Oscillateurs mécaniques forcés

Transcription

1 I. Réponse à une excitation I.. Régimes excités Mécanique 5 Oscillateurs mécaniques forcés Soit un oscillateur constitué dun point mobile M de masse m relié à un ressort, pour exercer sur ce pendule une excitation il suffit de déplacer le point dancrage A du ressort. On suppose le référentiel terrestre galiléen. I... A léquilibre A est en A et M est en M. La longueur du ressort est l e = A M. Léquilibre de M sécrit : m g = k l e - l.= k A M - l A A x A l l e lt I... En dehors de léquilibre RFD m a = m g - k l - l - h v et la longueur du ressort est l = AM Soit : m a = k A M - l - k AM - l - h v = k A M - AM - h v M x O M Or A M - AM = A A + AM - AM - M M = A A - M M La position de A est repérée à tout instant par x A t = A A sur un axe vertical descendant. La position de M à tout instant sera repérée par xt = M M A A - M M = x A - x On obtient donc léquation m x = k x A - x - h x que lon traduit par léquation différentielle : x + λ x + ω x = ω xa où λ = h m et ω = k m I.. Différents types dexcitation La fonction x A t peut être : I... Un échelon de déplacement On appelle fonction déchelon la fonction x A = αt. = = # α t < α t >. Léchelon de déplacement est caractérisé par La solution de léquation est somme de la solution générale de léquation à second membre nul et dune solution particulière de léquation complète qui est x = pour t. I... Avec un amortissement faible cela donne : xt = e -λ t [A cosω n t + B sinω n t + Si les conditions initiales sont x = et x = = A + A = - et x = - λ x + e -λ t ω n [-A sinω n t + B cosω n t] soit à t = : x = = - λ x + B ω n B = Donc finalement xt = - e -λ t [cos ω n t + Une excitation sinusoïdale λ ω n sinω n t]. λ ω n x Dans ce cas x A t = cos ω t en choisissant convenablement lorigine des dates. ω est ici la pulsation de lexcitateur. Comme toujours la solution de léquation différentielle est somme de la solution générale x t de léquation à second membre nul que nous connaissons déjà plus dune solution particulière x t de léquation complète. La solution x t est évanescente : si t, x t. Elle correspond à un régime transitoire. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 5 Oscillateur forcé ds - 6 janvier page / 5

2 Au bout de quelque temps, x se résume donc à la solution particulière x t qui de ce fait constitue le régime permanent. La solution transitoire est connue, intéressons nous à la solution permanente, autrement dit à la solution particulière de léquation complète. Nous la cherchons de la même forme que le second membre, cest à dire de forme sinusoïdale de pulsation ω, pulsation de lexcitateur : elle correspond à un régime doscillations forcées. II. Oscillations forcées Donc x + λ x + ω x = ω XA cos ω t où λ = h m et ω = k m Cest la même équation que celle du dipôle RLC série en régime forcé : nous cherchons une solution particulière du type xt = X m cosω t + ϕ x où X m est lamplitude du mouvement de M et ϕ x le déphasage de ce mouvement par rapport au mouvement de A. Nous pouvons utiliser les mêmes méthodes : méthode de Fresnel et méthode complexes. II.. Amplitudes complexe A la fonction x = X m cos ω t + ϕ x on associe le complexe x = X m e j ϕ x e j ω t. On appelle amplitude complexe de x le terme indépendant du temps : X = X m e j ϕ x. Donc x = X e j ω t. De même à la fonction x A = cos ω t on associe le complexe x A = e j ω t dont lamplitude complexe est ici un réel par choix de lorigine des dates ϕ A =. Lamplitude du mouvement du mobile est le réel X m = X et ϕ x est largument de X. Lélongation du mouvement de M est le réel xt = X cos ω t + arg X = Re[xt]. Rappel : Pour déterminer complètement largument de x = [Réx + j Imx] il faut deux fonctions trigonométriques : tan ϕ x = Im x et cos ϕ x = Ré x + j Im x ou sin ϕ x = Im x + j Im x La relation entre la fonction sinusoïdale et sa représentation complexe se conserve dans toutes les opérations linéaires addition, multiplication par une constante, intégration et dérivation. Mais elle ne se conserve pas dans un produit, ce qui posera des problèmes pour lénergie. Lamplitude complexe de la vitesse x t est V = j ω X et celle de laccélération x t est - ω X. II.. Solutions de léquation différentielle On en déduit : - ω X e j ω t + j λ ω X e j ω t + ω X e j ω t = ω XA e j ω t soit - ω + j λ ω + ω X = ω XA. lamplitude complexe du mouvement du mobile : X = On peut utiliser les notations λ = ω Q et u = ω ω X = lamplitude du mouvement : X m est le module de X : X m = ω ω ω + j ω λ = MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 5 Oscillateur forcé ds - 6 janvier page / 5 ω ω + j Q ω ω = u + u Q ω ω + j ω λ ω u + j Q u X le déphasage de x par rapport à x A : ϕ x = arg A u + j = u j Q u Q u. On explicite ϕ x u avec : tan ϕ x = - Q u ω ω et sin ϕ u x = - toujours négatif - π < ϕ x < : la réponse Q X m = - λ ω en élongation est toujours en retard sur lexcitation..

