[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [ édité le 1 juillet 214 Enoncés 1 Dualité Exercice 1 [ 3131 ] [correction] Soient a, a 1,..., a n R deux à deux distincts. Montrer qu il existe (λ,..., λ n ) R n+1 unique vérifiant n P R n [X], P (t) dt = λ k P (a k ) Exercice 2 [ 21 ] [correction] Soient a,..., a n K deux à deux distincts et f,..., f n les formes linéaires sur E = K n [X] déterminées par f i (P ) = P (a i ) Etablir que la famille (f,..., f n ) est une base du dual de E et déterminer sa base antéduale. k= Exercice 3 [ 3132 ] [correction] Soient ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 les formes linéaires sur R 2 [X] définies par ϕ 1 (P ) = P (1), ϕ 2 (P ) = P (1) et ϕ 3 (P ) = P (t) dt Montrer que la famille (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ) est une base du dual de R 2 [X] et déterminer sa base antéduale. Exercice 4 [ 211 ] [correction] Sur E = R n [X], on considère les formes linéaires f,..., f n déterminées par f j (P ) = x j P (x) dx a) Montrer que la famille (f,..., f n ) est une base du dual de E. b) Dans le cas n = 2, déterminer la base antéduale de (f, f 1, f 2 ). Exercice 5 [ 2685 ] [correction] Soient a, a 1,..., a n des réels non nuls deux à deux distincts. On note F j l application de R n [X] dans R définie par F j (P ) = aj Montrer que (F, F 1,..., F n ) est une base de (R n [X]). P Exercice 6 [ 3139 ] [correction] Soit H un hyperplan du dual E d un K-espace vectoriel E de dimension finie n 2. Montrer qu il existe x E vérifiant ϕ E, ϕ H ϕ(x) = Exercice 7 [ 314 ] [correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1. Montrer x, y E, x y ϕ E, ϕ(x) ϕ(y) Exercice 8 [ 29 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g deux formes linéaires non nulles sur E. Montrer x E, f(x)g(x) Exercice 9 [ 28 ] [correction] Soient f, g E telles que ker f = ker g. Montrer qu il existe α K tel que f = αg. Exercice 1 [ 26 ] [correction] Soient f 1,..., f n des formes linéaires sur un K-espace vectoriel E de dimension n. On suppose qu il existe x E non nul tel que f 1 (x) =... = f n (x) = Montrer que la famille (f 1,..., f n ) est liée. Exercice 11 [ 25 ] [correction] Soit e = (e 1,..., e n ) une famille de vecteurs d un K-espace vectoriel E de dimension n N. On suppose que Montrer que B est une base de E. f E, f(e 1 ) =... = f(e n ) = f =

2 [ édité le 1 juillet 214 Enoncés 2 Exercice 12 [ 27 ] [correction] Soient f 1,..., f n et f des formes linéaires sur un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que n f Vect(f 1,..., f n ) ker f i ker f Exercice 13 [ 3148 ] [correction] Soient ϕ 1,..., ϕ p des formes linéaires sur un K-espace vectoriel E de dimension finie n 2. Montrer que la famille (ϕ 1,..., ϕ p ) est libre si, et seulement si, (λ 1,..., λ p ) K p, x E, 1 j p, ϕ j (x) = λ j Exercice 14 [ 2684 ] [correction] Soit E et F des espaces vectoriels sur K, de dimensions finies ou non. Montrer que (E F ) et E F sont isomorphes. Exercice 15 [ 371 ] [correction] On note E l espace vectoriel R 2 [X] et e = (e 1, e 2, e 3 ) la base duale de la base canonique de E. On note v et w les éléments de E définis par v(p ) = P (1) et w(p ) = a) Montrer que e = (e 1, v, w) est une base de E. b) Donner la matrice de passage de e à e. c) Donner la base antéduale de e. P (t)dt

