Commande optimisée d un actionneur linéaire synchrone pour un axe de positionnement rapide

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1 Commane optimisée un actionneur linéaire synchrone pour un axe e positionnement rapie Ghislain emy To cite this version: Ghislain emy. Commane optimisée un actionneur linéaire synchrone pour un axe e positionnement rapie. Engineering Sciences. Arts et Métiers ParisTech, 27. French. <NNT : 27ENAM42>. <tel > HAL I: tel Submitte on 23 May 28 HAL is a multi-isciplinary open access archive for the eposit an issemination of scientific research ocuments, whether they are publishe or not. The ocuments may come from teaching an research institutions in France or abroa, or from public or private research centers. L archive ouverte pluriisciplinaire HAL, est estinée au épôt et à la iffusion e ocuments scientifiues e niveau recherche, publiés ou non, émanant es établissements enseignement et e recherche français ou étrangers, es laboratoires publics ou privés.

2 N : 27 ENAM XXXX Ecole octorale n 432 : Sciences es Métiers e l Ingénieur T H È S E pour obtenir le grae e Docteur e l École Nationale Supérieure 'Arts et Métiers Spécialité Génie Electriue présentée et soutenue publiuement par Ghislain EMY le 17 écembre 27 COMMANDE OPTIMISEE D UN ACTIONNEU LINEAIE SYNCHONE POU UN AXE DE POSITIONNEMENT APIDE Directeur e thèse : Jean-Paul HAUTIE Co-encarement e la thèse : Pierre-Jean BAE Jury : M. Jean-Paul LOUIS, Professeur, SATIE, ENS Cachan... Présient M. Bernar MULTON, Professeur, SATIE, ENS Cachan - Bretagne... apporteur M. Maurice FADEL, Professeur, LAPLACE, INP Toulouse... apporteur M. Abelmounaïm TOUNZI, Maître e Conférences HD, L2EP, USTL, Lille.. Examinateur M. Jean-Paul HAUTIE, Professeur, L2EP, Arts & Métiers Paritech, Paris... Examinateur M. Pierre-Jean BAE, Professeur, L2EP, Arts & Métiers Paritech, Paris... Examinateur M. alph COLEMAN, Ingénieur, Motion Control esearch Mgr, ETEL... Invité Laboratoire Electrotechniue et Electroniue e Puissance e Lille ENSAM, CE e Lille L ENSAM est un Gran Etablissement épenant u Ministère e l Eucation Nationale, composé e huit centres : AIX-EN-POVENCE ANGES BODEAUX CHÂLONS-EN-CHAMPAGNE CLUNY LILLE METZ PAIS

3 emerciements Ce travail a été réalisé au sein u Laboratoire Électrotechniue et Électroniue e Puissance e Lille (L2EP) en collaboration avec l entreprise ETEL suisse, aujour hui leaer monial ans la conception et la fabrication e motorisation à entraînement irect. Je tiens à remercier Monsieur le Professeur Jean-Paul Louis pour avoir accepté e présier mon jury e thèse. J aresse mes profons remerciements à Messieurs les Professeurs Bernar Multon et Maurice Fael pour avoir accepter être rapporteur e ce mémoire. Leurs remarues ont contribué à une meilleure valorisation u travail réalisé. Je remercie Messieurs Abelmounaïm Tounzi (MCF HD e l'université e Lille 1) et alph Coleman (Motion Control esearch Manager 'ETEL Suisse) pour avoir accepté e participer au jury en tant u invité. La première partie e cette thèse porte sur la moélisation un actionneur électromagnétiue, et elle n aurait pas pu aboutir sans l aie e personnes compétentes et attentives e l éuipe MECOSYEL u L2EP e Lille. Je tiens tout particulièrement à remercier M. Piriou et M. Tounzi, pour les iscussions avisées et surtout pour les nombreuses relectures u ils ont effectuées. Le euxième volet e cette thèse est une contribution à la commane es moteurs linéaires, et reflète la continuité e nombreux travaux e l éuipe CEMASYC u L2EP e Lille et notamment e mon irecteur e thèse, M. Hautier et e mon co-irecteur M. Barre, ue je remercie pour leurs précieux conseils et le temps passé à suivre mes travaux. Je tiens aussi à remercier les autres membres e notre éuipe e recherche, M. Dieulot, M. Kestelyn et M. Degobert, pour les relectures et les iscussions enrichissantes ue nous avons eues ensemble. Je remercie également mes collègues proches ichar, Julien, Olivier, Frééric et Jia Zeng. Je n oublie pas les piliers techniues u laboratoire, Bernar, Luc et Marc, ui contribuent à la réussite e nos travaux e recherche et toujours ans la bonne humeur. Je tiens à préciser l importance es relations privilégiées ue j ai pu avoir avec notre partenaire inustriel, et plus particulièrement M. Coleman et ses collègues, pour l expertise et les compétences u ils ont apportées à notre étue. Enfin ce travail e thèse n aurait guère uré longtemps sans un soutien familial inéfectible et surtout sans la compréhension et à la patience e ma femme tout au long e ces années. Chercher n'est pas une chose et trouver une autre, mais le gain e la recherche, c'est la recherche même. Saint Grégoire e Nysse, Homélies sur l'ecclésiaste. À mon père 1

4 Table es matières Liste es variables Introuction générale Contexte et positionnement u sujet e thèse Chapitre 1 Synthèse sur les moteurs linéaires 1.1 Historiue 1.2 Structures et topologies es moteurs linéaires 1.3 Domaines application 1.4 Développement es moteurs linéaires Freins aux éveloppements inustriels es moteurs linéaires La recherche actuelle sur les moteurs linéaires Précéentes étues réalisées au sein u laboratoire 1.5 Moèle classiue u moteur linéaire synchrone Moèle au premier harmoniue Limites u moèle : autres phénomènes à prenre en compte Présentation u moteur linéaire employé ans notre étue 1.6. Outils e moélisation Méthoes analyse es moteurs linéaires eprésentation par le Graphe Informationnel Causal 1.7. Conclusion Chapitre 2 Moélisation avancée un moteur linéaire synchrone 2.1 Analyse es forces électromotrices à vie Origine es harmoniues Moèle analytiue Moèle par éléments finis Valiation expérimentale Analyse es forces électromotrices en charge Impact sur la force e poussée Conclusion sur l analyse es forces électromotrices 2.2 Analyse es inuctances Origine e la saturation Moélisation analytiue Moèle par éléments finis Valiation expérimentale Impact sur la force e poussée Conclusion sur l analyse e la matrice inuctance 2.3 Analyse es effets encoche et es forces e enture Origine es forces e enture Moèle analytiue Moèle par éléments finis 2

5 2.3.4 Valiation expérimentale Impact sur la force e poussée Conclusion sur l analyse es forces e étente 2.4 Conclusion sur la moélisation Chapitre 3 Commane optimisée un moteur linéaire synchrone 3.1 Introuction 3.2 Structure e commane par inversion u Graphe Informationnel Causal 3.3 Architecture e commane en Boucle Fermée (BF) Architecture e commane maximale Analyse e la boucle interne e courant Analyse es boucles e vitesse et position Architectures e commane inustrielle Commane par boucles en cascae Commane par retour état Commane avancée en force en Boucle Fermée Problème es représentations fréuentielles pour la commane Multiples référentiels e Park Multiples correcteurs résonants ans un repère iphasé Conclusion sur la commane en Boucle Fermée 3.4 Architecture e commane en Boucle Non-Fermée (BNF) Commane par la érivée n ième Commane plate un moteur linéaire Commane mixte : BNF et BF 3.5 Conclusion Conclusion générale Bilan es travaux présentés Perspectives Annexe A1 Liste es fabricants e PMLSMs A2 Paramètres géométriue et électriue u LMD1-5 ETEL A3 Paramètres géométriue et électriue u LIMES4/12 e Siemens A4 Transformée usuelle A5 Documentation techniue u LMD1-5 A6 Méthoes 'ientification expérimentale es inuctances Bibliographie 3

6 Liste es variables Χ Χ ˆΧ V, V V ref, V ref Graneur X estimée, ou calculée Graneur X mesurée Valeur maximale e la graneur X Tensions e l axe- et e l axe-, ans le repère e Park [V] éférences e V, V, ans le repère e Park [V] e, e e Forces électromotrices e e l axe- et e e l axe-, ans le repère e Park [V] e, Estimations e e, e, ans le repère e Park [V] i, i Courants e l axe- et e l axe-, ans le repère e Park [A] i ref, i ref Courants e référence i, i, ans le repère e Park [A] k, k k Facteurs e réaction e l axe- et e l axe-, ans le repère e Park [N/A], k Estimations e k, k, ans le repère e Park [N/A] L, L L Inuctances L e l axe- et L e l axe-, ans le repère e Park [H] L, Estimations e L, L, ans le repère e Park [H] L Inuctance propre une phase u primaire u PMLSM ans le repère abc [H] M T em, T emref T r τ p N p x θ θe ˆf φ v Ω ω ésistance une phase u primaire u PMLSM ans le repère abc [Ω] Masse u seconaire u PMLSM [kg] Force e poussée et Force e poussée e référence [N] Force résistante [N] Pas polaire, istance entre eux pôles magnétiues consécutifs (pour le PMLSM) [m] Constante e position électriue. N p = π / τ p [ra/m], (emarue : pour un moteur tournant : N p = p, avec p le nombre e paire e pôles.) Déplacement linéaire [m] Angle mécaniue u rotor pour un moteur tournant [ra] Angle électriue [ra] Valeur maximale u flux magnétiue excitation par phase ans le repère abc [Wb] Vitesse linéaire [m/s] Vitesse angulaire mécaniue u rotor pour un moteur tournant [ra/s] Vitesse angulaire électriue [ra/s] 4

7 Introuction générale Contexte et positionnement e la thèse Dans le omaine es machines e prouction, il existe aujour hui es systèmes e type pose-épose (Figure 1), où chaue composant est optimisé pour onner le maximum e ses performances au système. La Figure 1 montre un système utilisant une commane numériue pour piloter es moteurs linéaires ui permettent la mise en mouvement une poutre mécaniue centrale. Figure 1 : Exemple e commane et e robot "Pick an Place", u fabricant ETEL [COSI 27] Les performances un tel système permettent atteinre es vitesses e éplacement supérieures à 2m/s, tout en conservant une précision e positionnement e uelues microns. Toutefois, pour réponre au contexte économiue, e nouveaux systèmes sont étuiés pour être à la fois plus rapies et plus précis. Les composants mécaniues se éforment alors sous les efforts exercés par les actionneurs électriues. La Figure 2 présente un moe e flexion e poutre à 41Hz et un moe e flexion e la fixation e cette poutre à 3Hz. Plusieurs solutions existent pour compenser ce phénomène : soit une augmentation e la rigiité e la poutre, ui permet e repousser les fréuences e ces moes au-elà e la bane passante e l actionneur ; mais cette solution inuit un supplément e pois e la poutre, ui n est pas acceptable pour les fortes accélérations reuises ; soit la présence e ces fréuences parasites est autorisée ans le système. Elles peuvent alors être compensées par la commane es moteurs linéaires, ce ui évite ainsi exciter les moes e la structure mécaniue. La commane oit onc maîtriser le contenu spectral e la force générée par les moteurs linéaires. C est ce ue cherchent à obtenir les travaux présentés ans ce mémoire. Figure 2 : Détails e la commane, u moteur linéaire et es moes e flexion e la poutre 5

8 Pour compléter l exemple précéent, nous pouvons étailler le cas es simulateurs e vol où les performances es manches e simulateur jouent un rôle préponérant ans l appréciation u contrôle e l avion par le pilote (Figure 3). En effet, ces manches oivent parfaitement suivre les mouvements e la main une part, fournir un retour e force ui correspon en proportion à la réaction u système commané autre part. Technologiuement, ces manches e simulateurs sont composés un entraînement à servomoteur couplé à un réucteur. Figure 3 : Simulateur e vol avec retour haptiue ans le manche Toutefois, cette solution n est plus suffisante pour satisfaire aux nouveaux besoins en termes e sensibilité u retour effort. Ces systèmes oivent être capables e fournir plus e 2N en continu et avoir une résolution e l orre e,1n corresponant à la sensibilité humaine. Ces valeurs sont très contraignantes, notamment la valeur e force minimale e.1n ue oit pouvoir fournir un tel système. Pour réponre à ce cahier es charges, notre partenaire inustriel ETEL a proposé une solution ui consiste à remplacer le servomoteur et le réucteur par un entraînement irect : un moteur annulaire, également appelé moteur couple (Figure 4). La structure u moteur annulaire correspon à celle un moteur linéaire enroulé sur un cylinre. Cette solution peut fournir une force e 2N en continu ; cepenant, e par leur construction, les moteurs couples présentent es oscillations liées à l interaction es aimants et u fer présents ans les ents u circuit magnétiue. Ce couple e enture génère une force maximale e 3N en bout e manche e simulateur. Malgré la structure e commane élaborée par ETEL pour compenser ces phénomènes e enture [ETEL 27], le niveau e ces forces perturbatrices est resté supérieur à.1n. La Figure 4 présente la structure et le couple générés par le moteur annulaire : ainsi, les oscillations résiuelles e couple n ont pas pu être complètement éliminées par la commane. Il est onc nécessaire e éfinir une nouvelle structure e commane pour tenir compte e tels phénomènes Torue [Nm] Angle [ ] Figure 4 : Structure et allure u couple sur un TMA53 6

9 Dans les applications inustrielles où les onulations e couple issues harmoniues e courant sont visibles ans la bane passante u régulateur e vitesse, celles-ci peuvent être compensées par le régulateur e vitesse. Elles se retrouvent simplement "en négatif" sur la consigne e couple u moteur. Cepenant, en général, les systèmes haptiues sont commanés par une consigne e couple sur le moteur, et bien ue la position soit mesurée (par exemple pour commaner le simulateur e vol), elle ne sert pas pour fermer une uelconue boucle e vitesse. Les onulations e couple sont onc irectement ressenties par l'utilisateur, ui y est très sensible. La compensation e ces oscillations résiuelles par la commane ne peut véritablement être efficace ue si l origine et l impact es ifférents phénomènes électriues et mécaniues sont parfaitement connus. Le sujet e notre étue s inscrit onc ans une émarche 'optimisation e la commane en force 'un actionneur linéaire synchrone pour un axe e positionnement rapie. Pour réaliser une commane optimale e ces systèmes, es moèles avancés sont nécessaires. En effet, les moèles classiuement utilisés pour représenter les moteurs linéaires ne suffisent plus. Pour les moèles retenus, e nouvelles architectures e commane oivent alors être éfinies. Les objectifs e cette thèse sont onc multiples : Établir un moèle avancé un moteur linéaire en vue e sa commane. Des phénomènes électriues et magnétiues présents ans les moteurs linéaires synchrones à aimants permanents sont moélisés : les harmoniues e forces électromotrices à vie et en charge, les non-linéarités liées à la saturation es inuctances et enfin les forces e étente. Tous ces phénomènes génèrent es forces perturbatrices sur la force e poussée. Définir une structure e commane aaptée au moteur linéaire. Dans un premier temps, les structures e commane classiues sont justifiées, puis e nouvelles commanes sont étaillées à partir es moèles retenus es phénomènes préponérants. Pour faciliter l étue es structures e commane, le formalisme graphiue u Graphe Informationnel Causal est utilisé. Il est important e préciser ue le contexte e cette étue n'est pas spécifiuement tourné vers le omaine e la machine e prouction. Cepenant, c est ans ce omaine ue se trouve le plus gran nombre e publications scientifiues ui contribuent à l'amélioration es commanes pour les systèmes éuipés e moteurs linéaires. 7

10 Ce mémoire est organisé e la façon suivante : Le premier chapitre présente un bref historiue e la technologie es moteurs linéaires. Les ifférentes familles actionneurs linéaires pour les systèmes à entraînement irect sont ensuite présentées. Les moteurs linéaires synchrones à aimants permanents (PMLSM) ui font l objet e l étue sont plus particulièrement étaillés. Une analyse e l état e l art montre une part l essor récent es moteurs linéaires e type synchrone à aimants permanents et, autre part, les freins technologiues actuels ui s y rattachent. Le moèle classiue au premier harmoniue est analysé. Différents outils e moélisation sont présentés : les méthoes utilisées pour l analyse es systèmes électromagnétiues telles ue la moélisation analytiue, les réseaux e reluctance et la méthoe es éléments-finis sont présentées. Puis, le formalisme causal it à énergie localisée est ensuite présentée, ainsi ue sa représentation sous la forme e Graphe Informationnel Causal (GIC). Le euxième chapitre présente la moélisation avancée un moteur linéaire en vue e sa commane. L objectif est obtenir un moèle analytiue plus précis ue le moèle classiue au premier harmoniue. Ainsi, le moèle evra tenir compte e phénomènes électriues et magnétiues présents ans les moteurs étuiés, tels ue les effets encoches, la saturation es inuctances, et les propriétés non linéaires es forces électromotrices. Deux niveaux e représentation sont aborés : moèle analytiue et moèle par éléments finis. Ces moèles sont valiés par es essais expérimentaux. Ensuite, l impact es phénomènes moélisés est uantifié au niveau e la force e poussée. Le troisième chapitre traite es structures e commane e moteur linéaire. Ce chapitre présente es architectures e commane éiées aux moèles e moteur linéaire précéemment établis, en vue améliorer le contrôle en force e poussée. En s appuyant sur les propriétés u formalisme causal et la représentation u moèle sous forme e GIC, la structure e commane maximale corresponant au moèle retenu lors e la moélisation est présentée. Les procéés inversion irecte et inirecte u formalisme GIC sont étaillés et appliués au cas u moteur linéaire synchrone. Les techniues e commane ui en écoulent, e type boucles imbriuées et boucles non-fermées, sont ensuite analysées. Puis, uelues structures e commane mixte, mélangeant les commanes obtenues en Boucles Fermées et Non-Fermées, sont ensuite présentées. Finalement, les résultats présentés à l aie e ces nouvelles structures e commane montrent les gains en performance pour le contrôle e la force e poussée un moteur linéaire. 8

11 Chapitre I Synthèse sur les moteurs linéaires 1.1 Historiue Le premier brevet application inustrielle portant sur es moteurs linéaires ate e 192, [ZEHDEN 192]. Bien u il contienne peu informations sur la technologie u moteur linéaire, il présente le choix es moteurs linéaires asynchrones pour propulser es trains e passagers, Figure 5: Figure 5 : 1 er brevet e moteur linéaire [ZEHDEN 192] En France, il y eu une tentative e transport par moteur linéaire asynchrone à partir e 1969 avec l'aérotrain suburbain S44 (Figure 6). Il était sustenté et guié par es coussins 'air horizontaux et verticaux e la société Bertin, et glissait sur une voie en béton ayant la forme 'un T inversé. Il comprenait un moteur linéaire à inuction pour la propulsion, construit par la société Le Moteur Linéaire (LML) u groupe Merlin Gerin. Celui-ci fut ifficile à mettre au point, e plus, il chauffait énormément. La captation u courant électriue 'alimentation se faisait par es navettes frottant sur es rails isposés le long e la voie. Ces navettes étaient fixées à l'appareil au niveau e eux orifices ans la partie basse e l'appareil (Figure 6). Figure 6 : Photos e l'aérotrain suburbain S44 [CONSTANT 1989] Le S44 était en fait un prototype expérimental ont la version commerciale aurait û servir pour les liaisons Orly-oissy et La Défense-Cergy. L expérimentation u système e propulsion par moteur électriue linéaire s est étalée e écembre 1969 à ébut 1972, et a permis au S44 atteinre une vitesse e 17 km/h sur sa voie essais e 3 km [CONSTANT 1989]. La société Le Moteur Linéaire (LML) a été ensuite relayée en 1973 par Jeumont-Schneier. L'exploitation commerciale evait être assurée par es éléments e 2 véhicules circulant à 6s 'intervalle, les 23 km u trajet étant effectués en 1 min. Le protocole a été ratifié en mai

12 Cepenant, en juillet 1974, les pouvoirs publics sont revenus sur leur écision, et ont mis fin aux essais à base e moteurs linéaires en France au profit u Train à Grane Vitesse (TGV). Le éveloppement inustriel es moteurs linéaires synchrones à aimants permanents ans autres omaines ue le transport n a pris son essor u à la fin es années 198 [MCLEAN ] et connaît aujour hui une croissance annuelle e 2% [EASTHAM 22]. Le marché u moteur linéaire représente, en 24, 113M pour l'europe et 95M pour les USA [GIEAS 23]. C est un secteur en plein éveloppement, ui s éten actuellement à e nouveaux omaines applications. Toutefois, il n existe pas e marché e masse pour les moteurs linéaires. Ce marché est uniuement porté par l aspect inventif et imaginatif es applications. 1.2 Structures et topologies es moteurs linéaires Aujour hui, le terme e moteur linéaire recouvre en fait une très grane variété e systèmes. En effet, il y a, par exemple, es moteurs e type asynchrone ou synchrone, avec es géométries e type plat, tubulaire ou annulaire. Le Tableau 1 présente une ébauche oronnancement es moteurs linéaires par famille technologiue [CASSAT 23]. Asynchronous motor Synchronous motor Seconary Excitation Flux Armature Wining Cage w/ laminations x Soli non magnetic x No x DC classical x DC superconuctor x PM aial (tubular) x PM Tangantial x x PM Attractive x x x Heteropolar x x x x x x x x x Homopolar x x Transverse x x x Ironcore x x x x x x x Slotless x x x Ironless x x x Polyphase x x x x x x x x x Single phase x x Description Inuction Cage seconary Inuction Soli seconary Switche eluctance DC linear Superconucting Hybri Stepper Tubular Ironcore Slotless Ironless Transverse Flux Moving Magnet Voice Coil Acronym LICM LISM LSM LDCM LSCM LHSM LTUM LSM LSLM LILM LTFM LMMM LVCM Topology # Tableau 1 : Exemples e types e moteurs linéaires [CASSAT 23] Il n est pas ans notre objectif e étailler toutes les structures es ifférentes familles e moteurs linéaires. Par contre, la bibliographie française comporte e nombreux articles ui justifient e l intérêt u moteur linéaire [MULTON 1999], [GOMILA 25]. Il existe également es articles ui présentent ces ifférentes familles e moteurs [FAVE 2], [CHEVAILLE 26]. De même, la bibliographie anglo-saxonne compte e très bons ouvrages éiés à l étue es moteurs linéaires [BOLDEA 1997], [BOLDEA 21] et à leurs applications inustrielles [GIEAS 1999] ; ainsi ue [SHÔDA 1991 (en japonais)]. Nous avons restreint notre étue au seul omaine es machines e prouction, pour être en aéuation avec les compétences et le matériel e la plateforme technologiue u laboratoire e recherche. En 26, le omaine es machines e prouction se caractérise par l utilisation uasi-exclusive une famille actionneurs linéaires représentée par es structures e type synchrone à aimants permanents simple couche "Ironcore" (Topologie 8 u Tableau 1). La raison principale pour ce 1

13 choix est ue ces actionneurs possèent, par rapport aux autres technologies à moteurs linéaires, le plus gran rapport e force par unité e surface, avec es valeurs pouvant approcher les 1 N/cm² (9,5N/cm² pour le LMP28-25 e la société ETEL, [ETEL 27]. Ceci permet obtenir e fortes accélérations tout en conservant es masses mobiles réuites. Le moteur linéaire synchrone à aimants permanents monolatéral, aussi appelé "PMLSM Ironcore" (Figure 7) est composé e 2 parties : un primaire, partie mobile composée un bobinage triphasé et un circuit ferromagnétiue ; un seconaire, partie fixe composée aimants permanents éposés sur un socle en fer. Figure 7 : eprésentation simplifiée et photographie 'un moteur linéaire u fabricant ETEL 1.3 Domaines application Les applications u moteur linéaire synchrone sont très variées [MULTON 1999] [CASSAT 23] [GIEAS 23]. Le Tableau 2 onne uelues exemples chiffrés es applications et es performances e ces actionneurs linéaires. L annexe A1 présente une liste non exhaustive es ifférents fabricants e moteurs linéaires synchrones à aimants permanents. Tableau 2 : Exemples 'applications e moteurs linéaires synchrones [CASSAT - 23] Un moteur linéaire a un prix initial élevé, essentiellement lié aux coûts es matériaux magnétiues. En effet, contrairement aux moteurs rotatifs, la partie active un moteur linéaire ne concerne à chaue 11

14 instant u une zone réuite u moteur entier, comme le montre la Figure 7. En autres termes, si le moteur linéaire peut se éplacer sur 3 mètres e longueur, la partie fixe oit être bobinée ou éuipée aimants sur les 3 mètres, alors ue 2cm peuvent suffire pour la partie mobile. Cela impliue un coût plus élevé es matériaux pour les moteurs linéaires ue pour les moteurs rotatifs [GIEAS 23]. Les moteurs linéaires sont onc utilisés ans es applications où leurs performances épassent les limites physiues es moteurs tournants [EASTHAM - 22]. [BANDENBUG 2] présente une comparaison entre les moteurs linéaires et les systèmes mécaniues plus traitionnels, es avantages significatifs sont mis en évience, tels ue : Dynamiue élevée par une réuction es masses ; Entraînement irect et onc absence e jeu e transmission ; Contacts réuits aux simples roulements, où une longue urée e vie (pas e contacts pignons-crémaillère, etc.) ; Grane précision e positionnement ; etc. Le omaine application ui nous intéresse plus particulièrement concerne les systèmes e positionnement micrométriue. Les constructeurs proposent pour ce type application es systèmes à eux moteurs linéaires [ETEL 27], [ANOAD 24] permettant obtenir les performances suivantes : Précisions e l orre e ±2µm Courses maximum e 75mm Accélération e 4m/s² Vitesse e 18m/min D autre part, les progrès actuels ans la moélisation es moteurs linéaires sont us en grane partie aux outils e moélisation numériue et plus particulièrement à la méthoe es éléments finis en 3D [EASTHAM 22]. Cet outil est evenu inispensable ans la conception e moteurs linéaires. 1.4 Développement es moteurs linéaires Freins aux éveloppements inustriels es moteurs linéaires Il existe principalement eux types e frein aux éveloppements inustriels es moteurs linéaires synchrones à aimants permanents : a) Des limitations liées à la fabrication es moteurs linéaires Le coût un moteur linéaire synchrone à aimants permanents est étroitement lié au marché es aimants permanents. En effet, le frein principal au éveloppement es moteurs linéaires est le coût initial élevé es matériaux. Un verrou important concerne onc la fabrication aimants permanents à moinre coût avec une valeur e B H max élevée. Généralement, les aimants utilisés ans les moteurs linéaires synchrones à aimants permanents sont e type Néoyme-Fer-Bore. Ils présentent l avantage avoir une courbe e émagnétisation e pente µ r # 1,5. Plusieurs raisons conitionnent le choix e la technologie N-Fe-B au étriment u Samarium-Cobalt (Sm-Co) ou e l Aluminium-Nickel-Cobalt (Alnico) : Un niveau inuction rémanente suffisamment élevé, B r > 1.18T, ui permet obtenir une puissance massiue compétitive. Par exemple, à température ambiante, la ensité énergie (BH) max >3 kj/m 3 (contre moins e 25 kj/m 3 pour les Sm-Co). La pente e la courbe e émagnétisation étant très proche e celle e l air, les aimants N-Fe-B conservent leurs caractéristiues magnétiues même après ouverture et fermeture u circuit magnétiue (contrairement aux Alnico). C est fréuent pour les moteurs linéaires avec un primaire «court», puisue la longueur e la voie es aimants est nettement supérieure à la longueur e la partie bobinée. 12

