1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

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1 Lycée Sainte Geneviève BCPST 2 Dans tout le chapitre K = R ou C. Chapitre 1 : ESPACES VECTORIELS 1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 1.1 K espaces vectoriels Définition 1. On appelle espace vectoriel sur K tout triplet (E, +,.) vérifiant les propriétés suivantes : 1. La loi + (a) est une loi de composition interne i.e. (x, y) E 2, x + y E (b) est associative : (x, y, z) E 3, (x + y) + z = x + (y + z) (c) possède un élément neutre qui est noté 0 E : x E, x + 0 E = 0 E + x = x (d) Tout élément de E possède un inverse pour la loi + : x E, y E ; x + y = y + x = 0 E. Cet élément est noté x. (e) est commutative : (x, y) E 2, x + y = y + x A ce stade, on dit que (E, +) est un groupe commutatif. 2. La deuxième loi. doit vérifier les propriétés suivantes : (a) c est une loi externe : λ K, x E, λ.x E. (b) x E, 1 K.x = x (c) elle est distributive à gauche : (λ, µ) K 2, x E, (λ + µ).x = λ.x + µ.x (d) elle est distributive à droite : λ K, (x, y) E 2, λ.(x + y) = λ.x + λ.y (e) elle est associative : (λ, µ) K 2, x E, λ.(µ.x) = (λµ).x Proposition 1. Soit E un K-ev. 1. Pour tout λ K et tout x E on a λ.x = 0 E (λ = 0 K ou x = 0 E ) 2. Pour tout x E, x = ( 1).x Exemples R est un R espace vectoriel. C est un C-ev mais peut aussi être considéré comme un R-ev. Pour tout n N, K n est un K-ev. K N i.e. l ensemble des suites à valeurs dans K est un K-ev. R I i.e. l ensemble des fonctions définies sur un intervalle I R à valeurs dans R est un R-ev. L ensemble des polynômes K[X] est un K-ev. L ensemble des matrices à coefficients dans K est un K-ev. 1.2 Sous-espaces vectoriels Définition 2. Soient E un K-ev et u 1,..., u n des vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de u 1,..., u n tout vecteur de la forme λ k u k où (λ 1,..., λ n ) K n. 1

2 Définition 3. Soient E un K-ev et F un sous ensemble de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si 1. F est non vide 2. F est stable par addition : (x, y) F 2, x + y F 3. F est stable par multiplication par un scalaire : λ K, x F, λ.x F Théorème 1. Soient (E, +,.) un K-ev et F un sous-ev de E. Alors F est un K-ev pour les mêmes lois (+,.) que E. Théorème 2. Caractérisation des sous-espaces vectoriels Soient E un K-ev et F un sous ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : 0 E F F est stable par combinaison linéaire : (λ, µ) K 2, (x, y) F 2, λ.x + µ.y F Exemples Les sous-espaces vectoriels de R 2 sont {(0, 0)}, R 2 et toutes les doites passant par l origine. Les sous-espaces vectoriels de R 3 sont {(0, 0, 0)}, R 3 et toutes les doites et les plans passant par l origine. L ensemble des solutions d un système linéaire homogène à n inconnues est un sous-ev de R n. L ensemble K n [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un sous-ev de K[X]. (C est faux pour les polynômes de degré égal à n) L ensemble des suites de limite nulle est un sous-ev de K N. C 0 (I, R), C 1 (I, R),..., C (I, R) sont des sous-ev de R I. L ensemble des solutions à une équation différentielle linéaire homogène définie sur un intervalle I est un sous-ev de R I. Les ensembles de matrices symétriques, antisymétriques, diagonales, triangulaires, sont des sous-espaces vectoriels de M n (R). Proposition 2. Toute intersection de sous-ev d un K-ev E est un sous-ev de E. Remarque La réunion de deux sous-ev n est, en général, pas un sous-ev. Le complémentaire d un sous-ev n est jamais un sous-ev car il ne peut pas contenir le vecteur nul. 2 Familles de vecteurs 2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs Définition 4. Soient E un K-ev et des vecteurs (x 1, x 2,..., x n ) E n. On note Vect (x 1, x 2,..., x n ) l ensemble des combinaisons linéaires de x 1, x 2,..., x n, i.e. : Vect (x 1, x 2,..., x n ) = {λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n ; (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n } Vect (x 1, x 2,..., x n ) est un sous-espace vectoriel de E appelé le sous-espace vectoriel engendré par (x 1, x 2,..., x n ). Théorème 3. Soient E un K-ev et des vecteurs (x 1, x 2,..., x n ) E n. Le sous-espace vectoriel Vect (x 1, x 2,..., x n ) n est pas modifié : 1. quand on change l ordre des vecteurs x 1, x 2,..., x n. 2. quand on enlève tous les vecteurs nuls parmi les x 1, x 2,..., x n. 3. quand pour un k 1, n fixé, on remplace x k par une combinaison linéaire de x 1, x 2,..., x n avec un coefficient non nul devant x k. 2

