S-SI COURS STATIQUE - DYNAMIQUE. 1 - Moment d une force par rapport à un point. 1.1 Signification physique du moment d une force

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1 -I TTIQU - DIQU COU - oment d une force par rapport à un point. ignification physique du moment d une force e moment d une force par rapport à un point est un outil qui permet de mesurer la capacité de cette force à créer un mouvement rotation autour de ce point. x : le moment de la force de l utilisateur par rapport au point est sa capacité à faire tourner la porte autour du point : utilisateur porte. odèle mathématique du moment d une force On considère une force appliquée en un point et un point quelconque. e moment de vecteur noté suivantes : par rapport au point est un dont les caractéristiques sont les direction : perpendiculaire au plan contenant le point et la force : sens : on applique la règle du «tire-bouchon» en considérant que tourner le tire-bouchon autour de. : fait intensité : elle s exprime en ewton mètre (.m)

2 .3 Détermination analytique du moment d une force.3.. un outil mathématique : le produit vectoriel e produit vectoriel est une opération entre vecteurs qui donne comme résultat un vecteur. On note V V i on a qui se lit : «V vectoriel V» V V V alors les caractéristiques de V direction : Perpendiculaire à V et V sens : ègle du tire-bouchon quand on sont les suivantes : rabat V sur V intensité : V V V sin ( : angle entre les vecteurs).3.. calcul analytique du produit vectoriel on a les vecteurs suivants : V V si V V alors V V méthode mnémotechnique :.3.3. détermination du moment à l aide du produit vectoriel e moment par rapport au point de la force appliquée en a pour expression :

3 i les coordonnées des vecteurs et des points sont les suivantes : z y x z y x lors on a : z z y y x x - odélisation d une force par un torseur ous avons vu qu une force était complètement définie par : - un point d application (ex : ) - un vecteur (ex : ) lle peut être aussi complètement définie par : - un vecteur (ex : ) - son moment par rapport à un point quelconque (ex : ) On peut alors modéliser la force à l aide d un torseur :

4 3 - odélisation d une.. quelconque par un torseur Toute action mécanique (force ou autre) exercée sur un système par une entité extérieure à peut être modélisée par un torseur : est la résultante de l.. de sur est le moment résultant au point de l.. de sur emarques : Un même torseur peut s écrire en n importe quel point : son expression varie mais il modélise toujours la même.. a résultante d un torseur est invariante (ne change pas) quel que soit le point auquel on exprime le torseur. cste est souvent la somme des torseurs des forces élémentaires qu exerce sur. On peut faire la somme de torseurs uniquement s ils sont exprimés au même point. Dans ce cas on additionne les résultantes entre elles et les moments entre eux : 4 - Changement du point de réduction d un torseur orsqu on change le point de réduction d un torseur, seule l expression du moment résultant varie. a loi du transport des moments permet alors, connaissant le moment de l.. en un point, de déterminer le moment en n importe quel point :

5 PICIP FODT D TTIQU (PF) POTOCO D OUTIO D U TUD TTIQU ener une étude de statique, c'est déterminer des actions mécaniques inconnues - POIT D PPICTIO - DICTIO - - ITIT Ces études sont le point de départ et le mécanicien utilise alors ses résultats et vérifie ainsi les performances du mécanisme étudiées sous différents aspects selon les besoins. IOT D U T TI T ) IOT: Une étude de statique peut porter sur tout un mécanisme ou sur une partie seulement. Il primordial de préciser explicitement quelle partie on étudie. IO un système matériel c'est : Définir une frontière fictive ou mentale englobant un ou plusieurs éléments. P : (voir figure ) Un homme est dans une cage d'ascenseur elle-même suspendue. Il tient dans sa main un sac. Il y a plusieurs possibilités pour débuter une étude de statique et c'est en fonction de l'objectif que se décidera quel système matériel il est utile d'isoler. Figure : homme dans un ascenseur Différents systèmes matériels isolés 0 bâti câble cage 3 homme 4 sac = { + } = { } = { } = { + 3 }