15 Par contre, il existe un inconvénient majeur à la technologie Néoyme-Fer-Bore : Un échauffement limité (<15 C) ans les moteurs linéaires est prévu lors e leur conception. En autres termes, la température e fonctionnement oit rester inférieure à la température e émagnétisation es aimants (environ 15 C) ans es conitions nominales utilisation (contre près e 3 C pour les SmCo). Toutefois, cette étue ne cherchera pas à résoure ce type e problème. b) Des limitations liées à la commane e ces technologies Dans un futur proche, le éfi pour les nouvelles commanes e moteurs linéaires ans le omaine e la machine-outil, est atteinre, en termes e précision e positionnement, une valeur e référence e,1µm [BANDENBUG 2]. Pour être plus précis, il existe éjà es moteurs linéaires à reluctance variable capables atteinre ces performances. Cepenant, la ifficulté majeure est e pouvoir atteinre cette ualité e précision avec es ynamiues e machines élevées. Notre partenaire inustriel ETEL nous onne l exemple suivant : pour une machine employée ans es applications e «pose épose» (système Titan fonctionnant en «Gantry» [ETEL 27]), c est à ire permettant e positionner à ±2µm es composants e 2µm e iamètre, le temps attente entre 2 éplacements est actuellement supérieur à 7ms. A éfaut, la vibration occasionnée par le éplacement es axes X et Y se répercute sur la position e la pastille en bout axe Z. C est onc là ue se situe le vrai éfi à relever pour les futures commanes e ces systèmes : il faut obtenir es systèmes ultra précis à ynamiue élevée 1. En autres termes, la commane oit éviter e solliciter les moes e résonance es structures mécaniues. Cette approche nécessite une connaissance approfonie u système et onc une moélisation fine u moteur linéaire. D autre part, la structure e commane oit être aaptée pour optimiser le contrôle e la force e poussée. C est en cela ue consiste l objectif e cette thèse La recherche actuelle sur les moteurs linéaires Depuis les années 196, le Japon est le pays le plus innovateur ans le omaine es moteurs linéaires, notamment grâce aux financements investis ans la recherche via les étues menées sur le MAGLEV [AZUKIZAWA 23]. Les étues actuelles au Japon sont basées sur : Les systèmes motorisés multiirectionnels, Les méthoes analyse systématiue es systèmes à moteurs linéaires, Les méthoes e mesure et évaluation es moteurs linéaires inustriels, La promotion es moteurs linéaires ans l inustrie méicale (IM). Actuellement, les activités e recherche pour les moteurs linéaires [EASTHAM 22] s articulent autour es axes suivants : Commanes permettant e réuire les perturbations extérieures (efforts e coupe, etc.) Commanes limitant les variations e paramètres (évolution et répartition e la masse, etc.) Commanes et structures e machines réuisant les effets onulation e force et e force e étente. Ce travail s inscrit onc parfaitement ans les problématiues actuelles sur l étue e commane ui vise à optimiser la force e poussée un moteur linéaire. 1 On appelle système à «ynamiue élevée» un système ans leuel les performances attenues ne permettent plus e négliger l influence es phénomènes vibratoires inuits, par exemple, par les souplesses mécaniues es constituants. 13

16 1.4.3 Précéentes étues réalisées au sein u laboratoire Plusieurs étues ont été menées auparavant au sein u laboratoire Electrotechniue et Electroniue e Puissance e Lille (L2EP), notamment ans l Euipe e echerche Technologiue CEMODYNE et ans l Euipe MECOSYEL : Le premier banc essais à moteur linéaire synchrone LSP12C a été installé en 1998 au sein e l éuipe CEMODYNE. Ce moteur linéaire était e marue Bosch exroth (anciennement Inramat), piloté par une commane inustrielle NUM14 u fabricant Schneier-Electric (anciennement Num). Les premières moifications u banc et e son alimentation remontent à 22 avec la réalisation une armoire e puissance et e sa commane intégrant une carte temps-réel SPACE DS15. L intérêt était «ouvrir» le système pour tester e nouvelles structures e commane. Par exemple, une architecture e commane basée sur une commane vectorielle autopilotée éuite es commanes e moteurs synchrones tournants a été mise en place [LEMOINE 22]. Le moèle u moteur a ensuite été amélioré par l ientification es paramètres électriues u moteur linéaire LSP12C. De même, la commane u moteur a été améliorée en prenant en compte la position initiale es pôles u moteur linéaire [ZENG 22]. La même année, un nouveau banc expérimentation 2 axes à moteurs linéaires LIMES 8/24 u fabricant Siemens (anciennement Krauss-Maffeï) a été installé au L2EP. Une moélisation par éléments finis sur ces moteurs linéaires a alors été réalisée et valiée expérimentalement [ASKOU 22]. En 23, une étue approfonie a fait suite aux travaux e [ZENG 22] sur les méthoes obtention e la position initiale un moteur linéaire et son influence sur la génération e la force e poussée [EMY 23]. Un banc mono-axe à moteur linéaire LMD1-5 u fabricant suisse ETEL a été installé avec sa commane inustrielle. Une étue sur la moélisation es inuctances non linéaires un moteur linéaire, cherchant à prenre en compte l influence e la position es aimants ans la saturation, a été réalisée [GOMAND 25]. Fin 24, es structures e commane utilisant es correcteurs résonants ont été appliuées aux moteurs synchrones tournants et linéaires [ZENG 25]. Cette thèse s inscrit onc ans la continuité u travail éjà réalisé par l éuipe, mais elle présente es moèles affinés e moteurs linéaires en vue e leur commane ui tiennent compte e phénomènes tels ue es harmoniues e forces électromotrices, es effets e enture et la saturation es inuctances. 1.5 Moèle classiue u moteur linéaire synchrone Les commanes numériues inustrielles possèent une structure e commane à boucles en cascae, ite «génériue», ui permet e commaner ans une certaine mesure tous les types e moteurs synchrones linéaires ou rotatifs. Autrement it, le moèle utilisé pour générer ces commanes est nécessairement simplifié : c est le moèle au premier harmoniue u moteur linéaire. Nous allons analyser ce moèle simplifié ui servira e base à notre étue. Ainsi, nous pourrons mieux comprenre, à l aie une moélisation plus fine, le fonctionnement u moteur linéaire résultant e l influence e phénomènes parasites Moèle au premier harmoniue De nombreux travaux présentent la moélisation au premier harmoniue un moteur synchrone rotatif ou linéaire [GIEAS 1999], [BOLDEA 21], [ZENG 22], [EMY 23], [LOUIS - 24]. Cette moélisation u moteur tournant a été aaptée pour corresponre au moèle au premier harmoniue u moteur linéaire. La Figure 8 présente la structure géométriue un moteur linéaire ETEL. 14

17 α β A A B B C C A A B B C C z y x S N N S S N N S S N N S Figure 8 : Schéma simplifié e la structure 'un moteur linéaire synchrone LMD1-5 'ETEL S N N S S N N S S N N S On pren les hypothèses simplificatrices suivantes : Le moteur linéaire synchrone à aimants permanents éposés est à pôles lisses (L = cst) ; Les résistances et les inuctances es trois phases sont consiérées comme ientiues ; Les matériaux ferromagnétiues sont iéaux (µ r = ) ; Les effets encoche sont négligés ; Le primaire est supposé e longueur infinie ; L effet es courants inuits est négligé ; Le primaire u moteur est consiéré comme une masse rigie ; Les guiages sont supposés iéaux (raieur infinie es roulements), ce ui permet e négliger l influence e la force attraction es aimants suivant l axe y. On peut alors éuire es lois e Faraay et e Lenz : vabc,, = [ ] iabc,, + ( φ abc,, ) E. 1 t φabc,,(, tx) = [ L ] iabc,,() t + φmabc,,( x) E. 2 Avec les hypothèses ue nous avons prises précéemment, nous obtenons : va ia L M M ia φma v b = i b + M L M i b + φ Mb E. 3 t t v i c c M M L i c φ Mc Les forces électromotrices étant supposées à répartition sinusoïale, il n existe ue le premier harmoniue u flux inuit par les aimants. L axe e référence e ce flux est alors choisi où la valeur u flux e l aimant est maximale : cos( Npx) [ φ ( )] ˆ M x = φf. cos( Npx 2π 3) E. 4 cos( Npx 4π 3) ( Npx) ( π ) ( Npx π ) sin x [ φ ( )] [ ( )] ( ) ˆ M x = φm x = v t φf. Np sin Npx 2 3 E. 5 t t x sin 4 3 Dans cette expression, ˆ φ f est éfinie comme l amplitue maximale u fonamental u flux es aimants, inuit ans une phase u primaire en l absence e courant. D autre part, N p = π / τ p est éfini 15

18 comme la constante électriue e position 2 et τ p représente le pas polaire, c est-à-ire la istance entre un pôle nor et un pôle su aimants contigus. Le caractère synchrone un PMLSM se retrouve ici au niveau e la vitesse e éplacement, ui épen uniuement e la fréuence es courants u primaire i a,b,c : 1 f( Hz) = v 1 E. 6 ( ms. ) 2. τ p( m) Cette formulation est éuivalente à l expression u moteur synchrone rotatif : = Ω E. 7 ω 1 p 1 ( ra. s ) ( ra. s ) Si les graneurs électriues u primaire sont référencées à tout instant par rapport à la position u seconaire, il evient ès lors intéressant e travailler ans le repère e Park (Annexe 3) : V = i + L i Np v L i t E. 8 3 V ˆ = i + L i + Np v L i + Np v φ f t 2 Cette transformation simplifie le calcul e la force e poussée générée par le moteur linéaire : T = N φ i φ i E. 9 ( ) em p L expression es flux est la suivante : 3 L φ ˆ, i =, + 2 φ f L E. 1 D où la force e poussée : 3 ( ) ˆ Tem = Np L L i + φ f i E Dans le cas une machine à aimants éposés (pôles lisses) : L = L = L - M. On obtient alors : 3 T ˆ em = Np φ f i E L E.12 montre ue la force e poussée est une fonction linéaire u courant i et peut se comparer à l éuation classiue e la relation couple/courant es moteurs à courant continu : T = K* I E. 13 Ce résultat est suffisant ans la plupart es applications inustrielles et sert e base ans la majorité es commanes e moteurs linéaires. Pour la suite e l étue, l éuation e la force e poussée électromagnétiue (E.12) nous servira e référence pour uantifier l influence es autres forces ites perturbatrices Limites u moèle : autres phénomènes à prenre en compte Ainsi, pour améliorer la commane un moteur linéaire, l utilisation un moèle au premier harmoniue ne suffit plus pour représenter la réalité es phénomènes électriues et magnétiues présents ans le moteur linéaire. Suivant la géométrie es moteurs linéaires, il existe es phénomènes seconaires ui ont une influence sur la génération e la force e poussée. Pour affiner ce moèle et pour uantifier l influence e ces perturbations, nous avons retenu les phénomènes suivants : 2 La constante électriue e position est très proche e la éfinition u nombre one k, ue l on peut trouver ans la bibliographie [GIEAS 1999]. 16

19 Présence harmoniues ans les forces électromotrices ; Attraction entre les aimants et le circuit magnétiue : effets encoches ; Asymétries ues aux phénomènes e longueurs finies : issymétrie es inuctances ; Phénomènes e saturation locale : effets e «réluctance variable» sur les inuctances. Tous ces phénomènes génèrent es pertes supplémentaires, mais aussi es onulations e la force e poussée. Ce sont ces perturbations e la force e poussée ui nous intéressent plus particulièrement, ans le but optimiser la commane Présentation u moteur linéaire employé ans notre étue Le moteur linéaire ui sera étuié ans les prochains chapitres est une machine synchrone à aimants permanents LMD1-5, plat, simple-face, primaire court, ui a été mis à notre isposition par notre partenaire inustriel ETEL, Figure 9. Le étail e la géométrie u LMD1-5 ETEL se trouve ans l annexe A2. Toutefois, il existe un accor e confientialité entre ETEL et l ET CEMODYNE ui limite la iffusion e certaines es imensions géométriues u LMD1-5. Figure 9 : Photo u LMD1-5 'ETEL 1.6 Outils e moélisation Méthoes analyse es moteurs linéaires Les graneurs électriues et magnétiues ue nous étuions sont les suivantes : Les forces électromotrices ; Les forces e enture (force encoche, force extrémité et force e étente) ; Les inuctances propres et mutuelles. L objectif e notre émarche est bien affiner le moèle en analysant avec précision les phénomènes électriues et magnétiues. Pour cela, il existe plusieurs méthoes : une méthoe analytiue, [BOLDEA 1997] ; une méthoe par les réseaux e réluctances, [POLINDE 22] ; une méthoe par éléments finis, [POFUMO 1999]. Ces trois méthoes sont largement étaillées ans la littérature, et présentent es egrés e complexité croissants : La méthoe analytiue permet exprimer les principes physiues mis en jeu lors e la conversion électromécaniue, sous forme e relations analytiues. Les résultats obtenus sont approchés car la simplification es hypothèses e travail, nécessaire pour le calcul, limite la précision. De plus, pour choisir ces hypothèses, il est souvent nécessaire e connaître à l avance les interactions entre les ifférents constituants. 17

20 La méthoe es réseaux e réluctances présente un niveau e complexité interméiaire entre les eux autres méthoes. Elle offre l avantage e écrire plus finement les graneurs u système à l aie une représentation graphiue basée sur la géométrie u moteur. Cette méthoe est très intéressante pour étuier les phénomènes e saturation locale générés par les aimants sur les ents u primaire. Cepenant, la représentation très complexe es échanges énergie ans la zone entrefer reste un frein majeur à son utilisation. La méthoe es éléments finis permet e représenter finement les ifférentes graneurs ans le système. Cepenant, les résultats obtenus restent «gourmans» en ressources informatiues, et ne peuvent onc pas être irectement exploités ans les structures actuelles e commane. Ces méthoes sont utilisées pour obtenir es moèles e processus ui soient mathématiuement exploitables ans une architecture e commane. Quel type e moèle oit-on rechercher? La réalisation pratiue e la commane réuit les possibilités e type e moèle. A ce jour, les calculateurs utilisés ans les cartes e commane ne permettent pas mettre en œuvre en temps-réel les moèles numériues issus e calculs par éléments finis. Ainsi, nous avons privilégié la génération es structures e commane par inversion u moèle e connaissance, ce ui impose onc une représentation analytiue e ce moèle. D autre part, l analyse e ces systèmes complexes est aujour hui facilitée par l utilisation es méthoes systémiues : le Bon-Graph, la eprésentation Energétiue Macroscopiue (EM) et le Graphe Informationnel Causal (GIC). L utilisation u formalisme GIC permet la génération e structures e commane par l inversion méthoiue u moèle. C est l intérêt majeur ue présente le formalisme u Graphe Informationnel Causal, notamment par rapport au formalisme Bon-Graph eprésentation par le Graphe Informationnel Causal De nombreux ouvrages et travaux présentent, epuis le ébut es années 199, le formalisme u Graphe Informationnel Causal (GIC) [HAUTIE 1999 (1)], [BAE 24]. A mon sens, le principe théoriue u GIC repose sur le constat ue les lois e la physiue peuvent se partager en es relations mathématiues épenantes u temps et en celles inépenantes u temps. Les premières sont appelées es relations causales alors ue les secones sont appelées es relations rigies. La notion e causalité signifie ici ue la sortie écoule e l évolution temporelle e l entrée. La notion e rigiité signifie ici ue même si les variables évoluent ans le temps, la relation ui lie ces variables reste inchangée. La Figure 1 montre la représentation graphiue e ces eux relations. Une approche analogue ite «énergétiue» consiste à voir ans les processeurs causaux (Figure 1.a), es systèmes accumulateurs énergie : c est-à-ire, es systèmes où la graneur e sortie provient exclusivement e l intégration (ou e l accumulation) es effets e la graneur entrée. La Figure 1 montre ue ces ifférents processeurs représentent respectivement es processeurs accumulatifs et es processeurs issipatifs. Il est alors aisé e comprenre pouruoi ce formalisme offre une représentation ite à «énergie localisée», puisue chaue processeur trauit une certaine utilisation e l énergie. Par exemple, le calcul u prouit e la graneur entrée et e la graneur e sortie un processeur causal correspon à une puissance : Pour une masse, le prouit F et v onne es N.m/s = Watts, et représente une énergie cinétiue : ½ M v² ; Pour une inertie, le prouit C et ω onne es Nm.ra/s = Watts, et représente une énergie cinétiue : ½ J ω² ; 18

21 Pour un ressort, le prouit v et F onne es m/s.n = Watts, et représente une énergie potentielle : ½ 1/k F² ; Pour une inuctance, le prouit U et i onne es V.A = Watts, et représente une énergie cinétiue : ½ L i² ; Pour un conensateur, le prouit i et U onne es A.V = Watts, et représente une énergie potentielle : ½ C U² ; etc. Le formalisme représenté sur la Figure 1 est uniuement basé sur la causalité intégrale. Ainsi, l utilisation une causalité érivée présente ans le formalisme Bon-Graph est ici impossible. ut () yt ( ) u( t ) yt ( ) Figure 1 : eprésentation un Processeur Causal et un Processeur rigie en GIC La Figure 11 présente le moèle analytiue un moteur linéaire au premier harmoniue sous la forme un Graphe Informationnel Causal [EMY 23], [ZENG 23]. La Figure 11 montre ue le couplage magnétiue iéal, c est-à-ire ue les fluxφ etφ sont supposés linéaires (pas e saturation). La force e poussée peut alors se écomposer suivant 2 axes : l axe ui représente l axe u flux et l axe ui représente l axe e la force e poussée. Dans le formalisme GIC écrit précéemment, la notion e linéarité es relations n intervient pas. A mon sens, presue toutes les relations sont non-linéaires «ans la nature». Il n y a onc pas lieu e sciner les représentations es processeurs linéaires et celles es processeurs non-linéaires. Nous n utiliserons onc pas, ans notre étue, la représentation es processeurs non-linéaires avec une ouble ellipse. D autre part, la non-linéarité une relation rigie ne permet pas e savoir si la relation est inversible ou non. Mon sentiment personnel est ue la ouble ellipse serait plus intéressante u point e vue e l utilisateur si elle peut lui permettre e visualiser l emplacement es relations mathématiues ui ne sont pas bijectives 3, en effet c est lors e la génération e la commane par inversion u GIC ue ces processeurs poseront es problèmes. 3 Le principe inversion u GIC inuit une inversion mathématiue e la relation u processeur. A mon sens, cette notion se rapproche alors plus un problème e bijectivité ue e non-linéarité e la relation mathématiue. 19

22 e 3 v k V 1 2 T i Axe u Flux Axe e Poussée φ f T T r v em x V 1 i 2 T k e 3 v Axe u Flux (axe ) : Axe e Poussée (axe ) : 1 L i t = V + e 2 T = k i + + L i = V e t 1 T = k i 2 e = k v 3 e = k v 3 4 k = NpL i 4 k = N ( L i + 3/2. φ f ) p v x 4 Tem = T T = k i k i, 5 M = T Tr et 6 = v t t Figure 11 : Graphe Informationnel Causal u moteur linéaire synchrone Une autre remarue importante est ue les processeurs causaux e plus une sortie ne seront pas utilisés ans cette étue. En effet, le formalisme multi-entrées et multi-sorties (MIMO en langue anglaise) u Graphe Informationnel Causal n est pas à ce jour suffisamment éveloppé pour être utilisable ans notre étue. D autres travaux sont actuellement en cours pour réponre à ce problème. Finalement, le formalisme GIC permet aier à la compréhension et la éfinition es moèles, et surtout il permet e évelopper es structures e commane aaptées à ces moèles. 1.7 Conclusion Aujour hui, les moteurs linéaires synchrones sont largement utilisés ans l inustrie, notamment ans les systèmes e prouction où le contrôle e l actionneur est evenu une conition sine ua none pour améliorer les performances u système. Toutefois, e part la géométrie es moteurs linéaires utilisés, il existe es phénomènes seconaires ui ont une influence sur la génération e la force e poussée et ui entraînent es onulations e force inésirables. Pour affiner ce moèle et pour uantifier l influence e ces perturbations, il est onc nécessaire e moéliser finement tous ces phénomènes. Ce sont ces perturbations e la force e poussée ui nous intéressent plus particulièrement, ans le but optimiser la commane en force e ces actionneurs linéaires. 2

23 Chapitre II Moélisation avancée un moteur linéaire synchrone 2.1 Analyse es forces électromotrices à vie Origine es harmoniues Les forces électromotrices à vie corresponent à la tension inuite ans les bobinages, ue à un éplacement relatif es aimants en l absence e courant ans ces bobinages (Figure 12). a /t b /t ua ub c /t uc Figure 12 : Schéma électriue es forces électromotrices à vie A partir e l E.3, les forces électromotrices à vie s expriment alors : ea φma φma ( x) φma ( x) x e b = φ Mb =. φmb( x) = v( t). φmb( x) E. 14 t t x x e c φ Mc φmc ( x) φmc ( x) Dans la machine réelle (le LMD1-5, Annexe 2), le bobinage est e type concentré avec une phase par encoche et une encoche par phase. La variation u flux provenant es aimants génère onc ans les bobinages une tension non sinusoïale. Il en écoule la présence harmoniues u flux (E.15) et onc es harmoniues e forces électromotrices. L aspect synchrone u moteur linéaire se trauit précisément par une isposition périoiue e la géométrie es aimants (Figure 8) par rapport à la géométrie u primaire [GIEAS 1999]. Les symétries u système réuisent alors l allure spectrale u flux : l expression u flux ne comporte ue es harmoniues impairs : f ( x) = f (x). D autre part, la référence e l axe u flux est choisie telle ue pour x =, le flux φ ( ) Ma x es aimants e la phase a soit maximal. φ cos ( 2 1 Ma ( x) n ) Npx [ φ ] ( ) ˆ M = φmb x φf λ2n 1 = cos ( 2n 1)( Npx 2 π /3) E. 15 n= 1 φmc( x) cos ( 2n 1)( Np x 4 π / 3) Les forces électromotrices à vie s écrivent avec λ 2n 1 = (2n 1).λ 2n 1 : 21

24 sin ( 2n 1) Npx ' e,, [ ] ˆ abc = φm = φ f Np v() t λ 2n 1 sin ( 2n 1)( Npx 2 π / 3) t E. 16 n= 1 sin ( 2n 1)( Npx 4π / 3) Nous établirons eux moèles pour éterminer la valeur es harmoniues es forces électromotrices : Moèle analytiue ; Moèle par éléments finis ; Ces moèles seront ensuite valiés par une vérification expérimentale Moèle analytiue L objectif est ici e éterminer les harmoniues e forces électromotrices e l E.16. Ce sont onc ' λ2n 1 = 2n 1 λ2n 1 ue nous allons calculer analytiuement. Pour cela, plusieurs étapes e calcul sont nécessaires : Détermination e l inuction es aimants ; Calcul u flux es aimants ans les bobinages ; Calcul e la force électromotrice. les coefficients ( ) Détermination e l inuction es aimants La Figure 13 présente la isposition es aimants sur le seconaire u LMD1-5. Ici, les aimants et les encoches ne sont pas inclinés 4 suivant l axe z : c'est-à-ire ue l évolution u champ magnétiue est invariable suivant l axe z, et facilite onc les calculs inuction es aimants. Figure 13 : Disposition es aimants sur le seconaire Généralement, les aimants utilisés ans les moteurs linéaires synchrones à aimants permanents sont u type Néoyme-Fer-Bore 5. Ils présentent l avantage avoir une courbe e émagnétisation e pente µ r # 1,5, Figure 14 : 4 Dans le cas u moteur linéaire LIMES4/12 e SIEMENS (Annexe 3), les aimants sont inclinés et pas les encoches. Dans le cas u moteur linéaire LSP12C e BOSCH-EXOTH, les encoches sont inclinées et pas les aimants. 5 L étue se limite au moteur linéaire ayant un primaire court, ce ui sous-enten ue les aimants sont soumis à es variations importantes e réluctance. Ceci a pour effet e émagnétiser rapiement es aimants permanents e type Alnico. 22

25 B = 1, 2T B M 1, 5.µ H C H M Figure 14 : Caractéristiue magnétiue B(H) 'un aimant Néoyme-Fer-Bore Cette valeur e µ r est alors consiérée comme unitaire. Cela revient à consiérer ue la perméabilité magnétiue e l aimant est la même ue celle e l air : B = µh + B E. 17 a a r L inuction magnétiue es aimants épen u circuit magnétiue ui les entoure. Ainsi, le calcul nécessite e connaître la géométrie u circuit magnétiue ui entoure les aimants. Pour le LMD1-5 6, le trajet une ligne e champ comprise ans la phase a est présenté ans la Figure 15 : Figure 15 : Trajet une ligne e champ issue es aimants pour la phase a Pour calculer le flux circulant sur le trajet une ligne e champ (Figure 15), le théorème Ampère est appliué : H l = E. 18 Les éfinitions suivantes pour la géométrie u LMD1-5 sont retenues : h p l e l h Figure 16 : Définition es imensions u LMD1-5 Le étail complet e la géométrie e l actionneur est présenté en Annexe 2. Une hypothèse classiue est e consiérer ue la perméabilité magnétiue u fer est nettement supérieure à celle e l air : H fer =, car µ r fer >> µ r air. L E. 18 se simplifie alors : 6 Le choix une istribution e bobinage e type «A A A A» permet éliminer les flux e couplage entre les trois phases, puisue le champ magnétiue ne peut pas passer à travers «A A». 23

26 Ha ha + He e+ + He e+ Ha ha + = E. 19 H h + H e= E. 2 a a e Le théorème e Conservation u Flux est alors appliué au flux issu es aimants et à celui traversant une ent u primaire : φ = φ E. 21 a Dans le cas u LMD1-5, la largeur e l aimant l a est supérieure à la somme e la largeur une ent et e celle une encoche. Cela signifie ue toute la largeur e l aimant ne participe pas à l apport u flux ans la ent u primaire. Seule la largeur aimant l + l e, oit onc être consiérée ans le calcul, puisue le flux restant intervient uniuement ans le flux es eux autres ents contiguës. Ce phénomène est représenté en pointillé sur la Figure 15 par un cône e flux entre le primaire et le seconaire. Le calcul u flux issu e l aimant s écrit alors : φ = B l + l L E. 22 e ( ) a a e Par contre, pour le calcul u flux pénétrant ans la ent, seule la largeur l peut être prise en compte, ce ui correspon aussi à l hypothèse µ r fer =, c'est-à-ire ue les fuites magnétiues autour e la ent sont négligées : φ e = Be l L E. 23 L éuation suivante lie les inuctions magnétiues : B l a = B e l + l E. 24 D autre part, la largeur es ents u LMD1-5 est inférieure à celle es aimants. Ceci permet une concentration u flux ans la ent, et onc une augmentation locale e l inuction magnétiue. Ainsi, avec un aimant e 1.23T inuction rémanente, il est possible atteinre une valeur e 1.6T ans une ent u circuit magnétiue. Classiuement, un critère e imensionnement es aimants est l obtention une valeur inuction ans la ent ui soit proche e celle u coue e saturation (e la caractéristiue magnétiue e la tôle). Cela permet utiliser au maximum la zone linéaire e la caractéristiue magnétiue e la tôle ferromagnétiue. L éuation e la roite e charge s obtient en regroupant l E. 2 Et l E. 24 : e l + le Ha ha + B a = E. 25 µ l Le point e fonctionnement magnétiue e l aimant se éuit alors e l intersection entre la roite e charge et la caractéristiue e émagnétisation e l aimant : e B B =1,23T B a 1, 5.µ H c H a Figure 17 : Point e fonctionnement 'un aimant H 24

27 La relation entre l inuction e l aimant et sa valeur inuction rémanente est alors : 1 Ba = B e l + l e = 1+ ha l E. 26 L application numériue pour les imensions u LMD1-5 onne une inuction e.88t ans les aimants, et une inuction e 1.65T ans l entrefer au bor une ent. Cette ernière valeur e l inuction est la valeur maximale issue es aimants, puisu elle correspon à la position où celui-ci fournit le maximum e flux à la ent (Figure 15). Comme l épaisseur entrefer est faible (.8 mm) par rapport à la largeur une ent (6,83 mm), les lignes e champ sont consiérées comme normales ans l entrefer (hypothèse éuivalente à celle ui consièrent ue les lignes e champs sont raiales pour une machine tournante) : B x = B x + B x, avec B ax (x) =, soit B e (x) = B ay (x) E e( ) ax( ) ay( ) L allure e cette inuction pren alors la forme suivante : Figure 18 : Allure e l inuction es aimants En appliuant une transformation e Fourier 7, l expression e l inuction ans l entrefer evient : 4 B e (2n 1) π l a Be ( x) = sin cos ((2n 1) Npx) E. 28 n= 1 π (2 n 1) 2 τ p Dans le cas u LMD1-5, le rapport l a / τ p vaut 7 / 8. La Figure 19 montre l influence e la largeur e l aimant sur un pas polaire sur les harmoniues inuction. La istribution jointive correspon à une largeur maximale, où toute la surface entrefer est «couverte» par es aimants, telle ue : l a = τ p. La istribution jointive augmente les flux e fuite entre aimants contigus, ui se rebouclent alors irectement ans l entrefer sans passer par le primaire (Figure 15). Le Tableau 3 présente les coefficients es harmoniues inuction es aimants u LMD1-5 : Moteur \ ang LMD LMD1-5 en % Tableau 3 : Valeurs es harmoniues 'inuction es aimants en Tesla Le Tableau 3 montre ue le rapport e largeur aimants e 7/8 permet e réuire significativement les harmoniues e rang 5 et 7, ce ui iminue leur impact sur la force électromotrice et onc sur la force e poussée. 7 Le seconaire est consiéré e longueur infinie, pour es raisons évientes e périoicité e la transformation e Fourier. 25

