicace A e de la section est calculée en compression seule. Semelle : La semelle n est pas de lasse 4, elle est donc pleinement eicace. Âme: L âme est sujette au voilement local : ψ oeicient de voilement : k σ 4 c / tw 79,5/ 6 Elancement réduit : λp,87 > 0,67 8,4ε k 8,4 0,8 4 σ E () E (Tableau 4.) λ p - 0,055 ( + ψ ) oeicient de réduction : ρ mais ρ λ p ρ,87-0,055 ( + ),87 0, Largeur eicace : b e ρc 0, 79,5 55 mm A e 75,86 cm odule élastique eicace Le module élastique eicace est calculé en lexion simple. Semelle : La semelle n est pas de lasse 4, elle est donc pleinement eicace. Âme : L âme est sujette au voilement local : ψ - oeicient de voilement : k σ, 9 c / tw 79,5/ 6 Elancement réduit : λ p,7 > 0,67 8,4ε k 8,4 0,8,9 λ p - 0,055 ( + ψ ) oeicient de réduction : ρ mais ρ λ p,7-0,055 ( ) ρ 0,77,7 Largeur eicace : b e ρc 0,77 79,5 6 mm σ

13 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS b e 0,4 b e 44 mm b e 0,6 b e 67 mm b t 0,5 c 96 mm Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Les caractéristiques de la section eicace peuvent être calculées : I,e 54 cm 4 W e,,min 867,4 cm ote: Pour une section smétrique, il n a pas de décalage du centre de gravité de l aire eicace A e par rapport à la section brute. D où : e e 0 7. Vériication de la section transversale sous moment léchissant et eort axial η, + e + Ae / 0 We,,min / , η + 0,7 OK /, /,0 E E Vériication de la résistance du poteau au voilement par cisaillement hw ε > 7 58, avec η,0 t η w La résistance au voilement par cisaillement doit donc être vériiée. Aucun raidisseur transversal intermédiaire n est prévu. La résistance au voilement par cisaillement est calculée par : E () V b,rd V bw,rd + V b,rd Où V bw,rd est la contribution de l âme : Et V b,rd est la contribution des semelles. χ w hwt V bw,rd w E ()

14 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 4 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Elancement réduit : λ w 0, 76 τ cr E Avec τ cr k σ et τ E σ t w E hw E Annexe A Il n a pas de raidisseur intermédiaire sur la hauteur du poteau, donc : k τ 5,4 Et : σ E,7 /mm Donc, τ cr 5,4,7 57,4 /mm 55 et λ w 0,76,894,08 57,4 Retenons l hpothèse de montants d extrémité non rigides : χ 0,8/ λ w 0,48 Donc, V w bw,rd 0, ,0 40,9 k La contribution des semelles peut être ignorée : V b,rd 0 Alors : V,0 η η 0,6 < V 40,9 bw, Rd Il est à noter que pour η < 0, 5, l inluence de l eort tranchant sur la résistance en lexion peut être négligée. E Tableau 5. E () E ()

15 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 5 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan Vériication de la résistance au lambement La résistance au lambement du poteau est vériiée en utilisant les critères suivants (pas de lexion par rapport à l axe aible,, 0) : χ Rk + k, χlt,rk, Et : + k χrk,rk χlt E Les coeicient k and k sont calculés d après l Annexe A (E 99--). ote: Δ, Δ, 0 puisque e e 0 La structure n est pas sensible aux eets du second ordre (α cr 9,98 > ). La longueur de lambement dans le plan peut donc être prise égale à la longueur d épure. E (7) L cr, 5,99 m En ce qui concerne le lambement hors plan, le poteau est maintenu latéralement à mi-hauteur et à ses deux extrémités. D où : L cr,,00 m and L cr,lt,00 m Résistance au lambement du poteau Flambement par rapport à l axe (L cr, 5,99 m) EI cr, π π 790 k L 5990 cr, Ae λ 0,95 < 0, 790 cr, Les eets du lambement dans le plan peuvent être ignoré : χ, 0 E () 6... (4)

16 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 6 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Par conséquent, la résistance au lambement par rapport à l axe ort est prise égale à la résistance de la section à l eort axial de compression : b,rd A e / 0 ( /,0) k Flambement par rapport à l axe (L cr,,00 m) EI cr, π π 799 k L 000 λ A cr, cr, e 0,66 ourbe de lambement : c (α 0,49) [ + α ( λ 0, ) λ ] [ + 0,49 ( 0,66 0,) 0, ] φ + 0,5 φ 0, ,7879 χ 0,778 φ + φ λ 0, ,7879 0,66 E () E 99-- Tableau () La résistance au lambement par rapport à l axe aible est : b,rd χ A e / 0 (0, /,0) k Déversement (L cr,lt,00 m) Le tronçon supérieur du Poteau est considéré. Le moment critique est calculé par : cr π EI L cr,lt I I w Lcr,LTGI + π EI t,00 m 670,6 km I S00 Le coeicient dépend du rapport des moments d extrémité : 5, km ψ 5, / 670,6 0,5 D où :,