3 Exemple Pour illustrer le point 3 : on a Vect (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = Vect (x 1, x 2, x 2 + x 3 x 4, x 4 ) Proposition 3. Soit n N et (P 0, P 1,..., P n ) une famille de n + 1 polynômes de K[X] telle que deg P i = i pour tout i 0, n (on dit que la famille est échelonnée en degré). Alors Vect (P 0, P 1,..., P n ) = K n [X] Remarque On verra qu avec cette hypothèse (P 0, P 1,..., P n ) est en fait une base de K n [X] 2.2 Famille génératrice Définition 5. Soit E un K-ev et (x 1, x 2,..., x n ) E n. On dit que la famille (x 1, x 2,..., x n ) est une famille génératrice de E ou qu elle engendre E si Vect (x 1, x 2,..., x n ) = E, autrement dit si tout élément de E est combinaison linéaire de x 1, x 2,..., x n. Remarque Cela revient à dire que l application linéaire (λ 1,..., λ n ) λ k x k est surjective. Si on change l ordre des vecteurs d une famille génératrice, elle reste génératrice. Théorème Toute sur-famille d une famille génératrice est encore génératrice. 2. Si on supprime d une famille génératrice tout vecteur qui est combinaison linéaire des autres vecteurs, alors elle reste génératrice. ( i Exemple pour illustrer le deuxième point : dans le plan R 2 ) ( i ),, i + 3 j, j est génératrice mais aussi, j 2.3 Famille libre, famille liée Définition 6. Soit E un K-ev et (x 1, x 2,..., x n ) E n. On dit que la famille (x 1, x 2,..., x n ) est une famille libre ou encore que x 1, x 2,..., x n sont linéairement indépendants si : (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n, (λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n = 0) = (λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0) On dit que la famille (x 1, x 2,..., x n ) est une famille liée ou encore que x 1, x 2,..., x n sont linéairement dépendants si (x 1, x 2,..., x n ) n est pas libre, ce qui revient à dire qu au moins un des x 1, x 2,..., x n est combinaison linéaire des autres. 3

4 Remarque (x 1, x 2,..., x n ) libre revient à dire que l application linéaire (λ 1,..., λ n ) λ k x k Si on change l ordre des vecteurs d une famille libre, elle reste libre. est injective. Exemple Pour une famille de deux vecteurs (x, y), on dit que x et y sont colinéaires si la famille (x, y) est liée. Théorème Toute sur-famille d une famille liée est liée. 2. Toute sous-famille d une famille libre est libre. 3. Si on ajoute à une famille libre un vecteur non combinaison linéaire des vecteurs de cette famille, alors on obtient une famille libre. Proposition 4. Toute famille finie de polynômes non nuls de degré deux à deux distincts est libre. 2.4 Base Définition 7. Soit E un K-ev et (x 1, x 2,..., x n ) E n. On dit que la famille (x 1, x 2,..., x n ) est une base de E si elle est libre et génératrice de E, i.e. x E,!(λ 1,..., λ n ) K n ; x = λ k x k Remarque cela revient à dire que l application linéaire (λ 1,..., λ n ) λ k x k est bijective. Exemples Avec e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0, 0,..., 1), alors (e 1, e 2,..., e n ) est une base de K n, appelée sa base canonique. (1, X, X 2, X 3,..., X n ) est une base de K n [X] appelée sa base canonique. Dans M np (K), si on note, pour tout (i, j) 1, n 1, p, E ij la matrice avec tous ses coefficients nuls sauf le coefficient de position (i, j) qui vaut 1. Alors (E ij ) (i,j) 1,n 1,p est une base de M np (K) appelée base canonique. Définition 8. Soient E un K-ev possédant une base (e 1, e 2,..., e n ) et x E. On appelle coordonnées de x dans la base (e 1, e 2,..., e n ) l unique famille (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n telle que x = λ k e k. Pour tout k 1, n, le scalaire λ k est appelé la k ième coordonnée de x dans la base (e 1, e 2,..., e n ). 4