28 Abs(Ba/Bp)/(4/pi)sin(pi.la/2.Tp) la / Tp = 1 la / Tp = 7 / ang e l'harmoniue Figure 19 : Harmoniues inuction ans les aimants u LMD Calcul u flux es aimants ans les bobinages Le calcul u flux perçu par une phase spire épen e la répartition es bobinages e la phase concernée. Il existe e nombreux schémas e istribution es phases pour un moteur linéaire synchrone, [GIEAS 1999]. La Figure 2 présente la istribution es phases u LMD1-5 : Nous rappelons u une phase est constituée e plusieurs bobines ayant chacune N = 28 spires. Ces bobines sont alors connectées entre elles suivant un schéma e répartition (concentré ou réparti, avec es bobines en série ou en parallèle) [MELET 1969]. La istribution es phases utilise ici un motif «A Α Β Β C C Α A Β Β C C». Figure 2 : Distribution es phases ans le LMD1-5 La Figure 21 présente le schéma es liaisons es bobines : A A B B C C A A B B C C Figure 21 : Distribution es bobinages ans le LMD1-5 Pour calculer le flux es aimants perçu ans une bobine, nous rappelons l hypothèse simplificatrice suivante : les lignes e champ ans l entrefer sont supposées normales (sur l axe y), car l épaisseur entrefer est petite par rapport à la largeur es ents. Cette hypothèse permet onc e négliger l influence es flux e fuite ui peuvent exister entre les ifférentes ents, et «lisse» les phénomènes e enture, plus complexes à moéliser. Ces phénomènes e enture ne sont onc pas pris en compte ans nos calculs. Cette hypothèse permet e consiérer ue l inuction es aimants peut être utilisée irectement pour calculer l inuction ans l entrefer. 26

29 Ainsi, étant onné u il n y a pas e fluctuation e la reluctance entrefer avec les hypothèses retenues, le flux généré par les aimants et, plus particulièrement, l inuction ans les aimants ne fluctue pas avec le éplacement u circuit magnétiue. C est bien éviemment une hypothèse très importante et peu réaliste, mais elle permet e onner une expression approchée u comportement e l inuction pour chaue ent u primaire. La Figure 22 présente l allure e l inuction ans l entrefer B e (x) en fonction e la position x. Tous les relevés suivants sont présentés avec pour abscisse la position x éfinie sur une périoe aimants, soit 2 τ p = 32mm pour le LMD1-5. Be (en T) x (en m) Figure 22 : Allure e l inuction es aimants ans l entrefer en fonction e la position La valeur e l inuction ans l entrefer aux bornes e la ent varie ici e 1.65Tesla à -1.65Tesla. La Figure 22 présente un phénomène e Gibbs. Toutefois, ces oscillations supplémentaires sur le signal ne sont pas présentes sur le système réel, mais proviennent e la méthoe e calcul par série e Fourier, choisie pour résoure ces éuations à l aie u logiciel Matlab. Cette méthoe est basée sur une somme harmoniues 8. Ici, 5 harmoniues sont utilisés pour reconstituer le signal origine. Cette inuction est ensuite intégrée sur la zone corresponant à la présence une ent e la phase a. Pour faciliter le calcul, nous avons choisi intégrer l inuction sur une périoe complète aimants (2 τp) en utilisant un filtre ui éfinit si le flux est perçu ou non, ans une ent e la phase a, Figure 23. 1,25 1 Filtre unitaire,75,5,25 -,25 -,16 -,12 -,8 -,4,4,8,12,16 x (en m) Figure 23 : Filtre e la ent e la phase a suivant la position 8 L intérêt e cette méthoe est utiliser une représentation spectrale e notre moèle, et onc e isposer à tout instant es valeurs u moèle au premier harmoniue et es valeurs es harmoniues e rang plus élevés, tout en conservant une méthoe e calcul peu gourmane en ressources informatiues. 27

30 Cette méthoe est éuivalente au calcul e l intégrale u flux ui circule ans une ent u primaire sur l / 2 à l / 2. L avantage résie ici ans la facilité e programmation u calcul e l intégrale u flux. Le mouvement u bobinage est pris en compte en éplaçant irectement le filtre et en aitionnant les ifférentes séries e Fourier. En pratiue, l inuction ans une ent est en fait plus proche e 1.6 Tesla ue e 1.65T 9. En effet, les fuites magnétiues inter-ents ne sont pas prises en compte ans le calcul analytiue, or celles-ci affaiblissent le flux circulant ans une ent. Pour obtenir le flux e la phase a, toutes les valeurs inuction sont aitionnées à chaue pas e calcul. Le résultat obtenu est alors multiplié par le nombre e spires comprises ans la phase a, soit 28 spires et 2 bobines (en série) pour le LMD1-5. La Figure 24 présente le flux ainsi calculé pour la phase a. Les trois phases étant supposées symétriues, les flux inuits ans chacune es phases seront simplement écalés e 2 τ p /3 (entre elles)..15 n W b ) ux phi an (e Fl x (en m ) Figure 24 : Allure u flux (en Wb) ans la phase a en fonction e la position La valeur maximale u fonamental u flux perçu ans la phase a est ici e : ˆ φ f =.125Wb Calcul e la force électromotrice La force électromotrice à vie est alors obtenue en érivant le flux précéemment calculé : em ean (en V) F x (en m ) Figure 25 : Allure e force électromotrice e an ans la phase a Le Tableau 4 présente les résultats e la écomposition en série e Fourrier e la fem à vie u LMD1-5. L écart avec les valeurs mesurées expérimentalement 1 est environ 25% sur le 9 Cette constatation est issue es calculs par la méthoe es éléments finis, ui seront présentés au Ch relatif à cette méthoe. 28

31 fonamental. Le moèle analytiue apparait comme trop simplifié par rapport à la précision ue l on souhaite obtenir. ang Fem phase a Amplitue % Eff Tableau 4 : Valeurs maximales es harmoniues e fem simple inuite ans la phase a D autre part, l harmoniue e rang 3 représente près e 33% e la valeur efficace e la fem. Toutefois, le bobinage u moteur linéaire est couplé en étoile, neutre non connecté mais accessible (le bobinage stanar pour les moteurs linéaires étant un neutre non accessible). Ainsi, la somme es trois tensions inuites e st nulle et impose es harmoniues e fem nuls pour les rangs multiples e 3 : h3k cos ( 3k Npx ) + h3k cos ( 3k Npx 2πk ) + h3k cos ( 3k Npx+ 2πk ) = E. 29 Impos e : x, et k 1, h3 k = Ces harmoniues e fem ne seront onc pas perçues par le variateur et n auront onc aucune influence sur la génération e la force e poussée. C est pouruoi il n est pas nécessaire, lors e la conceptio n e la machine, e tenir compte es harmoniues e fem simple e rang multiple e 3. En effet, avec un couplage en étoile, neutre non connecté, il n y aura pas e composante e rang 3 sur la force e poussée. Toutefois, les harmoniues e rang 3 et leurs multiples ne sont nuls ue si les trois phases sont parfaitement éuilibrées (E. 29) Conclusion Les hypothèses retenues ne permettent ici e calculer ue les valeurs es premiers harmoniues e force électromotrice et seulement e façon très approchées. En effet, elles ne tiennent pas compte u comportement e la enture et onc es fluctuations inuites par les fuites e champ ui une part, ont pour principal effet e «lisser» les variations brusues u champ et, autre part, ui augmentent e façon non négligeable l apport e flux ans la ent. L hypothèse classiuement utilisée pour les machines synchrones tournantes et basée sur le principe es flux raiaux ans l entrefer 11 ne peut s appliuer ue partiellement au cas u LMD1-5, ui est un moteur linéaire à encoches roites. L écart entre les résultats obtenus et les valeurs mesurées expérimentalement est e 25%, ce ui montre les limites e la méthoe analytiue classiue. Il est possible affiner le moèle analytiue en consiérant la variation e la réluctance entrefer [BUDNY 1991], [TAIBI 22]. Toutefois, cette méthoe ui chercherait à calculer plus finement l interaction aimants / ents u primaire proposerait la même émarche analyse ue la méthoe es réseaux e réluctances. Bien ue ces travaux ne soient pas présentés ici, nous avons mené une étue avec la méthoe es réseaux e réluctances. Les résultats ne montrent u une amélioration e 1% environ u moèle analytiue avec une grane évolutivité u réseau e réluctances suivant la position es aimants, notamment ans la zone entrefer. Le niveau e étail et e complexité u moèle par la 1 La valiation expérimentale est présentée en étail au Paragraphe Souvent justifiée par la présence épanouissements polaires ans le circuit magnétiue 29

32 méthoe es réseaux e reluctances ten alors à se rapprocher e celui un moèle obtenu par la méthoe es éléments finis Moèle éléments finis Structure et géométrie étuiée u moteur linéaire La méthoe es éléments finis est utilisée pour obtenir une représentation plus fine es forces électromotrices. Le LMD1-5 ne contient u une paire e pôles. Les effets longituinaux extrémités sont alors très présents ans ce moteur linéaire 12. Il est ainsi nécessaire e moéliser le moteur linéaire ans son ensemble : il faut ajouter une zone air supplémentaire (Figure 26). D autre part, ans le cas u LMD1-5 ETEL, les encoches et les aimants ne sont pas inclinés. Cela signifie ue la géométrie u moteur linéaire est invariante suivant l axe z. L étue u moteur linéaire peut alors se ramener à l étue une géométrie 2D extruée suivant l axe z. La Figure 26 présente le maillage u LMD1-5, et la Figure 27 présente l inuction à vie : Figure 26 : Maillage et inuction ans le LMD1-5 Le maillage présenté sur la Figure 27 est composé e nœus et éléments. La géométrie et le maillage ont été réalisés à l aie u logiciel I-eas v D-4 2.2D+ LEVELS:1 DELTA: 2.2D-1 Figure 27 : I nuction à vie ans le LMD1-5 (en T) La Figure 28 présente un zoom u maillage utilisé. La zone entrefer est maillée en «free - mapper», cela signifie ue le maillage est éfini avec un pas fixe et régulier ans l entrefer. L intérêt est e permettre un calcul précis es forces lors un mouvement u moteur par «pas fixe» [EMY 27(1)]. 12 Par contre, avec autres géométries e moteurs linéaires, tel ue le LIMES 4/12 e Siemens (à 8 paires e pôles), il est possible e faire intervenir la périoicité e la géométrie [TOUNZI 24]. Dans ce cas, il est alors possible étuier le moteur linéaire sur un pôle ou une paire e pôles e la machine. L avantage évient e cette simplification est la réuction e la taille u système étuié, et onc la iminution u nombre éléments u maillage, et ainsi la réuction u temps e calcul. 3

33 Figure 28 : Zoom u maillage u LMD Formulation en terme e potentiel Dans le cas magnétostatiue, les éuations e Maxwell peuvent s écrire sur un omaine V e frontière Г, tel ue Г h Г b = Г et Г h Г b =, suivant la forme suivante : roth= js, avec h n= sur Γ h E. 3 iv b, avec b n= sur Γ E. 31 = b Dans cette expression, h re présente le champ magnétiue, b la ensité e flux magnétiue et j s la ensité e courant. Les vecteurs b et h sont liés par la relation caractéristiue es matériaux b=µh. Dans le cas es aimants permanents, la relation caractéristiue evient : b = μa ( h+ h c ) E. 32 Où h c est le champ coerciti f et µ a est la perméabilité es aimants permanents. Dans notre éveloppem ent, le omaine étuié V est consiéré comme étant simplement connexe. Pour résoure ces éuations, nous pouvons utiliser une formulation en termes e potentiel scalaire φ (app elé formulation-φ) avec un champ source h s ou une formulation en termes e potentiel vecteur a (appelé formulation-a) [MEEKE 25]. Dans le cas e la formulation-φ, la ensité e courant s'exprime à partir u rotationnel u champ magnétiue comme : h= h graϕ avec h n= sur Γ E. 33 s Le potentiel scalaire magnétiue φ est alors l'inconnu et le champ source h s est éfini par : roth s = j s E. 34 La formulation en termes e potentiel vecteur est obtenue e l'éuation telle ue le : rota = b E. 35 Pour imposer l'unicité e a, il est nécessaire 'ajouter une conition e jauge. Pour prenre en compte la caractéristiue non-linéaire u circuit magnétiue, il est nécessaire e isposer e la caractéristiue u constructeur pour les tôles e fer 13, Figure 29. La courbe u constructeur nous a été fournie par notre partenaire ETEL. Cette tôle ferromagnétiue provient e la société Stanzwerk. La courbure caractéristiue, témoignant u phénomène e saturation, a été ientifiée à partir e cette ocumentation. s h 13 Les tôles e fer laminées composent uniuement le circuit magnétiue u primaire u moteur linéaire. Il est important e noter ue les onnées u constructeur ne tiennent pas compte es procéés estampage ui peuvent moifier les caractéristiues magnétiues u matériau. Cette influence est ici négligée. 31

34 Figure 29 : Caractéristiue constructeur e la tôle ferromagnétiue u LMD1-5 (M8-5A) Dans notre cas, le coe e calcul utilisé pour résoure les éuations e Maxwell utilise la méthoe interpolation e Marrocco e la courbe H=f (B). En effet, les coefficients e Marrocco permettent une approximation analytiue e la courbe non-linéaire e h(b) ui est implantable numériuement : 2α ετ + c h = b b E. 36 2α μ τ + b Où µ est la perméabilité e l'air et µ r est la perméabilité relative : Dans le cas linéaire : µ r = cst. Dans le cas saturé : µ r est éuit e la caractéristiue non-linéaire b(h) es onnées es matériaux ferromagnétiues (Figure 3). D autres approches sont proposées ans la littérature [LIPO 2], [POLINDE 23(1)], [POLINDE 23(2)] pour la moélisation e la saturation es matériaux magnétiues. La Figure 3 présente la caractéristiue H(B) u matériau, approximée par l'éuation e Marrocco (E.36). La valeur e la perméabilité magnétiue relative es tôles ferromagnétiues ans la zone linéaire est environ 45. Il existe une ifférence notable e «comportement» e la perméabilité entre les eux représentations pour les faibles valeurs u champ magnétiue : en effet, la représentation e Marrocco ne permet pas inclure la caractéristiue e première aimantation (Figure 3). Cette courbe e première aimantation corresponrait au cas où un aimant au repos s approche un circuit ferromagnétiue pour la première fois, c'est-à-ire sans aimantation antérieure. 32

35 Figure 3 : Caractéristiue B(H) - Perméabilité magnétiue relative u matériau M8-5A Pour les coefficients e l éuation e Marrocco, le solveur u logiciel Excel est utilisé en travaillant par boucle itérative suivant un principe optimisation itératif e Newton-aphson. D autre part, la valeur e c = 1 est retenu pour ue la perméabilité magnétiue converge bien vers µ lorsue h. En effet, le matériau ferromagnétiue se comporte comme e l air en régime saturé. h c 1 lim = lim = lim E. 37 b b b µ b µ Les coefficients α, τ et ε sont calculés par itération. Le principe u calcul est e minimiser une fonctionnelle ui représente la somme ponérée es erreurs uaratiues entre la courbe u constructeur et la courbe interpolée. A ce jour, à notre connaissance, il n existe pas ans la littérature e règles précisant la méthoe aéuate pour établir les coefficients e cette ponération. En autres termes, il est fait au mieux pour faire «coller» les eux courbes l une sur l autre. Le Tableau 5 présente les 4 coefficients e Marrocco ainsi obtenu : Coefficients Valeurs c 1 α 1.11 τ 2754 ε.2216 Tableau 5 : Coefficients e Marrocco pour les tôles u LMD1-5 33

36 Calcul es flux Nous consiérons ue le omaine V a un conucteur, et nous notons i le courant. Nous notons aussi ue la istribution e ensité e courant est uniforme ans chaue section traversée. En conséuence, j s ans le conucteur peut s'écrire comme : j = N i E. 38 s Où N est le vecteur e ensité par tour. Son amplitue est onnée par le rapport entre le nombre e tours ans la section bobinée et sa irection par son orientation spatiale. Le flux propre ans un bobinage peut être obtenu par intégration, sur tout le omaine, e la projection u potentiel vecteur magnétiue sur le vecteur e ensité par tour. Donc, nous pouvons l'écrire : Φ= V an. v E. 39 Pour éterminer le flux propre ans le cas e la formulation-φ, comme le vecteur e ensité e courant N est à ivergence libre, un vecteu r K est introuit sous la forme : rotk = N [LE MENACH 2]. Alors, à partir e l E.39, en permutant N avec son expression en fonction e K et en utilisant la formule e Green, nous pouvons écrire : Φw = K. r ota.v E. 4 V A partir e l E.35 et e l E.4, en consiérant la caractéristiue es matériaux et l'expression u cha mp magnétiue e l'e.32, l'expression u flux peut s écrire comme une fonction e K et e φ sous la forme : Φ w = μk.( Ki gra ϕ ) v E. 41 V Cette approche permet l utilisation es formulations K ou N au choix, avec l aie e l E.39 et l E.41, pour calculer le flux propre ans les bobinages. Pour simuler le mouvement, la méthoe u éplacement par «pas e maillage» est utilisée. Cette méthoe, simple à mettre en œuvre au niveau informatiue, nécessite toutefois un maillage régulier ans l entrefer. La Figure 31 montre la forme u flux inuit ainsi obtenu pour chacune es phases a, b, c : it (en Wb) u flux in x (en m) Figure 31 : Flux inuits ans les phases a, b, c en fonction e la position Il est ifficile e percevoir sur les tracés es flux la présence harmoniues. En effet, les signaux sont "presue" sinusoïaux Calcul es forces électromotrices A partir es flux précéemment calculés, pour un éplacement u moteur à une vitesse constante v = 1m/s, l allure es forces électromotrices à vie est obtenue en érivant les résultats es flux par 34

37 rapport à la position. Bien ue, ans la littérature, les fems soient représentées en fonction u temps, pour un éplacement à une vitesse constante v = 1m/s, les représentations fem(x) et fem(t) sont ientiues. La Figure 32 présente les forces électromotrices simples e a, e b et e c (en V) : 5 Fems simples (en v) x (en m) Figure 32 : Forces électromotrices simples en fonction e la position à v = 1m/s Les forces électromotrices simples u LMD1-5 ont es formes trapézoïales. Le Tableau 6 présente les valeurs maximales es coefficients e ces harmoniues pour le LMD1-5 : ang Fem phase a Fem phase b Fem phase c Fem moyenne Amplitue % Eff Tableau 6 : Valeurs maximales es harmoniues e fem simple (en V) La Figure 33 présente les forces électromotrices composées e ab, e bc et e ca (en V) : Fems co mp osées (en v) x (en m) Figure 33 : Forces électromotrices composées en fonction e la position à v = 1m/s 35

38 Le Tableau 7 présente les valeurs maximales es coefficients e ces harmoniues : ang Fem phase ab Fem phase bc Fem phase ca Fem moyenne Amplitue % Eff Tableau 7 : Valeurs maximales es harmoniues e fem composée (en V) La Figure 34 présente les résultats e la transformation e Fourier e la fem composée. Pour une vitesse constante v = 1m/s e l E. 6, la fréuence u fonamental es courants est égale à 31.25Hz pour τ p = 16mm. Figure 34 : FFT e la fem composée e ab u LMD1-5 La Figure 35 présente la reconstruction u signal e force électromotrice composée e ab. L intérêt est e montrer ue le signal issu e la méthoe es éléments finis est iscrétisé, ce ui signifie ue la périoicité et la parité es résultats sont fortement liées au pas e iscrétisation utilisé ans la méthoe es éléments finis. Cela pourrait justifier la présence harmoniues pairs sur la FFT e la Figure 34. Figure 35 : Force électromotrice composée e ab par éléments finis et reconstruite (en V) Il est important e noter ue le processus e calcul par éléments finis, bien ue transparent pour l utilisateur, onne es résultats iscrétisés. Ainsi, l utilisateur se oit e rester vigilant sur les résultats obtenus es FFTs. Ici, un pas e iscrétisation e,5mm est utilisé, ce ui onne 64 points sur une 36

39 périoe aimants. Les valeurs représentatives es harmoniues e fem sont onc exploitables jusu à l orre 7 (soit 9 points par périoe pour l harmoniue e rang 7) Valiation expérimentale Principe e la mesure Contrairement aux moteurs tournants, les moteurs linéaires - étant e longueur finie - ne peuvent pas être entraînés aisément à vitesse constante. Or, pour ientifier les harmoniues e forces électromotrices, il est nécessaire e faire abstraction e la vitesse u moteur : x θe e = φ M( e) = φ θ M( θe) E. 42 t t x θ La méthoe employée pour obtenir les harmoniues e fem est la suivante : Mesure es tensions inuites lors un éplacement u moteur (moteur non alimenté) ; Acuisition e la position issue une règle incrémentale haute éfinition (pas e 2µm ivisé par la résolution numériue u CAN e 496 points) ; Dérivation numériue e la position pour obtenir la vitesse; Division e la tension inuite par la vitesse ; Affichage e la tension réuite e la vitesse en fonction e la position x. Le schéma e principe e l expérience est représenté sur la Figure 36 : e Figure 36 : Schéma e principe e la mesure es forces électromotrices La Figure 37 présente les mesures simultanées e la position, e la vitesse et es lors un éplacement manuel uelconue u moteur linéaire. tensions inuites 37

40 Figure 37 : Mesure es fems, e la position et e la vitesse u LMD1-5 L expression es forces électromotrices e l E.16 est rappelée ici : sin ( 2n 1) Npx ' e,, [ ] ˆ abc = φm = φ f Np v() t λ 2n 1 sin ( 2n 1)( Npx 2 π / 3) E. 43 t n= 1 sin ( 2n 1)( Npx 4π / 3) La mesure e la vitesse v est ici nécessaire. En effet, pour obtenir les valeurs es coefficients λ k,, il est nécessaire e iviser la tension par la vitesse. Or, contrairement au cas u moteur tournant, il est impossible pour un moteur linéaire avoir es régimes permanents e urée suffisamment importante pour obtenir une vitesse constante égale à la vitesse nominale. Une solution consiste alors à iviser en temps réel la tension par la vitesse instantanée. Les résultats obtenus restent une précision satisfaisante si le coeur incrémental a une résolution suffisamment élevée : ici avec une règle linéaire incrémentale LIDA485 posséant un pas e 2µm, et son coeur ayant une résolution numériue e 496, la résolution théoriue est alors inférieure à.1µm 14. L intérêt principal e cette résolution élevée e coeur est e permettre la génération un signal e vitesse avec une large bane passante. La Figure 37 permet e vérifier la ualité u coeur e position, sur le niveau e bruit u signal e vitesse (e couleur bleue). La force électromotrice est peu bruitée, et possèe une représentation spectrale cohérente (car non tronuée par la résolution u coeur). La Figure 38 présente la valeur instantanée e la force électromotrice, normée par la vitesse en oronnée, et la position en abscisse. Le signal est bien amplitue constante, et éformé par la présence harmoniues. Il existe aussi es bruits e mesure pour es valeurs importantes es forces électromotrices : les analyses faites sur ces courbes ont été vérifiées sur une trentaine essais afin e s assurer ue ce bruit n avait pas influence sur la précision es résultats obtenus. Sur 3 essais, il existe une ispersion inférieure à 5% es résultats jusu à l harmoniue e rang 7, et moins e 15% jusu à l harmoniue e rang A titre e comparaison, avec une machine bipolaire et un coeur incrémental rotatif, il faurait isposer une résolution u coeur e 18 points par tour. 38

41 4 (en V) an Fem e Position (en m) Figure 38 : Force électromotrice e an en fonction e la position à v = 1m/s D autre part, la vitesse oit être supérieure à zéro, pour éviter avoir une ivision par zéro ans le calcul. Enfin, avec une valeur importante e la vitesse, un meilleur rapport signal/bruit est obtenu. Ces précautions en ce ui concerne la vitesse sont très importantes : en effet, pour obtenir es résultats cohérents après l analyse par la transformée e Fourier, il est nécessaire e isposer un signal le moins bruité possible Analyse es résultats La Figure 39 montre une analyse FFT e la force électromotrice simple e an. Pour le LMD1-5, les harmoniues reste faibles, e l orre e uelues pourcents. La fréuence u fonamental est éfinie par la relation f = v / 2 τ p, soit 31,25Hz pour τ p =16mm et v=1m/s. 1 2 FFT e la fem ean pour v = 1m/s FFT e la fem ean (en V) f (en Hz) Figure 39 : Analyse FFT e la force électromotrice simple e an La méthoe analyse es harmoniues e fem à vie ui vient être présentée est simple, ans la mesure où elle repose sur la finesse u pas e la règle incrémentale e mesure : un pas e la règle incrémentale e 2µm interpolé par un coeur numériue e 496 bits. Ainsi, il est possible, en temps réel, e iviser la tension par une valeur approchée e la vitesse faiblement bruitée. Les résultats obtenus sont une très bonne répétitivité, même pour les rangs es harmoniues élevées : moins e 1% écart par phase sur les amplitues es harmoniues, sur 3 essais, jusu à l harmoniue e rang

42 Le Tableau 8 présente un comparatif succinct es résultats obtenus pour les ifférentes phases : ang Fem_an Fem_bn Fem_cn Fem_moy Ecart max % Erreur Max % 1 42,4 41,65 41,9 41,86 17,2,41 3,142,22,27,19 3,7 16,12 5,456,362,469,429 3,98 9,28 7,15,59,13,89 1,61 18,3 9,111,129,17,116 1,33 11,46 11,49,54,47,5,38 7,48 13,16,23,21,2,29 14,84 Tableau 8 : Comparatif es analyses FFT u flux inuit ans la phase a (en V) Le bobinage étant couplé en étoile (sans neutre isponible), l expression es fems composées s écrient alors : eab = [ φma φmb ] t ˆ π f Np v (2n 1). 2n sin ( 2n 1) sin π ( 2n 1) N px E. 44 = φ λ n = Le Tableau 9 présente les expressions littérales es harmoniues e la force électromotrice composée e ab. Les harmoniues e ran g multiple s e 3 sont nulles. ang Coefficients es harmoniues e fem composée 1 ˆf N v ( ). sin 1 3 N x π φ λ p p ). 5 5π p v ( 5λ5 3 sin Npx 3 φˆf N ˆ N ). f p 7 3 sin 7 N x π φ v (7λ p 3 9 5π 11 ˆf φ N p v ( 11λ 11). 3 sin 11Np x 3 Tableau 9 : Coefficient e la force électromotrice composée e ab La fem composée e ab a été aussi mesurée, et bien ue les harmoniues e rang multiples e 3 ne soient pas accessibles à la mesure (couplage en étoile et neutre non connecté), es harmoniues e rang 3 (à Hz) sont présentes. D autre part, le moteur n étant pas parfaitement symétriue, une composante harmoniue e rang 3 issue e l asymétrie u bobinage est alors visible. Le Tableau 8 4

43 montre ue ce ernier phénomène reste mineur sur le LMD1-5, nous ne conserverons onc u un moèle symétriue es trois phases, et onc les valeurs es harmoniues e rang 3 seront ici négligées Analyse es forces électromotrices en charge Dans la moélisation précéemment présentée es forces électromotrices, l impact es courants sur les valeurs es fems a été négligé. Or l influence e la saturation sur les forces électromotrices n est pas négligeable. La Figure 4 représente la force électromotrice e la phase a en fonction e la position x (en mm) et u courant i a (en A) présent ans cette phase ia (en A) x (en mm) Figure 4 : Courbes e la fem e la phase a (en V) fonction e x (en mm) et ia (en A) La étermination par la méthoe es éléments finis e ce phénomène e saturation est coûteuse en temps e calcul. Pour obtenir la courbe 3D présentée en Figure 4, 2 semaines e calcul sur 6 machines e 2GHz et 1Go e AM ont été nécessaires. La Figure 4 montre ue la courbe tracée est irrégulière car le nombre e points reste insuffisant pour obtenir une représentation fine u phénomène. Néanmoins, l influence u courant est importante sur l amplitue es forces électromotrices : la Figure 41 présente les fem à vie et en charge (avec un courant e A et +26A respectivement). 6 4 Fem an (en V) x (en mm) Figure 41 : Comparaison entre fem à vie et fem en charge 41

44 Cette figure montre u en régime saturé, l amplitue maximale e la fem passe e 55V à moins e 9V (pour un courant e 26A). Toutefois, le courant e 26A utilisé lors u calcul par la méthoe es éléments finis est bien supérieur au courant nominal e 2A efficace u LMD1-5 (Annexe 5). Cette valeur e 26A correspon plus à un moe e fonctionnement impulsionnel u moteur ui autorise es pointes e courant e 9,9A efficace (soit 14A maximum pour le LMD1-5), c'est-à-ire lors e fortes accélérations au émarrage et au freinage u moteur. Cette interaction u courant ans la génération es forces électromotrices peut se représenter à l aie un Graphe Informationnel Causal : e abc 5 v V abc e abc 1 VLabc 2 i abc φ abc / x 6 4 Tem x T r 7 T mot 8 v 9 x Vabc 3 iabc Ts + T f 1 v Moèle électriue : Moèle mécaniue : 1 VLabc = Vabc eabc iabc 7 Tmot = Tem Tr Ts Tf i v = V 8 M = Tmot t t abc 2 Labc Labc 3 Vabc = iabc 8 φ ( i, x) k k 4 Tem = ik k= abc,, x ( i x) 6 x = v t ( i, x) φ ( i, x) φ = x abc abc abc abc x iabc = cst φ, abc abc Ts + fv v, si v > 5 eabc = v 1 Ts + Tf = x Ts + fv v, si v < Figure 42 : eprésentation en GIC u moèle e PMSLM en saturé Expérimentalement, les forces électromotrices en charge sont ifficiles à obtenir : pour maintenir un courant constant ans le moteur urant un éplacement à vitesse constante, il faurait fournir une tension triangulaire à l inuctance alors ue la fem est sinusoïale. Cela signifie u il faurait entraîner le moteur linéaire par un autre actionneur pour maintenir la vitesse constante et ans le même temps, il faurait contrôler l alimentation u moteur pour maintenir un courant constant. Il est facile imaginer la ifficulté e ces essais pour garantir es résultats précis. Le moèle présentée sur la Figure 42 utilise un repère naturel (a,b,c) et non un repère e Park (,). En effet, le phénomène e saturation introuit la présence harmoniues ans les fems, ui interfèrent avec la transformation e Park, et compliuerait alors fortement la représentation graphiue e ce moèle Toutefois, cette approche ex iste ans la littérature : ans le cas es machines synchrones tournantes, [LOUIS 24(2)] propose une transformation e Park étenue pour les fems non sinusoïales, et [STUTZE 22] et [STUTZE 23] tient compte e l influence e la saturation u circuit magnétiue pour les machines à pôles saillants. 42