17 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 7 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 cr π 000 6, π cr 87 km The slenderness or lateral torsional buckling is obtained rom: λ W cr 867, e, LT 0,57 Le coeicient de réduction est alors calculé à partir de la courbe de lambement d, et le acteur d imperection est : α LT 0,76. [ + α LT ( λ LT - ) ] LT [ + 0,76 ( 0,57-0,) + 0,57 ] 0, 750 φ LT 0,5 0, + λ φ LT 0,5 E E 99-- Tableau 6. Tableau 6.4 et 6... χ LT φ - 0, ,750-0,57 LT + φlt λ LT 0,7705 We, D où : b, Rd χlt 0, , km,0 Les coeicients k et k sont calculés selon l Annexe A de l E cr, μ χ cr, 67, ,4,0 790,0 E 99-- Annexe A cr, μ χ cr, 67, ,4 0, ,995

18 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 8 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Eort normal critique de lambement par torsion I S00 cr,t A I π EI w ( GIt + 0 h ) Pour une section doublement smétrique, cr,t I I + I cm ( ,56. + π cr,t 76 k L élancement réduit pour le déversement doit être calculé en supposant une distribution uniorme du moment sur la hauteur du tronçon étudié. 6 ) cr,0 L GI π EI I w cr,lt t + avec,0 Lcr,LT I π EI I S00 cr,0 π 000 6, π cr,0 957 km W 867,4 55 e, λ 0 0,587 cr,o 957 E 99-- Annexe A λ 0 lim 0, 4 ( )( ) cr, cr,t Avec cr,tf cr,t (section doublement smétrique) 67, ,4 76 λ 0 lim 0,, 4 (- )(- ) 0,7 λ λ 0 > 0lim

19 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 9 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 m m,0 + ( m,0 ε alt ) + ε a LT Avec :, Ae 670,6 75,86 ε 0,60 (lasse 4) W 67,4 867,4 e, et : I alt I t,0 alcul du acteur de moment uniorme équivalent m,0 m,0 0,79 + 0,ψ + 0,6( ψ 0,) 67,4 Pour ψ 0 m,0 0,79 + 0, 0 + 0,6 (0 0,) 0, cr, E 99-- Annexe A Tableau A alcul des coeicients m et m,lt :,60,0 0,790 + ( 0,790) +,60,0 m 0,95 mlt m ( a cr, LT )( cr,t ) E 99-- Annexe A,0 mlt 0,95 0,9< Donc mlt 67,4 67,4 ( )( ) alcul des coeicients k et k : k μ cr,,0 0,95 67,4 790 mmlt 0,95 E 99-- Annexe A

20 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 0 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS k μ Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 cr, 0,995 0,95 67,4 790 m mlt 0,948 Vériication avec les ormules d interaction χ A e + k, W χlt e, E ,4 670,6 + 0,95 0,877 < OK , χ A e + k, W χlt e, 67,4 670,6 + 0,948 0,890 < OK , La résistance au lambement du poteau est donc satisaisante. 8. Vériication de la traverse La vériication de la traverse est eectuée pour la combinaison. Le moment léchissant maximal et l eort tranchant maximal sont situés au jarret. 4,9 k (supposé constant sur toute la longueur) V, 50,4 k (au jarret), 670,6 km (au jarret)

21 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan lassement de la section transversale Âme : h w 800 mm et t w 6 mm c ,5 mm E (Tableau 5.) Elancement de l âme : c / t w,9 L âme est léchie et comprimée. Le rapport des contraintes à l ELU est donné par : 4,9 ψ 0,9 < 0 A La limite pour la lasse est : 4ε 0,67 + 0,ψ 4 0,8 9,9 0,67 0, 0,9 D où : c / t w,9 > 9,9 L âme est de lasse 4. Semelle : b 40 mm et t mm 40 6 c mm L élancement de la semelle est : c / t 9,4 La limite pour la lasse est : 4 ε 4 0,8, E (Tableau 5.) D où : c / t 9,4 <, La semelle comprimée est de lasse. Par conséquent, la section est de lasse 4. La vériication de la traverse sera basée sur la résistance élastique de la section eicace.