6 ) I D CTIO CIQU TIU ( ) : - ffectuer un ilan des ctions écaniques xtérieures c'est : ecenser toutes les actions mécaniques agissant sur le système isolé emarque : e graphe des liaisons est un outil utile pour visualiser et déterminer quelles actions mécaniques sont à l œuvre sur le système isolé. xemple : = { } 3 4 ystème isolé ction de la pesanteur sur 3 ction de la pesanteur sur 4 ction de contact en de sur 3 ction de contact en de sur 3 3) PICIP D CTIO UTU (P ) C est la conséquence de la notion de frontière d'isolement Figure : ctions mutuelles Isolement de 4 Isolement de 3 e principe des actions mutuelles, appelé aussi principe d action / réaction traduit la condition suivante : 3 C 3 /4 C 3 C 3 / 4 C = - C 4 / C 4 /3 emarque : Ce principe est très utilisé en statique : il permet d éliminer un grand nombre d inconnue lors d une étude ; son utilisation est donc indispensable.

7 PICIP FODT D TTIQU - TDUCTIO GPHIQU ) CHP D PPICTIO : a traduction graphique du PF fait appel à des constructions graphiques planes. Il est donc indispensable que : e système étudié présente au moins un plan de symétrie. e système étudié ne soit soumis qu'à des modélisables en résultantes et de directions non parallèles. ) P F : CTIO CIQU :

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9 PICIP FODT D TTIQU - TDUCTIO TIQU ) CHP D PPICTIO. a traduction analytique du PF ne fait appel à aucun tracé de construction graphique. Par conséquent : es actions mécaniques pourront être quelconques (résultantes parallèles ou sécantes, moments, couples). es systèmes isolés n auront pas besoin de présenter de plan de symétrie mais dans la pratique, on traitera souvent les cas ou ce plan existe mais quand l étude ne peut être traitée graphiquement. ) P F : Conséquence sur un exemple = GU TI es équations (), () et (3) peuvent être mises en place en premier. es moments résultants doivent être calculés un point choisi. Ce point peut être celui présentant le plus d inconnues au moment du afin de limiter la quantité de calculs. es équations (4), (5) et (6) sont alors mises en place. a résolution de ce système d équation est effectuée afin de connaître les inconnues présentes dans le.

10 -.3x D = 0

11 Dynamique - Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) a dynamique est le chapitre de la mécanique qui étudie les mouvements des solides en relation avec les forces qui les produisent. e Principe Fondamental de la Dynamique est la traduction, avec les outils mathématiques actuels, des lois de ewton : Dans un repère galiléen, tout objet en état de mouvement rectiligne uniforme et soumis à aucunes forces extérieures, conserve son mouvement. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de ewton est valable. C est-à-dire un référentiel dans lequel on observe à la fois F=0 et le solide en U i on observe un référentiel dans lequel le solide est immobile et où pourtant F 0 alors ce n est pas un référentiel galiléen! i on observe un référentiel dans lequel F = 0 et où le solide n est pas en U alors ce n est pas un référentiel galiléen! Force = masse x accélération Tout corps soumis à une force exerce en retour une force de même intensité et de direction opposée. C est la loi de ewton (ou théorème du centre d inertie) : α =dω / dt a = dv/dt

12 - P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de rotation autour d un axe fixe de symétrie de (). oment d inertie d un solide par rapport à un axe ()... définition d m i z O dm oit la masse d un point matériel élémentaire appartenant à un solide () On considère un axe 0, z. oit la distance entre et à l axe 0, z. On appelle moment d inertie 0, z le scalaire suivant : J Oz i i J Oz de () par rapport dm... quelques valeurs particulières à connaître Cylindre de révolution plein et homogène ² O masse nveloppe cylindrique homogène de faible épaisseur masse O J Oz J Oz z z e<<