Cours de Terminale ES-L /Probabilités conditionnelles. E. Dostal

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1 Cours de Terminale ES-L /Probabilités conditionnelles E. Dostal octobre 2017

2 Table des matières 3 Probabilités Généralités Vocabulaire des événements Intersection et réunion d événements Loi de probabilité Variables aléatoires Probabilité conditionnelles

3 Chapitre 3 Probabilités conditionnelles 3.1 Généralités Vocabulaire des événements Définition 1 Chaque résultat possible et prévisible d une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à l expérience aléatoire Exemple 1 Lancer un dé à six faces : obtenir un 2 est une éventualité de cette expérience aléatoire Définition 2 L ensemble formé par les éventualités est appelé univers, il est très souvent noté Ω Exemple 2 Lancer d une pièce de monnaie : Ω = {pile ;face} Lancer un dé à six faces : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Définition 3 Un événement de l expérience aléatoire est une partie quelconque de l univers Un événement ne comprenant qu une seule éventualité est un événement élémentaire Exemple 3 Lancer d un dé à six faces : A = obtenir un 5 est un événement élémentaire que l on peut noter A = {5} B = obtenir un numéro pair est un événement que l on peut noter B = {2; 4; 6} Définition 4 L événement qui ne contient aucune éventualité est l événement impossible, noté L événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain Exemple 4 Lancer d un dé à six faces : Lancer d un dé à six faces : obtenir un nombre négatif est un évènement impossible. Lancer d un dé à six faces : obtenir un nombre positif est un événement certain Définition 5 Pour tout événement A il existe un événement noté A et appelé événement contraire de A, qui est composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A On a en particulier A A = Ω 2

4 Exemple 5 Lancer d une pièce de monnaie : si A = {pile} alors son événement contraire est A = {face} Lancer d un dé à six faces : si A est l événement obtenir un nombre inférieur ou égal à 4, alors son événement contraire A est l événement obtenir 5 ou Intersection et réunion d événements Définition 6 Soit A et B deux événements de Ω Intersection d événements : L événement constitué des éventualités appartenant à A et à B est noté A B (se lit A inter B ou A et B ) Réunion d événements : L événement constitué des éventualités appartenant à A ou à B est noté A B (se lit A et de B ou A union B ou A ou B ) Remarque 1 Si A B =, on dit que les événements sont disjoints ou incompatibles Exemple 6 On considère un jeu de 32 cartes. On note A l événement obtenir une carte paire et B l événement obtenir une carte de valeur inférieure strictement à six 1. A B = obtenir une carte paire et inférieures strictement à six : A B = {2; 4} 2. A B = obtenir une carte paire ou inférieure strictement à six : A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} Loi de probabilité Définition 7 Une probabilité sur un univers fini Ω est une applicaion qui, à chaque évènement élémentaire associe un nombre compris entre 0 et 1 tel que La probabilité d un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent et La probabilité de Ω est égale à 1. Définition 8 On dit que l on choisit une probabilité P équirépartie lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité Dans ce cas, on a : P (A) = nombre d éléments de A nombre d éléments de Ω = Card(A) Card(Ω) Remarque 2 Dans un exercice, pour signifier qu on est dans une situation d équiprobabilité on a généralement dans l énoncé un expression du type : on lance un dé non pipé dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher on rencontre au hasard une personne parmi une population. Proposition 1 Soit A et B deux événements, on a les propriétés suivantes : P ( ) = 0 P (Ω) = 1 0 P (A) 1 P (A) = 1 P (A) Si A B alors P (A) P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 3

5 Exemple 7 On considère l ensemble E des entiers de 1 à 20. On choisit l un de ces nombres au hasard A est l événement : le nombre est multiple de 3 B est l événement : le nombre est multiple de 2 P (A) = 6 20 = 3 10 = 0, 3 P (A) = 1 P (A) = = 7 10 = 0, 7 P (B) = = 1 2 = 0, 5 P (A B) = 3 = 0, P (A B) = p(a) + p(b) p(a B) = = 13 = 0, Variables aléatoires Dans ce paragraphe, on ne considère que des univers Ω finis ou infinis dénombrables. Définition 9 On appelle Variable Aléatoire une fonction qui, à tout évenement d un univers fini, associe un nombre réel. On note cette Variable aléatoire X Remarque : on n a pas besoin de probabilité pour définir une variable aléatoire. 4

6 Définition 10 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2,..., xn définie sur un univers Ω muni d une probabilité P. La loi de probabilité de X est la fonction qui, à chacune des valeurs prises par X fait correspondre la probabilité de l évènement X = xi En pratique, on présente la loi de probabilité de X sous forme d un tableau. Définition 11 Espérance, d une variable aléatoire. Soit Ω l univers correspondant à une expérience aléatoire Soit P une probabilité de Ω Soit X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) soit fini de cardinal n Notons x 1 ; x 2 ;...; x n l ensemble X(Ω) c est à dire l ensemble des valeurs prises par X l espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre noté E(X), défini par : n E(X) = p i x i L Espérance d une variable aléatoire correspond à une valeur moyenne dans le cas d un grand nombre de répétition d e l expérience aléatoire. i=1 5

7 3.2 Probabilité conditionnelles Définition 12 Soient A et B deux évènements ; B étant de probabilité non nulle. P (A B) Le nombre noté P B (A), défini par P B (A) = est une probabilité (Admis) que l on P (B) appelle Probabilité de A sachant que B est réalisé (ou Probabilité de A sachant B) 6

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9 Théorème 2 Formule des probabilités totales Soit Ω un univers muni d une probabilité P. Si des parties B 1, B 2,... B n de probabilités non nulles constituent une partition(*) de Ω, alors pour tout évènement A : P (A) = n P (A B k ) = k=1 n P Bk (A)P (B k ) (*) : Une partition de Ω est un ensemble de parties non vides de Ω telles quelconque ces parties sont toutes disjointes deux à deux et leur union recouvre Ω k=1 8

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