Cours de Résistance des Matériaux (RDM) PARTIE 2 : FLEXION (Déformée / Contraintes / Dimensionnement)

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1 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) Solides déformables Cours de Résistance des Matériau (RDM) PARTE 2 : LEXON (Déformée / Contraintes / Dimensionnement) Contenu 1 SOLLCTATON DE LEXON MSE EN STUATON DE LA SOLLCTATON DE LEXON LEXON PLANE ET LEXON PLANE SMPLE LEXON PURE... 3 EXEMPLE DE LEXON SMPLE ET PURE DEORMATON DUE A LA LEXON EXPERMENTATON : DEORMEE ET LECHE DEPLACEMENT OU PVOTEMENT D UNE SECTON DROTE (S) DEMARCHE DE CALCUL D UNE POUTRE APPLCATON DU PS POUR LES ACTONS AUX APPUS DENTCATON DU NOMBRE DE TRONÇONS A ETUDER RECHERCHE DU TORSEUR DE COHESON DE CHAQUE TRONÇON DARAMMES DES SOLLCTATONS LE LON DE LA POUTRE EQUATON DE LA DEORME ET LECHE MAXMALE DEORMATON D UNE POUTRE EQUATON DE LA COURBE DE LA DEORMEE OBTENUE PAR NTERATON APPLCATON A LA POUTRE SUVANTE ORMULARES DE LECHES POUR QUELQUES CAS USUELS CONTRANTES AU SEN D UNE POUTRE EN LEXON OBJECT ENERAL DU CALCUL DES CONTRANTES REPARTTON DES CONTRANTES EN LEXON CALCUL DU MOMENT QUADRATQUE (UNTE M 4 OU MM 4 ) CONTRANTE NORMALE MAXMALE DMENSONNEMENT D UNE POUTRE EN LEXON CONDTON DE RESSTANCE CONCENTRATON DE CONTRANTES EXEMPLES A DEVELOPPER ORMULARE DE LEXON EXTRAT CATALOUE DE POUTRES METALLQUES JC ROLN 11/216 1 Lycée.Eiffel Dijon

2 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 1 SOLLCTATON DE LEXON 1.1 Mise en situation de la sollicitation de fleion Les sollicitations en fleion sont très fréquentes dans les poutres, on prendra comme eemple : Mécanique : arbre de transmission Châssis d un véhicule ici de camion Aéronautique : aile d avion Pale d hélicoptère Architecture des bâtiments : Charpente, porte à fau, balcon lèche d un mât Poutres et poutrelles métalliques En charpente métallique, une poutrelle désigne un produit sidérurgique en acier laminé à chaud ayant une forme de, de H ou de U. PE UPE HPE Dans le programme de TS, les études de fleion se limitent à la fleion plane simple T coh Mfy T Tz coh Ty Torseurs de cohésion de type «fleion plane simple» Mfz JC ROLN 11/216 2 Lycée.Eiffel Dijon

3 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 1.2 leion plane et fleion plane simple Une poutre est soumise à de la fleion plane si - Les actions mécaniques etérieures à la poutre sont composées de forces coplanaires et de couples perpendiculaires au plan que forment les forces etérieures - Le plan que forment les forces etérieures est un plan de symétrie de la poutre. Mettre en place le repère global 1 Plan de symétrie La longueur de la poutre est selon l ae. C 2 3 Le torseur de cohésion est réduit en tout point du tronçon à : T coh N Ty Mfz llustrer une poutre déformée en 3 D pour les 2 cas de fleion simple leion plane : il eiste une résultante normale N LEXON PLANE SMPLE : On distingue la fleion plane simple de la fleion plane par l absence du terme d effort normal N, la situation de la poutre est alors isostatique. Le torseur de cohésion est alors selon l orientation du moment de fleion (autour de y ou z ). ou T T coh coh Tz Ty Mfy Mfz 1.3 leion pure Un tronçon de poutre est sollicité en fleion pure si, en tout point du tronçon, - La section présente un plan de symétrie - le torseur de cohésion se réduit à un couple perpendiculaire au plan de symétrie. T coh Mfy ou T coh Mfz y leion plane simple leion pure leion plane simple y Esquisser la ligne déformée entre A et D z A B C D z Symétrie Section quelconque de la poutre Eemple de fleion simple et pure La zone entre B et C est soumise à 2 moments de signe opposés dus au efforts en A, B, C et D, elle est en fleion pure. l n y pas d effort normal N car l appui en C est un appui simple laissant un degré de liberté sur. JC ROLN 11/216 3 Lycée.Eiffel Dijon