3 Lamplitude complexe de la vitesse V = j ω X = j ω u + j Q u de module V m = dargument ϕ V = ϕ x + π. La vitesse est en quadrature avance sur lélongation. ω u + u Q et III. Analyse fréquentielle On cherche à donner une représentation graphique des amplitudes réelles et des phases de xt et de ω vt en fonction de ω ou de u = puisque X m et ϕ x dépendent de ω de même que V m et ϕ V. ω III.. Réponse en élongation III... Amplitude : X m = u + u Q Quand u, pour toute valeur de Q, lamplitude de la réponse de loscillateur tend vers X m =. Cest lamplitude statique. Si u =, ω =, ce qui veut dire x A = constante, on est ramené au cas de la réponse à un échelon de déplacement : au bout dun temps assez grand pour que le régime transitoire soit terminé, M prend une position de repos en x A =. Quand u pour tout Q, X m. Autrement dit, si ω est trop grand, M ne bouge pas. Cherchons sil existe une valeur remarquable de u autre que. Par exemple, cherchons un maximum de X m. Il a lieu, sil existe, lorsque le dénominateur de X m est minimum. On peut donc chercher ce maximum en déterminant sil existe une valeur de x pour laquelle la dérivée de - u + u Q est nulle. On trouve : - 4 u - u + u Q = X m est extrémale pour u = ce que nous savions déjà et pour u = - u = soit ω = ω r = ω Q Q λ à condition que Q > cas dun amortissement faible. donc dans le Autrement dit avec un fort amortissement Q <, lamplitude diminue si la fréquence de lexcitateur augmente, donc le mobile ne réagit quaux basses fréquences : la réponse en élongation est un "filtrage passe bas" Avec un faible amortissement Q >, il existe un maximum damplitude pour ω r = ω λ. On dit que loscillateur est en résonance délongation pour ω = ω r. La pulsation de résonance en élongation, quand elle existe, est toujours inférieure à la pulsation propre, mais elle en est dautant plus proche que lamortissement est faible. Ici M réagit surtout aux pulsations voisines de ω r : la réponse en élongation est un filtrage passe bande. A la résonance X m ω r = ω = Q λ ω λ 4 Q = X mr cest le maximum de la fonction X m ω. III... Déphasage λ ω ϕ x = arctan ω + ω et sin ϕ x <. * Pour ω, ϕ x, et pour ω, ϕ x - π ϕ x est une fonction décroissante de ω. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 5 Oscillateur forcé ds - 6 janvier page 3 / 5