45 Les résultats présentés sur la Figure 4 sont très intéressants u point e vue e la commane : en effet, si les forces électromotrices en charge sont connues et si les courants sont mesurés, cela peut permettre e réaliser un estimateur précis e la force e poussée e l actionneur, et par suite un contrôle amélioré e la mise en accélération u moteur linéaire Impact sur la force e poussée La relation entre les harmoniues e fem et les harmoniues e force e poussée n est pas une relation irecte, comme le montre la Figure 42 : la fem e an u processeur 5 inuit ans 1 une tension ui crée ans 2 es harmoniues e courant. Ces harmoniues interagissent alors avec les harmoniues e fem ans 4 pour générer la force e poussée. En étaillant cette analyse, les harmoniues e fem impliuent es harmoniues e courant 16 : vka eka ika = E L kω ( ) 2 Les harmoniues e courant peuvent alors s écrire sous la forme 17 : sin ( 2n 1) Npx * iabc,, i 2n 1 sin ( 2n 1)( Npx 2 π / 3) = E. 46 n= 1 sin ( 2n 1)( Npx 4 π / 3) Pour la force e poussée, le calcul s obtient à l aie un bilan e puissance : Tem v= ea ia + eb ib + ec ic E. 47 La relation 5 e la Figure 42 montre ue la vitesse intervient aussi ans l expression e la force électromotrice, la force e poussée se simplifie alors e la façon suivante : φ Ma φ T Mb φmc em = ia + ib + ic E. 48 x x x Les harmoniues e forces électromotrices s écrivent : sin (2 n 1) Npx ' e,, [ ] ˆ abc = φm = φ f Np v() t λ 2n 1 sin ( 2n 1)( Npx 2 π / 3) E. 49 t n= 1 sin ( 2n 1)( Npx 4π / 3) De plus, pour un moteur linéaire alimenté par trois tensions sinusoïales éuilibrées, la force e poussée se éveloppe alors 18 : a 16 Seules les applications à moteur linéaire alimentées par un onuleur e tension sont ici consiérées. Les harmoniues e courant sont éuites e l atténuation e la tension alimentation par l impéance u moteur 17 Le moteur linéaire est autopiloté et la tension alimentation est aaptée à chaue instant pour ue le fonamental e la force électromotrice soit en phase avec le fonamental u courant. 18 La émonstration e l E.5 est étaillée ans les travaux e [ZENG 25]. 43

46 T em = N 3 ˆ p φ f 2 ' ' { i6k+ 1λ6n+ 1cos 6( k n) θ } { i6k+ 1λ6n 1cos 6( k+ n) θ } k= n= k= n= 1 { } ( ) 6 ' i k 1 λ 6 n 1 cos 6 k n θ k= 1 n= 1 k= 1 n= + ' { ( ) } 6 i k 1 λ 6 n + 1 cos 6 k+ n θ ' ' { i6k+ 3λ6n+ 3cos 6( k n) θ } i6k+ 3λ6n+ 3cos 6( k+ n+ 1) { θ } + k= n= k= n= Dans la pratiue, pour l E.5, cela signifie ue les harmoniues e fem génèrent es onulations e la force e poussée e rang 5, 7, etc., multiples e la fréuence es courants alimentation. L impact e ces harmoniues e fem peut alors épasser 5x 1.5%, soit près e 8% en termes onulation e force, ui vient s ajouter à la force e poussée : rang e l ' harmoniue * amplitue e l ' harmoniue e fem E.51 Les résultats e la Figure 43 et e la Figure 44 sont obtenus en appliuant la même commane par autopilotage en position avec une référence en bang-bang e jerk. E. 5 T em sans Hfem / T em avec Hfem (en N ) Tem ean sans et avec harmoniue T em sans Hfem T em avec Hfem t (en s) T em sans Hfem - T em avec Hfem (en N) Tem sans Hfem - Tem avec Hfem t (en s) Figure 43 : Impact es harmoniues e fem sur la force poussée à.2m/s, 2m/s² sur 2cm a) moèle 1er harmoniue b) avec les harmoniues e fem à vie T em sans Hfem / T em avec Hfem (en N) Tem ean sans et avec harmoniue T em sans Hfem T em avec Hfem t (en s) T em sans Hfem - T em avec Hfem ( Tem sans Hfem - Tem avec Hfem t (en s) Figure 44 : Impact es harmoniues e fem sur la force poussée à 2m/s, 2m/s² sur 5cm a) moèle 1er harmoniue b) avec les harmoniues e fem à vie en N) L analyse es ifférences entre la Figure 43 et e la Figure 44 montre ue la force perturbatrice est principalement gênante à basse vitesse. 44

47 2.1.7 Conclusion sur l analyse es forces électromotrices à vie Le Tableau 1 présente une comparaison es résultats es ifférentes méthoes et es relevés expérimentaux : ang Méthoe analytiue Méthoe par éléments finis Mesure expérimentale Ecart max % EF /EXP ,86 1, , ,429 21, ,89 51,3 Tableau 1 : Comparatif e force électromotrice composée e ab u LMD1-5 (en V) La méthoe es éléments finis permet e fournir une information précieuse sur l harmoniue e rang multiple e 3, ui ne peut pas se mesurer ans le cas es systèmes à neutre non accessible. Finalement, nous retienrons le moèle analytiue es forces électromotrices composées non sinusoïales suivant : e ( t, x) = v t 7,97 cos N x +,51 cos 5N x +,86 cos 7N x) E. 52 ( ) () ( ) ( ) ( ab p p p La ocumentation u constructeur u moteur linéaire LMD1-5 iniue ue la valeur maximale e la force électromotrice composée est e 72.5 V à une vitesse e 1m/s. L E.52 montre une valeur maximale e la force électromotrice composée e 7.97 V/(m/s), soit moins e 2.5% erreur. De même, le moèle analytiue suivant es forces électromotrices simples non sinusoïales est retenu : 4,98 cos( Npx) +,61 cos( 3Npx) +,29 cos( 5N x p ) ea (, t x) = v() t E. 53 +,5 cos ( 7Npx) Ces résultats e la force électromotrice à vie incluant les harmoniues jusu à l orre 7 permettent la réalisation un estimateur précis e la force e poussée pour améliorer la commane en force 19. Ces résultats seront exploités au Chapitre III. 19 En compensant les harmoniues e courant, issus es harmoniues e fem 45

48 2.2 Analyse es inuctances Origine e la saturation Une machine saturée à pôles lisses a un comportement semblable à celui 'une machine non saturée à pôles saillants. Cette saturation pe ut avoir eux origines : Un courant trop élevé ans une phase ; Un aim ant puissant trop proche une structure magnétiue. La Figure 45 représente la combinaison e ces sources énergie électriues et magnétiues : Figure 45 : Influence e la position es aimants sur l'état magnétiue e la structure L'objectif e cette analyse est onc 'obtenir une expression générale, sous une forme analytiue, e la matrice inuctance. Pour cela, nous partons e l'étue e la géométrie e la machine, en prenant en compte es effets 'éventuelles saturations. Ce moèle oit faire apparaître es coefficients, fonction u courant et e la position, ue nous chercherons à ientifier par la suite. Les analyses e ces inuctances sont basées sur le travail e recherche en master e recherche e J. GOMAND [GOMAND 25]. Notre étue utilisera plusieurs méthoes issues e la littérature scientifiue pour obtenir les inuctances un moteur linéaire : Calcul e la perméance entrefer [AL-NUAIM 1998] ; Méthoe es éléments finis [GIEAS ] ; Détermination par es essais expérimentaux [AEFEEN 1993], [ASKOU 22] ; Nous pouvons citer la méthoe es réseaux e réluctance [POLINDE 22], [QU 22], ue nous n aborerons toutefois pas ici, parce ue son apport est faible par rapport à celui e la méthoe es éléments finis, si ce n est un gain sur le temps e calcul Moélisation analytiue L'influence u courant n'est pas la même suivant la position es aimants. La Figure 45.a représente l'actionneur ans une position pour lauelle le flux es aimants ans la phase a est maximal (axe ). Dans cette configuration, il existe une inuction magnétiue initiale, sans courant, ui n'apparaît pas ans la configuration e la Figure 45.b pour lauelle e flux es aimants ans la phase a est nul (axe ). Dans le premier cas, le courant i a nécessaire pour atteinre la saturation négative est beaucoup plus important en valeur absolue ue le courant nécessaire pour atteinre la saturation positive, alors ue ans la position e la Figure 45.b, la valeur absolue u courant i a est la même pour atteinre les saturations positive et négative. La Figure 46 illustre ce phénomène pour la phase a ans les eux positions prises pour exemple. Le flux φ est le flux ans la phase a. En consiérant le cas où les courants i b et i c sont nuls, ce flux est a 46

49 généré en partie par les forces magnétomotrices es aimants, à l'origine u flux par celles es bobinages e la phase a, à l'origine u flux propre φ. aa φ Ma ans la phase a, et a aa x=τp/2 (axe ) Ma(x) FMM a =2.n s.i a 2.n s.δ i a Figure 46 : Illustration e l'influence e la position es aimants En résumé, à la ifférence es machines à pôles saillants (machines à réluctance variable, machines à concentration e flux), les variations es inuctances pour une machine à aimants permanents éposés ne sont pas liées irectement à la géométrie e l'inucteur, mais aux variations e l'inuction magnétiue ans la structure ferromagnétiue e la machine. Cette inuction magnétiue est générée par les forces magnétomotrices es bobinages et es aimants, 'où es inuctances ui épenent à la fois u courant et e la position. La mise en éuation e ce type e phénomène est onc beaucoup plus complexe ue ans le cas 'une machine à pôles saillants. Nous pouvons cepenant prévoir l'allure e l'évolution es inuctances en fonction u courant ainsi ue l'influence e la position. Cette prévision se fait à partir 'un raisonnement relativement simple basé sur l'étue e la variation e la perméabilité magnétiue u matériau en fonction u champ magnétiue H. En effet, l'expression générale e l'inuctance 'une bobine est onnée par : 2 2 ns ns S L = = μ E. 54 l avec : n s : le nombre e spires e la bobine étuiée. : la réluctance u circuit magnétiue. l : la longueur e la ligne moyenne champ. S : la section u circuit magnétiue. La caractéristiue magnétiue B(H) simplifiée e la Figure 47 comporte eux valeurs e perméabilités magnétiues ifférentes : µ pour la partie saturée et µ. µ r, avec µ r = 45, ans la partie linéaire u matériau. Ces valeurs corresponent aux limites inférieure (matériau saturé) et supérieure (zone linéaire) e l'inuctance, respectivement L sat et L lin sur le graphe e l'inuctance en fonction u courant e la Figure

50 B µ B sat µ µ r H sat H Figure 47 : Caractéristiue B(H) - Evolution théoriue e l'inuctance La position es aimants moifie la valeur u champ magnétiue H m en l'absence e courant. Pour une position onnée, H m constitue onc un point e repos magnétiue et le courant I + sat ui mène à la saturation positive est proportionnel à la ifférence entre les champs magnétiues H sa t et H m. De même, le courant I - sat ui mène à la saturation négative est proportionnel à la ifférence entre -H sat et H m. La position es aimants influence onc la valeur es courants I + sat et I - sat comme iniué sur le graphe e l'inuctance e la Figure 47. En consiérant une caractéristiue magnétiue B(H) plus réaliste, la zone e transition entre les parties linéaire et saturée e la caractéristiue permet également e prévoir l'allure es transitions sur la courbe e l'inuctance en fonction u courant. Une simple étue e la géométrie e l'actionneur ne permet pas 'obtenir une expression écrivant l'évolution e la matrice inuctance e la machine. En effet, la épenance es inuctances vis-à-vis e la position et u courant n'est ue u'au phénomène e saturation magnétiue. Le raisonnement théoriue mené nous permet tout e même e préire l'allure e l'évolution es inuctances e la machine en fonction u courant et e la position es aimants. Nous éterminerons onc l'éuation appropriée en fonction es résultats obtenus par les ifférentes méthoes e calcul et 'ientification Moèle par éléments finis Le principe u calcul par éléments finis est e iviser la structure e la machine étuiée en un nombre important 'éléments e imensions finies puis e résoure les éuations e Maxwell sur chacun e ces éléments. Les conitions aux limites e chaue élément sont fixées par les éléments voisins. La combinaison e tous ces éléments e calcul permet alors e connaître l'état magnétiue e la structure complète et onc 'effectuer es calculs e flux, e force, et 'inuctance... L'intér êt e cette méthoe e calcul est u'elle permet, comme tout calcul théoriue, 'avoir accès aux trois phases e manière inépenante. L'objectif est par conséuent 'obtenir l'évolution e la matrice inuctance complète, en fonction u courant et e la position es aimants. La étermination es inuctances peut s'effectuer par eux méthoes ifférentes : par l'interméiaire es inuctances ynamiues ou par une méthoe plus irecte ue nous présenterons par la suite. Pour cela, nous isposons e eux coes e calcul ayant chacun ses spécificités. L'un 'entre eux est éveloppé par l'éuipe Moélisation, Etue et Conception es Systèmes Electromagnétiues (MECOSYEL) u L2EP en utilisant le mailleur I-DEAS. L autre étant le logiciel FEMM (en istribution libre [MEEKE 25]), moins aaptable mais plus rapie à mettre en œuvre Définition et maillage e la structure e l'actionneur Pour ces calculs, nous utilisons le logiciel e calcul par éléments finis FEMM [MEEKE 25] pour sa simplicité 'utilisation : la structure e la machine est éfinie en eux imensions sous forme graphiue et la éfinition e la profoneur permet e travailler en trois imensions («2D extrué»). 48

51 Chacune es parties e la machine est ensuite écrite par un matériau ont les caractéristiues sont moifiables (matériau linéaire ou pas, éfinition e la caractéristiue B(H), épaisseur es tôles pour les matériaux feuilletés,...). La Figure 48 représente la structure e l'actionneur avec les ifférents matériaux utilisés : u fer pur non feuilleté, saturant à environ 2 Tesla, pour le support es aimants ; es aimants e perméabilité relative µ r = 1 et 'inuction rémanente 1.2 Tesla ; u cuivre e perméabilité relative µ r = 1 et comportant 28 conucteurs par encoche ; es tôles e fer-silicium (M8-5A), ont la caractéristiue magnétiue B(H) est onnée à la Figure 3, pour le circuit magnétiue u primaire ; e l'air autour e la structure e l'actionneur et ans la zone 'entrefer. Air M8-5A Air Copper [Ia+:28] Copper [Ia-:28] Copper [Ib-:28] Copper [Ib+:28] Copper [Ic+:28] Copper [Ic-:28] Copper [Ia-:28] Copper [Ia+:28] Copper [Ib+:28] Copper [Ib-:28] Copper [Ic-:28] Copper [Ic+:28] Aimants Air Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aiman Pure Iron Figure 48 : Structure u LMD1-5 éfinie sous FEMM Le maillage s'effectue ensuite automatiuement, en fonction e la taille es éléments choisie pour chacune es parties e la structure. Une partie e notre étue porte sur la épenance es inuctances vis-à-vis e la position ; Nous avons onc utilisé un maillage plus fin ans la zone 'entrefer (Figure 49), e manière à limiter l'influence e la moification u maillage impliuée par le changement e position u primaire. La première zone 'air ui entoure le primaire sert à conserver un maillage régulier à proximité u circuit magnétiue. Air Air Copper [Ib-:28] Copper [Ic-:28] Copper [Ic+:28] Air Aimants Aimants Aimants Aimants Aim Figure 49 : Détail u maillage e la structure u LMD1-5 sous FEMM 49

52 Pour la secone zone 'air, ont les bors fixent la conition aux limites sur le potentiel vecteur (A = ), le coe e maillage éfini automatiuement la taille es éléments afin 'en limiter le nombre. Le maillage complet comporte ainsi 295 éléments Détermination es valeurs extrêmes e l'inuctance propre 'une phase Une fois la résolution es éuations e Maxwell terminée, les calculs e flux ans les phases et ceux es inuctances e la machine sont alors éterminés. Le calcul u flux ans la phase s'effectue par intégration u potentiel vecteur A multiplié par la ensité e courant J = n s. i / a b, avec a b l'aire e la section ' une bobine (onc la surface 'une encoche), sur le volume es conucteurs e la phase : AJV φ = E. 55 i L'inuctance se éuit en ivisant le flux ainsi calculé par le courant. Nous commençons par vérifier les eux valeurs extrêmes 'inuctance propre 'une phase, prééterminées à l'aie u réseau e réluctances. Afin ue le flux calculé correspone bien au flux propre e la phase a ans la zone linéaire, nous remplaçons les aimants par e l'air, nous fixons une perméabilité magnétiue relative e 45 pour tout le circuit magnétiue et nous n'alimentons ue les enroulements e la phase étuiée (avec un courant e 1A). Cela nous permet 'obtenir l'inuctance en linéaire : L lin = mh. Cette valeur est effectivement inférieure au majorant éterminé à l'aie u réseau e réluctances (28.8 mh) et est acceptable si nous consiérons l'imprécision inévitable u calcul es réluctances 'entrefer, 'aimant et e fuite. De plus, notons ue les calculs par éléments finis 2D ne peuvent pas prenre en compte les fuites magnétiues es têtes e bobines. Cela impliue une erreur e l'orre 'un ou eux mh sur le calcul es inuctances. Afin e simuler la saturation complète es eux ents e la phase étuiée, nous les remplaçons par e l'air en conservant µ r = 45 pour le reste u circuit magnétiue. La même méthoe e calcul, à partir es résultats u calcul par éléments finis, permet e retrouver une inuctance e la phase saturée L sat = 3.35 mh ui correspon à la valeur éterminée avec le réseau e réluctances (3.4 mh). emarue sur les inuctances mutuelles : Pour calculer la mutuelle entre les phases a et b, la phase a est alimentée et nous calculons le flux engenré ans les bobines e la phase b exprimé par l'e.56. n s φ b= M ab ia= AV A a V E. 56 b B B avec : a b, l'aire e la section ' une bobine (onc la surface ' une encoche). A V, l'intégrale u potentiel vecteur A sur les conucteurs B e la phase b. B A V, l' intégrale u potentiel vecteur A sur les conucteurs B e la phase b. B La Figure 5 montre le parcours u flux généré par le courant e la phase a ans la structure ferromagnétiue e l'actionneur ainsi ue ans les encoches contenant les conucteurs B et B e la phase b, sur le volume esuels les intégrales sont calculées. 5

53 A A B B A A B B Figure 5 : Détermination e la mutuelle M ab Nous obtenons alors une valeur e M ab ans la zone linéaire e la caractéristiue magnétiue B(H) e 6 µh, ui est effectivement négligeable evant les inuctances propres e la machine Méthoe e calcul Pour la étermination es inuctances propres et mutuelles e la machine, la émarche classiuement aoptée consiste à annuler toutes les sources e force magnétomotrices à l'exception e celles ui influencent le flux propre e la phase étuiée. L'E.57 onne l'expression u flux ans la phase a. Les aimants ainsi ue les courants participent au flux ф a ans la phase a et sont par conséuent susceptibles 'avoir une influence sur la perméabilité magnétiue u circuit magnétiue e la phase étuiée et onc sur son inuctance. φ = L i + M i + M i + φ E. 57 a a a ab b ac c Ma La participation es aimants est prise en compte car elle est à l'origine es variations es inuctances en fonction e la position. Théoriuement, il faut également prenre en compte l'influence es trois courants sur l'inuctance e chacune es phases, ce ui suppose 'effectuer les calculs pour toutes les combinaisons possibles e valeurs es trois courants. Cepenant, nous venons e constater ue les inuctances mutuelles e l'actionneur étuié sont très inférieures (ans un rapport supérieur à 1) à ses inuctances propres. L'état magnétiue es ents 'une phase n'est onc presue pas influencé par les courants es eux autres phases. Il en est e même pour le reste u circuit magnétiue 'une phase car le neu tre u couplage étoile e la machine n'est pas accessible, ce ui impliue ue la somme es trois courants et onc es trois flux ans la partie supérieure u primaire est nulle. Nous négligeons onc l'influence es eux autres courants sur l'état magnétiue u circuit magnétiue e la phase, cela permet, par exemple, e ne travailler u'avec le courant i a pour l'étue e la phase a. La Figure 51 présente l'algorithme e la procéure e calcul u flux ans la phase a. Cette procéure est éfinie ans un script e calcul automatiue [LUA 25] capable e moifier les courants et la po sition u primaire (pré-processing) avant exécuter le coe e calcul par éléments finis u logiciel Femm. Le calcul u flux total ans les bobines e chaue phase est ensuite effectué à l'aie 'un euxième script [LUA 25], utilisant les résultats u calcul par éléments finis «post-processing». 51

54 Figure 51 : Procéure e calcul automatiue es flux par éléments finis L'étue es variations 'inuctances en fonction u courant et e la position nécessite e travailler avec les aimants et avec la caractéristiue B(H) non linéaire es tôles ferromagnétiue. La étermination e l'inuctance propre 'une phase s'effectue à partir e l'expression u flux propre e la phase onnée par l'e.58 pour l'exemple e la phase a ; or le flux total Φ a e la phase a, ui est issu es résultats u calcul par éléments finis, pren en compte la participation es aimants Φ Ma. φ aa = La ia E. 58 La non linéarité e la caractéristiue magnétiue ne permet pas éterminer cette participation es aimants pour la soustraire simplement au flux total car Φ Ma épen non seulement e la position es aimants, mais aussi e l'état magnétiue e la structure et onc u courant ans la phase : φ = L i + φ x, i E. 59 ( ) a a a Ma a En faisant l'hypothèse ue la participation es aimants Φ Ma ans la phase n'est pas moifiée pour une valeur "faible" e i a, nous pouvons suivre le raisonnement suivant : ia 1 φa 1= La ia 1+ φma1 E. 6 ia2= ia1+δia φa2= La i a 2+ φ Ma 2 E. 61 En consiérant l'hy pothèse selon lauelle Φ Ma1 = Φ Ma2 = ΦMa, l'e.61 se soustrait à l'e.6 e manière à éliminer la parti cipation es aimants au flux total e la phase : φ φ = φ φ = L i i E. 62 ( ) a1 a2 aa1 aa2 a a1 a2 Nous aboutissons alors à une expression e l' inuctance e la phase a, pour une position onnée et un courant i a = (i a1 + i a2 ) / 2, ui correspon à une inuctance ynamiue [VAS 199] : φaa 1 φaa 2 Δφaa La_ yn= = E. 63 ia 1 ia2 Δi a ib= ic= De même, nous pouvons calculer une inuctance mutuelle ynamiue : 52

55 M ab _ yn φb 1 φb2 Δφb = = i i Δi a1 a2 a ib= ic= E. 64 Pour ue les résultats soient cohérents, il faut choisir une valeur e Δi suffisamment faible pour permettre la linéarisation e la caractéristiue magnétiue en limitant l'erreur commise sur sa pente, mais également suffisamment élevée pour ue l'écart entre les eux flux ainsi calculés soit assez gran pour limiter l'impact e l'imprécision e la étermination e cette caractéristiue magnétiue sur les résultats. L'expérience montre u'une valeur e Δi 'un centième 'Ampère constitue un bon compromis. L'évolution es inuctances ynamiues (en fonction u courant et e la position x = x 1 ) étant éterminée, pour remonter à la valeur e l'inuctance propre, l'expression e la érivée u flux total par rapport au temps peut s écrire e eux manières : φ (, aa x1 ia) φaa x φaa ia = + E. 65 t x t i t ( ) a ( ) φaa x1, ia La x1, ia ia = ( L a( x 1, i a) i a) = i a+ L a( x 1, i a) t t t t E. 66 La x La i a ia = + ia+ La( x1, ia) x t ia t t En travaillant à position fixe, les termes en x t s'annulent. Dans l'e.65, le terme La ia correspon alors à l'inuctance ynamiue, ui est obtenue à partir es calculs par éléments finis. Nous pouvons onc écrire l'expression e l'inuctance ynamiue à partir e l E. 65 et e l E.66 ui font également intervenir l'inuctance propre L a : φaa La La_ yn( x1, ia) = = ia+ La( x1, ia) E. 67 i i a Cette expression peut s'écrire sous la forme e l'e.68, ui permet e remonter par intégration à l'évolution e l'inuctance propre e la phase en fonction u courant et pour une position x = x 1 onnée. φ L _ ( 1, ) aa a ynx ia= = ( La( x1, ia) ia) E. 68 i a i a La( x1, ia) ia= La_ yn( x1, ia) ia+ C1 E. 69 La constante 'intégration C 1 e l'e.69 est telle ue le prouit L (, a x1 ia) ia est nul pour un courant i a =. Le même raisonnement est applicable pour obtenir les inuctances propres es phases b et c, ainsi ue pour les mutuelles : M ab ( x1, ia) ia = Mab _ yn ( x1, ia) ia + C2 E. 7 De même, la constante 'intégration C 2 e l E.7 est telle ue le prouit M (, ab x1 ia) ia est nul pour un courant i a =. a Tous les calculs sont effectués pour es valeurs fixes e courant, ui corresponent par conséuent à es valeurs instantanées e courant Évolution es inuctances e la machine L'évolution es inuctances ynamiues obtenue par cette méthoe est présentée à la Figure 52. Nous retrouvons bien l'allure prévue lors e l'étue analytiue menée précéemment. 53

56 .25 La_yn(x,ia) (H) x= mm x=4 mm x=8 mm x=12 mm x=16 mm ia (A) Lb_yn(x,ib) (H) x= mm x=4 mm x=8 mm x=12 mm x=16 mm ib (A) Lc _yn(x,i c) (H) x= mm x=4 mm x=8 mm x=12 mm x=16 mm ic (A) nominal max. Figure 52 : Inuctances ynamiues es trois phases en fonction u courant pour ifférentes positions La position prise pour origine correspon à la position occupée à la Figure 48, pour lauelle le flux es aimants est maximal ans la phase a. Dans cette position, un faible courant i a positif suffit pour saturer le circuit magnétiue et faire chuter l'inuctance, alors ue le courant i a négatif nécessaire pour atteinre la saturation négative est beaucoup plus important. Nous retrouvons, sur ces graphiues, les valeurs u courant nominal (continuous current) et u courant maximal (peak current) e la ocumentation techniue e l'actionneur LMD1-5 (ETEL) (Annexe A6). Les inuctances ynamiues es eux autres phases ont la même allure et sont écalées respectivement e 2.τ p / 3 et e 4.τ p / 3 par rapport à celle e la phase a. Les courbes Iso position e la Figure 53 permettent e bien visualiser l évolution e la saturation e l inuctance ynamiue en fonction la position x. 54

57 ia (en A) x (en mm) Figure 53 : Courbes Iso x e l inuctance ynamiue La e ia et e x (en mh) L'évolution en fonction e la position, pour ifférentes valeurs e courant, est onnée par les Figure 54 et Figure ia (en A) x (en mm) Figure 54 : Courbes Iso ia e l inuctance ynamiue La e ia et e x (en mh) Sur la Figure 55, nous pouvons constater ue, pour es courants inférieurs à la valeur nominale (2Aeff soit 2,82Amax), les inuctances sont peu influencées par la position es aimants. 55

58 La_yn(ia,x) (H) ia=-26 ia=-1 ia=-4 ia= ia=+4 ia=+1 ia=+26 H) Lb _yn(ib,x) ( Lc_yn(ic,x) (H) x (mm).25 ib=-26.2 ib=-1 ib= ib= ib=+4 ib=+1 ib= x (mm).25 ic=-26.2 ic=-1 ic=-4 ic= ic=+4 ic=+1 ic= x (mm) Figure 55 : Inuctances ynamiues en fonction e la position pour ifférents courants Les saturations sont centrées, pour la phase a, sur es positions corresponant au milieu es aimants (nor pour un courant positif et su pour un courant négatif). Les saturations pour les phases b et c sont respectivement 2.τ p / 3 et 4.τ p / 3 plus loin. La périoe spatiale est celle e la voie 'aimants, soit 2.τ p. La Figure 56 montre les résultats es inuctances mutuelles ynamiues. Leurs valeurs en linéaire sont très inférieures à celles es inuctances propres (ans un rapport supérieur à 2). L'augmentation u courant impliue tout 'abor une augmentation jusu'à environ 1 mh es mutuelles ui iminuent ensuite, pour se rapprocher e leurs valeurs en linéaire. La position semble également avoir une influence moins maruée sur les mutuelles ue sur les inuctances propres. 56

