Annales Statistiques

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1 Annales Statistiques Terminale 8 STG - 21/211 Exercices 5 Exercice 1 STT CG La Réunion, septembre 26 Dans une entreprise qui fabrique et vent un seul produit, le relevé des ventes mensuelles et des charges (en centaines d euros donne le tableau suivant : Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Nombre de ventes : x Montant des charges : y (en centaines d euros Mois Juillet Août Sept. Octobre Novem. Décem. Nombre de ventes : x Montant des charges : y (en centaines d euros Représenter le nuage de points de coordonnées ( x ; y dans le repère ci-dessous On note G 1 le point moyen associé aux points de janvier, février, mars, juillet, août, décembre et G 2 le point moyen associé aux six autres points. a Calculer les coordonnées des points G 1 et G 2. Placer G 1 et G 2 sur le graphique précédent et tracer la droite (G 1 G 2. Annales Statistiques 1

2 b Montrer que l équation réduite de la droite (G 1 G 2 est y =,7x + 4,3. 3. On admet que la droite (G 1 G 2 réalise un ajustement affine convenable du nuage de points. a Estimer par un calcul le montant des charges en euros pour 24 ventes mensuelles. b Estimer, à l aide du graphique, le nombre de ventes à réaliser par mois pour que les charges restent inférieures à 2 6 euros (on laissera apparents les traits de construction. Exercice 2 STT CG Nouvelle Calédonie, décembre 26 Les données ci-dessous montrent l évolution du SMIC mensuel (169 h en euros (les montants sont arrondis à l unité. Pour tout entier i, x i représente le rang de l année 2 + i ; y i représente le montant du SMIC au 1 er juillet de l année 2 + i. Date 1 er juillet 21 1 er juillet 22 1 er juillet 23 1 er juillet 24 1 er juillet 25 x i y i (source INSEE 1. Représenter le nuage de points M i ( xi ; y i de cette série statistique Annales Statistiques

3 2. a On considère le nuage formé par les trois premiers points. Calculer les coordonnées du point moyen G 1 de ce nuage. b On considère le nuage formé des deux derniers points. Calculer les coordonnées du point moyen G 2 de ce nuage. c Placer G 1 et G 2 sur le graphique et tracer la droite (G 1 G 2. d Déterminer une équation de la droite (G 1 G Le SMIC est revalorisé le 1 er juillet de chaque année. Recopier et compléter la phrase suivante : «On s attend à ce que le SMIC devienne supérieur à 1 12 e à partir du 1 er juillet...». Expliquer votre réponse. Exercice 3 CGRH Antilles, juin 27 Les deux parties de cet exercice sont indépendantes En juillet 26, un homme politique se renseigne sur l évolution du nombre de demandeurs d emploi sur les 12 derniers mois. Le tableau ci-dessous est fourni à ce cabinet par l INSEE. Nombre de demandeurs Dates Rang x i d emploi en milliers y i 31 juillet août septembre octobre novembre décembre janvier février mars avril mai juin Annales Statistiques 3

4 Partie A Tous les taux d évolution seront donnés en pourcentage avec trois décimales. 1. Calculer le taux d évolution du nombre de demandeurs d emploi entre le 31 août 25 et le 3 septembre Entre le 3 juin 25 et le 31 juillet 25 le nombre de demandeurs d emploi a baissé de,952 %. Calculer le nombre de demandeurs d emploi le 3 juin 25 (arrondi au millier. 3. Calculer le taux d évolution du nombre de demandeurs d emploi entre le 31 juillet 25 et le 3 juin 26. En déduire le taux d évolution mensuel moyen sur ces 11 mois. Partie B On considère la série statistique ( x i ; y i donnée par le tableau. 1. Donner, à l aide de la calculatrice, l équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à,1 près. 2. En supposant que cette évolution se poursuive, donner une estimation du nombre de demandeurs d emploi fin août 26 (arrondi au millier. Exercice 4 Mercatique Antilles, juin 27 Le tableau suivant indique l évolution du chiffre d affaires (en milliers d euros d une entreprise entre 21 et 25. Année Rang (x i Chiffre d affaires (y i Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses possibles ; pour chaque question une seule réponse est exacte. Toute réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève,5 point ; l absence de réponse ne rapporte aucun point et n enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l exercice est ramenée à. Recopier clairement sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n est demandée. 1. Les coordonnées du point moyen G ( x ; y sont : a G (2,5;341,8 b G (3;342,1 c G (3;341,8 2. La droite D d ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation : a y =,8x + 339,4 b y =,9x + 339,1 c y =,8x + 341,8 3. Le chiffre d affaires, en milliers d euros, estimé pour 26 à l aide de l ajustement précédent est de : a 344,5 b 346,6 c 344,2 4 Annales Statistiques