22 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan aractéristiques eicaces de la section Aire eicace L aire eicace A e de la section est calculée en compression seule. E () Semelle : La semelle n est pas de lasse 4, elle est donc pleinement eicace. Âme : L aire eicace de l âme est la même que celle du poteau. La largeur eicace est : b e 55 mm A e 7,46 cm odule élastique eicace Le module élastique eicace est calculé en lexion simple. Semelle : La semelle n est pas de lasse 4, elle est donc pleinement eicace. Web: Le module élastique eicace de la section est le même que celui du poteau. La largeur eicace de l âme est : b e 6 mm E () b e 0,4 b e 44 mm b e 0,6 b e 67 mm b t 0,5 c 96 mm Les caractéristiques eicaces de la section sont : I,e 758 cm 4 W e,,min 77, cm ote: Pour une section smétrique, il n a pas de décalage du centre de gravité de l aire eicace A e par rapport à la section brute. D où : e e 0 8. Vériication de la section transversale sous moment léchissant et eort axial η, + e + Ae / 0 We,,min / , η + 0,79 OK /, /,0 E E

23 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan Vériication de la résistance de la traverse au voilement par cisaillement hw ε 0,8 > , avec η,0 tw η,0 La résistance au voilement par cisaillement doit donc être vériiée. Aucun raidisseur transversal intermédiaire n est prévu. E () La résistance au voilement par cisaillement est calculée par : V b,rd V bw,rd + V b,rd Où V bw,rd est la contribution de l âme : Et V b,rd est la contribution des semelles. Elancement réduit : λ w 0, 76 τ cr χ w hwt V bw,rd w E () E Avec : τ cr k σ et τ E σ tw E hw Il n a pas de raidisseur intermédiaire sur la hauteur du poteau, donc : k τ 5,4 Et : σ E,7 /mm Donc, τ cr 5,4,7 57,4 /mm 55 et λ w 0,76,894,08 57,4 Retenons l hpothèse de montants d extrémité non rigides : Donc, χ w 0,8/ λ w 0,48 V b, w, Rd 0, ,0 40,9 k La contribution des semelles peut être ignorée : V b,rd 0 Alors : V 50,4 η η 0,49 < V 40,9 bw,rd E Annexe A E Tableau 5. E ()

24 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 4 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Il est à noter que pour η < 0, 5, l inluence de l eort tranchant sur la résistance en lexion peut être négligée. E () 8.5 Vériication de la résistance au lambement La résistance au lambement de la traverse est vériiée en utilisant les critères suivants (pas de lexion par rapport à l axe aible,, 0) : χ Rk + k, χlt,rk, Et : + k χrk,rk χlt E Les coeicient k and k sont calculés d après l Annexe A (E 99--). ote: Δ, Δ, 0 puisque e e 0 Détermination de la longueur de lambement par rapport à l axe : La longueur de lambement par rapport à l axe de orte inertie de la traverse est déterminée à partir d une analse modale en supposant que le portique est bloqué horiontalement au aîtage. Le coeicient d ampliication critique qui correspond au er mode d instabilité (voir schéma ci-dessous) est : α cr 76,4 L eort normal critique pour le lambement dans le plan est tiré de ce coeicient d ampliication critique : cr, α cr 76,4 4, k Il est à noter que l on peut déduire la longueur de lambement de cette analse : 4 EI L cr, π π 680 mm 9546 cr

25 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 5 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 En ce qui concerne le lambement hors plan, la traverse est maintenue latéralement tous les mètres. Donc : L cr,,00 m and L cr,lt,00 m Résistance au lambement de la traverse Flambement par rapport à l axe (L cr, 6,8 m) Ae λ 0, cr, ourbe de lambement : b (α 0,4) [ + α ( λ 0, ) ] [ + 0,4 ( 0,58 0,) 0,58 ] φ 0 + λ,5 φ 0,5 + 0,695 χ 0,874 φ + φ λ 0, ,695 0,58 E () 6... (4) E 99-- Tableau () La résistance au lambement par rapport à l axe ort est : b,rd χ A e / 0 (0, /,0) k Flambement par rapport à l axe (L cr,,00 m) EI cr, π π 670 k L 000 λ A cr, cr, e 0,698 E ()