3 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 3 Corrections Exercice 1 : [énoncé] Posons ϕ k : R n [X] R la forme linéaire définie par Supposons Pour tout polynôme P R n [X], on a ϕ k (P ) = P (a k ) λ ϕ + + λ n ϕ n = λ P (a ) + + λ n P (a n ) = Considérons le polynôme d interpolation de Lagrange défini de sorte que L k = j k X a j a k a j L k R n [X] et L k (a j ) = δ j,k En prenant P = L k, on obtient λ k =. La famille (ϕ,..., ϕ n ) est libre et puisque formée de n + 1 = dim (R n [X]) éléments de (R n [X]), c est une base de (R n [X]). Puisque ϕ : P P (t) dt est une forme linéaire sur R n [X], on peut affirmer qu il existe (λ,..., λ n ) R n+1 unique vérifiant ϕ = λ ϕ + + λ n ϕ n Exercice 2 : [énoncé] Introduisons les polynômes L,..., L n d interpolation de Lagrange aux points a,..., a n. On sait que (L,..., L n ) est une base de E. On vérifie f i (L j ) = δ i,j donc les f,..., f n sont les formes linéaires coordonnées dans la base (L,..., L n ). Il en découle que (f,..., f n ) est la base duale de (L,..., L n ) et c est donc une base du dual de E dont (L,..., L n ) est la base antéduale. Exercice 3 : [énoncé] Soit P = a + bx + cx 2 R 2 [X]. On a ϕ 1 (P ) = a + b + c, ϕ 2 (P ) = b + 2c et ϕ 3 (P ) = a + b 2 + c 3 Considérons alors la matrice définie de sorte que A = /2 1/3 Y = AX avec X = t ( a b c ) et Y = ( t ϕ 1 (P ) ϕ 2 (P ) ϕ 3 (P ) ). La matrice A est inversible et 2 1/2 3 A 1 = /2 3 Puisque AA 1 = I n, les colonnes de A 1 déterminent des colonnes X telles que Y = AX est une colonne élémentaire. On en déduit que pour on a P 1 = 2 + 6X 3X 2, P 2 = 1 2 2X X2 et P 3 = 3 6X + 3X 2 k, l {1, 2, 3}, ϕ k (P l ) = δ k,l On en déduit que la famille (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ) est libre et que c est donc une base de R 2 [X] dont la base antéduale est (P 1, P 2, P 3 ). Exercice 4 : [énoncé] a) Supposons λ f + + λ n f n =. Considérons le polynôme P (X) = λ + λ 1 X + + λ n X n E. En évaluant la relation λ f + + λ n f n = en P, on obtient [P (x)]2 dx =. Par nullité de l intégrale sur [, 1] d une fonction continue et positive, on peut affirmer P (x) = pour tout x [, 1]. Le polynôme P ayant une infinité de racines, il est nul et donc λ =... = λ n =. La famille (f,..., f n ) est libre et formée de n + 1 = dim E éléments de E, c est donc une base de E.

4 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 4 b) Si P (X) = a + bx + cx 2 alors f (P ) = a b c, f 1(P ) = 1 2 a b c et f 2(P ) = 1 3 a b c Déterminer la base antéduale de (f, f 1, f 2 ) revient à déterminer des polynômes P, P 1, P 2 E vérifiant f i (P j ) = δ i,j. Par le calcul qui précède, ce problème est immédiatement résolu une fois inversée la matrice 1 1/2 1/3 A = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 Par calculs, Par suite A 1 = P (X) = 9 36X+3X 2, P 1 (X) = X 18X 2 et P 2 (X) = 3 18X+18X 2 Exercice 5 : [énoncé] Il est clair que les application F j sont éléments de (R n [X]) espace de dimension n + 1. Pour conclure, il suffit d observer la liberté de la famille (F,..., F n ). Supposons λ F + + λ n F n =. En appliquant cette égalité aux polynômes 1, 2X,..., (n + 1)X n on obtient les équations formant le système linéaire : λ a + + λ n a n = λ a λ n a 2 n = λ a n λ n a n+1 n = Par un déterminant de Vandermonde, ce système est de Cramer ce qui entraîne λ =... = λ n = La famille est alors libre et constituée du bon nombre de vecteurs pour former une base de R n [X]. Exercice 6 : [énoncé] Soit (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) une base de H que l on complète en une base (ϕ 1,..., ϕ n ) de E. Soit (e 1,..., e n ) la base de E antéduale de (ϕ 1,..., ϕ n ). Le vecteur x = e n est alors solution car ϕ E, ϕ = ϕ(e 1 )ϕ ϕ(e n 1 )ϕ n 1 + ϕ(e n )ϕ n Exercice 7 : [énoncé] Soient x, y E tels que x y. Le vecteur x y est non nul, il peut donc être complété pour former une base de E. La forme linéaire correspondant à la première application composante dans cette base est alors solution du problème posé. Exercice 8 : [énoncé] Si ker f = ker g alors le résultat est immédiat. Sinon, pour des raisons de dimension, ker f ker g et ker g ker f. La somme d un vecteur de ker f qui ne soit pas dans ker g et d un vecteur de ker g qui ne soit pas dans ker f est solution. Exercice 9 : [énoncé] Si f = : ok. Sinon, on introduit u / ker f de sorte que Vect u et ker f soient supplémentaires puis on introduit α de sorte que f( u) = αg( u) avant de conclure via h = f αg s annule sur ker f et u. Exercice 1 : [énoncé] Soit ϕ une forme linéaire ne s annulant pas sur x. Celle-ci n est pas combinaison linéaire des (f 1,..., f n ). Cette famille n est donc pas génératrice et par suite elle est liée car formée de n = dim E éléments de E. Exercice 11 : [énoncé] Par contraposée : si e n est pas une base de E alors Vect(e 1,..., e n ) E. Soit H un hyperplan tel que Vect(e 1,..., e n ) H et f une forme linéaire non nulle de noyau H. On a f(e 1 ) =... = f(e n ) = mais f.