5 Exercice 5 CGRH Centres étrangers, juin 27 Une commune, proche d une grande agglomération, a vu sa population augmenter fortement en quelques années. Le tableau suivant donne l évolution du nombre d habitants sur la période considérée. Année Rang de l année : x i Nombre d habitants : y i Année Rang de l année : x i Nombre d habitants : y i Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Quel est le taux d évolution du nombre d habitants de l année 1995 à l année 25? 2. Montrer que le taux d évolution annuel moyen du nombre d habitants de l année 1995 à l année 25, arrondi à,1 %, est de 1 %. 3. Représenter sur le graphique ci-dessous le nuage de points M ( x ; y de la série statistique. 4. À l aide de la calculatrice, donner une équation de la droite (D d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (donner les valeurs des coefficients arrondies à,1 près. Tracer (D sur le graphique. 5. En utilisant l ajustement précédent, déterminer une estimation du nombre d habitants en 211 ; on arrondira le résultat à la dizaine près. Partie B On pense pouvoir estimer le nombre d habitants de la commune l année de rang x à l aide de la fonction f définie par f (x =,14x 3 +,84x x + 45,42 où x appartient à l intervalle [1; 19]. 1. Calculer f (x pour tout x de l intervalle [1;19], f étant la fonction dérivée de f sur [1;19]. 2. Vérifier que pour tout x de [1;19], f (x =,42(x ,32. En déduire que f (x >. Annales Statistiques 5

6 3. La courbe de f est donnée sur le graphique. Déterminer graphiquement, en faisant figurer tous les tracés utiles, une estimation du nombre d habitants en Retrouver par le calcul l estimation du nombre d habitants en 211. Partie C On admet que le taux d évolution moyen du nombre d habitants de 25 à 211 sera le même que celui de 1995 à 25. Quelle est, des deux estimations précédentes, (question 5. de la partie A et question 4. de la partie B, celle qui donne le résultat le plus proche? C f Exercice 6 CGRH Polynésie, septembre 27 Le tableau suivant donne la valeur en euros du SMIC (salaire minimum de croissance horaire brut, des années 1999 à 26. Année Rang x i SMIC horaire brut y i 6,21 6,41 6,67 6,83 7,19 7,61 8,3 8,27 (Source INSEE 1. a Calculer le taux d évolution du SMIC horaire brut entre 25 et 26. Donner une valeur décimale arrondie à Annales Statistiques

7 b Quelle sera en 27 la valeur du SMIC horaire brut arrondi au centime s il subit une augmentation de 2,99 % par rapport à celui de 26? 2. Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i pour 1 i a Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. L ordonnée de G sera arrondie au centième. b Placer le point G dans le même repère que précédemment. 4. On recherche un ajustement affine de la série ( x i ; y i. a Donner l équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Effectuer les calculs à la calculatrice et arrondir les valeurs cherchées au centième ; aucune justification n est demandée. b Tracer la droite dans le même repère que précédemment. c Déterminer à l aide de cet ajustement affine une estimation du SMIC horaire brut pour l année 27. Exercice 7 Mercatique Pondichéry, avril 28 Hélène est salariée de la même entreprise depuis maintenant quinze ans. Elle regarde l évolution de son salaire qui dépend à la fois de la variation des cotisations, des changements d échelons et des augmentations occasionnelles. Elle observe les résultats suivants sur les huit dernières années. Année Rang de l année x i Salaire mensuel moyen y i (en e Tracer le nuage de points associé à cette série statistique dans le repère ci-dessous : Annales Statistiques 7

8 a Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le repère précédent. b Avec la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés : les coefficients de l équation seront arrondis à l unité. c Tracer la droite dans le repère de la question On considère que cette droite permet un ajustement de la série statistique valable jusqu en 215. a Estimer, à l aide du graphique, le salaire moyen mensuel d Hélène en 21 en laissant apparents sur le graphique les traits de rappel (arrondir à la dizaine d euros. b Son salaire atteindra-t-il 24 e avant 215? Justifier la réponse. Exercice 8 CGRH France, juin 28 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM. Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte. Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. Sébastien PIGNOL est un jeune chef d entreprise qui a créé son entreprise en 22. Il désire mettre sur une feuille de tableur les résultats de sa petite société afin de pouvoir les modéliser. Pour cela, il va faire appel à ses souvenirs d élève et d étudiant et va devoir remplir la feuille proposée en annexe. Le tableau ci-dessous donne le chiffre d exploitation, en milliers d euros, de son entreprise en fonction de l année. Il reprend les lignes 3 et 5 de la feuille de calcul proposée en annexe. Année Chiffre d affaires Annales Statistiques