26 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 6 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 ourbe de lambement : c (α 0,49) [ + α ( λ 0, ) λ ] [ + 0,49 ( 0,698 0,) 0, ] φ + 0,5 φ 0, ,84 χ 0,769 φ + φ λ 0,84 + 0,84 0,698 E 99-- Tableau () La résistance au lambement par rapport à l axe aible est : b,rd χ A e / 0 (0, /,0) k Déversement (L cr, LT,00 m) Le moment critique de déversement est calculé par : cr π EI L cr,lt I I w Lcr,LTGI + π EI t 66 km,00 m 670,0 km I S00 Le coeicient est onction du rapport des moments aux extrémités : ψ 66 / 670,6 0,40 Donc :,9 cr π , cr 640 km π L élancement réduit pour le déversement est obtenu par : λ W cr 77, e, LT 0,50 E

27 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 7 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 Le coeicient de réduction est ensuite calculé avec la courbe de déversement d. Le acteur d imperection correspondant est : α LT 0,76. [ + α LT ( λ LT - ) ] LT [ + 0,76 ( 0,50 0,) + 0,50 ] 0, 7568 φ LT 0,5 0, + λ φ LT 0,5 χ φ + φ λ 0, ,7568 0,50 LT LT LT LT 0,765 E 99-- Tableau 6. Tableau 6.4 et 6... We, 77, 55 D où : b,rd χlt 0,765 75, km,0 Les coeicients k et k sont calculés selon l Annexe A de l E cr, μ χ cr, 4, ,9 0, ,998 E 99-- Annexe A cr, μ χ cr, 4, ,9 0, ,995 Eort normal critique pour le lambement par torsion : cr,t A I π EI w ( GIt + 0 h ) I S00 Pour une section doublement smétrique, I I + I cm 4 0 cr,t (80770,4. + π ) cr,t 99 k

28 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 8 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 L élancement réduit pour le déversement doit être calculé en supposant une distribution uniorme du moment léchissant le long du tronçon étudié. cr,0 L GI π EI I w cr,lt t + avec :,0 Lcr,LT I π EI I S00 cr,0 π , π cr,0 69 km W 77, 55 e, λ 0 0,6 cr,0 69 λ 0 lim 0, 4 ( )( ) cr, cr,t Avec cr,tf cr,t (section doublement smétrique) 4, ,9 99 λ 0 lim 0,,9 4 ( )( ) 0,8 λ λ 0 > 0lim m m,0 + ( m,0 ε alt ) + ε a LT Avec : Et :, Ae 670,6 7,46 ε 0 4, (lasse 4) W 4,9 77, I alt I e, t,0

29 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 9 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 alcul du acteur de moment uniorme équivalent m,0 Diagramme du moment léchissant : 0m π EI δ x m,0 + L,, moment maximal sur la longueur de la traverse 670,6 km cr, E 99-- Annexe A Tableau A δ x lèche maximale de la traverse 6 mm 4 π ,9 m, , , alcul des coeicients m et m,lt : m m,0 + ( m,0 ε alt ) + ε a LT 4,,0 0,997 + (- 0,997) + 4,,0 m 0,9985 mlt m ( a cr, LT )( cr,t ) E 99-- Annexe A mlt 0,9985,0 4,9 4,9 (- )(- ) ,04

30 OTE DE ALUL Ré. document SX00 Page 0 de 0 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS Ré. Eurocode E 99-- Rédigé par Arnaud Lemaire Date Jan 006 Vériié par Alain Bureau Date Jan 006 alcul des coeicients k et k : k μ - cr, 0,998 0,9985,04 4, m mlt,04 E 99-- Annexe A k μ - cr, 0,995 0,9985,04 4, mmlt,0 Vériication avec les ormules d interaction χ A e + k, W χlt e, E ,9 670,6 +,04 0,967 < OK 79 75, χ A e + k, W χlt e, 4,9 670,6 +,0 0,97 < OK , La résistance au lambement de la traverse est donc satisaisante.

31 Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS SX00a-FR-EU Enregistrement de la qualité TITRE DE LA RESSOURE Réérence(s) Exemple : Analse élastique d'un portique simple en PRS SX00 DOUET ORIGIAL om Société Date réé par Arnaud Lemaire TI 09/0/006 ontenu technique vériié par Alain Bureau TI 09/0/006 ontenu éditorial vériié par ontenu technique approuvé par les partenaires du projet STEEL :. Roaume-Uni G W Owens SI /05/006. France A Bureau TI /05/006. Suède B Uppeldt SBI /05/ Allemagne üller RWTH /05/ Espagne J hica Labein /05/006 Ressource approuvée par le oordonnateur technique DOUET TRADUIT G W Owens SI /0/007 Traduction réalisée et vériiée par : A. Bureau TI //006 Ressource traduite approuvée par : A. Lemaire TI //006 Page