59 Mab_yn(x,ia) (H) x= mm x=4 mm x=8 mm x=12 mm x=16 mm ia (A) Mbc_yn(x,ib) (H) Mca_yn(x,ic) (H) x= mm x=4 mm x=8 mm x=12 mm x=16 mm ib (A) x= mm x=4 mm x=8 mm x=12 mm x=16 mm ic (A) nominal max. Figure 56 : Inuctances mutuelles ynamiues es trois phases en fonction u courant pour ifférentes positions La valiité e cette méthoe ynamiue pour la étermination es inuctances mutuelles n'est pas éviente : en effet, le calcul 'une inuctance ynamiue présuppose ue la valeur e Δ φ obtenue pour la valeur Δi utilisée soit suffisamment importante pour ue l'erreur liée au calcul numériue soit négligeable. Cette méthoe s'appliue onc avec plus e précision à la étermination 'inuctances supérieures à uelues milli-henri ue ans le cas es mutuelles e l'actionneur étuié ont l'orre e graneur est inférieur à 1 µh en linéaire. L'évolution es inuctances mutuelles ainsi calculée n'est par conséuent pas exploitable et nous continuerons, ans cette étue, à consiérer u'elles sont négligeables evant les inuctances propres e la machine. La émarche e calcul présentée précéemment permet e remonter à l'évolution es inuctances propres statiues e l'actionneur : 57

60 La_stati(x,ia) (H) La_x= mm La_x=8 mm La_x=16 mm ia (A) Figure 57 : Inuctances statiues es trois phases en fonction u courant pour ifférentes positions Les iscontinuités observées pour les courants proches e zéro sont ues à un problème e ivision par zéro, rencontré lors e la ivision par le courant ui permet 'obtenir ces évolutions. L'allure es ces inuctances iffère e celle es inuctances ynamiues : elles ne présentent pas une symétrie aussi prononcée ue les inuctances ynamiues. Cette ifférence s'expliue à partir e la éfinition es inuctances statiues et ynamiues : Pour la position prise pour origine, la participation es aimants au flux φ a ans la phase a est maximale. Dans cette configuration, la Figure 58 représente l'évolution u flux propre φ aa en fonction φ e la courbe φ = f i. u courant i a, obtenue en retirant le flux ( ) Ma a a φ a φ aa φ Ma Figure 58 : Flux total et flux propre e la phase a pour x= Pour une position fixe, l'inuctance ynamiue est éfinie comme la érivée u flux propre e la phase par rapport au courant : La_ yn= φ aa ia. Elle a par conséuent un axe e symétrie corresponant à la valeur e courant au point 'inflexion e la courbe φ aa = f ( ia). L'inuctance propre est éfinie par le rapport u flux propre e la phase sur le courant : La= φaa ia. Elle ne peut onc pas avoir 'axe e symétrie, à l'exception es positions pour lesuelles la participation es aimants au flux φ a est nulle (pour x= τ p 2+ k τ p). Dans ce cas, le flux total et le flux propre sont ientiues et l'inuctance statiue est une fonction paire u courant. Cette méthoe nous a onc permis 'obtenir l'évolution es inuctances propres ynamiues et statiues e la machine en fonction u courant et e la position. 58

61 Autre méthoe e calcul es inuctances en non linéaire Une autre méthoe permet e calculer irectement les inuctances statiues, sans passer par les inuctances ynamiues. Il est onc intéressant e la présenter. Nous utilisons ici le coe e calcul en trois imensions éveloppé par l'éuipe MECOSYEL u L2EP pour la résolution es éuations électriues et magnétiues e la machine. Toutefois, le système moélisé utilise une représentation 2D extrué u moteur, et ne tient onc pas compte es têtes e bobines. Le maillage e la structure e l'actionneur utilisé pour cette méthoe est onné à la Figure 59. Figure 59 : Maillage e la structure e l'actionneur linéaire LMD1-5 - ETEL Le calcul e la matrice inuctance pour chaue position et chaue valeur e courant s'effectue en eux étapes : Tout 'abor, il faut établir l'état magnétiue e la structure en présence es aimants et u courant ans la phase. Ce calcul s'effectue ans le cas non-linéaire et permet e récupérer une cartographie e la perméabilité magnétiue es éléments e la structure e l'actionneur. Ensuite, pour la même positi on, il est nécessaire e reprenre les calculs sans les aimants, avec seulement un courant e 1A ans la phase étuiée. Ce euxième calcul s'effectue en linéaire, en reprenant les valeurs e perméabilité magnétiue calculées lors e la première étape, et permet e calculer le flux propre e la phase et 'en éuire son inuctance propre. Le calcul en saturé impliue utiliser ans le coe e calcul une caractéristiue magnétiue H=f(B) es tôles employées, sous la forme 'une éuation analytiue, à l aie e l'éuation e Marrocco, E.36, Figure 3. Les calculs concernant la partie linéaire u fonctionnement (sans saturation magnétiue), ont été effectués avec un courant e 1A par phase et sans les aimants. Les résultats sont onnés à la Figure 6. Ils permettent e vérifier les 22 mh es inuctances propres en linéaire et e confirmer le caractère négligeable es inuctances mutuelles e la machine E aa bb cc L11 L22 L33 1.5E-5 1.E-5 5.E-6.E+ -5.E-6-1.E-5-1.5E-5-2.E-5 M12 ab M21 ba M13 ac M31 ca M23 bc M32 cb Figure 6 : Evolution es inuctances (H) en fonction e la position (mm) pour le LMD1-5 - ETEL 59

62 Laa Mab Mac L = Mba Lbb M bc = M M L ca cb cc [ ] (mh) E. 71 Avec L = 21,9mH et M mh, cette matrice peut vraisemblablement se réuire sous la forme : L [ L] = L E. 72 L Ces premiers résultats permettent également e constater ue, sans tenir compte 'éventuelles saturations, les trois inuctances propres sont ientiues à.1 % près et u'en l absence e courant elles ne varient pas en fonction e la position. Cela correspon onc bien à une machine à pôles lisses non saturée Conclusion Les résultats obtenus nous ont permis 'atteinre l'objectif visé : obtenir l'évolution e la matrice inuctance complète e la machine étuiée en fonction u courant et e la position es aimants. Comme prévu, nous pouvons consiérer ue les inuctances mutuelles sont négligeables evant les inuctances propres. La( x, ia) [] L = Lb( x, ib) E. 73 Lc( x, ic) La forme générale e la matrice inuctance ainsi obtenue, onnée par l'e.73, est composée es trois inuctances propres ui ne épenent ue u courant ans la phase corresponante et e la position. Les valeurs extrêmes es inuctances propres sont cohérentes avec celles prééterminées à l'aie e la moélisation par réseau e réluctances. Nous isposons également e l'évolution, en fonction u courant et e la position, e la matrice es inuctances ynamiues : La_ yn( x, ia) Lyn = Lb _ yn ( x, ib) E. 74 Lc_ yn( x ic), emarues : Les allures es trois inuctances sont suffisamment proches pour ue nous puissions les consiérer comme étant ientiues et écrire la matrice inuctance sous la forme : Lxi (, ) a [] L = L( x 2 τ p 3, ib) E. 75 Lx ( + 2 τ p 3, ic) En faisant l'hypothèse ue la force magnétomotrice 'aimants vue par le primaire est sinusoïale (phénomènes liés à la longueur finie u primaire négligeables), nous pouvons appliuer la transformation e Park au moèle u moteur linéaire et obtenir ainsi l'évolution es inuctances e Park en fonction es trois courants et e la position : 6

63 ( cos 2 ( ) cos 2 ( 2 π 3) cos 2 ( 2 π 3) ) 2 L= La Np x + Lb Np x + Lc Np x+ 3 E L ( ( ) ( ) = La sin Np x + Lb sin Np x 2 π 3 + Lc sin ( Np x+ 2 π 3) ) 3 E L = ( La+ Lb+ Lc) 3 E. 78 Cepenant, comme les trois inuctances propres u repère naturel 'abc' ne sont pas ientiues, cela impliue ue la matrice es inuctances ans le repère e Park n'est pas iagonale et fait apparaître es termes e couplage entre les axes : L L L 1 L = P ( Np x)[ Labc] P( Np x) = L L L E. 79 L L L avec les termes e couplage : 1 L = ( La sin ( 2 Np x) + Lb sin ( 2 Np x 4 π 3) + Lc sin ( 2 Np x+ 4 π 3) ) 3 E. 8 1 L = ( La cos( Np x) + Lb cos ( Np x 2 π 3) + Lc cos( Np x+ 2 π 3) ) 2 E L = ( La sin ( Np x) + Lb sin ( Np x 2 π 3) + Lc sin ( Np x+ 2 π 3) ) 2 E Valiation expérimentale L'ientification es inuctances 'une machine s'effectue à partir e graneurs électriues mesurables : les courants et les tensions es trois phases. En consiérant ue les inuctances épenent u courant et e la position, l'évolution e ces graneurs est régie par l'éuation ifférentielle suivante : ut () = [ r] it () + ( Lxi (, ) it ( ) ) + φm ( x) t t Nous pouvons l'écrire en faisant apparaître la vitesse instantanée v : ut () = [] r it () + Lxi (, ) it () + Lxi (, ) it () + Lxi (, ) v it ( ) t i t x + v m() x x φ E. 83 E. 84 La simplification e cette expression repose sur une iée très simple [STUMBEGE - 2] : travailler à primaire bloué, e manière à éliminer tous les termes faisant intervenir la vitesse. Ainsi, nous ne travaillons ue sur l'éuation ifférentielle reliant le courant à la tension : () [ ] () (, ut = r it + Lxi) + Lxi (, ) it ( ) it () i t E. 85 De nombreuses méthoes, fréuentielles et temporelles, sont aaptées à l'ientification classiue es inuctances 'une machine non saturée. Ces méthoes classiues s'appliuent à partie mobile blouée. Elles sont rappelées à l'annexe A7 : Méthoes 'ientification expérimentale. Leur valiité est limitée ans le cas e la présente étue. 61

64 Limites es méthoes classiues Le phénomène e variation es inuctances ue nous cherchons à ientifier est fonction à la fois e la position et u courant et est lié à la saturation es tôles ferromagnétiues. Les eux principales limitations e ces méthoes sont onc liées à l'efficacité u blocage e l'actionneur et à la présence es saturations magnétiues ue nous voulons étuier Influence u mouvement résiuel e la partie mobile Le blocage e la partie mobile e l'actionneur a eux objectifs : Le premier est justifié par un es objectifs e l'étue : ientifier les inuctances e la machine en fonction e la position es aimants. Il s'agit onc e renre le terme L ( xi, )/ xnégligeable evant les autres termes e l'e.84. La périoe spatiale e l'évolution es inuctances est liée au pas polaire τp = 16 mm es aimants. Une efficacité e l'orre u ixième e millimètre est onc suffisante pour cet objectif u blocage. Le secon objectif est, comme nous l'avons vu en introuction, 'annuler les forces électromotrices car elles sont susceptibles 'influencer l'évolution es courants. Cela se trauirait, sur une réponse inicielle, par es onulations u courant autour e la croissance exponentielle. La Figure 61 illustre ce phénomène. x t = x t Figure 61 : Influence 'un mouvement sur la réponse inicielle u courant Si, en raison 'un système e blocage insuffisamment efficace, nous sommes confrontés à ce problèm e, nous pourrons envisager e reconstruire les forces électromotrices afin e les prenre en compte ans les calculs. Cette reconstruction es fems est possible, après leur ientification, à partir u relevé e la position et e la vitesse penant l'essai Influence e la saturation u circuit magnétiue Afin e écoupler ce problème u précéent, nous faisons l'hypothèse ue le primaire e l'actionneur est parfaitement bloué : x / t =. Tout 'abor, l'apparition e saturations ren inutilisable certaines méthoes telles ue le calcul 'impéance en sinusoïal, puisue, par éfinition, les courants ne sont plus sinusoïaux. En ce ui concerne la réponse inicielle, elle n'est plus irectement exploitable non plus 2, car la saturation impliue une istorsion complète e la réponse u courant, comme l'illustre la Figure Il nous faut nuancer toutefois ces propos : la réponse à un saut iniciel reste utilisée inustriellement. Ainsi, la procéure ientification Etel résout le calcul e l E. 83 afin obtenir la valeur e l inuctance (après filtrage). 62

65 i(t) i sat L i = L i < pour i > i t(s) Figure 62 : Influence e la saturation magnétiue sur la réponse inicielle u courant En effet, le courant commence par croître en conition linéaire, ce ui onne un ébut e montée exponentielle croissante e constante e temps τ lin = L lin / r. Puis, lorsue le champ 'inuction magnétiue B u matériau atteint le coue e saturation, la perméabilité relative e ce ernier chute rapiement, entraînant une augmentation e la réluctance, onc une iminution e l'inuctance et, par là même, une iminution e la constante e temps u circuit Influence e l inaccessibilité u neutre e la machine L'ientification es inuctances une machine où le neutre n est pas accessible ne peut s'effectuer u'à partir es graneurs mesurables ui, pour la plupart es machines triphasées classiues, sont es graneurs composées. L'inuctance ientifiée à partir u relevé e la tension et u courant pour une alimentation entre eux phases est onnée, pour les phases a et b, par l'éuation : Lmes = La + Lb 2 M ab E. 86 L'obtention es inuctances propres est soumise à l'hypothèse, non vérifiable expérimentalement, ue les inuctances mutuelles e l'actionneur sont négligeables evant ses inuctances propres. Dans ce cas, en trois essais, nous pouvons ientifier les trois inuctances composées e la machine et en éuire les inuctances propres : Lab + Lca Lbc = 2 La E. 87 Lb = Lab La E. 88 Lc = Lca La E. 89 Cepenant, ce raisonnement n'est valable ue si la machine n'est pas saturée. En effet, l'alimentation entre eux phases, par exemple entre les phases a et b, impliue ue le courant i b est égal à - i a. En négligeant l'inuctance mutuelle, l'e.86 evient alors : L = L i + L i = L i + L i E. 9 sat ( ) ( ) ( ) b( b) mes a a b a a a Comme l'influence es aimants impliue ue L a (i a ) est ifférente e L a (-i a ), l'ientification es inuctances propres e phases n'est plus possible : L + L L = L i + L i E. 91 ( ) ( ) ab ca cb a a a a Une autre solution consiste, en consiérant ue la composante homopolaire est forcément nulle, à travailler ans un repère iphasé tel ue le repère e Park en alimentant les trois phases e l'actionneur. Les eux éuations électriues inépenantes permettront alors 'ientifier les inuctances L et L en fonction u courant et e la position. C'est cette euxième solution ui est le plus souvent retenue pour sa simplicité e mise en œuvre. De plus, elle permet e ne pas faire 'hypothèse sur les inuctances mutuelles car cette notion est incluse ans les eux inuctances ientifiées. Cepenant, nous evons conserver à l'esprit le fait ue la 63

66 transformation e Park appliuée à la matrice inuctance composée e trois inuctances ifférentes ne onne plus une matrice iagonale ans le repère e Park (voir E.79). Il convient alors 'effectuer es essais ans les configurations aéuates ui permettent 'ientifier certains termes e la matrice Procéure expérimentale 'ientification es inuctances Dans le cas u moteur ETEL, l'ientification simple es éléments L a, L b et L c e la matrice inuctance en fonction u courant et e la position est ici possible en raison e l'accessibilité u neutre e la machine. Nous nous plaçons onc ans une configuration 'alimentation, présentée ci-après, et nous effectuons es essais à primaire bloué pour ifférentes positions particulières ui permettent l'ientification e termes e la matrice. Nous avons vu la nécessité e blouer le primaire pour simplifier les éuations lors e l'ientification. Nous commençons onc par présenter le ispositif mis en place, avant e comparer les résultats expérimentaux à ceux obtenus à l'aie es calculs par éléments finis Dispositif e blocage L'objectif u ispositif e blocage est 'éliminer les termes relatifs au mouvement u primaire ans les éuations électriues, afin e faciliter l'ientification es inuctances. Le ispositif mis en place, présenté à la Figure 63, est fixé sur le bâti u émonstrateur. Il est réalisé à partir e profilés en aluminium afin e permettre l'immobilisation e l'actionneur à ifférentes positions, et pour es raisons liées à la facilité e réalisation. Figure 63 : Dispositif e blocage mécaniue u primaire e l'actionneur linéaire La procéure e blocage est la suivante : Placer l'actionneur à la position souhaitée à l'aie e la commane (actionneur alimenté). Maintenir l'alimentation penant le serrage es vis sur les uatre éuerres e maintien. Interrompre l'alimentation afin e procéer aux essais. Malgré sa structure en aluminium, ce ispositif se révèle suffisamment efficace pour la réalisation e nos essais : l'amplitue es mouvements résiuels constatés avec le ispositif 'alimentation utilisé ne épasse pas les 1 à 2 microns. La variation es inuctances pour e tels mouvements est supposée négligeable (elles varient plutôt à l'échelle u millimètre) et les forces électromotrices engenrées sont également négligeables evant les 6V 'amplitue e la tension utilisée. La Figure 64 représente les forces électromotrices entre phases obtenues pour un mouvement 'amplitue crête à crête inférieure à 2 microns. L'amplitue e fem composées y est e l'orre e 5 mv, soit moins e.1 % e la tension utilisée pour les essais. Le bruit e mesure observé est û à la précision es sones e tensions utilisées. 64

67 Figure 64 : Forces électromotrices composées ues au mouvement résiuel u primaire Dispositif alimentation La Figure 65 présente le banc essais, alimenté par une source e tension, et piloté par une carte SPACE DS15. Durant l essai, seule une phase u moteur est alimentée par une tension sinusoïale puisue nous isposons u neutre accessible 21. Voltage Source voltage reference Supervision computer v a (t) i a (t) real-time processor SPACE 15 x(t) 2 µm encoer Figure 65 : Schéma e l essai e la mesure une inuctance ynamiue 21 Pour les moteurs linéaires à neutre non accessible, l'ientification irecte es inuctances ans le repère naturel est impossible. Il faut alors travailler ans le repère iphasé e Park. Comme nous travaillons à primaire bloué, les graneurs électriues ans ce repère ne seront pas constantes. Pour ue le courant homopolaire reste nul, il faut alors conserver une alimentation triphasée. Afin e remplir cette conition tout en minimisant le nombre 'alimentations nécessaires, les trois phases e l'actionneur sont alimentées. Ainsi, il y a égalité es courants ans les phases b et c ui sont ans le même état magnétiue (même position es eux phases par rapport aux aimants) et ont onc la même inuctance. 65

68 L'alimentation utilisée est une source e tension sinusoïale réalisée à l'aie 'un générateur e signaux basses fréuences et 'un amplificateur linéaire. La sinusoïe ainsi obtenue permet une sollicitation moins brutale u système e blocage u'avec une tension en créneaux préconisée par [STUMBEGE 2]. De cette manière, les mouvements résiuels u primaire sont iminués. De plus, la montée moins brusue u courant permet une répartition plus régulière es valeurs relevées par le système 'acuisition et améliore onc la précision es calculs effectués sur ces relevés. La fréuence est choisie e manière à permettre la montée u courant. Il faut onc ue la tension 'alimentation ne soit pas fortement atténuée par le filtre passe-bas constitué par les enroulements e la machine, ce ui impliue une fréuence inférieure à sa fréuence e coupure minimale. Cette ernière est onnée par l'éuation : 1 falim fc _ min =, avec τ max = Llin / s E πτ max Dans le cas e l'actionneur étuié, la fréuence 'alimentation oit être 'environ 3 Hz, 5 Hz tout au plus. Le système 'acuisition utilisé est constitué par un ensemble SPACE 15, configuré à partir 'un environnement Matlab-Simulink et contrôlé à partir u logiciel ControlDesk. La valeur e la position initiale x, correspon à la ifférence entre l'inex e la règle e mesure et la position e l'axe '' e la machine 22. Sa valeur est éterminée expérimentalement à partir e l'étue es forces électromotrices composées relevées à vie et vaut x = 8.943mm. C est la recherche e l'ipp (Initial Pôle Position) étuiée par [EMY 23] Détermination e l'évolution es inuctances L a_yn L inuctance ynamiue e cette phase a s écrit alors : φa( ia, x) La_ yn( ia, x) = E. 93 ia On obtient expérimentalement cette inuctance en maintenant le moteur linéaire ans une position fixe à l aie u ispositif e blocage (Figure 63). La Figure 66 présente l'évolution e la tension alimentation et u courant non-sinusoïal résultant. Une simulation u courant ui aurait été obtenu ans le cas linéaire a été ajoutée pour montrer l impact e la saturation sur la éformation e la forme one u courant. La position est ici x = τ p. volta ge (V), current (A) V an (V) i a (A) i a lin (A) t (s) Figure 66 : Mesure es courants et tensions simples en saturée et en linéaire 22 La position e l'axe '' e la machine correspon à un aimant «nor» 66

69 Durant tous les essais sur le LMD1-5, la tension est choisie pour ue le courant maximal autorisé e 8A ne soit jamais épassé. En théorie, il serait possible atteinre es niveaux e courant plus élevés à l aie impulsions brève e tension, soit 26A maximum après la ocumentation u constructeur. La variation temporelle u flux peut alors est obtenue en intégrant la tension inuctance : φ a( t) = ( va( t) i a( t) ) t E. 94 Notons u'il est important e s'assurer ue cette tension ne comporte pas e composante continue, e manière à éviter toute érive lors e l'intégration. La constante 'intégration peut corresponre en partie au flux inucteur mais ne nous intéresse pas pour cette étue. La Figure 67 présente la caractéristiue φ = f () i pour la position x = τ p. L effet u phénomène e saturation non symétriue inuit par la présence e l aimant e polarité Su éforme onc la forme one u flux. Le cycle 'hystérésis ui a vait été négligé précéemment ans l étue est visible sur la Figure 67. Le flux ui nous servira pour l étue e l inuctance ynamiue e cette phase correspon à la courbe moyenne e la Figure 67. an (Wb) flux φ i a (A) Figure 67 : Caractéristiue non-linéaire u flux La Figure 68 présente l inuctance ynamiue e la phase a, obtenue expérimentalement. Elle est comparée à celle obtenue par la méthoe es éléments-finis. 25 ynamic inuctance L a yn (mh) L yn FEM L yn ex p current i a (A) Figure 68 : Inuctance ynamiue e la phase a La valeur expérimentale e l inuctance ynamiue est supérieure e 1% à celle obtenue par la méthoe es éléments-finis. La ifférence peut-être attribuée à l inuctance e fuite es têtes e bobines. Malheureusement, il n est pas possible e prenre en compte les têtes e bobines ans un calcul en 2D. D autre part, un calcul par éléments-finis en 3D augmenterait raicalement le nombre éléments 67

70 pour rester précis et amènerait à un temps e calcul inacceptable. En effet, le temps e calcul nécessaire pour obtenir es résultats par la méthoe es éléments-finis en 2D a emané 1 jours e calculs avec 4 PC éuipés e processeurs 3GHz et e 1GB e AMBUS chacun. Toutefois, [TOUNZI 24] présente une étue simplifiée es inuctances en prenant en compte les fuites es têtes e bobine pour le moteur LIMES 4/12 e Siemens. L effet es têtes e bobines a été compensé sur la Figure 69 par l augmentation es résultats es éléments-finis 2D e 1%. La Figure 69 montre les inuctances ynamiue e la phase a pour 3 positions istinctes (x = τ p / 3, x = τ p an x = 5 τ p / 3). Les résultats expérimentaux et par éléments-finis concorent bien. Figure 69 : E volution e l'inuctance statiue L en fonction u courant i Analyse es résultats expérimentaux Dans un premier temps, nous pouvons vérifier la valeur es inuctances ans la zone linéaire u matériau magnétiue : ans cette zone, les trois inuctances propres u repère naturel 'abc' sont théoriuement égales. Dans ces conitions, les inuctances L et L éfinies par les E sont réuites à l'expression : L = L = L = L = L = L E. 95 _ lin _ lin a _ lin b _ lin c _ lin lin L'inuctance L lin ientifiée expérimentalement est onc e 24 mh, à comparer avec les 22 mh es éléments finis. La ifférence peut s' expliuer par le fait ue les calculs par éléments finis ne prennent pas en compte les inuctances e fuite au niveau es têtes e bobines ui sont classiuement e l'orre e 1% e l'inuctance propre, soit un peu plus e 2 mh ans le cas e la machine étuiée. Dans la position x = τ p, la participation u flux inucteur es aimants au flux est maximale et négative. Cela impliue ue la saturation négative intervient à partir 'une valeur e courant i a négative beaucoup plus faible ue la valeur absolue u courant positif nécessaire pour atteinre la saturation positive. Cette escription correspon bien à l'évolution e l'inuctance ynamiue e la Figure 69. L'inuctance ynamiue L est obtenue pour la position x = τ p / 2, corresponant à l'axe '', pour lauelle la participation u flux inucteur es aimants au flux est minimale (nulle). Dans ces conitions, 68

71 les saturations positives et négatives sont atteintes pour la même valeur absolue e courant i a. Cela correspon à une saturation centrée autour e la valeur i a = e la Figure 47. L'ientification expérimentale es inuctances propres un moteur linéaire en fonction u courant et e la position n'est pas aisée, en raison e l'inaccessibilité u neutre sur la plupart es machines. Toutefois, ce problème ne s est pas posé ans notre étue, car le moteur linéaire LMD1-5 ispose un neutre accessible. La méthoe à partie mobile blouée mise en œuvre nous a onc permis e valier la valeur es inuctances ans la zone linéaire e la caractéristiue magnétiue es tôles et e vérifier la cohérence e l'allure e l'évolution es inuctances. D'autres méthoes pourraient permettre 'effectuer une ientification en temps réel es inuctances au cours 'un éplacement, en utilisant les ifférentes graneurs mesurables. Pour cela, es pistes sont onnées en Annexe A Influence e la saturation sur le calcul e la force e poussée Dans le cas e la saturation, il evient impossible e issocier les flux ans la phase a provenant es aimants e ceux es bobinages. Cela revient à ire ue la force électromotrice est moifiée par la présence es aimants, e même ue les inuctances. Mathématiuement, il n est onc plus possible e sciner l apport es aimants e celui es bobinages : φ φ ( i, x) i φ ( i, x a a a a a a ) x V = a i + a ia E. 96 t = + i t + x t a Pour bien comprenre, reprenons le cas en linéaire où l on peut écomposer l expression u flux : φ ix, = φ i+ φ x E. 97 ( ) ( ) ( ) a aa Ma Ainsi, le terme u flux issu u courant peut s écrire : φa( ia, x) φaa( i) φma( x) = + = L aa + E. 98 i i i Et le terme u flux es aimants peut s écrire : φa ( ia, x) φaa ( i) φma ( x) φma ( x) = + = + E. 99 x x x x Ce ui revient bien au final à une éuation classiue ans le cas es machines non saturées : φ a(, a i φ i a a x) Va= i a+ = i a+ Laa + v E. 1 t t x Cette formulation e la loi e Faraay reste valable en régime saturé. Le calcul e la force e poussée en régime saturé s effectue à l aie e la méthoe e la coénergie : W ' em( i, x) Tem = E. 11 x Un calcul par la méthoe es éléments-finis nous permet obtenir irectement la force e poussée en régime saturé en fonction u courant et la position es aimants pour la seule phase a alimentée : i= cst 69

72 x (en mm) 8 4 Tem a en sature (en N) e i et e x ia (en A) Figure 7 : Force e poussée (en N) en EF-2D en saturé, fonction u courant ia et e la position x Cette approche n est pas suffisante ans l objectif e réaliser un moèle pour la commane, en effet il est préférable e isposer un moèle analytiue éuivalent. Il convient alors e étailler l expression littérale e la coénergie : i W ' em( i, x) = φ ( i, x) i E. 12 La force e poussée se trauit alors sous la forme suivante : i Tem = φ ( i, x) i E. x 13 La spécificité u moteur ETEL facilite cette analyse (phases inépenantes, flux uasi-sinusoïaux). C est-à-ire ue mê me en régime saturé, le flux peut s écrire sous la forme : ( ) ( ( p )) φ ix, = φ i+ K cos N x, avec K = 11,2A E. 14 Cette formulation u flux a été éuite es résultats e calculs en EF-2D en régime saturé pour le LMD1-5 en alimentant uniuement la phase a : Flux aa e i et e x (e n Wb) a Flux e i et e x (en Wb) aa a ia (en A) x (en mm) Flux aa e i a et e x (en Wb) x (en mm) Figure 71 : Calcul en EF-2D u Flux e la phase a (en mwb) fonction u courant ia et e la position x L erreur résiuelle entre la formulation e l E.14 et les résultats es calculs en EF-2D est e uelues pourcents sur toute la zone étue : ia (en A )