5 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 5 Exercice 12 : [énoncé] ( ) clair. ( ) Supposons n ker f i ker f. Si la famille (f 1,..., f n ) est libre alors on peut la compléter en une base (f 1,..., f N ). On peut écrire f = λ 1 f λ n f n + λ n+1 f n λ N f N Notons (e 1,..., e N ) la base de E dont (f 1,..., f N ) est la base duale. Puisque n e n+1,..., e N ker f i ker f on a λ n+1 =... = λ N = donc f Vect(f 1,..., f n ). Si la famille (f 1,..., f n ) est liée, quitte à intervertir, on peut supposer f n combinaison linéaire des f 1,..., f n 1. On a alors et donc n 1 ker f i ker f n n ker f i = n 1 ker f i Cela permet de reprendre l exercice avec f 1,..., f n 1 jusqu à obtention d une famille libre. Exercice 13 : [énoncé] Supposons la famille (ϕ 1,..., ϕ p ) libre. On peut compléter cette famille en une base (ϕ 1,..., ϕ n ) du dual E de E. Notons (e 1,..., e n ) la base de E antéduale de (ϕ 1,..., ϕ n ). Soit (λ 1,..., λ p ) K p. Pour on vérifie aisément Inversement, supposons la propriété x = λ 1 e λ p e p E 1 j p, ϕ j (x) = λ j (λ 1,..., λ p ) K p, x E, 1 j p, ϕ j (x) = λ j Montrons que la famille (ϕ 1,..., ϕ p ) est libre. Supposons α 1 ϕ α p ϕ p = Par la propriété hypothèse, pour chaque j {1,..., p}, il existe x E vérifiant i {1,..., p}, ϕ i (x) = δ i,j La relation α 1 ϕ α p ϕ p = évaluée en x donne alors α j = et on peut donc affirmer que la famille (ϕ 1,..., ϕ p ) est libre. Exercice 14 : [énoncé] Pour f E et g F, posons f g l application définie sur E F par (f g)(x, y) = f(x) + g(y). Il est facile d observer f g (E F ). Considérons ϕ : E F (E F ) définie par ϕ(f, g) = f g. L application ϕ est linéaire. Si ϕ(f, g) = alors pour tout (x, y) E F, f(x) + g(y) =. Pour y =, on peut affirmer f = et pour x =, on affirme g =. Ainsi (f, g) = (, ) et donc ϕ est injective. Soit h (E F ). Posons f : x h(x, ), g : y h(y, ). On vérifie aisément f E, g F et ϕ(f, g) = h car h(x, y) = h(x, ) + h(, y). Exercice 15 : [énoncé] a et b) Pour P = a + bx + cx 2, e 1 (P ) = a, e 2 (P ) = b, e 3 (P ) = c, v(p ) = a + b + c et w(p ) = a b c. Par suite v = e 1 + e 2 + e 3 et w = e e e 3. La matrice de la famille e dans e est Q = /2 1 1/3 Cette dernière est inversible donc e est une base et Q est la matrice de passage voulue. c) Pour déterminer la base antéduale (P 1, P 2, P 3 ) de e il suffit de résoudre les systèmes e 1 (P 1 ) = 1 e 1 (P 2 ) = e 1 (P 3 ) = v(p 1 ) =, v(p 2 ) = 1 et v(p 3 ) = w(p 1 ) = w(p 2 ) = w(p 3 ) = 1

6 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 6 Ceci est facile en raisonnant à coefficients inconnus. Cela revient aussi à calculer l inverse de la matrice t Q. Il est même possible de faire un lien théorique, mais ce dernier n est pas au programme.