Dénombrement et Combinatoire

Transcription

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2 La combinatoire étudie comment compter des objets.

3 La combinatoire étudie comment compter des objets. Elle fournit des méthodes de dénombrement utiles en proba.

4 La combinatoire étudie comment compter des objets. Elle fournit des méthodes de dénombrement utiles en proba. Ex : Formule du binôme de Newton

5 Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face.

6 Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face. Tirages possibles : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.

7 Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face. Tirages possibles : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Soit 2 3 = 8 tirages différents.

8 Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face. Tirages possibles : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Soit 2 3 = 8 tirages différents. On peut présenter la listes des tirages sous forme d un arbre.

9 P P F P F P F F P F P F P F

10 Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres.

11 Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive.

12 Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités.

13 Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. 4 chiffres 10 4 = possibilités.

14 Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. 4 chiffres 10 4 = possibilités. Il n existe que codes différents!

15 Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. 4 chiffres 10 4 = possibilités. Il n existe que codes différents! Rq : dans ces 2 exemples, l ordre est important et il peut y avoir des répétitions.

16 Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B},

17 Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B}, A B := {x E, x A et x B},

18 Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B}, A B := {x E, x A et x B}, E\A := A := {x E, x / A},

19 Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B}, A B := {x E, x A et x B}, E\A := A := {x E, x / A}, A B := {(x, y), x A, y B}.

20 Définition On suppose à présent que E est fini i.e. qu il ne possède qu un nombre fini d éléments. On appelle ce nombre le cardinal de E, et on le note Card (E).

21 Proposition On a les égalités suivantes : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B),

22 Proposition On a les égalités suivantes : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B), Card (E\A) = Card (E) Card (A),

23 Proposition On a les égalités suivantes : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B), Card (E\A) = Card (E) Card (A), Card (A B) = Card (A) Card (B).

24 Proposition Soit E et F deux ensembles finis. Alors le nombre d applications de E dans F est Card (F ) Card(E).

25 Proposition Soit E et F deux ensembles finis. Alors le nombre d applications de E dans F est Card (F ) Card(E). démo : chaque élément de E a Card (F) possibilités pour son image. Les choix des images étant indépendants, on a bien au total Card (F) Card(E) applications différentes.

26 Définition Soit m, n N tels que n m. Un arrangement de n éléments parmi m est une liste ordonnée de n éléments distincts d un ensemble à m éléments.

27 Définition Soit m, n N tels que n m. Un arrangement de n éléments parmi m est une liste ordonnée de n éléments distincts d un ensemble à m éléments. On note A n m le nombre d arrangements de n éléments parmi m et alors A n m! m = m(m 1)... (m n + 1) = (m n)!.

28 Définition Soit m, n N tels que n m. Un arrangement de n éléments parmi m est une liste ordonnée de n éléments distincts d un ensemble à m éléments. On note A n m le nombre d arrangements de n éléments parmi m et alors A n m! m = m(m 1)... (m n + 1) = (m n)!. Rq : Ici, l ordre est important mais il n y a pas de répétition.

29 Exercice : On dispose d une urne contenant trois boules différentes, numérotées 1, 2 et 3 et on en tire deux (sans remise) parmi les trois. Combien de tirages différents peut-on effectuer?

30 Exercice : On dispose d une urne contenant trois boules différentes, numérotées 1, 2 et 3 et on en tire deux (sans remise) parmi les trois. Combien de tirages différents peut-on effectuer? Correction : Un tirage correspond à un arrangement de deux éléments parmi trois. En effet, l ordre de tirage est important mais on effectue le tirage sans remise donc il ne peut y avoir de 3! répétitions. On a donc = 6 tirages possibles. Dans ce cas, (3 2)! on peut encore faire la liste exhaustive de ces différents tirages, par exemple sous forme d arbre.

31 Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n.

32 Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!.

33 Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!. L ensemble des permutations de l ensemble {1,..., n} est noté S n ou S n et est de cardinal n! d après ce qui précéde.

34 Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!. L ensemble des permutations de l ensemble {1,..., n} est noté S n ou S n et est de cardinal n! d après ce qui précéde. Exercice : Donner la liste des éléments de S 3.

35 Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!. L ensemble des permutations de l ensemble {1,..., n} est noté S n ou S n et est de cardinal n! d après ce qui précéde. Exercice : Donner la liste des éléments de S 3. Exercice : Combien y a-t-il de façons de placer huit personnes autour d une table?

36 Définition Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble de cardinal k d un ensemble de cardinal n.

37 Définition Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble de cardinal k d un ( ensemble ) de cardinal n. n On note Cn k ou le nombre de combinaisons de k éléments parmi k n et alors Autrement dit, k!c k n = A k n. ( ) n = k n! k!(n k)!.

38 Définition Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble de cardinal k d un ( ensemble ) de cardinal n. n On note Cn k ou le nombre de combinaisons de k éléments parmi k n et alors Autrement dit, k!c k n = A k n. ( ) n = k n! k!(n k)!. Rq : Ici, on ne tient pas compte de l ordre et il n y a pas de répétition.

39 Proposition Pour tout n et k deux entiers naturels, on a ( ) ( ) ( ) n n n =. k k + 1 k + 1

40 Proposition Pour tout n et k deux entiers naturels, on a ( ) ( ) ( ) n n n =. k k + 1 k + 1 Cette propriété permet d obtenir( ce) qu on appelle le triangle de n Pascal donnant les valeurs des : k

41 k n

42 Proposition (Binôme de Newton) Soit a, b R et n N. On a (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k