73 Erreur Flux e i et e x (en mwb) a a ia (en A) x (en mm) Figure 72 : Erreur entre le flux calculé en EF-2D et celui reconstruit (en mwb) fonction u courant ia et e la position x L expression e l E. 13 n est pas pratiue pour la éfinition u moèle et par suite pour la commane. Toutefois, il est possible e simplifier cette expression en éplaçant la érivée partielle suivant x sous certaine conition : i φ ( ix, ) Tem = i E. 15 x Ceci revient à consiérer ue la saturation issue e l apport u courant et es aimants est éuivalent à la somme e la saturation issue es courants et e la saturation issue es aimants. Cela correspon onc à continuer utiliser le théorème e superposition en régime saturé φ( ix, ) φ( z) = K N p sin ( N p x), avec z = i + K cos( N p x) E. 16 x z La Figure 73 montre la forme e la courbe e ( z) / z φ : p hi(z) / z (en % e la valeur max) z (en A) Figure 73 : Courbe e variation ) phi (z) / z (en H z (en A) u flux fonction un En fait, la zone e fonctionnement u moteur est e -7.9A à 7.9A en courant A éuivalent à la contribution es aimants. En utilisant un autopilotage pour le contrôle u courant, ce coefficient φ ( z)/ zrestera sensiblement constant (éuivalent à ire ue pour générer un maximum e couple, il faut se synchroniser sur l axe, ce ui correspon au cas e saturation es tôles le moins influencé par la position es aimants). 71

74 Des essais ont été menés sur l alimentation u moteur par es tensions en triangles (cela permet e tester une gamme e courant e à sa valeur nominale) tout en étant assez oux pour garantir un bon maintien u capteur e force. La Figure 74 montre la force mesurée par le capteur monté entre le primaire et le bâti, ce ui interit malheureusement le moinre éplacement. Ainsi, les essais avec es capteurs e force ne pourront pas mettre en évience l influence u mouvement u moteur en régime saturé sur la génération e la force. La Figure 74 montre également la force estimée en linéaire et en non-linéaire. La comparaison e ces résultats montre ue le moèle non-linéaire utilisé onne es résultats proches e ceux mesurés. Les courants ne épassent pas 4A ici. Toutefois, plusieurs incertitues ne permettent pas obtenir es résultats plus précis : - Les retars e mesure liés au conitionneur et à la chaîne acuisition ; - La ifficulté alignement u capteur e force avec le primaire ; - La certification u gain e l ensemble capteur/conitionneur est un point élicat à réaliser (nécessité une masse étalon) ; - La précision u capteur e force (pour les essais, il n a été possible utiliser u un capteur précis à.2% pour une valeur maximale mesurée e 1kN. Les onulations e force étant e l orre u Newton, ce capteur était malheureusement surimensionné) Figure 74 : Comparaison entre la force mesurée, la force estimée en linéaire et la force estimée en saturé Finalement, la formulation retenue pour le calcul e la force e poussée est étaillée sur l E.17. En effet, les résultats obtenus avec ce moèle restent cohérents avec le comportement u moteur linéaire. Toutefois, il est important e souligner les limitations existantes e ce moèle. Pour les très fortes valeurs e courants, il n est plus valable. φk ( ik, x) 4 Tem = ik E. 17 x k= abc,, La Figure 75 présente une représentation u moèle sous la forme un Graphe Informationnel Causal. Elle montre ue le lien entre les processeurs 6 et 2 ne peut plus être négligé. En effet, ans le cas linéaire, l E.98 révèle ue le terme L aa est inépenant e i abc et e x. et u il est classiuement contenu ans la relation u processeur 2. 72

75 Le processeur 6 est rigie, bien u il y a es termes e érivées partielles ans la relation 6. En effet, cette relation est atemporelle, car les graneurs u flux partiels e x ou e i abc sont éfinis à tout instant sans avoir besoin e connaître la valeur précéente e x ou e i abc (par exemple, ans notre cas, nous représentons la variable variation u flux partiel e x sous une forme tabulée e x et e i abc ). e abc 5 v V abc φ abc / i φ abc / x 6 e abc iabc V 1 Labc Tem 2 4 x T r 7 T mot 8 v 9 x Vabc 3 iabc Ts + T f 1 v Moèle électriue : Moèle mécaniue : 1 VLabc = Vabc eabc iabc 7 Tmot = Tem Tr Ts Tf (, ) φabc iabc x iabc 2 i t 3 abc abc V = iabc φ = 5 e abc abc ( i, x) x abc = V Labc v x 8 M = Tmot et 9 = v t t φ ( i, x) k k 4 Tem = ik k= abc,, x Ts + fv v, si v > v 1 Ts + Tf = Ts + fv v, si v < ( i, x) ( i, x) ( i, x) ( i, x) φ φ φ φ 6 =, et = i i x x abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc x= cst iabc = cst Figure 75 : eprésentation en GIC u moèle e PMSLM en saturé Pour le calcul es forces en saturées, eux méthoes sont possibles [SEGUIE 1994] : Calculer les efforts un champ magnétiue une partie sur l autre partie ; Calculer les variations énergie emmagasinée ans le système lors un éplacement u primaire. C est cet te ernière méthoe, plus générale, ue nous allons appliuer ici. Elle repose sur le principe simple ue l énergie se conserve. C'est-à-ire ue sans perte extérieure (perte e matière par exemple), l énergie reste constante et ne peut ue changer e forme : Energie électriue Energie mécaniue. L impact principal e la saturation es inuctances sur la force e poussée intervient lors e phases accélération ou e écélération brutale, ui corresponent à es valeurs e courants très élevées. En effet, lors e ces forts courants, bien supérieurs au courant nominal, mais toujours inférieurs au courant maximal, la saturation engenre une réuction e la force électromotrice pour un courant onné, et onc une réuction e la force générée. A l inverse, au niveau e la commane, si l on souhaite atteinre une valeur e force élevée en un temps très court, la saturation inuit une hausse très importante u courant pour compenser le manue e force, ce ui pourrait conuire à la étérioration u moteur. 73

76 2.2.6 Conclusion sur l analyse e la matrice inuctance L analyse es inuctances un moteur linéaire synchrone à aimants permanents montre ue la saturation est bien fonction u courant et e la position es aimants. Les inuctances évoluent ans une plage e 22mH en linéaire jusu à 3mH en saturé, ce ui signifie une forte augmentation u courant pour ces valeurs (un rapport 8 peut alors être mesuré sur l amplitue es courants). Le moèle e ce moteur linéaire, représenté à l aie un Graphe Informationnel Causal (Figure 75), montre ue la force e poussée n est pas irectement influencée par cette chute inuctance. En effet, un courant élevé ans le moteur inuit une chute e l inuctance et ans le même temps une iminution e la valeur e la fem en charge. Ainsi, la hausse u courant se conjugue avec la baisse e la fem ui, au final, moifie peu l évolution e la force e poussée. Les résultats e la Figure 76 et e la Figure 77 sont obtenus en appliuant la même commane par autopilotage en position avec une référence en bang-bang e jerk. T em sans T et / T em avec T et (en N) Force e poussée sans et avec saturation T em sans T et T em avec T et t (en s) T em sans L sat - T em avec L sat (e Tem sans Lsat - Tem avec Lsat t (en s) Figure 76 : Impact e la saturation sur la force poussée à.2m/s, 2m/s² sur 2cm a) moèle 1er harmoniue b) avec force e étente n N) n N) em sans L sat / T em avec L sat (e T Force e poussée sans et avec saturation T em sans L sat T em avec L sat t (en s) T em sa Tem sans Lsat - Tem avec Lsat t (en s) Figure 77 : Impact e la saturation sur la force poussée à 2m/s, 2m/s² sur 5cm a) moèle 1er harmoniue b) avec force e étente L utilisation un tel moèle pour la commane n aura onc pas l objectif e mieux contrôler la force e poussée, mais plutôt éviter les appels e courant liés à la saturation, ceux-ci étant nuisibles à la urée e vie u moteur. D autre part, une commane ui éviterait ces zones e forts courants pourrait permettre utiliser le moteur pour onner le maximum e ces performances en permanence. ns L L N) sat - T em avec sat (en 74

77 2.3 Analyse es effets encoche et es forces e enture Origine es forces encoche Les forces encoche ou effets e enture sont issues e l interaction entre les aimants et les matériaux ferromagnétiues e la enture, Figure 78 : Axe X Figure 78 : Parcours es lignes e champ D après cet exemple, si la perméabilité magnétiue u fer est 1 fois supérieure à celle e l air, cela signifie ue les lignes e champ magnétiue seront 1 fois plus attirées par le fer ue par l air, c'est-à-ire 1 fois plus attirées par le trajet A ue le trajet B. D autre part, le tracé e la ligne e champ représente, en uelue sorte, l échange énergie entre les aimants et le fer u primaire. Il est possible e montrer ue la force interaction es aimants avec le fer est colinéaire à cette ligne e champ. Cette force est appelée : Force e enture ou effet encoche. Il y a ans la littérature une istinction entre les ifférentes forces interagissant au sein un moteur linéaire [GIEAS 1999]. Les forces e enture peuvent se écomposer : Suivant l axe x en force e étente ; Suivant l axe y en force attraction. D autre part, la force e étente peut aussi se écomposer en 2 forces : Force extrémités sur les 2 côtés u moteur linéaire ; Force e enture (aussi appelée force e cogging) pour la partie centrale u moteur. Le moèle mécaniue e la force e étente peut se représenter à l aie un Graphe Informationnel Causal : T r T em 8 8 T mot 9 v 11 x T cog T T f 1 v 12 x Figure 79 : Graphe Informationnel Causal u moèle mécaniue avec la force e étente L E.18 présente la 2 ème loi e Newton appliuée à la partie mobile e l'actionneur linéaire incluant une masse rigie. Ainsi, en connaissant les forces e frottements ainsi ue la force électromagnétiue générée par le moteur linéaire, il est possible obtenir la force e étente u moteur linéaire. 75

78 v M = Télectromagnétiue Tétente T frottement E. 18 t Lors essais asservis par un variateur à vitesse constante, l onulation e force issue e la force e étente est ientifiée expérimentalement à l aie une estimation e la force électromagnétiue : Figure 8 : Mesure e la force e étente (T et en N) en fonction e la position (x en m) u LMD1-5 Nous allons analyser plus spécifiuement le phénomène e cogging ui apparaît comme périoiue, et ui un point e vue inustriel pose e nombreux soucis pour le réglage es commanes, notamment pour es applications e positionnement ou e contrôle e système à basse vitesse : Par exemple, pour le LMD1-5, la force e étente maximale est e l orre e 5N, la force e poussée maximale est e 554N et la force e frottement sec estimée est e 15N. Pour un éplacement à basse vitesse, la valeur e la force e poussée et es forces e frottements est u même orre e graneur ue la valeur e la force e étente. T T << T E. 19 électromagnétiue frottement étente A l inverse, à vitesse élevée, la force e poussée et les forces e frottements sont préponérantes par rapport à la force e étente, ce ui en réuit la perception au niveau u comportement u moteur linéaire. La fonction e transfert entre la force et la vitesse est un premier orre : Ainsi, plus la vitesse sera élevée, plus les onulations e forces seront atténuées au niveau e la vitesse e l actionneur par l inertie e la masse en mouvement. Toutefois, l amplitue maximale e la force e enture reste constante et inépenante e la vitesse u moteur. Pour analyser ce phénomène, nous établirons ici eux moèles, ui seront valiés ensuite par es essais expérimentaux : Moèle analytiue ; Moèle par éléments finis ; Moèle analytiue En analysant ce ui se passe au niveau e chaue ent u primaire, suivant la position es aimants, il y a es positions ites e «stabilité magnétiue» (Figure 81). Autrement it, la répartition es lignes e champ magnétiue sera symétriue par rapport à une roite méiane à la ent. 76

79 x = x = τ p 2 S N Figure 81 : épartitions es lignes e champ suivant la position es aimants N S S N L allure e la force exercée par les aimants sur une ent u primaire s annule onc pour ifférentes positions es aimants. Pour un éplacement à vitesse constante, si la force magnétomotrice es aimants est sinusoïale, la force interaction es aimants sur la ent u primaire est alors sinusoïale (Figure 82). Cette force interaction correspon ici à la force projetée sur l axe x, soit la force e cogging. Figure 82 : Force appliuée à une ent u primaire pour un éplacement à vitesse constante L effet e enture peut se éfinir comme une ifférence efforts surfaciues ui s exercent e part et autre une ent. La étermination e la valeur e l inuction magnétiue appliuée à une ent impliue la connaissance es rayons e courbure es lignes e champ. La Figure 83 montre l évolution es lignes e champ pour une position x = τ p / 4. Ainsi, il est ifficile analytiuement exprimer la force maximale T cog_max. Figure 83 : Lignes e champ magnétiue appliuées à une ent u primaire Les forces e cogging peuvent se calculer en sommant les forces appliuées aux parois es ents [ZHU 1992]. Un pôle u primaire u moteur linéaire LMD1-5 englobe 6 ents. Pour chaue ent, la force e cogging se simplifie en une expression sinusoïale : 2π Tent = Tcog _max sin x E. 11 τ p Il existe alors une expression générale pour chacune es ents, avec l la largeur une ent, et l e la largeur une encoche : x l + l Tent _ n = Tcog _max sin 2π n τ p τ p e E

80 Cette force est ensuite aitionnée sur les ouze ents afin obtenir la représentation e la force e cogging. Dans le cas u moteur LMD1-5, cela evient : 11 2π 5π Tcog = Tcog _max sin x n = E. 112 n= τ p 3 L E.112 montre ue le moèle analytiue utilisé n est pas suffisant pour représenter le fonamental e la force e cogging u moteur LMD1-5. En effet, le constructeur ETEL a choisi une largeur e ent et une largeur encoche e telle façon ue le fonamental e la force e cogging soit repoussé plus loin ans le spectre. Il est alors nécessaire affiner la représentation es interactions es champs magnétiues ans la zone entrefer en utilisant autres méthoes pour résoure notre problème, telles ue la méthoe es réseaux e reluctances ou la méthoe es éléments finis. Le calcul es forces e cogging est autant plus ifficile ue non seulement il faut affiner la représentation e la zone entrefer par autres méthoes étaillées ci-essus, mais il faut aussi isposer un algorithme e calcul es forces e enture ui soit valable et aapté au cas étuié. Dans la littérature, plusieurs techniues sont présentées pour le calcul es forces e enture. Quatre techniues principales sont envisageables : Méthoe u Tenseur e Maxwell [ITO 199], [MIZUNO 1992], [BODIKA 1999(2)], [CUISE 1996(1)], [HU 1997], [CHUN 1999] ; Méthoe e la co-énergie et es travaux virtuels [ITO - 199], [POFUMO 1999] ; Méthoe e la ensité e courant et e la force e Lorentz [ITO 199], [LIM 1999], [JUNG 2], [JUNG 21(1)], [JUNG 21(2)] ; Ientification expérimentale [LI 23]. Pour préciser les ifficultés à moéliser les forces e enture, nous prenrons un exemple concret en utilisant le Tenseur e Maxwell : 1 F = TS μ E. 113 S Bx B Bx. By Bx. Bz T = By. Bx By B By. Bz E Bz. Bx Bz. By Bz B 2 Sur l exemple e la Figure 78, la section élémentaire S est suivant l axe x, et : S = S. y E. 115 Il vient alors : Bx B Bx. By Bx. Bz 2 Bx. ByS TS. = By. Bx By B By. B z. S = By B S E Bz. ByS Bz. Bx Bz. By Bz B 2 Dans notre étue, nous cherchons à ientifier cette force e cogging ui se superpose à la force e poussée sur l axe x. De l E.116, l expression e la force e cogging se éuit alors : 1 Tcog = Bx. By. μ S x E. 117 S 78

81 La graneur importante e l E.117 est B x, ui correspon à l inuction suivant l axe x. Dans la précéente moélisation par un réseau e réluctance appliué à l'étue es forces électromotrices, une hypothèse simplificatrice importante avait été utilisée : les lignes e champ magnétiue sont consiérées normales à l'entrefer. Cela revient à consiérer ue B x = en tout point x. Cette hypothèse n'est onc plus envisageable pour l'étue e la force e cogging, car sinon T cog = en tout point x. Or, la complexité e la moélisation e la zone 'entrefer [TAKEDA 1989] ui en écoulerait est trop importante pour ce travail. Nous avons onc choisi appliuer la méthoe es éléments finis au cas u LMD1-5 pour l étue es forces e cogging Moèle éléments finis La étermination es forces e étente est une graneur ifficilement mesurable ans un moteur linéaire. La méthoe es éléments finis apporte alors une aie consiérable pour obtenir les valeurs e la force e cogging et la force e étente. Il est possible, grâce au logiciel éveloppé par l éuipe «MECOSYEL» u L2EP, e calculer les ifférentes forces ui agissent ans un moteur linéaire. Dans un premier temps, nous analyserons la force e cogging u LMD1-5, puis nous analyserons l effet es extrémités sur la force e étente Analyse es forces e cogging La Figure 84 montre le maillage 2D extrué utilisé pour le calcul e la force e cogging u LMD1-5. Les forces e cogging étant es forces périoiues et au vu es symétries et périoicités e la géométrie u primaire nous réuisons l étue u LMD1-5 à une paire e pôles u moteur. La Figure 84 montre ue la périoicité u primaire se caractérise par 12 encoches et 12 ents sur 16mm, et ue la périoicité u seconaire se caractérise par 1 aimants sur 16mm. Ainsi, le phénomène e cogging a une fréuence u plus petit multiple commun entre le nombre encoches u primaire et le nombre e pôles magnétiues [BETON 2], soit 3 ici. Figure 84 : Maillage es eux pôles u moteur linéaire LMD1-5 Le calcul es forces est effectué à l aie u tenseur e Maxwell implanté ans le coe e calcul, sur un ensemble e nœus compris ans l entrefer, Figure 85 : Figure 85 : Zone e calcul ans l entrefer e la force e cogging 79

82 emarues : Si la force e enture provient e l effort appliué par un flux magnétiue issu es aimants sur le circuit magnétiue en fer, le calcul e cet effort surfaciue evrait naturellement se faire sur le contour u circuit magnétiue. Or, sur le contour u circuit magnétiue la perméabilité magnétiue vaut soit µ pour l air, soit µ µ r pour le fer, ce ui peut varier un rapport 1. La techniue utilisée pour le calcul u tenseur e Maxwell, impose ue ce calcul soit effectué ans une zone ou un périmètre e perméabilité constante. C est pouruoi ici, nous avons choisi une roite à l intérieure e la zone entrefer, Figure 85. La Figure 86présente une valeur approchée e l inuction ans l entrefer : Figure 86 : Inuction ans l'entrefer pour une paire e pôles u LMD1-5 (e à 1.6Tesla) Il est possible e reconstruire une expression analytiue approchée à partir es tracés e B x et B y, en scinant les harmoniues issus u primaire e ceux u seconaire. Ainsi, à partir un calcul par éléments finis, le comportement e B x et B y serait éfinie uelle ue soit la position, et par suite la force e cogging. Mais la Figure 86 montre ue B y et surtout B x sont loin e ressembler à es sinusoïes. L E.117 permet le calcul e la force tangentielle avec le tenseur e Maxwell. Les forces ponctuelles le long e l entrefer projeté sur l axe x sont ainsi obtenues : Figure 87 : Forces ponctuelles interaction u LMD1-5 pour une position fixe x C est la somme e l ensemble es forces générées sur la longueur active u moteur ui onne la valeur à la force e cogging pour une position onnée. Ainsi pour une position onnée u primaire par rapport au seconaire, les forces ui s exercent le long e l entrefer suivant l axe x sont aitionnées. 8

83 Pour un moteur à eux paires e pôles, le résultat u motif une paire e pôles est alors multiplié par 2. Le moteur LMD1-5 n ayant u une paire e pôles, la force e enture s obtient onc irectement. Le primaire est ensuite «éplacé» pas à pas. La Figure 88 présente ainsi l allure complète e la force e cogging : -4-2 Tcog (N ) x (m m ) Figure 88 : Force e cogging u LMD1-5 en fonction u éplacement x La constitution interne un moteur linéaire étant symétriue, la force e cogging est une force à valeur moyenne nulle et périoiue. La Figure 89 présente une transformée e Fourrier e cette force e cog ging. La fréuence e la force e cogging est e 12 * 31,25 = 375Hz : c'est-à-ire ue pour le LMD1-5, le premier harmoniue e la force e cogging est repoussé à l harmoniue e rang 12 : e Tcog (N) Amplitu Fréuence (Hz) Phase (eg) Fréuence (Hz) Figure 89 : FFT e la force e cogging u LMD1-5 Il existe un écart avec le calcul précéent, ce ui permet e constater l influence e la profoneur encoche sur la force e cogging. En effet, moins l encoche est profone, plus la force e cogging sera f aible. Par contre, une profoneur encoche e profoneur illimitée n inuit pas une force e cogging amplitue illimitée. Il existe onc une valeur e conciliation ui pourrait participer au imensionnement es encoches. [POCA 23] présente un moèle analytiue avancé pour les moteurs synchrones rotatifs e la force e cogging, toutefois pour les moteurs linéaires, à notre connaissance, il n existe pas e moèle analytiue littéral. 81

84 Solutions technologiues pour compenser les forces e cogging Lors e la conception u moteur, le constructeur peut réuire les effets e enture en moifiant la géométrie u moteur. Classiuement, en inclinant un pas polaire soit les aimants, soit les encoches, il est possible e compenser cette force encoche (Figure 9), [BODIKA 1999(2)], [JUNG 21 (3)]. Cepenant, cette solution n est pas la seule solution inustrielle ; par exemple le fabricant ETEL a choisi ajuster la largeur es ents et celle es encoches pour réuire l influence es aimants sur les ents u primaire. L avantage est e éplacer la 1 ère fréuence visible e la force e cogging vers es fréuences plus élevées, et si possible en ehors e la bane passante u système. Il faut aussi remaruer ue la précision angulaire es méthoes avec ents inclinés est ifficile à réaliser en pratiue. Figure 9 : Compensation es effets 'encoches Analyse es forces extrémités Les forces extrémité sont propres au moteur linéaire. [ASKOU 22] a fait une première analyse es forces extrémité. Ses conclusions montrent u on ne peut pas négliger les forces extrémité evant les forces e cogging pour un moteur linéaire ui comporte moins e 4 pôles bobinés au primaire. Dans notre cas étue, le moteur linéaire LMD1-5 ne possèe ue 2 pôles bobinés au primaire (Figure 91). Ainsi, il est nécessaire analyser l influence es forces extrémité par rapport aux forces e cogging. Pour réaliser cette étue, nous ajoutons au maillage précéent (Figure 84) le maillage es extrémités, ainsi u une zone air suffisamment importante pour permettre aux lignes e champ e se refermer (non visible sur la Figure 91) : Figure 91 : Maillage u moteur linéaire complet LMD1-5 Le coe e calcul ne permet pas e séparer le calcul e la force e cogging e celle es forces extrémité. En effet, la ifficulté est e éfinir la limite entre les extrémités et la partie centrale u primaire. Nous sommes onc obligés e faire un calcul supplémentaire pour calculer les forces extrémité seules en consiérant un primaire sans encoche : 82

85 Air M8-5A Air Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aimants Aima Figure 92 : Maillage u moteur linéaire LMD1-5 sans les encoches D autre part, pour obtenir es résultats précis e la force extrémité, il est nécessaire e faire le calcul suivant le principe action-réaction, c est-à-ire en entourant le primaire une zone air finement maillée sur lauelle les efforts ui s appliuent au primaire sont calculés. Ainsi, l effort global ui est appliué par un solie sur un autre solie est obtenu précisément. Cette techniue s apparente à la techniue Eggshell (couille œuf) e raffinement automatiue u maillage, ui a montré e bons résultats pour le calcul es forces ans les systèmes électromagnétiues [HENOTTE 22] ) Text (N x (m m ) Figure 93 : Force extrémités u LMD1-5 en fonction u éplacement x Analyse es forces e étente. La force e étente est la somme es forces e cogging et es forces extrémité. Toutefois, il faut utiliser avec beaucoup e précaution le théorème e superposition ui est appliué pour le calcul e la force e étente. En effet, à cause es saturations locales ans les ents u primaire, il faut vérifier ue l apport es forces extrémité est issociable e celui es forces e cogging, ce ui est bien le cas ici : Tet, Tcog + Text (N) Tet (N) Tcog + Text (N) x (mm) Figure 94 : Comparaison e la force totale e étente et e la somme e la force e cogging et es forces extrémité 83

86 La saturation es aimants a une influence négligeable sur la force e étente. La Figure 95 présente la force e étente pour un calcul par éléments-finis ans le cas linéaire et celui non linéaire. Il y a peu écart entre ces eux résultats. Tet (N) Tet lin (N) Tet non lin (N) x (mm) Figure 95 : Comparaison e force e étente en linéaire et en saturée Une analyse FFT e la force e étente onne le résultat suivant : Figure 96 : Analyse FFT e la force e étente Les forces extrémités ont une fréuence ui est irectement épenante e la périoe es aimants. Alors ue la fréuence e la force e cogging correspon au plus petit multiple commun entre la périoe es aimants et la périoe es ents u primaire [EMY 27 (2)]. emarues : Le résultat obtenu par éléments finis épen fortement e la finesse u pas e maillage ans l entrefer. En effet, l effort attraction es aimants T y sur l axe y est environ 1 fois supérieur à l effort T x ui s exerce suivant l axe x. Or, le calcul par éléments finis onne une erreur sur les résultats es forces e cogging ui peut être comparée à un offset, Figure 97. Le maillage oit être le plus constant possible pour obtenir un offset constant urant tout le éplacement. Il est onc nécessaire affiner suffisamment le pas u maillage pour avoir un offset négligeable evant la valeur maximale e la force étente calculée. 84

87 Tcog (en N) x (en m) Figure 97 : Force e étente u LMD1-5 pour un pas e maillage insuffisant Solutions technologiues pour compenser les forces extrémités Des solutions technologiues existent pour compenser ces forces extrémités [CUISE 1996(2)], [ASKOU 22]. Pour réuire les forces extrémités, une solution éviente est e moifier la géométrie e la ent extrémité, Figure 98 : Figure 98 : Moification e la géométrie es extrémités u primaire Cepenant, le choix es ents extrémité repose sur un compromis entre plusieurs critères : éuire l amplitue es forces extrémité ; Ne pas réuire l inuction magnétiue ans l entrefer, ui conitionne l énergie volumiue et onc la puissance e l actionneur [JUNG - 2], [JUNG - 21(1)], [JUNG - 21(2)] ; Permettre e symétriser les inuctances propres, et avoir un moteur triphasé éuilibré. Une solution utilisée ans les moteurs Siemens pour compenser les forces extrémité repose sur l ajout e eux ents extrémité appelées «compensateurs e force» en tôle ferromagnétiue, Figure

88 Figure 99 : Moification e la géométrie es extrémités u LIMES4/12 Dans le but e réuire les forces extrémité, Siemens (sous le nom e Krauss-Maffeï) a éposé un brevet [STOIBE 1998] sur l angle ß es compensateurs extrémité, Figure 99, tel ue : b β = arctan τ E. 118 p Avec : β, l angle inclinaison ; b, la largeur active es aimants ; τ e, le pas entaire Une autre solution consiste à augmenter l entrefer entre les ents extrémités et les aimants agissant sur les extrémités u moteur linéaires [ASKOU 22]. Figure 1 : Autres exemples e la géométrie es extrémités u primaire La solution ETEL est plus ifficile à émontrer : les ents extrémité sont écoupées suivant un angle e 2 environ, Figure 91. Le volume e la ent est alors éfini pour assurer l éuilibre es 3 phases, et l angle est choisi pour la réuction es forces extrémité : 86

89 Text (N) x (mm) Figure 11 : Influence e l angle inclinaison e la ent extrémité 1 2 La Figure 11 montre ue l angle optimal se trouve aux environs es 2 pour réuire l amplitue e la force extrémités. Le principe est bien e «casser» le spectre e la force extrémité en plusieurs composantes, comme le montre la Figure 96. Cette solution fait l objet e plusieurs brevets éposés par ETEL [WAVE 1997], [WAVE 1999] Valiation expérimentale Si l on regare le principe fonamental e la ynamiue appliuée à la partie mobile e l'actionneur linéaire avec une charge passive : v M = Télectromagnétiue Tétente T frottement E. 119 t Pour éterminer T ét ente, il est nécessaire e connaître les autres graneurs. La force électromagnétiue est connue, parce u elle est imposée par la commane. Il est onc nécessaire ientifier les forces e frottement 23 pour éterminer la force e étente Analyse es frottements La présence es frottements ans un système est inhérente à la notion e liaison. Dans le cas es moteurs linéaires, les éléments constituant ces liaisons sont le système e guiage et les racleurs. Le système e guiage le plus commun est représenté sur la Figure 12, et est constitué e glissière comprenant es patins à re-circulation e billes SS15 e la société THK. 4 table primaire règle optiue ail e guiage seconaire bâti Figure 12 : Système e guiage un moteur linéaire 23 L analyse es frottements un moteur linéaire n est pas une nouveauté scientifiue en soi. Cepenant, cette étape e moélisation est obligatoire pour accéer à la force e étente. 87