4 C25 Solides déformables /RDM PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 2 DEORMATON DUE A LA LEXON 2.1 Epérimentation : DEORMEE ET LECHE La poutre (AB) est soumise à une sollicitation de fleion simple. Observons la déformation des fibres de la poutre (ligne parallèle à la ligne moyenne AB) et le déplacement des sections droites. Localiser la flèche maimale et illustrer. A A A A A A y da P 1 P 1 P 2 Section (S) P 2 Section (S ) Avant déformation y Après déformation Déformée B B B B B B DEORMEE : La ligne moyenne «après déformation» est appelée déformée. LECHE : La valeur du déplacement vertical d un point M appartenant à la ligne moyenne ( M [AB] ) est appelé flèche au point M. DEORMATONS CONSTATEES : Les fibres «du dessus» raccourcissent (e : fibre supérieure A B ) Les fibres «du dessous» s allongent (e : fibre inférieure A B ) Les fibres du plan médian ne subissent pas de variations de longueur. 2.2 Déplacement ou pivotement d une section droite (S) D'après l'hypothèse de Navier et Bernoulli, les sections droites restent planes et normales à la ligne moyenne après déformation, tout se passe donc comme si la section droite (S) avait pivoté d'un angle faible dα autour de l'ae (, z) pour venir en (S'). On peut donc dire que les déformations relatives L en Lo un point M sont proportionnelles à l'ordonnée y de ce point. D autre part, la loi de Hooke lie la contrainte σ, la déformation ε et le module d élasticité ou de Young E, par : σ = E. ε da y (S)(S ) La contrainte normale σ en un point M d'une section droite (S) est proportionnelle à l'ordonnée y de ce point. 3 DEMARCHE DE CALCUL D UNE POUTRE 3.1 Application du PS pour les actions au appuis < > En général le problème est plan, on applique : le TRS en projection sur et y, mais en fleion pure il n y a pas de résultante sur le TMS en projection sur z. l faut bien identifier la nature de liaisons pour connaître le nombre d inconnues de chacune d entre elle. z y A leion plane simple B leion pure Articulation en A : R A et R Ay PS avec 3 inconnues à déterminer leion plane simple C D Appui simple en C : R Cy JC ROLN 11/216 4 Lycée.Eiffel Dijon

5 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 3.2 dentification du nombre de tronçons à étudier On balaye la poutre de gauche à droite : chaque appui et chaque force ponctuelle présente le long de la poutre détermine un nouveau tronçon. pas de changement de tronçon le long d une charge répartie. Eemples : y leion plane simple leion pure leion plane simple z A B C D Appui simple en A, articulation en B, charge ponctuelle P. 2 charges ponctuelles et 2 appuis, 3 intervalles distincts. 2 appuis et une charge répartie, 3.3 Recherche du torseur de cohésion de chaque tronçon Une poutre en bois est sollicitée en porte à fau par une force concentrée à son etrémité et on néglige son poids propre. On donne L = 4m, a =, 5m et = 2kN. Pour chaque tronçon (P-) est la partie à gauche, (P+) celle à droite. On choisit d isoler le tronçon le plus facile pour les calculs et on applique le PS en introduisant le torseur de cohésion. 1) Définition des appuis et forme d écriture du torseur de cohésion 2) Calcul des actions d appuis : Ce calcul préliminaire est nécessaire dans quasi tous les cas on utilise le PS = TRS + TMS dans le plan l est souvent utile de mettre en place les résultantes sous forme de vecteurs sur le dessin TRS sur l ae : TRS sur l ae y : TMS sur l ae z au point A : JC ROLN 11/216 5 Lycée.Eiffel Dijon

6 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 3) Torseur de cohésion dans le tronçon AB en isolant la partie gauche de AB soit (P-) : PS en avec < < L : TRS sur y : TMS sur z en : On trouve le torseur de cohésion suivant valable entre A et B. 4) Torseur de cohésion dans le tronçon BC en isolant la partie droite de BC soit (P+) : PS en avec L < < L+a : La partie droite étant retenue on étudie {Tcoh} TRS projeté sur y : TMS sur z en : On trouve le torseur de cohésion suivant valable entre B et C. 5) Vérification de la relation entre effort tranchant et dm fz moment fléchissant : ( ) Ty ( ) d 6) Recherche de la localisation de la contrainte maimale et epression de M fz mai. 3.4 Diagrammes des sollicitations le long de la poutre Ces diagrammes représentent la variation de l effort tranchant Ty et du moment de fleion M fz tout au long de la poutre. On peut remarquer deu points utiles à la vérification des résultats : L aire totale pour Ty en sommant sur la longueur de la poutre de A à C est nulle (TRS vérifié). dm fz Et ( ) Ty ( ) d On voit d un coup d œil que la contrainte maimale est localisée au point B. JC ROLN 11/216 6 Lycée.Eiffel Dijon