9 1. Il compte dans un premier temps créer une nouvelle variable appelée ancienneté correspondant à la durée de vie de son entreprise : 22 est la 1 re année et ainsi de suite. Quelle formule doit-il saisir en D4 et recopier sur la ligne 4 pour obtenir l ancienneté de son entreprise? a =D3-21 b =$D$3-21 c =D Il désire calculer la droite de régression y = ax + b donnant le chiffre d affaires (y en fonction de l ancienneté (x. Avec un arrondi des coefficients à l unité, quelle est l équation correcte? a y = 19x b y = 1268x c y = 19x Sébastien PIGNOL place alors les coefficients obtenus a et b de la droite de regression respectivement en C2 et F2. Il désire calculer le chiffre d affaires estimé à l aide de la droite de régression obtenue à la deuxième question. Quelle formule doit-il saisir en C6 et recopier sur la ligne 6? a =C2*C4+F2 b =$C$2*C4+$F$2 c =$C$2*$C$4+$F$2 4. La ligne 6 appelée modèle 1 correspond à la droite de régression linéaire. Pour obtenir la valeur du chiffre d affaires modélisé en 21 sur quelle plage doit-il recopier la formule saisie en C6? a D6:K6 b C6:K6 c I6:K6 5. Sébastien PIGNOL se rend compte que la modélisation avec la droite de régression ne lui permet pas d obtenir le chiffre d affaires 25 milliers d euros souhaité pour 21. Il décide alors d appliquer un deuxième modèle. Dans la ligne 7, à partir de 27, le chiffre d affaire augmente de 25 milliers d euros par an. Quel chiffre d affaires obtiendra t-il avec ce modèle en 21? a 2 3 milliers d euros b 2 55 milliers d euros c 2 8 milliers d euros 6. Il saisit en I7 la formule «=H7+25» et la recopie sur J7:K7 pour obtenir le chiffre d affaires en 21. En se plaçant dans la cellule K7, quelle formule a-t-il? a =J7+25 b =K7+25 c =I7+25 A B C D E F G H I J K L 1 Modélisation du chiffre d affaires de l entreprise Sébastien PIGNOL 2 a= b= 3 Année Ancienneté Chiffre d affaires Modèle Modèle 2 18 Exercice 9 Mercatique La Réunion, juin 28 Selon l institut national de la statistique et des études économiques (INSEE un indice des prix a suivi, en France, l évolution suivante entre les années 2 et 26. Année Rang de l année x i Indice y i 1 11,5 12,8 14, 17,1 19,4 113,5 INSEE : formation brute de capital fixe L exercice a pour objet d étudier l évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques. Une représentation graphique du nuage de points M i de coordonnées ( x i ; y i est donnée en annexe, à rendre avec la copie. 1. Ajustement affine a À l aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième. b À partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d équation y = 2,2x + 96,8. Annales Statistiques 9

10 Tracer la droite D sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie. c En supposant que ce modèle reste valable pour l année 27, donner une prévision de la valeur de l indice pour 27. Indiquer la méthode utilisée. 2. Ajustement à l aide d un logiciel Un logiciel de calcul propose d ajuster le nuage de points à l aide d une partie de la courbe d équation y =,3x 2 +,1x + 99,9. La courbe C est tracée en annexe, à rendre avec la copie. a Déterminer l ordonnée du point de la courbe C d abscisse 8. b On suppose que le modèle défini par la courbe C reste valable pour l année 27. Donner, selon ce modèle, la valeur de l indice pour ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 C 1 Annales Statistiques

11 Exercice 1 Mercatique Nouvelle Calédonie, novembre 21 Le service Communication vous remet le bilan des visites par les internautes du site de l entreprise pour une année. Mois Rang du mois : x i Nombre de visites : y i janvier 1 13 février 2 15 mars 3 16 avril 4 17 mai 5 19 juin 6 2 juillet 7 22 août 8 23 septembre 9 25 octobre 1 25 novembre décembre On considère la série statistique ( x i ; y i donnée par le tableau ci-dessus. Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i dans le repère ci-dessous : Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer le point G dans le repère précédent. 3. À l aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite D dans le repère précédent. Annales Statistiques 11

12 4. En supposant que le modèle précédent reste valide l année suivante, donner par le calcul le mois au cours duquel le nombre de visiteurs dépasse 35. Exercice 11 CGRH France, septembre 21 Le tableau ci-dessous donne le montant, en milliards d euros, des crédits accordés aux ménages entre 21 et 26. Année Rang x i Montant y i des crédits accordés aux ménages (en milliards d euros 58,9 541,8 58,5 639,5 712,9 792,7 (Source : Banque de France Partie A 1. Calculer le taux d évolution global du montant des crédits accordés aux ménages entre 21 et 26. On arrondira le résultat à,1 %. 2. Quel a été le montant, en milliards d euros, des crédits accordés aux ménages en 27 sachant que ce montant a augmenté de 1,7 % entre 26 et 27? On arrondira le résultat au dixième. Partie B 1. On appelle G le point moyen de ce nuage. Déterminer les coordonnées du point G. On arrondira les coordonnées du point G au dixième. 2. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées obtenu par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième. Dans la suite de l exercice, on prendra comme droite d ajustement du nuage de points de coordonnées ( xi ; y i, la droite D1 d équation : y = 57x En supposant que l ajustement affine réalisé par la droite D 1 reste valable durant les années suivantes, déterminer à partir de quelle année le montant des crédits accordés aux ménages dépassera 98 milliards d euros. 12 Annales Statistiques