90 Ces éléments e liaison génèrent es frottements. Il est important e bien connaître les graneurs ui génèrent les forces e frottements. Il existe principalement trois graneurs clés : Coefficient e frottements es patins à re-circulation e billes ; Efforts exercés sur le primaire par la force e gravité ; Efforts 'attraction es aimants sur le primaire. Bien ue le coefficient e frottement es roulements à re-circulation e billes soit très faible (environ.3), la force e frottement n'est pas négligeable, car elle est le prouit u coefficient e frottement es roulements par la somme es forces ui lui sont appliuées. Or ans les PMLSMs, la force 'attraction es aimants (177N) est généralement bien supérieure à la force e poussée maximale (55N), soit un rapport 3 pour le moteur linéaire LMD1-5. Il nous faut onc établir un moèle e force e frottement pour tenir compte es frottements ans les commanes Moèle es frottements La littérature anglo-saxonne présente excellentes synthèses sur les phénomènes e frottement [AMSTONG-HELOUVY 1994], [OLSSON 1998]. Une explication cohérente et convaincante e la physiue es contacts est onnée ans [AMSTONG-HELOUVY 1994]. Il présente aussi ifférentes formes, représentations et moèles es frottements. Nous limiterons notre étue es phénomènes e frottements au cas e contacts e surfaces métalliues lubrifiées. La représentation iéale simplifiée [DENKENA 22], représentée ans la Figure 13, ainsi u'une représentation, ésormais classiue [AMSTONG-HELOUVY 1994], es frottements provient e [STIBECK 192] et met en évience plusieurs zones e frottements : Force e Frottement (N) F f égime I : Pas e Déplacement Déformation Élastiue ent Frottement Visueux (F vis ) Frottement Sec (F coul ) Frottem Force e cation égime II : Lubrifi Limite égime III : Lubrification Partielle égime IV : brification Totale Lu v Vitesse (m/min) Vitesse e Déplacement Figure 13 : eprésentation iéale simplifiée es Forces e frottements et Courbe e Stribeck généralisée Il existe ainsi 4 régimes istincts : égime I : Zone e éformation élastiue, il n'y pas e éplacement. En appliuant une force tangentielle sur es surfaces en contact, il y a tout 'abor une éformation élastiue ui va changer les liaisons es aspérités es surfaces. Ce régime e éformation s'arrête ès ue la force appliuée épasse un certain seuil, représenté par une valeur u frottement sec. Cette force ui permet e faire la transition e la vitesse nulle (frottement statiue) à une vitesse non nulle (frottement cinétiue) est également appelée force e rupture. Tant ue la force extérieure reste inférieure à la force e rupture, le système reste «collé». 88

91 Le frottement cinétiue est une force ont la valeur est fonction e la charge supportée (ans la littérature, elle est souvent consiérée constante), inépenante e la vitesse e éplacement relative es surfaces en contact, et opposée au sens e cette vitesse. Le frottement statiue est la force nécessaire pour commencer un mouvement à partir 'une vitesse nulle. Le frottement statiue est la force e frottement uan le système est it «collé», c'est à ire lorsue le système ne se éplace pas (vitesse nulle). La valeur e la force e rupture épen u taux e variation e la force extérieure appliuée. Plus ce taux est élevé, moins la force e rupture l'est, et réciprouement. égime II : Zone e lubrification limite : Suite au égime I, un film e lubrifiant ne peut pas encore apparaître entre les eux surfaces en contact à basse vitesse. Dans ce cas, un glissement entre les surfaces métalliues en contact intervient sur un film partiel e lubrifiant réparti par couches. Dés ue cette force e rupture est atteinte, le système se met en mouvement, on it alors u'il «gl isse», et le frottement evient un frottement ynamiue. Ce phénomène est connu sous le nom e «Stick-slip motion» [AMSTONG-HELOUVY 1991]. égime III : Zone e lubrification partielle : La vitesse e glissement augmentant entre les eux surfaces, e plus en plus e lubrifiant se propage ans la zone e contact, ce ui permet e former un film e lubrifiant. Cepenant, à ce stae, le film n'est pas suffisamment épais pour séparer complètement les eux surfaces, et la présence 'aspérités ans les contacts influe toujours sur la force e frottement. Comme l'épaisseur e la couche e lubrifiant augmente avec la vitesse, les surfaces es zones e contact iminuent, ce ui a pour effet e réuire la force e frottement, et ans le même temps, permet l'augmentation e la vitesse. égime IV : Zone e lubrification complète : Une fois ue la vitesse a atteint une certaine valeur v, un film continu u fluie s'est formé et permet e séparer complètement les eux surfaces. La viscosité u lubrifiant evient alors le phénomène préominant par rapport aux frottements secs. Parmi tous les moèles e frottement existants, le moèle e Lun-Grenoble est le plus complet [AMSTONG-HELOUVY 1991]. z σ v = v z t f () v 2 v E. 12 vs f() v = Tc + ( Ts Tc) e z s Tf σ z+ σ1 + σ2 v T + = t Il intègre e nombreux effets, tels ue l effet e éformation élastiue (Effet e Dahl), l effet e Stribeck, etc. 89

92 Figure 14 : Phénomènes moélisés ans le Moèle e Lun-Grenoble [ALTPETE 1999] Nous n avons pas retenu ce type e moèle, car il est surtout utile pour moéliser le comportement un moteur linéaire lors e petits éplacements e l orre e 5µm. D autre part, ce type e moèle emane une ientification es paramètres σ, σ 1 et σ 2, ui, en pratiue, est très ifficile à obtenir [THIEY 25]. Nous conserverons onc un moèle e type frottement e Coulomb + frottement visueux Méthoes expérimentales e mesure La Figure 15 présente la courbe e frottement e Coulomb, obtenue par plusieurs essais à ifférentes vitesses constantes. Figure 15 : Courbe e frottements secs et visueux u LMD1-5 Pour obtenir cette courbe, le moteur linéaire est asservi par un irecteur e commane numériue avec une loi trapézoïale en vitesse [JOHNSON 1992]. Puis l acuisition en temps réel est réalisée à l aie un système SPACE 15 pour obtenir la position et les trois courants circulant ans les trois phases. A l aie e la position mesurée, la transformée e Park est ensuite appliuée aux trois courants mesurés, la position initiale ayant été soigneusement prise en compte au émarrage e la machine. 9

93 ia i 2 cos( Ψ) cos( Ψ 2 π /3) cos( Ψ+ 2 π /3) ib i = 3 sin( Ψ) sin( Ψ 2 π /3) sin( Ψ+ 2 π /3) ic Les éuations u moteur linéaire sont : E T ˆ em = Np φ f i E v M = Tem fvisv Tsec Tet, et < Tet >= E. 123 t Cela onne le système suivant : v v <, M = Tem v Tet t E. 124 v v >, M = Tem v Tet t Les valeurs e frottement ans les eux sens e éplacement ne sont pas ientiues, ce ui correspon au fait ue la re-circulation es billes ans les roulements ne s effectue pas exactement e la même façon. Une autre raison vienrait e la présence e la chaîne porte-câble. Mais, il est très ifficile e n issocier l origine entre ces eux phénomènes en pratiue. Expérimentalement, la force e étente peut se éuire es autres forces (E. 123) [DENKENA 22], [CUISE 1997] : v Tet = Tem M + fvisv+ Tsec E. 125 t La Figure 16 présente les résultats expérimentaux e la force e étente pour le LMD1-5 : Figure 16 : Mesure simplifiée e la force e étente u LMD1-5 Lors es essais, les résultats obtenus présentaient une amplitue cohérente, mais n étaient pas répétitifs ans le temps. En superposant plusieurs essais, une fluctuation e l amplitue e près e 1% a été observée. La raison majeure est ue la reconstruction e la force e poussée était insuffisante précise. La prise en compte es harmoniues e fem est alors nécessaire pour estimer correctement la force e poussée : 91

94 φma φmb φmc Tem = ia + ib + ic E. 126 x x x D autre part, il est important e noter une ifférence fonamentale entre les résultats obtenus par éléments finis et les relevés expérimentaux. En effet, expérimentalement, la plaue support es aimants est scinée en plusieurs plaues e 16 aimants 24. Un problème résultant important est ue les plaues aimants possèent es interstices e près e 1mm, Figure 17. Cela moifie complètement le bouclage es lignes e champ es aimants, et ren asymétriue l allure e la force e étente. Figure 17 : Plaues support aimants u LMD1-5 Bien éviement, la isposition es aimants permet e conserver la fréuence u signal fonamental, mais, par contre, les amplitues sont réuites au passage es interstices. Pour compenser le manue e fiélité es résultats es ientifications obtenues sur les valeurs e frottement (Figure 15), une stratégie apprentissage e la force e étente est nécessaire. Techniuement, la force e étente est mémorisée en temps-réel sous la forme un tableau à eux entrées : la position u moteur et la valeur e la force e étente à cette position. Ensuite, un apprentissage e la force e étente est effectuée sur es éplacements aller et retour, Figure 18. Figure 18 : Mesure e la force e étente u LMD1-5 lors u 1 er apprentissage (en N) Ensuite, une moyenne es résultats obtenus e la force e étente est réalisée avec le résultat ponéré e l apprentissage précéent [GEADIN 24] : 24 L intérêt étant offrir au client une liberté suffisante pour la réalisation e sa longueur e voie aimants 92

95 T T = + T n n + 1 * et et et E. 127 Notre étue n a pas pour intérêt e éterminer uelle est la meilleure méthoe apprentissage, ni uel est l algorithme e convergence le plus aapté à notre problème. C est pouruoi il ne sera pas onné ici plus e étails sur les performances e cet algorithme e convergence. Toutefois, un point e vu expérimental, ans le cas u LMD1-5, cette techniue fait converger la valeur e la force e étente en moins e 4 apprentissages. Pour réuire l impact une erreur estimation es frottements, sur les valeurs e la force e étente, les essais sont réalisés par es «aller-retour» à vitesse constante. Les frottements sec et visueux eviennent alors es graneurs constantes, et la somme e ces forces e frottement sur un aller-retour est alors très proche e zéro. La Figure 19 montre la comparaison entre la force e étente obtenue expérimentalement et celle calculée par la méthoe es éléments-finis : 6 4 Tet exp (N) Tet FEM (N) x (mm) 32 Figure 19 : Comparaison e la force e étente expérimentale et celle par éléments-finis Cette allure e la force e étente peut onc être consiérée comme une signature propre à la machine, ui sous forme tabulée peut servir ans une commane estimateur e force e étente et pourrait permettre améliorer le contrôle en force u système. Malgré la procéure apprentissage, la Figure 19 montre ue la faible amplitue es signaux à ientifier ren très ifficile la ifférentiation entre les bruits e commutation es IGBT et le signal réel. Toutefois, les résultats obtenus sont suffisamment proches pour valier la moélisation proposée Impact sur la force e poussée Pour le LMD1-5, la force e étente maximale est e l orre e 4N, la force e poussée maxi male est e 554N et la force e frottement sec estimée est e 15N. Ainsi, la force e étente est souvent négligée ans les commanes inustrielles pour un fonctionnement au régime nominal. Par contre, pour un fonctionnement à basse vitesse, la force e étente peut alors evenir u même orre e graneur ue les autres forces, et onc renre le contrôle en force plus ifficile. Les résultats e la Figure 11 et e la Figure 111 sont obtenus en appliuant la même commane par autopilotage en position avec une référence en bang-bang e jerk. 93

96 sans T et / T em avec T et (e n N) em T Force e reference et simulee T em sans T et T em avec T et t (en s) T em s Tem sans Tet - Tem avec Tet t (en s) Figure 11 : Impact e la force e étente sur la force poussée à.2m/s, 2m/s² sur 2cm a) moèle 1er harmoniue b) avec force e étente (en N) - T em avec T et ans T et ) T em sans T et / T em avec T et (en N Force e reference et simulee T em sans T et T em avec T et t (en s) T em sans T et - T em avec T et (e Tem sans Tet - Tem avec Tet t (en s) Figure 111 : Impact e la force e étente sur la force poussée à 2m/s, 2m/s² sur 5cm a) moèle 1er harmoniue b) avec force e étente n N) Conclusion sur l analyse es forces e étente Nous venons e montrer ue les forces e étente pouvaient se écomposer en eux familles e forces : les forces e cogging et les forces extrémité. La Figure 96 permet e bien comprenre la séparation au niveau es fréuences e ces eux phénomènes. L analyse e la géométrie e l actionneur permet e mieux comprenre le faible niveau es forces e cogging (environ 2N max) et es forces extrémité (choix e l angle es ents extrémité pour réuire l amplitue à 2N max). Pour la force e étente, la comparaison entre les résultats e la méthoe par éléments finis et ceux expérimentaux montre es valeurs proches. Toutefois, il faut soulever une réelle ifficulté à obtenir expérimentalement es résultats cohérents, même avec la mise en place un processus apprentissage «Iterative Learning». En effet, la faible amplitue es signaux à obtenir ren les ivers effets parasites préponérants ans les résultats obtenus. L amplitue es forces e étente est comparable avec celle, nominale, e la force e poussée : après la ocumentation u constructeur (Annexe 6) la valeur maximale e la force e étente est e 5N et la force nominale u moteur linéaire est e 13N. Dans le cas un fonctionnement à vitesse nominale, cette force peut être négligée evant la force nominale (inférieure à 4%). Cepenant lors e certaines phases e fonctionnement u moteur linéaire, la force e poussée u moteur peut-être e l orre e graneur e ces valeurs. Par exemple, eux moes e fonctionnement présentent ce phénomène : Déplacement à vitesse constante très réuite, Figure 11 par opposition à la Figure 111 ; Phase arrivée en position u moteur linéaire. 94

97 Une remarue importante : la force e étente est consiérée ans notre étue comme une force interaction entre les aimants et la enture u primaire. Nous avons effectué les calculs e forces e étente en consiérant ue seuls les aimants pouvaient moifier l état e saturation es matériaux ferromagnétiues composant les ents u primaire. Autrement it, nous n avons pas pris en compte la saturation possible e ces matériaux ferromagnétiues par l apport e champs magnétiues issus es courants. Ainsi, seule la position est nécessaire pour calculer la valeur e la force e étente. Une étue plus avancée es forces e étente pourrait intégrer l influence es courants ans le calcul es forces e étente, mais elle ferait l objet un travail e recherche à part entière pour un octorant. 2.4 Conclusion sur la moélisation Nous avons montré ans ce chapitre ue le moèl e au premier harmoniue un moteur linéaire synchrone à aimants permanents pouvait être enrichi par la prise en compte es phénomènes suivants : Les harmoniues e forces électromotrices principalement e rang 5 et 7, ui peuvent inuire jusu à 8% onulation e la force e poussée ans toutes les plages e fonctionnement u moteur. Les saturations es inuctances, ui engenrent es hausses e courant jusu à 8 fois la valeur en régime linéaire, mais ui iminuent peu la force e poussée : les fortes valeurs e courants, en réuisant simultanément les inuctances et l amplitue es forces électromotrices en charge, atténuent leur impact sur la force e poussée. Ces phénomènes ne sont préponérants u en régime impulsionnel, lors e phases e forte accélération et écélération u moteur linéaire. La saturation introuit un comportement comparable au cas machine électriue à pôle saillants ui se trau it sous la forme harmoniue e force e rang 2, 4, etc. Les forces e étente, ui sont composées e forces extrémités et e forces e cogging amplitue maximale e 5N avec es harmoniues e rang 2, 4 et 12, 24 respectivement pour ces eux phénomènes. Ces forces parasites sont surtout perceptibles à basse vitesse. La Figure 112 montre e façon ualitative, l influence es ivers phénomènes sur la génération es onulations e la force e poussée : Accélération L Saturé P Max T Détente H Fem Vitesse Figure 112 : Zone e préominance es ifférents phénomènes sur l amplitue es onulations e force e poussée En régime nominal e vitesse : le phénomène le plus préponérant correspon onc aux harmoniues e forces électromotrices, ui peuvent inuire jusu à 8% onulation e la force e poussée. 95

98 Finalement, la Figure 113 présente le moèle étaillé e ce moteur linéaire se représente sous la forme u GIC. L analyse e ce moèle est ici facilitée : en effet, les phénomènes moélisés interviennent sous la forme e couplage, et sont parfaitement localisés sur ce schéma (processeurs 2, 4, 6 et 11). Cela va permettre e mieux les prenre en compte ans la commane. e abc 5 v V abc φ abc / i eabc i abc V 1 Labc 2 φ abc / x 6 4 Tem x T r 7 T mot 8 v 9 x Vabc 3 iabc T et Ts + T f 1 v 11 Moèle électriue : Moèle mécaniue : 1 VLabc = Vabc eabc iabc 7 Tmot = Tem Tr Ts Tf Tet (, ) φabc iabc x iabc 2 = VLabc 8 M v = Tmot iabc t t x 3 Vabc = iabc 8 = v t φk ( ik, x) 4 Tem = ik 11 Tet = Tˆ ˆ cog cos(12 Np x) + Text cos(2 Np x) k= abc,, x ( i x) φ 5 eabc = v x abc abc, Ts + fv v, si v > 1 Ts + Tf = Ts + fv v, si v < ( i, x ) ( i, x ) ( i, x ) ( i, x ) φabc abc φabc abc φ φ 6 =, et = i i x abc abc abc abc abc abc x= cst iabc = cst Figure 113 : eprésentation en GIC u moèle e PMSLM avec la force e étente La moélisation avancée u moteur linéaire LMD1-5 ui a été présentée ans ce chapitre montre bien la complexité ans la génération e la force e poussée, tant il y a e phénomènes perturbateurs ui viennent introuire es onulations e force, ui evront par la suite être compensés par la commane pour garantir un bon contrôle en force. La uestion ui se pose alors est la suivante : uelles techniues e commane permettent e parfaitement compenser ces onulations et e garantir un contrôle parfait e la force e poussée? Le Graphe Informationnel Causal permettra ici apporter es éléments e réponse importants à cette uestion. x 96

99 Chapitre III Commane optimisée un moteur linéaire synchrone 3.1 Introuction Pour la commane en force un moteur linéaire synchrone à aimants permanents, il existe aujour hui e nombreuses stratégies [GIEAS 1999] 25 : Commanes scalaires basées sur la moification e l amplitue e la graneur à contrôler. Cette techniue est utilisée majoritairement en boucle ouverte, mais aussi en boucle fermée pour la commane en vitesse en maintenant le rapport V/f constant. Commanes vectorielles ui régulent l amplitue et la phase es vecteurs e la graneur à contrôler. La structure e commane se place généralement ans un référentiel particulier 26 pour effectuer un écouplage u flux et e la force e poussée e la machine. Ces eux techniues utilisent en fait es structures e commane figées et basées sur es paramètres constants. Lorsue les performances e ces commanes ne suffisent plus pour commaner les moèles retenus, la structure e commane est alors complexifiée : Commane auto-aaptative, ui réajuste les paramètres e la commane suite à es variations e paramètres u moteur. Commane par moe glissant, ui réalise une commutation entre plusieurs structures e commane. Le système est guié sur une trajectoire e référence par es commutations successives. La commane est alors insensible aux variations e paramètres et e charges. Commane par réseau e neurones ou par logiue floue, ans les cas où l expression mathématiue u moèle n est pas ou est ifficilement aborable par les techniues classiues ientification. En élargissant notre recherche aux structures globales e commane es machines synchrones, il ressort ue les commanes ites à «boucles imbriuées 27» sont inustriellement les plus utilisées [GOß 21]. Elles comportent majoritairement es régulateurs e type PI ou PID 28. Ceux-ci sont faciles à mettre à œuvre et les techniues e réglage sont aujour hui largement iffusées ans la li ttérature. Toutefois, pour réponre à es cahiers es charges e plus en plus contraignants, e nombreuses applications reuièrent es structures e commane plus sophistiuées. Deux visions s affrontent ainsi : La commane issue un moèle e comportement (moèle e type boîte noire), ui se caractérise souvent par es régulateurs orre très élevé (par exemple pour la commane robuste en H ). La commane issue un moèle e connaissance, ui provient e l inversion un moèle basé sur la représentation es propriétés physiues es ifférents constituants u système. Cette commane nécessite un moèle physiue le plus proche possible e la réalité. La synthèse e la structure e commane est alors facilitée par l utilisation e formalisme graphiue (GIC, EM 29, Bon-Graph, etc.). 25 Cet ouvrage regroupe 151 références bibliographiues, non rappelées ici, afin e ne pas alourir nos propos. 26 epère e Park, Concoria, etc., 27 Les commanes imbriuées sont aussi connues sous le nom e commane à boucles en cascae 28 PI : Correcteur à action Proportionnelle Intégrale, PID : Correcteur à action P Intégrale Dérivée 29 EM : eprésentation Energétiue Macroscopiue 97

100 Quel type e commane choisir? Dans les précéents chapitres, nous avons présenté un moèle e connaissance un moteur linéaire synchrone ui tient compte e plusieurs phénomènes électriues et magnétiues. Notre émarche est onc obtenir une architecture e commane aaptée à notre moèle, en utilisant le formalisme u Graphe Informationnel Causal et son principe inversion pour établir les structures e commanes aaptées. Quelles applications? Principalement le omaine es machines e prouction (machine-outil, robotiue, etc. ), où la précision es asservissements conitionne la ualité et la précision u positionnement u système. Pour ces systèmes, il est onc nécessaire e maintenir es erreurs ynamiues en accélération, vitesse et position ui soient les plus petites possibles. L environnement (humiité et température constantes) et les constituants u système sont complètement éterminés ; l approche éterministe, nécessaire pour obtenir un moèle e connaissance, est alors entièrement justifiée. Quels objectifs? Pour optimiser la force e poussée un moteur linéaire, ifférentes architectures e commane sont étuiées à partir es principes inversion u GIC. Tout abor, à partir u moèl e au premier harmoniue un moteur linéaire, nous comparons ifférents types e commanes en Boucles Fermées. Puis, en se basant sur les moèles obtenus ans la moélisation es précéents chapitres et plus particulièrement sur les ifférents phénomènes électriues et magnétiues ui génèrent es onulations perturbatrices sur la force e poussée, nous cherchons à affiner la commane en poussée par ifférentes techniues e commane. Nous précisons les techniues e réglage et montrons alors les avantages et les limites e ces ifférentes commanes. Enfin, nous présentons la commane en Boucle «Non-Fermée» et plus particulièrement les problèmes engenrés par la génération es graneurs e référence ans le cas une commane par la ième n érivée e la graneur e référence. Plusieurs solutions sont alors proposées. 98

101 3.2 Structure e commane par inversion u Graphe Informationnel Causal Le laboratoire L2EP e Lille éveloppe, epuis les années 199, un formalisme pour la moélisation et la commane es systèmes basé sur la compréhension es échanges énergie, et plus particulièrement sur le respect u principe e causalité. Cette vision se retrouve naturellement en commane : «Puisue l on connaît la cause, il suffit onc e créer la bonne cause pour avoir le bon effet» [HAUTIE 1999 (1)]. Ainsi, uelle ue soit la forme ue peut prenre la commane un système (algorithme continu, échantillonné, etc.), elle est la recherche implicite un moèle inverse u processus à conuire. Le formalisme u Graphe Informationnel Causal repose sur les concepts suivants. L'organisation e la structure e commane est éuite e façon systématiue à partir un concept 'inversion. Contrairement aux processeurs instantanés, les processeurs causaux sont épenants u temps (c'est-à-ire e leur état à l instant précéent), il est onc naturel ue leurs inversions obéissent à es lois ifférentes. Il est possible 'inverser irectement une relation instantanée (permutation), Figure 114.a y = ( u), c ureg = C( yref ), E Si u = ureg et C =, alors y = yref Où C correspon à une fonction atemporelle ui représente l inverse e la fonction atemporelle bijective ou surjective 3. u y u y u EG c y EF u EG c ( a ) ( b ) y EF Figure 114 : Principes 'inversion inirecte u Graphe Informationnel Causal (GIC) (a) relation rigie (b) relation causale L'inversion 'un processeur causal nécessite une inversion inirecte (asservissement), Figure 114.b. y = ( u), c ureg = C( yref y), E. 129 Si u = ureg et C, alors y yref Où C correspon à une fo nction e correction ont la structure est choisie à partir u cahier es charges u système en Boucle Fermée. On émontre ue ans le cas 'une inversion inirecte, une correction à action proportionnelle e gain élevé suffit à assurer la convergence entre la référence et la mesure 31. Toutefois, la fonction e correction reste u libre choix e l automaticien, et peut prenre e 3 Dans le formalisme lié au principe inversion u GIC, il n y a pas, ans la littérature, à notre connaissance, e éfinition es propriétés mathématiues u processus inversion. Souvent la relation es processeurs rigies est inversée mathématiuement sans tenir compte es conitions unicité e la relation, voir même e la valiité e cette inversion. La formalisation e ces propriétés permettrait pourtant ouvrir un champ nouveau e recherche en commane sur les egrés e liberté es commanes (par exemple pour justifier graphiuement les cas injection harmoniue e rang 3) 31 Cette remarue n est valable ue pour les systèmes moélisables et stables (LTI à non-minimum e phase) : cela signifie sans zéro instable. 99

102 nombreuses formes telles u un correcteur à action Proportionnelle Intégrale, ou bien u un correcteur résonant, etc. Pour illustrer cette méthoe e génération e structure e commane, la Figure 115 montre une structure e commane u PMLSM éuite e l inversion u moèle par les règles u GIC : Process V abc 1 1 e αβ V αβ 2 V L αβ 3 i αβ x 7 5 v 6 x V αβ 4 i αβ T em V αβ o 4 î αβ V αβef c1 1 c 2 V L αβ EF i αβ EF c3 3 c5 5 T emef V abceg Control e αβ o7 7 o6 6 v x elations u moèle elations e la commane 2 VLαβ = Vαβ eαβ Vαβ c2 V EF = VL EF e V αβ αβ αβ αβ 3 Lαβ ( iαβ) = VLαβ c3 VLα EF= Cα( iαref i α) t = o4 V = i 4 Vαβ αβ iαβ αβ αβ αβ 3 5 Tem ˆ φα φβ = Np φ f iα + i β 2 x x TemEF sin iα EF = 3/2 N ˆ p φ f c5 TemEF cos iβ EF = 3/2 N ˆ p φ f ( θe ) ( θe ) φα 3. ˆ φα 3 = N p φ f sin( θe) = N. ˆ p φ f sin( θe) x 2 6 φβ 3 = N. ˆ φ cos x 2 ( θ ) p f e x 2 o6 φβ 3 = N. ˆ p φ f cos e x 2 φαβ 7 eαβ = v φ o7 e αβ = v x x αβ ( θ ) Figure 115 : GIC e la structure e la commane en force un moteur linéaire L objectif e cette commane est e contrôler la force e poussée T em, en moifiant les tensions alimentation V abc u moteur linéaire. Le moèle GIC u processus étuié contient un processeur causal, ce ui signifie ue, après les principes inversion u GIC, il faura un retour e mesure e cette graneur pour la contrôler (Figure 114.b). Cela revient à ire ue la commane en force e ce moteur linéaire contienra une Boucle Fermée e courant. Pour asseoir notre propos, nous allons maintenant étailler le contenu et le rôle es ifférents processeurs ui composent cette structure e commane. Le processeur o4 est éfini pour compenser la chute e tension e la résistance. Pour obtenir une bonne compensation e cette chute e tension, la valeur e la résistance oit être parfaitement ientifiée. 1