4 III.. Réponse en vitesse III... Amplitude de la vitesse avec ω = ω u on a Amplitude complexe : V m ω = j ω X = Amplitude réelle : V m = j ω u + j Q u = Q ω module de V +Q u m * u j ω u u + j Q u = Q ω + j Q u u * Lamplitude de la vitesse V m pour ω ou ω. Il existe donc un maximum de V m pour une fréquence comprise entre et. Autrement dit : il existe toujours une fréquence de résonance en vitesse. V m est maximale quand son dénominateur est minimal soit pour u =. On a alors V m ω = ω Q. Il y a résonance de vitesse pour ω = ω, et ce quelque soit lamortissement. La résonance en vitesse est dautant plus aiguë que le système est moins amorti Q grand. III... Déphasage de la réponse en vitesse ω ϕ v ω = arg * j u + j u + = arg j u u + -, / tan ϕ V = Q + Q. u u et cos ϕ v >. Q Donc - π < ϕ v < π. Pour ω on a ϕ v + π et pour ω on a ϕ v - π. Ce qui confirme que la vitesse est en avance sur lexcitation quand ω < ω et en retard dans le cas contraire. A la résonance en vitesse, donc pour ω = ω, ϕ v est nulle. IV. Etude énergétique IV.. Energie Reprenons léquation différentielle du mouvement de loscillateur m x + h x + k x = k x A t et multiplions la par v = x, on obtient : m x x + h v + k x x = k x A t v m x x + k x x est la dérivée de dt de dt de lénergie mécanique E = m x + k x. On obtient donc : = k x A t v - h v = P puissance échangée par le système avec lextérieur. P = P f + P A où P A est la puissance apportée par la force excitatrice f = k x A t et P f. la puissance dissipée par frottements. En moyenne sur une période < P f > = T T - h v dt = T T - h V m cos ω t + ϕ v dt < P f > = - h V m T T [ + cos ω t + ϕ v] dt. Or cos ω t + ϕ v est une fonction périodique de période T dont la primitive a même valeur à t = et t = T < P f > = - h V m < P A > = T T k x A v dt = T T k cosω t V m cosω t + ϕ v dt = - k V m cos ϕ * v. On pose F m = k < P A > F m V m cos ϕ v. Lexpérience montre que lénergie mécanique de loscillateur forcé est constante puisque lamplitude de ses oscillations est constante. Il nous faut donc montrer que < P f > + < P A > =. Avec cos x = [ + cos x] ou cos a cos b = [cosa + b + cos a b] MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 5 Oscillateur forcé ds - 6 janvier page 4 / 5

5 On peut reprendre lexpression de cos ϕ v = Ré [ V] avec V = V m j ω u + j Q u mais il y a plus simple. IV.. Analogies électromécaniques IV... Grandeurs analogues Mécaniques Electriques élongation x charge q vitesse v Intensité i force f Tension u masse m Inductance L coefficient de frottement h Résistance R raideur k inverse de la capacité IV... Impédance mécanique C Limpédance électrique est le rapport Z = U I. On appelle impédance mécanique du système la grandeur Z égale au rapport des amplitudes de la force f et de la vitesse v. Ainsi, soit un oscillateur soumis à une force excitatrice sinusoïdale ft, pour calculer son impédance, il faut passer par le complexe associé Z dont Z est le module. A f = k cosω t on associe le complexe f = k e j ω t damplitude complexe F = k réelle ici dont le module F m est lamplitude réelle de la force excitatrice. En complexe léquation différentielle du mouvement sécrit F = - m ω + j h ω + k X et V = j ω X limpédance complexe Z = F V = h + j m ω + k de module Z = Z = j ω h + m ω k * et ω " dargument ϕ Z = arg F avec ici F = k réelle donc ϕ Z = - ϕ v est lopposé du déphasage de la réponse # V en vitesse. On trouve tan ϕ Z = Avec ω = k m et λ = h m = ω Q m ω k ω h et cos ϕ Z = h Z = cos ϕ V. tan ϕ ω Z = Q ω ω ω = Q # u u IV..3. Bilan énergétique Donc F m = Z V m où Z est limpédance mécanique et cos ϕ v = h Z < P A > = h V m = - < P f >. On en déduit quen moyenne sur une période, la puissance apportée par lexcitateur compense la puissance dissipée par frottement, et la puissance échangée par le système avec lextérieur est nulle. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 5 Oscillateur forcé ds - 6 janvier page 5 / 5