7 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 4 EQUATON DE LA DEORME ET LECHE MAXMALE 4.1 Déformation d une poutre Ci-contre, pour une poutre, l évolution de la ligne moyenne avec ou sans chargement. Sans chargement cette ligne est confondue avec l ae, les points (A J B D) sont alignés. Avec chargement la ligne moyenne se déplace les points (A J B D) ne sont plus alignés mais ils appartiennent à la DEORMEE. La déformée est la fonction y = f() de la ligne moyenne d une poutre sous charge, dans le repère global (A,, y). En un point quelconque de la déformée, la pente de sa tangente est pour les petits angles avec en radians : TAN ( ) = = y = f () Cet angle correspond au pivotement de la section droite de la poutre. CONDTONS AUX LMTES ET LECHE On remarque qu au niveau des appuis en A et B, la position de la ligne moyenne n a pas changé : y A et y B =. Au point, la déformation passe par un etrémum (mai ici), la dérivée de la déformée est nulle : y = LECHES : On nomme «flèches» les valeurs maimales de la déformation pour un tronçon, ici en et D. Eemples usuels de conditions au limites (elles sont intuitives ) lèche en = y i et flèche en D = y D 4.2 Equation de la courbe de la déformée obtenue par intégration L étude en géométrie analytique de la relation entre le pivotement de la section droite de centre () et la contrainte normale dans la poutre (paragraphe 2.2) permet d établir une relation simple pour les petites déformations entre : le moment fléchissant M fz, le moment quadratique (,z) de la section de la poutre le module d élasticité longitudinal ou module de Young E, E.. y'' Mf ( la dérivée seconde de la fonction de la déformée ) (, z) z Remarque 1 : On peut donc établir l équation de la déformée à partir du moment fléchissant par 2 intégrations successives, en recherchant les constantes d intégration par les conditions au limites. Remarque 2 : Comme la relation M fz dépend du tronçon de la poutre, la méthode par intégration doit être réalisée pour chacun de ses tronçons. 4.3 Application à un eemple simple De A à C : Mfz =.(/2) E..y'' = (,z ) E..y' = (,z ) De C à B : M fz = ( - L). /2 E..y'' = (,z ) E..y' = (,z ) Poutre avec charge ponctuelle centrée articulation en A, appui simple en B E..y = (,z ) E..y = (,z ) JC ROLN 11/216 7 Lycée.Eiffel Dijon

8 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) Conditions au limites et constantes d intégration. De A à C De C à B Equation de la déformée Localisation de la déformée maimale ou flèche. Montrer que la flèche est : 3.L f = - 48.E. (,z ) 4.4 ormulaires de flèches f pour quelques cas usuels Poutre encastrée et charge ponctuelle (N) en etrémité Poutre encastrée et charge répartie homogène p (N/m) A retenir par cœur «1 er grand classique» Poutre sur appuis et charge ponctuelle au milieu Poutre sur appuis avec charge répartie linéaire p (N/m) A retenir par cœur «2 nd grand classique» JC ROLN 11/216 8 Lycée.Eiffel Dijon

9 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 5 CONTRANTES AU SEN D UNE POUTRE EN LEXON 5.1 Objectif général du calcul des contraintes Calculer les contraintes au sein du matériau de la poutre à différents objectifs : Vérifier sa résistance pour dimensionner sa section et la choisir lors d une conception (contrainte normale) ; o non dépassement de sa limite à la rupture R r ; o eploitation dans le domaine élastique R e ; Vérifier sa déformation afin qu elle reste dans les limites acceptables pour son contete d emploi (déformée) ; Satisfaire des critères économiques en utilisant le minimum de matière, mais au bon endroit (moment quadratique) ondamental pour la recherche de la contrainte maimale sur une poutre 5.2 Répartition des contraintes en fleion Considérons une section droite (S) d abscisse, et un point M de coordonnées (,y,z) appartenant à cette surface (S). La répartition des contraintes normales dépend de et de y : s (,y) y M y s < (compression) s > (traction) Répartition de s X dans une section (S) d abscisse z y () M(,y,z) Section S s (, y ) = Mfz( ).y z Avec z moment quadratique par rapport à l ae (,z) Pour l eemple précédent : Pour y =, s Pour y >, s s la contrainte normale est nulle tout le long de la fibre neutre sollicitation de compression Pour y <, sollicitation de traction En fleion plane simple, il apparait 2 termes non nuls dans le torseur de cohésion : Ty et Mfz (ou Tz et Mfy). En fleion pure, on néglige la contrainte tangentielle induite par l effort tranchant. 5.3 Calcul du moment quadratique (unité m 4 ou mm 4 ) Le moment quadratique ( z ou y ) caractérise la répartition de surface (S) autour d un ae. Un moment quadratique élevé traduit une grande rigidité de la poutre. Définitions pour le calcul des moments quadratiques leion simple due à Mfz, rotation des sections normales autour de z, et Mfy (rotation autour de y). Pour la torsion simple due à Mt, rotation des sections autour de z y (S) (S) y².ds z².ds En concours il faut savoir eploiter ces résultats qui doivent être connus par cœur pour ces 2 formes simples ormulaire pour quelques sections simples Section circulaire : valeurs maimales pour y = z = d/2 JC ROLN 11/216 9 Lycée.Eiffel Dijon

