Traitement du Signal

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1 Traitement du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG première Bimestre 2001/2002 Séance 4 : 12 octobre 2001 Bruits d'echantillonage et de Quantification Formule du Jour :... 1 La Transformée de Fourier d'une suite de deltas...2 Schéma de l'échantillonage...4 Théorème de Shannon...5 Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur...7 Bruit d'échantillonage...8 Filtre Anti-repliement...9 Conversion Analogique Numérique...10 Les paramètres d'un quantification...11 Méthodes de conversion A/N ) Méthodes Indirect : VCO ) Convertiseeur parallèle. (Anglais Flash Converteur )..12 3) Approximation sucessive...13 Conversion Numérique-analogique...13 Formule du Jour : La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne, de poids f e = 1 T e. {δ Τe (t)} = { n=- δ(t n f e )} = f e δ fe (f) = f e k= δ(f k f e )

2 La Transformée de Fourier d'une suite de deltas La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne, de poids f e = 1 T e. {δ Τe (t)} = { n=- δ(t n f e )} = f e δ fe (f) = f e k= La forme de la transformée de Fourier X e (f) = X e (ω/2π) devient : X e (f) = X(f) * f e δ fe (f) = f e X(f kf e ) k= δ(f k f e ) Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence. En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre π ω π. et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre 1 2 f 1 2. Demonstration : Par suite de Fourier : δ(t nt e ) = n=- α n e jnω ο t n=- f(x) = α n e jn2πf o x n=- ω o = 2π T e les coeficients sont determiné par l'integrale dans la periode [ -T e 2, T e 2 ]. α n = 1 T e T e /2 δ(t) e jnω ο t dt = 1 T -T e /2 e Donc : δ(t nt e ) = 1 T n=- e n=- e jnω ο t = 1 T e e j n(2π/t e ) t n=- ou bien δ(t nt e ) = 1 T e δ(t) e jn(2π/t e )t (Rétard en phase par n 2π T e ) 4-2

3 { n=- δ(t nt e )} = 1 T e n=- {e j2π n/t e } = 1 T e n=- δ(ω 2πn T e ) { δ(t nt e )} = n=- 1 T e n=- δ(ω 2πn T e ) ou en f avec f e = 1 T e { δ(t n 1 f )} = f e n=- e n= δ(f n f e ) = f e δ fe (f) 4-3

4 Schéma de l'échantillonage Spectre d'un échantillonneur idéal : X(f) f 2f f e 0 e f e 2f e Spectre du signal analogique : X(f) f Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) : Replié autour du fréquence de Nyquist. X(f) f N = f e 2 = 1 2T e 2 f N f e f N 0 f N f e 2 f N 2f e f 4-4

5 Théorème de Shannon Un signal analogique x(t) ayant une largeur de bande finie limité à 2F hz ne peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(n t) que si ceux-ci ont été prélevés avec une période T e = 1 1 f e 2F. Spectre du signal analogique : x(t) X(f) F N F F F N f Pour que la répétition périodique de ce spectre ne déforme pas le motif répété, Il 1 faut et il suffit que la fréquence de répétition f e = T (la fréquence e d'échantillonnage) soit égale ou supérieure à 2 fois la fréquence maximum F du signal. F f N = f e 2 4-5

6 Exemple : Pour une sinusoïde, Cos(2πf o t), la fréquence d'échantillonnage minimale est deux échantillons par cycle. T e = λ 2 = 1 1 2f ou f = o 2T (Cycle/échantillon) e Soit une fréquence d'échantillonage f e. Si la fréquence du signal, f o, est supérieure à f e 2 f e c-à-d : si f o = 2 + f tel que f > 0 par f : alors, la séquence d'échantillons est assimilée à une suite de fréquence f alias tel que : c-à-d : f alias = f e 2 f. E 2 { Cos( 2πt ( f e 2 + f))} = Cos( 2πt (f e 2 f)) 4-6

7 Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur Le modèle général d'un échantillonneur idéal E 2 {} est : x(t) x ei (t) x ei (t) = x(t). T e δ Τe (t) = T e δ Te (t) x(t) δ(t nt e ) n= par convention on dit que T e = 1, et que x ei (n) = x ei (nt e ) Dans ce cas f e = 1 T = 1. e La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne, de poids f e = 1 T e. {δ Τe (t)} = { n=- δ(t n f e )} = f e δ fe (f) = f e k= δ(f k f e ) La forme de la transformée de Fourier X e (f) = X e (ω/2π) devient : Si T e = 1, X e (f) = X(f) * f e δ fe (f) = f e X(f kf e ) k= X e (f) = X(f) * δ fe(f) = X(f kf e ) k= Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence. En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre π ω π. et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre 1 2 f

