Terminale STMG Mardi 13 Déc 2016

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1 Terminale STMG Mardi 13 Déc 016 CORRIGÉ DU DEVOIR DE MATHÉMATIQUES n Exercice 1 (6 points) Nlle Cal Nov 016 Une entreprise produit des tablettes tactiles avec un maximum de production de unités par mois. Soit le nombre de milliers de tablettes produites. Le coût de production en milliers d euros est modélisé par la fonction définie sur l intervalle [0 ; 30] par : ( ) = Chaque tablette est vendue 480 euros et on suppose que l entreprise écoule toute sa production mensuelle. On souhaite étudier la rentabilité de cette entreprise. La représentation graphique de la fonction est donnée dans l annexe à rendre avec la copie. Partie A Lecture graphique 1. Avec la précision permise par le graphique, le coùt de production en milliers d euros de 10 milliers de tablettes est d environ 800 milliers d euros. Nous lisons l ordonnée du point de la courbe d abscisse 10.. Avec la précision permise par le graphique, le coùt sera supérieur à 8000 milliers d euros pour un nombre de tablettes produites comprises entre 0 et 30. L intervalle est déterminé à partir de l abscisse du point d intersection de la courbe et de la droite d équation = Nous avons lu environ La fonction définie par ( ) = 480 représente la recette en milliers d euros pour milliers de tablettes produites. Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci dessous. Page 1 sur 5

2 Partie B - Étude du bénéfice Calculons le bénéfice de l entreprise. Le bénéfice étant la différence entre les recettes et les coùts, nous obtenons donc ( ) = ( ) ( ) = = + (480 96) = Le bénéfice de l entreprise est bien donné par la fonction définie sur l intervalle [0 ; 30] par : ( ) = On note la fonction dérivée de la fonction. Déterminons ( ) sur l intervalle [0 ; 30]. ( ) = (3 ) ( ) = (a) Résolvons l équation du second degré = 0. Calculons le discriminant Δ. Δ = ( 44) = 400 = 0. Δ Étant positif, le trinà me admet deux racines = Δ = + Δ 44 0 = = = = 3 L ensemble solution de l équation est {1;3}. Nous pouvons alors écrire = ( 1)( 3). (b) Déterminons le signe de ( ) sur l intervalle [0 ; 30] ² Etudions le sens de variation de. Sur [0;1[, ( ) > 0 par conséquent est strictement croissante sur cet intervalle. Sur ]1;30], ( ) < 0 par conséquent est strictement décroissante sur cet intervalle. Dressons maintenant le tableau de variation de sur [0 ; 30]. 3. La production à réaliser pour obtenir le bénéfice maximal est de 1000 tablettes par mois. La valeur de ce bénéfice s élèverait alors à 016 milliers d euros. Page sur 5

3 Exercice (4 points) Nlle Cal Nov 016 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n enléve pas de point. La feuille de calcul ci-dessous, obtenue à l aide d un tableur, donne d évolution du prix du timbre d une lettre prioritaire en France métropolitaine entre 005 et 015. A B C D E F G H I J K L 1 Année Prix du timbre en euro 0,53 0,54 0,54 0,55 0,56 0,58 0,6 0,61 0,63 0,66 0,76 3 Taux d évolution du prix Exercice 3 (4 points) Le chiffre d affaires d une entreprise augmente de 3000 chaque année ; La première année, cette entreprise a réalisé un chiffre d affaires de On note a n le chiffre d affaires, en euros, réalisé par l entreprise au terme de la n -ième année. Le tableau ci-dessous, extrait d une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. A B 1 Rang de l année : n Chiffre d affaires de l entreprise : a n Quelle est la nature de la suite a n? Justifier. Préciser son premier terme a 1 et sa raison. Chaque année le chiffre d affaire augmente d une somme fixe égale à 3000, par conséquent, la suite est arithmétique de raison 3000 et de premier terme = (a) Exprimer en fonction de n. On a alors, = + ( 1) c est-à-dire = ( 1) = Page 3 sur 5

4 (b) Calculer le chiffre d affaires, en euros, réalisé par l entreprise au terme de la cinquième année. Le chiffre d affaires, en euros, réalisé par l entreprise au terme de la cinquième année est. = = (c) Proposer une formule qui, saisie dans la cellule B3, permet par recopie vers le bas de calculer le chiffre d affaires annuel de l entreprise. Formule à saisir dans la cellule B3 : = L entreprise décide d embaucher un salarié dès que son chiffre d affaires annuel dépassera Au terme de quelle année cela lui sera-t-il possible? Justifier la réponse. On cherche n tel que > c est-à-dire > soit 3000 > 3000 Donc > 7,7. C est donc au terme de la 8 ème année que son chiffre d affaires annuel dépassera Exercice 4 (6 points) Ant Guy RH Juin 01 Une salle de théâtre contient 000 places assises. Lors du lancement d un nouveau spectacle, le directeur s attend à ce que le nombre de spectateurs augmente au fil du temps et note en conséquence chaque jour le nombre de personnes souhaitant y assister. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant: Rang du jour: Nombre de spectateurs: Calculer le pourcentage d évolution du nombre de spectateurs entre le premier et le septième jour de représentation. On arrondira le résultat au dixième. Le taux est défini par. = 0,4871 Le pourcentage d augmentation du nombre de spectateurs entre le premier et le septième jour de représentation est d environ 48,7 %.. Dans un repère orthogonal et sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points associé à cette série statistique. Unités: cm pour 1 jour en abscisse et 1 cm pour 50 spectateurs en ordonnée en commençant les graduations de l axe des ordonnées à La forme du nuage permet-elle d envisager un ajustement affine? Pourquoi? La forme du nuage permet d envisager un ajustement affine, car les points sont sensiblement alignés. 4. Calculer les coordonnées du point moyen de ce nuage et placer sur le graphique précédent. Les coordonnées de G sont ( ; ) = = 4 et = = 100 G (4;100) est placé sur le graphique précédent. 5. (a) Donner, à l aide de la calculatrice, l équation réduite de la droite d ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les valeurs numériques obtenues au dixième. À l aide de la calculatrice, l équation réduite de la droite d ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés est = 80, ,6 (b) Construire cette droite sur le graphique précédent. Page 4 sur 5

5 6. On admet dans cette question que la tendance se poursuit suivant le modèle établi dans la question précédente. (a) Combien le directeur peut-il prévoir de spectateurs le dixième jour de représentation du spectacle? Remplaçons par 10 dans l équation de la droite. = 80, = 168,6 Il peut prévoir 1683 spectateurs. (b) Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l évaluation. Au bout de combien de jours la salle affichera-t-elle complet? Combien de personnes le directeur devra-t-il alors refuser ce jour là?, Pour ce faire, résolvons 000 = 80, ,6 soit = 13,95. Au bout de 14 jours, le théâtre affichera complet. Le directeur devra alors refuser ce jour là : 80, , , soit 4 personnes., Page 5 sur 5