5 3 Bases et dimension Définition 9. Soit E un K-ev. On dit que E est de dimension finie si E possède une famille génératrice finie. 3.1 Existence de bases Théorème 6. Théorème de la base incomplète Soit E un K-ev non nul de dimension finie engendré par une famille (x 1, x 2,..., x n ). Soit (y 1,..., y p ) une famille libre de E. On peut compléter (y 1,..., y p ) en une base de E en lui ajoutant certains des x k, k 1, n. Corollaire. Si E un K-ev non nul de dimension finie alors il possède une base. Corollaire. base. Soit E un K-ev non nul de dimension finie. De toute famille génératrice de E on peut extraire une 3.2 Existence de la dimension Théorème 7. Dans un K-ev de dimension finie, une famille libre a toujours moins d éléments (i.e. cardinal inférieur ou égal) qu une famille génératrice. Définition 10. Soit E un K-ev de dimension finie. Si E {0 E }, toutes les bases de E ont le même cardinal. Cet unique entier est appelé la dimension de E, notée dim E. Si E = {0 E }, par convention, on pose dim E = 0. Quand E est de dimension 1, on dit que c est une droite vectorielle et si E est de dimension 2, on dit que c est un plan vectoriel. Corollaire. Le cardinal d une famille libre d un K-ev E de dimension finie est inférieur ou égal à dim E. Le cardinal d une famille génératrice de E est supérieur ou égal à dim E. Corollaire. Soient E un K-ev de dimension finie n et F une famille de vecteurs de E, de cardinal cardf = n = dim E. Alors on a F est une base de E F est une famille libre F est une famille génératrice de E Attention Merci de ne pas confondre les notions de cardinal et de dimension. Une famille a un certain cardinal mais pas de dimension et par contre un espace vectoriel (de dimension finie) a une dimension mais est toujours de cardinal infini (sauf {0}). 5

6 Théorème 8. Soit E un K-ev de dimension n. E et K n sont isomorphes. Précisemment, si (e 1,..., e n ) est une base de E, l application est un isomorphisme. (λ 1,..., λ n ) λ k e k Un K-ev est isomorphe à E si et seulement s il est de dimension finie n. Théorème 9. Soient E et F deux K-ev de dimension finie. Alors E F est de dimension finie et dim (E F ) = dim (E) + dim (F ) 3.3 Sous-espaces vectoriels et dimension finie Théorème 10. Soient E un K-ev de dimension finie et F un sous-ev de E. Alors F est de dimension finie et dim F dim E. Si de plus on a dim F = dim E alors F = E. Théorème 11. (HP) Soient E un K-ev de dimension finie et F, G deux sous-ev de E. On a dim F + dim G = dim E et F G = {0} si et seulement si la concaténation d une base de F et d une base de G donne une base de E. 4 Exemples, applications 4.1 Équations différentielles On peut réinterpréter les résultats sur les équations différentielles linéaires homogènes avec ce qu on vient de voir dans ce chapitre : Théorème 12. Considérons l équation différentielle linéaire d ordre 1 homogène à coefficients constants : ay +by = 0 où (a, b) K K. L ensemble de ses solutions est une droite vectorielle dont une base est (x e b a x ). 6

7 Théorème 13. Considérons l équation différentielle linéaire d ordre 2 homogène à coefficients constants : ay + by + cy = 0 où (a, b, c) K K 2. Notons E a,b,c l ensemble de ses solutions et le discriminant de l équation caractéristique (EC) : ax 2 + bx + c = Cas complexe : (a) Si 0, ( soient r et r les racines ) complexes distinctes de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est x e rx, x e r x. (b) Si = 0, soient r la racine complexe double de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est (x e rx, x xe rx ). 2. Cas réel : (a) Si ( > 0, soient r et r ) les racines réelles distinctes de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est x e rx, x e r x. (b) Si = 0, soient r la racine réelle double de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est (x e rx, x xe rx ). (c) Si < 0, soient a + ib et a ib les deux racines complexes conjuguées de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est (x e ax cos(bx), x e ax sin(bx)). 4.2 Suites récurrentes linéaires d ordre 2 Définition 11. On dit qu une suite réelle (u n ) n N est récurrente linéaire d ordre 2 s il existe (a, b, c) K 3 avec a 0 et c 0 tels que n N, au n+2 + bu n+1 + cu n = 0 Théorème 14. Considérons l ensemble E a,b,c des suites récurrentes double qui vérifient n N, au n+2 + bu n+1 + cu n = 0 avec (a, b, c) K 3, a 0, c 0 Notons le discriminant de l équation caractéristique (EC) : ax 2 + bx = c = Cas complexe : (a) Si 0, soient r et r les racines complexes distinctes de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est ((r n ) n N, (r n ) n N ). (b) Si = 0, soient r la racine complexe double de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est ((r n ) n N, (nr n ) n N ). 2. Cas réel : (a) Si > 0, soient r et r les racines réelles distinctes de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est ((r n ) n N, (r n ) n N ). (b) Si = 0, soient r la racine réelle double de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est ((r n ) n N, (nr n ) n N ). (c) Si < 0, soient ρe iθ et ρe iθ les deux racines complexes conjuguées de l EC. Alors E a,b,c est un plan vectoriel dont une base est ((ρ n cos(nθ)) n N, (ρ n sin(nθ)) n N ). 7