8 Bruit d'échantillonage Soit f e = 1 T e = 1. X e (f) = X(f) * δ fe(f) = X(f kf e ) k= Le "bruit" d'echantillonage est W b 2 = 2 -f e /2 f e /2 X e (f) 2 df -f e /2 f e /2 k=1 X(f kf e ) 2 df Mais ceci est équivalent a tout l'energie au dela de f e 2 W b = 2 X e (f) 2 df = 2 X(f) 2 df f e /2 f e /2 4-8

9 Filtre Anti-repliement Afin d'éviter ce repliement de spectre, Il est indispensable d'introduire un préfiltrage du signal analogique avant de procéder à l'échantillonnage. x(t) g (t) x e (nt e ) δ T e(t) Le filtre Anti-repliement (ou filtre de garde) parfait serait un filtre passe-bas idéal de bande passante B = f e 2. Tout filtre anti-repliement réel comporte une bande de transition qui reporte la bande passante limite B M au delà de la bande passante effective. Spectre Réel Spectre Idéel F max F max Nous allons voir dans les séances suivants qu'on spécifie les caractéristique d un filtre avec un gabarit en donnant des paramètres: δ p : ω p ω a : δ a : L ondulation en bande passant Dernière fréquence passante première fréquence atténuée L ondulation en bande atténuée. H(ω) 1 + δ p 1 δ p 1 δ a ω ω p ω c ω a 1 + δ a π 4-9

10 Conversion Analogique Numérique Tout système de traitement de signaux faisant appel à un ordinateur ou à un processeur numérique spécialisé implique necessairement une opération préliminaire de conversion analogique-numérique (A/N). L'information traitée est restituée sour forme analogique par une conversion Numérique-analogique (N/A) (dit digital to analog ou A/D en Anglais). x(t) x(n T) t n T V 4q 3q 2q q 0 1q 2q x(n) t La conversion analogique numérique implique également après échantillonnage une opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de léchantillon par la plus proche valeur approximative extraite dun ensemble fini de valeurs discrètes. Cette opération s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais). Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous forme binaire, par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui fixent la plage de conversion. Chaque nombre x q (n), représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans un intervalle de largeur q appelé "pas de quantification". Lorsque la plage de conversion est subdivisé en pas de quantification égaux, on parle de quantification uniforme. 4-10

11 Les paramètres d'un quantification Les paramètres d'un quantification uniformes sont : q : Le pas de quantification (en volts) V : Le plage de quantification (en volts) B : le nombre de bits de la representation numérique Nombre de valeurs representé 2 B = V q 4-11

12 Méthodes de conversion A/N 1) Méthodes Indirect : VCO La valeur de la tension du signal d entrée est convertie en une fréquence par une oscilateur commandé en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO). La fréquence est proportionnelle à la tension. Ensuite on compte le nombre de passage à zéro pendant T. 2) Convertiseeur parallèle. (Anglais Flash Converteur ). La tension x(n T) d entré est comparé à 2 B 1 valeurs du type : k U 0 2 B déduite d une tension de référence U 0. Le résultat est traduite en mot binaire par un décodeur logique. U 0 (tension de référence) x(t) R + 2 n 1 comparateurs R R + décodeur Logique Sortie numérique (codée en binaire) + R + R Utiliser pour la vidéo, radar, etc. Avantage : Rapide est simple. Inconvenance : Manque de précision. 4-12

13 3) Approximation sucessive La tension d entrée est comparé successivement à une succesion de 2 B 1 valeurs de référence pondérées k U 0 2 N. C est un système bouclé qui inclut un convertisseur numérique-analogique : x(t) + Σ + Horloge et logique de commande interne } Sortie numérique Convertisseur N/A Tension de Référence U 0 Conversion Numérique-analogique Un convertisseur numérique-analogique est un dispositif produisant une grandeur de sortie y qui possède 2 N valeurs distinctes. Il est à loi uniforme si ces valeurs sont régulièrement réparties sur une plage de valeurs allant de zéro à 2 N q selon la loi : y = q (d 1 2 B-1 + d 2 2 B d B 2 0 ) où q est le pas de quantification. Des interrupteurs commandés par les variables binaires d k (d k = 0 interrupteur ouvert, d k = 1 interrupteur fermé) contrôlent le passage de courants pondérés I 0 / 2 N provenant de source de cournat dépendant d une référence I 0 vers un point de sommation. 4-13

14 I 0 /2 d 1 I 0 /4 d 2 I = d 1 I 0 /2 + d 2 I 0 / d B I 0 /2 B I 0 /2 B d B Dans la pratique, tous les interrupteurs ne réagissent pas exactement au même instant. Il ne résulte des parasites de commutations ( Glitches en anglais) qui doivent être éliminés par filtrage. 4-14