10 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) Section rectangulaire, si section carrée, h = b : Valeurs maimales pour y = h/2 et z = b/2 Eercice induitif Réaliser un «pont» entre deu tables (e 1cm) permettant de déposer un stylo en toute sécurité à l aide d une feuille de papier A4. Solution : euille pliée ou ondulée permet d augmenter (,z ) /y Comparaison du moment quadratique d une poutre creuse et d une poutre pleine de même section de matière. Calculer le moment quadratique d une poutre pleine carrée de 2 mm de côté. Localiser les aes y et z aire la même chose si la section est conservée pour une poutre creuse d épaisseur 5 mm. Déduire auparavant ses dimensions 5.4 Contrainte normale maimale Rappel de l epression de la contrainte : s (, y ) = Mfz( ). y z mais z y 3 3 ( b.h ) -b'.h' ) 12 3 ( b.h) -b' 12 Déduire «l ae fort» de la poutre On repère déjà la section S la plus sollicitée sur le diagramme du moment fléchissant c'est-à-dire l abscisse où Mfz est maimal. La contrainte ) Le rapport v s, y est maimale quand y est maimal ( z ( ) appelé le module de fleion avec ma y La contrainte maimale se calcule alors par : s ma v = est souvent fourni par les fabricants de profilés. Mfz ma z v Donc pour avoir une grande résistance en fleion il faut placer la matière loin de la fibre neutre Répartition de la contrainte normale dans une section 3.h' ) Poutre circulaire : Poutre type PN JC ROLN 11/216 1 Lycée.Eiffel Dijo

11 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) Déduire les modules de fleion : d une poutre circulaire, (,z) = (,y) d une poutre rectangulaire (,z) et (,y) 6 DMENSONNEMENT D UNE POUTRE EN LEXON 6.1 Condition de résistance Nous venons de voir que la sollicitation dominante est une contrainte normale. La limite utilisée pour le dimensionnement sera donc la résistance pratique à l etension (Rpe) qui tient compte d un coefficient de sécurité s. Comme pour les sollicitations de traction/compression, on dimensionnera la poutre de telle manière que s R avec ma 6.2 Concentration de contraintes Pe Du fait des accidents de forme, on majorera la contrainte maimale nominale calculée dans s ma une section droite par un coefficient K donné par des abaques (voir cours partie 1). Ainsi K 1 s R Pe 7 EXEMPLES A DEVELOPPER (CAS STANDARDS) aire l étude complète des 3 eemples suivants en tenant compte des symétries éventuelles pour simplifier : Action au appuis et recherche du torseur de cohésion, tracé des diagrammes N X, T Y et M fz Recherche de l équation de la déformée et de la flèche (maimale). Eemple 1 : POUTRE SUR DEUX APPUS AVEC CHARE CONCENTREE AU MLEU Montrer que la valeur de la flèche mai en C est : R s e nom Eemple 2 : POUTRE SUR DEUX APPUS AVEC CHARE UNORMEMENT REPARTE (Bâtiment : plancher, toit de super marché avec neige ) Montrer que la valeur de la flèche mai en C est : Eemple 3 : POUTRE ENCASTREE AVEC CHARE CONCENTREE A UNE EXTREMTE (Bras de robot avec moteur bloqué, grue ) Montrer que la flèche maimale en A est JC ROLN 11/ Lycée.Eiffel Dijon

12 PARTE 2 : LEXON (Déformée, Contraintes, Dimensionnement) 8 ORMULARE DE LEXON Attention au notations qui ne sont pas toujours celles du cours : R A et R B réactions au appuis V AC et V CB efforts tranchants (Ty) M O moment fléchissant maimum (M fzma ) q charge linéique en N/m (p dans le cours) 9 EXTRAT CATALOUE DE POUTRES METALLQUES Dans ce document, déduire les aes y et z, puis retrouver le module élastique W el,y à partir de y et des dimensions. Poutre PE JC ROLN 11/ Lycée.Eiffel Dijon