103 Si l on souhaite améliorer le moèle e la résistance, l estimateur o4 peut être aapté pour représenter le comportement thermiue e la résistance. Toutefois, le processeur o4 conservera la même place ans le schéma, comme étant un estimateur e tension e résistance. Ainsi, la lisibilité u schéma restera intuitive. Le processeur c3 contient un correcteur, ui permet classiuement, ans les systèmes asservis, e réuire l erreur entre les références en courant et les courants mesurés. Les processeurs c5 et o7 ne sont pas irectement inclus ans la boucle e courant, représentée par les processeurs 1, 2, 3, c3, c2 et c1. Le processeur c5 correspon alors à un estimateur u processus rigie non-linéaire 5, et il permet e élivrer les courants e référence. Le processeur o7 correspon à l estimateur e force électromotrice 7, et il est nécessaire pour compenser l influence es tensions inuites lors es éplacements. Ce processeur n est pourtant jamais utilisé ans les commanes inustrielles. Les valeurs e Φα/x et e Φβ/x sont préalablement estimées ans le processeur o6. Dans le processeur c5, il y a 4 entrées : iα, iβ, Φα/x et Φβ/x. Mais il n y a u une seule sortie : la force e poussée T em. Le processeur c5 est alors appelé un bloc e stratégie, car il permet e générer les courants e référence à partir e critères ivers et variés : ans la Figure 115, nous avons opté pour un critère e séparation es harmoniues es courants e référence ui permet e réuire les onulations e force inuites par les harmoniues e force électromotrice [ZENG 24]. D autres techniues, telle ue la minimisation es pertes Joule issues es harmoniues e courants, peuvent aussi être envisagées [HANSELMAN 1994]. Cette application u principe inversion u graphe informationnel permet obtenir une structure e commane pour un moteur linéaire. Il est aujour hui amis ue le principe inversion u GIC permet obtenir l architecture maximale e commane 32 [BOUSCAYOL 2]. Pour la techniue par inversion inirecte, nous parlons ici e structure asservissements en boucle fermée, et e commane en cascae. L analyse e ces structures e commane est présentée au paragraphe 3.3. Une autre possibilité est la commane basée sur une référence en érivée n ième e la graneur à contrôler [BAE 24]. Cette commane est classiuement appelée commane en «boucle ouverte». En effet, elle n oblige plus l architecture e commane à isposer e retours asservissement pour contrôler les processus causaux. Par contre, elle oblige à isposer un moèle très précis u système et il faut pouvoir générer la érivée n ième : pour un système simple u 3 ème orre (comme le cas un moteur linéaire synchrone couplé à une masse rigie), cette commane impose e générer la érivée 3 ème e la position, c est-à-ire la érivée e l accélération e référence en tenant compte es ifférents phénomènes électriues et mécaniues u système moélisé. 3.3 Architectures e commane en Boucle Fermée (BF) Architecture e commane maximale Nous éfinissons par structure maximale e commane toute structure e commane ui permet le contrôle e l ensemble es états linéairement inépenants un système. Le principe inversion inirect u GIC est appliué au moèle e PMLSM e la Figure 113. La Figure 116 représente le schéma e la structure maximale e commane ainsi obtenue. 32 En appliuant e façon systématiue le principe inversion à tous les processeurs u moèle, il est alors possible e éfinir une structure maximale e commane. 11

104 Ce type architecture e commane est communément appelé commane par boucles en cascae 33. La Figure 116 montre le principe inversion inirecte u GIC appliué aux processeurs causaux u moèle (3, 3, 9, 11). Celui-ci impose e isposer e capteurs e courant, e vitesse et e position. Trois boucles concentriues sont onc ainsi formées. Les processeurs c3 et c3 contiennent alors es correcteurs à action proportionnelle relatifs à la boucle interne e courant. Le processeur c9 contient un correcteur à action proportionnelle relatif à la boucle e vitesse, et enfin le processeur c11 contient un correcteur à action proportionnelle relatif à la boucle externe e position. La Figure 116 énote l apport e lisibilité u offre le Graphe Informationnel Causal pour ientifier les liens énergétiues ans le processus et les processeurs ui composent les ifférentes boucles imbriuées e la commane. En effet, la structure maximale e commane s établit très rapiement «bulle à bulle» suivant le principe inversion u GIC. V EG V V o 7 e v o 6 k V LEF i c 2 c 3 EF c 5 T EF = i o4 i i EF V 2 4 i V L i i 3 5 T x Control v e i 6 k 7 v Flux axis Thrust axis e V 2 3 i e Process e 7 6 k 5 T T T r 8 T f T mot 1 v 9 v 11 x V L i V i 4 i T T T v EF f x o1 T motef V c8 o 4 i i c9 x v E F c11 x EF c 2 i c 3 EF c 5 T r V EG e V LEF i o 6 k o 7 T EF v Control Figure 116 : Architecture e commane maximale représentée à l aie u GIC 33 Boucles en cascae ou boucles imbriuées 12

105 D autre part, La Figure 116 montre ue les processeurs constituant la chaîne énergétiue irecte (c2, c2, c3, c3, c5, c5, c8, c9, c11) ne sont pas es processeurs estimation ou es observateurs, c'est-à-ire ue la présence e ces processeurs est obligatoire pour générer la graneur e réglage à partir e la graneur e référence. On imagine aisément u un système parfait u point e vue énergétiue (onc sans perte issipative) se commane par une structure e commane où il n y a aucun processeur e couleur violette. Tous les autres processeurs violets e la structure e commane contribuent à compenser les perturbations u processus (par exemple, les chutes e tension es résistances ou encore la présence e frottement ans le système). Les processeurs o4 et o4 corresponent à es estimateurs e tensions e résistance, tels ue : o4 V = est i E. 13 Les processeurs estimation ou observation 34 sont représentés par es processeurs rigies e couleur violette ès lors ue la graneur entrée provient une graneur mesurée. Les autres processeurs e commane sont e couleur bleue. Ainsi, le formalisme u GIC permet e connaître irectement, par le jeu es couleurs, le rôle et l impact es ifférentes graneurs e la commane Analyse e la boucle interne e courant Nous allons étuier systématiuement cette structure maximale e commane e la boucle interne vers la boucle externe. La première étape est onc analyser la boucle interne e courant. Pour ce faire, ans un premier temps, la Figure 116 ne présente ue la partie relative à l axe (aussi appelée axe e poussée) 35, en utilisant le principe inversion u GIC. Trois cas étue sont alors éfinis : e Thrust axis e Thrust axis e Thrust axis V 2 3 V 2 3 V 2 3 V V L 4 i V V L 4 i V V L 4 i V EG V EF c 2 e c 4 V LEF c 3 Cas 1 V V e i 2 L = V i EF Control V EG V c 2 e o 4 V LEF ( ) c 3 i i EF Control V EG c 2 e V LEF c 3 Cas 2 Cas 3 elations u moèle 3 L i = VL 4 V = i t elations u Cas 1 elations u Cas 2 elations u Cas 3 = + + ref c2 Vreg = VLref + e + V c2 Vreg = VLref + e c2 Vreg VLref e V c3 VLref = Ci i( ref i ) c3 VLref = Ci i( ref i ' ) c3 VLref = Ci i ( ref i ) c V 4 ref = iref o4 V = i Figure 117 : 3 types architectures e commane en courant i i EF Control 34 Définition : l observateur est un estimateur asservi [HAUTIE 1999 (1)]. 35 La structure e l axe est ientiue à celle l axe, comme le montre la Figure

106 Les hypothèses suivantes sont retenues : V = V reg, c'est-à-ire ue l onuleur est supposé iéal, sans retar. e = e est, et plus largement V reg e est = V e, la compensation es forces électromotrices est supposée parfaite ans la boucle e vitesse. i mes = i, l angle e calage nécessaire pour réaliser la transformation e Park est supposé parfaitement connu, sinon la valeur e i sera écomposée sur les 2 axes i mes et i mes. De plus, la mesure n a pas e retar et u aucun bruit e mesure n est consiéré. L architecture e commane présentée à la Figure provient irectement es règles inversion u GIC ; à chaue processeur u moèle correspon un processeur e commane. Tous les processeurs sont onc naturellement e couleur bleue. Pour réaliser une compensation e la chute e tension ohmiue V, le processeur 4 est ajouté ans la structure e commane e la Figure et ans celle e la Figure : Dans le cas 1, la valeur e V est issue e la graneur e référence i ref, son évolution est ainsi parfaitement connu, où son nom V ref. Par contre, s il y a une erreur entre le courant e référence et le courant réel, cette erreur est amplifiée par la valeur e la résistance. Dans le cas 2, une autre solution consiste à utiliser la mesure u courant pour estimer e la chute e tension. L objectif est alors être le plus proche possible e la réalité. C est onc une estimation e la tension e référence V est. Le processeur est ainsi e couleur violette, et s appelle o4. Dans le cas u régime établi en courant, ui correspon à i ef = cst, la chute e tension ohmiue est constante et génère une erreur constante sur le courant i. Ainsi, en régime permanent e courant, cette erreur statiue peut se compenser par une action intégrale associée au correcteur à action proportionnelle, Figure Cela signifie ue si l estimation e la chute e tension ohmiue est négligée (processeurs o4 et o4), il faut ajoinre au correcteur P, une action intégrale. Pour les 3 cas étuiés, les relations (2, 3, 4) représentant le processus sont éuivalentes : 1 i = ( V e) E Ls Pour les trois structures e la Figure 117 respectivement, les relations s écrivent : cas 1: ( iref i ) Ci + iref = i ( + Ls ) cas 2: ( iref i ) Ci + i = i ( + L s) E. 132 ' cas 3: ( i ref i ) Ci = i ( + L s) Les 3 fonctions e transfert en boucle fermée es 3 boucles e courant s expriment alors : i Ci + 1 cas 1: = iref Ci + Ls 1+ Ci + i 1 cas 2: = iref Ls E Ci i 1 cas 3: = iref + Ls 1+ ' C i Les correcteurs C i et C i, corresponent respectivement à un correcteur P et à un correcteur PI : 14

107 C (en i = K V/ A) i ' 1+ τ Ls ' is + Ci = K i = K' i τis Ls Le choix u correcteur PI est ici e faire la compensation u pôle électriue avec : E. 134 L τ i =, ( en s) E. 135 Hypothèse : l ientification e et L est parfaite, et l expression ans le cas u correcteur PI peut être simplifiée sous la forme : i 1 cas 1: = iref Ls 1+ Ki + i 1 cas 2: = iref Ls E K i i 1 cas 3: = iref Ls 1+ ' K i Ainsi, même si les ientifications es paramètres e résistance et inuctance sont parfaites, les trois fonctions e transfert n ont pas erreur statiue. Par contre, les trois cas montrent es constantes e temps ifférentes, épenant ans chaue cas es coefficients es correcteurs. Le gain proportionnel u cas 1 et 2 possèe presue le même rôle : Cas 1 : C i = K i - est, alors ue Cas 2, C i = K i. Pour assurer la stabilité, C i est positif (ce ui signifie ue K i > est ). L intérêt u correcteur étant améliorer les performances u système, et plus particulièrement la rapiité e la boucle e courant, il faut onc réuire sa constante e temps. Cela revient à avoir K i = K i > ans l E.136 pour les cas 2 et 3. En pratiue, cela signifie ue si la tension e résistance est anticipée, la valeur u gain nécessaire pour le correcteur sera inférieure à celle es cas non anticipés. L avantage e la solution anticipée sur la réuction e l impact es bruits e mesure ans la commane est évient. Dans la pratiue, la étermination es gains n est possible ue si les limitations physiues u s ystème sont consiérées. Ici, c est la tension u bus continu alimentant l onuleur ui limite la tension alimentation u moteur linéaire. En effet, la tension maximale isponible est e U s pour une commane e type Moulation e Largeur Impulsion (pour une commane e type Pleine-One, cette tension est e 4/π. U s. Toutefois cette techniue est rarement utilisée ans le omaine e la machine e prouction). Cela signifie ue la ynamiue, et onc la bane passante e la boucle e courant, sont limitées par l onuleur. Quel ue soit le type e commane (Cas 1, 2 ou 3), le correcteur ne peut pas emaner plus e tension à l onuleur ue la tension U s. Cela signifie u il existe es valeurs maximums es gains permettant atteinre les limites e saturation e l onuleur (-U s. et +U s ). La étermination es gains est établie en calculant l erreur maximum en courant et en l aaptant à la pleine échelle e l onuleur. L erreur maximale en courant correspon onc à la valeur maximale e réaction en tension sur l onuleur. Dans le cas 1 e la Figure 117, K i <= U s / errmax i, l erreur maximum en courant pour un échelon e courant correspon à la valeur u courant maximum. Pour le LMD1-5, la tension e bus continu est ainsi limitée à 3V : Ki = 3V / 7.9A = Ω. 15

108 Pour le cas 2, K i <= est = Ω : la chute e tension ohmiue n est plus anticipée. Pour le cas 3, K i <= Ω La Figure 118 représente les trois cas avec les réglages e gains optimaux pour éviter la saturation e l onuleur. Les temps e réponse sont rigoureusement ientiues, l élément limitant reste le même ans les trois cas : c'est-à-ire la tension alimentation u bus continu U s. 1 Boucle e courant i 8 i (en A) t (en s) 15 2 x 1-3 Figure 118 : éponse à un échelon e courant i (en simulation) (convention es courbes : éférence en vert, Cas 1 en noir, Cas 2 en rouge, Cas 3 en bleu) La bane passante en boucle fermée est ientiue ans les trois cas : pour le LMD1-5, la constante L / est e 4.9ms. Le temps e réponse en boucle fermée est alors e.52ms, soit une bane passante en courant e 37Hz 36. Pour une erreur estimation (o4) sur la résistance, tel ue est = ε. : i Ki + ε 1 cas 1: = iref Ki + Ls 1+ Ki + i 1 cas 2: = ( 1 ε ) iref + Ls E Ki i 1 cas 3: = iref + Ls Ls 1+ ( 1 ε ) + Ls Ki' Pour le Cas 3, la composante intégrale u correcteur PI permet e compenser l erreur estimation e la résistance : l erreur statiue ten vers. Par contre, pour les cas 1 et 2 pour le correcteur P, il y a une erreur statiue épenante e l erreur ε estimation e la résistance : 36 En pratiue inustriellement, les gains ne sont pas forcément réglés sur la valeur u courant maximum : en effet, la étermination e la bane passante s effectue plutôt avec es courants e uelues µa, les être alors plus élevés, et la bane passante en courant peut ainsi épasser le khz. gains peuvent 16

109 i 1: lim K i + ε cas = s iref Ki + i 1 cas 2: lim = s iref ( 1 ε ) E Ki i cas 3: lim = 1 s iref La Figure 119 montre ue les eux premiers cas conuisent à une erreur statiue sur la valeur atteinte u courant i, alors ue la commane avec un PI converge vers la bonne valeur. 1 Boucle e courant i 8 i (en A) t (en s) x 1-3 Figure 119 : éponse à un échelon e courant i avec 2% erreur estimation e (en simulation) 1 Boucle e courant i 8 i (en A) t (en s) x 1-3 Figure 12 : éponse à un échelon e courant i avec 2% erreur estimation e L (en simulation) La Figure 12 montre la réponse à une erreur estimation e l inuctance L e 2%. Seule la réponse u Cas 3 est perturbée par cette erreur estimation : épassement e la référence mais convergence finale sur la valeur e référence. Par contre, les cas 1 et 2 ne sont pas influencés. Le correcteur PI utilisé permet onc e faire converger la valeur mesurée vers la graneur e référence. Le raisonnement sur l axe et sur l axe est le même, car les 2 axes ont un comportement 17

110 semblable. Cepenant, pour les machines à pôles lisses, l architecture e commane peut être simplifiée en négligeant la composante axe. En effet, pour une machine à pôles lisses, nous avons montré précéemment ue l expression e la force e poussée n était épenante ue u courant axe, et ue L = L. Cela signifie ue théoriuement, le courant i n a aucune importance sur la génération es mouvements u moteur linéaire. L asservissement sur la composante axe n est alors utile ue pour réuire les pertes Joule 37 (sauf si le éfluxage est nécessaire). Le courant i est alors asservi à i ref =. La Figure 121 montre la réponse à un échelon e courant i pour les trois cas étuiés : 1 Boucle e courant i 1 Boucle e courant erreur e i i (en A) 5-5 erreur e i (en A) t (en s) t (en s) Figure 121 : éponse à un échelon e courant i (en simulation) La Figure 122 montre ue si les mêmes valeurs e gain sont appliuées à une référence en trapèze e courant, l erreur en courant i a un épassement inférieur à celui constaté pour une référence en créneau e courant e référence ; par contre, la réponse à une consigne en trapèze est plus lente. 1 Boucle e courant i 1 Boucle e courant erreur e i i (en A) 5-5 erreur e i (en A) t (en s) t (en s) Figure 122 : éponse à un trapèze e courant i (en simulation) Cette remarue rejoint une plus large étue ui a été menée sur l influence e la loi e mouvement [BEAEE 25]. Le respect e la causalité e l inuctance 38 ne permet pas imposer un créneau e courant, puisue la tension aux bornes e l inuctance serait infinie aux instants e commutation. Il est onc nécessaire aoucir ces commutations en courant. D autre part, le courant et l accélération étant reliés par une relation rigie, maîtriser la pente u courant revient à maitriser la pente en accélération (ui est aussi appelée jerk). Finalement, le réglage es gains e la boucle e courant peut s optimiser pour chaue type e loi e mouvement ui sera appliué à la boucle e courant. 37 Cela permet aussi e façon inirecte e s assurer ue e l alignement entre le vecteur e tension inuite et le vecteur e courant (pas e perte e force inutile liée au cosinus) 38 Pour une inuctance, la causalité se trauit par : le courant est la conséuence es évolutions temporelles e la tension. Le courant est onc la sortie u processeur causale représentant une inuctance. 18

111 3.3.3 Analyse es boucles e vitesse et position En utilisant le principe inversion u GIC, trois cas étue sont également éfinis pour les boucles e vitesse et position, Figure 123 : k T mot 9 v 11 x Cas 1 x i T Thrust axis Thrust Control T f T r T fef 1 c1 v v ffef fef v x i EG k c 5 T r T motef v EF c8 8 c9 9 c11 T EF x EF v ffef k T mot 9 v 11 x Cas 2 x i T Thrust axis T r Thrust Control T f T f 1 o1 v v x i EG c 5 T r T motef v EF c8 8 c9 9 c11 T EF x EF k Cas 3 x i EG i k 5 T Thrust axis Thrust Control k c 5 T EF T r 8 8 T f T mot 1 9 v v v 11 T r T motef v EF c8 8 c9 9 c11 Figure 123 : 3 cas architectures e commane en boucle fermée e vitesse et e position Pour la suite es calculs, l hypothèse ue la machine est consiérée à pôles lisses avec L = L est conservée. Ainsi, le courant i n a pas influence sur la force e poussée T em. L asservissement u courant axe est consiéré comme parfait et i =. Ainsi, T = et par suite T em = T. Pour simplifier les calculs, e nouvelles hypothèses sont aoptées : La réponse e la boucle e courant est beaucoup plus rapie ue la réponse e la boucle e vitesse (bane passante e 3Hz en courant et 33Hz en vitesse), ce ui signifie ue pour l étue e la fonction e transfert e v mes / v ref, la boucle e courant est parfaite : i = i EG ; L ientification u coefficient e force k est parfaite : k est = k ; La compensation es forces électromotrices est parfaite : e est = e. x x x EF 19

112 La Figure 123 présente trois cas : Dans le cas 1, cette architecture e commane provient irectement es règles inversion u GIC, à chaue processeur u moèle correspon un processeur e commane. Tous les processeurs sont onc naturellement e couleur bleue. Par contre, pour la boucle e vitesse, v EF n est pas utilisé comme graneur e référence pour la compensation es frottements visueux (processeur c1). En effet, la graneur v EF est issue un correcteur (processeur c11) et onc v EF = C (x EF x mes ). Or la graneur physiue e la vitesse est v ffef = (x EF ) / t. Ainsi, v EF ne correspon pas à une graneur relative à un comportement physiue ; elle représente plutôt une graneur asservissement permettant à x mes e converger vers x EF. L appellation v ffef e la vitesse e référence provient u terme anglo-saxon «Feeforwar», ou en français, «anticipation». Dans le cas 2, s il y a une erreur entre la vitesse e référence et la vitesse réelle, celle-ci est amplifiée par le coefficient e frottement visueux. Une solution consiste à utiliser la mesure e la vitesse pour estimer les forces e frottements visueux au plus près e la réalité. L estimation e ces forces est notée T fest. Le processeur est alors e couleur violette, et s appelle o1. Même si la commane est composée estimateurs, le chemin causal entre la graneur e référence x EF et la graneur e commane v EG reste uniuement composé e processeurs e couleur bleue. Dans le cas 3, pour un régime établi en vitesse, tel ue v = cst, les frottements visueux sont constants et génèrent une erreur constante sur la vitesse v. Ainsi, en régime permanent e vitesse, cette erreur statiue peut se compenser par une action intégrale associée au correcteur proportionnel. Cela signifie ue si l estimation es frottements visueux (processeur o1) est négligée, une composante intégrale oit être ajoutée au correcteur à action proportionnelle (processeur c9). Tous les processeurs estimation (o4, o7, o1) étant négligés, la structure e commane est uniuement composée e processeurs e couleur bleue : c est le chemin causal. Cette structure peut être appelée structure minimale e commane 39. L existence e la boucle e position est négligée ans un premier temps, et il ne reste alors ue la boucle e vitesse. Cela se trauit sur la Figure 123 par v ffef = v EF. La commane s apparente ainsi à une commane en vitesse. L objectif est e éterminer la fonction e transfert entre la vitesse e référence v ref et la vitesse u moteur linéaire v mes. Dans chacun es trois cas e la Figure 123, les fonctions e transfert e boucle e vitesse s expriment comme : 1 cas 1: ireg = ( vref v) Cv + f vref k 1 cas 2: ireg = ( vref v) Cv + f v k E cas 3: i ' reg = ( vref v) C v k Dans les trois cas, les éuations u moèle (processeurs 5, 8, 9, 1) sont ientiues et l expression e la vitesse s écrit : 39 Si les processeurs c5, c8 et c9 sont concaténés en un seul processeur, la visibilité u GIC est alors compromise (le contenu es processeurs evient illisible). 11

113 v = k i f + Ms E. 14 Les éuations e la boucle e vitesse se simplifient en : C 1: v + f Cv f + Ms cas vref = v + k k k C 2: v Cv f f + Ms cas vref = v + k k k E. 141 ' ' C 3: v Cv f Ms + cas vref = v + k k k Les fonctions e transfert en boucle fermée s expriment telles ue : v C 1 1: v + f cas = ref v Ms v C + f 1+ Cv + f v 1 cas 2: = vref Ms E Cv v 1 cas 3: = vref f + Ms 1+ ' Cv En éveloppant l expression u correcteur P (cas 1 et 2) et celle u correcteur PI (cas 3) : Cv = Kp ' 1+ τ ' ms f + Ms E. 143 Cv = K p = K' p τms Ms Un choix classiue pour le correcteur PI est e faire la compensation u pôle mécaniue avec : M τ m = E. 144 f Hypothèse : les ientifications e la masse M et u coefficient e frottement visueux f sont parfaites. Ainsi, en remplaçant les expressions es correcteurs : v 1 cas 1: = vref Ms 1+ Kp + f v 1 cas 2: = vref Ms 1+ E. 145 K p v 1 cas 3: = vref Ms 1+ ' K p Les ientifications e M et f étant parfaites, les trois fonctions e transfert n ont pas erreur statiue. Par contre, les trois cas montrent es constantes e temps ifférentes, épenant ans chaue cas es coefficients es correcteurs. Les gains proportionnels u cas 1 et 2 ont presue le même rôle : Cas 1 : C v = K p - f est, alors ue Cas 2, C v = K p. Pour assurer la stabilité, C v est positif (ce ui signifie ue K p > f est ). L intérêt u correcteur étant améliorer les performances u système, et plus particulièrement 111

114 la rapiité e la boucle e vitesse, il faut onc réuire sa constante e temps : soit K p = K p > f est ans l E. 145 pour les cas 2 et 3. En pratiue, cela signifie ue si la force e frottement visueux est ant icipée, la valeur u gain nécessaire pour le correcteur e vitesse est inférieure à celle es cas non anticipés. L avantage e la solution anticipée sur la réuction e l impact es bruits e mesure ans la commane est évient. Pour effectuer le réglage u gain K p, la consigne est ici un trapèze e vitesse, c'est-à-ire un «bang-bang» en accélération : 1 Boucle e courant i 2.5 Boucle e vitesse v 5 2 i (en A) m/s) v (en t (en s) Boucle e courant erreur e i t (en s) Boucle e vitesse erreur e v 1 erreur e i (en A) erreur e v (en m/s) t (en s) t (en s) Figure 124 : éponses en courant et vitesse à un trapèze e vitesse (en simulation) La Figure 124 montre ue l erreur e la boucle e vitesse est maximale lorsue la vitesse et l accélération sont maximales. En effet, l erreur e traînage est maximale à cet instant, ainsi ue la valeur u courant i. Cet instant va servir à établir la valeur maximale u gain e la boucle e vitesse. L erreur e vitesse s écrit ans le omaine e Laplace : s ε () s = vref v = v ref K p E s M L erreur maximale e la vitesse pour une consigne en rampe s obtient à l instant T = v max / a max : K p T εmax () t = ε( T) = amax (1 e M ) E. 147 La valeur littérale u gain K p maximal, pour ne pas épasser la limite en courant i est onc : K p εmax imax, soit Kp imax M k E. 148 k Dans les trois cas étuiés, nous obtenons une bane passante ientiue à -3B e 33Hz pour la fonction e transfert v m /v ref. S il existe une erreur estimation (ans o4) sur le coefficient e frottement visueux, telle ue f est = ε. f, les éuations eviennent alors : 112

115 v Kp + ε f 1 cas 1: = vref Kp + f Ms 1+ Kp + f v 1 cas 2: = vref (1 ε) f + Ms E K p v 1 cas 3: = vref f + Ms Ms 1+ ε f + Ms ' Kps Dans le cas u correcteur PI, la composante intégrale permet e compenser l erreur estimation es frottements : l erreur statiue ten vers. Par contre, ce n est pas le cas pour le correcteur P, ont l erreur statiue est épenante e l erreur ε estimation es frottements : v Kp + ε f cas 1: lim = s vref Kp + f v 1 cas 2: lim = s vref ( 1 ε ) f E K p v cas 3: lim = 1 s vref La boucle e courant est supposée parfaite et a onc une réponse instantanée, ce ui signifie u énergétiuement parlant, la boucle e vitesse peut isposer une bane passante e 33Hz en vitesse. Or, la boucle e courant a une bane passante e 35Hz, elle ne peut onc pas être négligée. En conservant les valeurs e gains précéemment établies, le iagramme e Boe en Boucle Fermée e la fonction e transfert v m /v ref se présente ainsi : Boe Diagram Magni tue (B) ; Phas e (eg) Freuency (Hz) Figure 125 : Boe e la FTBF v m/v ref ans les 3 cas avec la boucle e courant (en simulation) 113

116 Dans un euxième temps, la boucle e position est consiérée 4. Sur la Figure 123, v ffef = v EF. La commane s apparente alors à une commane en position. Il faut alors éterminer la fonction e transfert entre la position e référence x ref et la position u moteur linéaire x mes. Dans chacun es trois cas e la Figure 123, les fonctions e transfert e la partie commane en fonction e la vitesse s écrivent : 1 cas 1: ireg = ( vref v) Cv + f vffref k 1 cas 2: ireg = ( vref v) Cv + f v k E cas 3: i ' reg = ( vref v) C v k Dans les trois cas, les éuations u moèle (processeurs 11) sont ientiues et l expression e la position s écrit : v x = E. 152 s Dans les trois cas précéemment étuiés e la Figure 123, un correcteur à action proportionnelle suffit à corriger la boucle e position. xref x Cp = vref E. 153 ( ) Les fonctions e transfert e la partie commane en fonction e la position eviennent : 1 cas 1: i reg (( xref x = ) Cp s x) Cv + f s x ref k 1 cas 2: i reg (( xref x = ) Cp s x) Cv + f s x k E cas 3: i reg (( x x ' = ref ) Cp s x) C v k L expression u correcteur P (c11) e la boucle e position est : C = K E. 155 Les fonctions e transfert en boucle fermée s expriment alors : f s 1+ x Kv Kp cas 1: = xref ( f + K ) 2 p s M s 1+ + Kv Kp Kv Kp x 1 cas 2: = x 2 ref s M s 1+ + Kv Kv Kp x 1 cas 3: = x 2 ref s M s 1+ + K ' v Kv Kp Dans les trois cas, l erreur statiue ten vers : p v E Pour simplifier les calculs ans un premier temps, l hypothèse suivante est retenue : la boucle e courant est plus rapie ue la boucle e position, telle ue i = i ref. 114

117 x lim = 1 s xref E. 157 Il a été émontré ans ce éveloppement ue les processus estimation o4, o6, o7, o1, sont compensables par le remplacement e correcteurs P par es correcteurs PI. Cette étue montre onc ue la solution avec correcteurs PI onne e bons résultats en régime permanent. Plus précisément, cela se vérifie lorsue la commane a le temps e faire converger la mesure vers la référence, c'est-à-ire lorsue les boucles sont issociées en termes e bane passante, sinon les erreurs une boucle se répercutent sur la boucle suivante, ce ui constitue un risue instabilité. Une autre remarue importante concerne la techniue e réglage es gains présentée ici. En effet, les valeurs es gains sont ici fortement liées à la loi e mouvement onnée en consigne. Pour un courant maximum, une istance maximale et pour un profil e référence, il est possible e éterminer les valeurs es gains ui permettront à la commane utiliser au maximum les performances u moteur linéaire sans atteinre ses saturations (courant maximum et tension maximale fournie par l onuleur) Architectures e commane inustrielle Il est intéressant e comparer les architectures théoriues présentées précéemment avec celles existantes ans l inustrie. En effet, il existe principalement eux grans types architecture inustrielle pour la commane es moteurs linéaires synchrones : Commane par boucles en cascae, Figure 126 et Figure 133 (Siemens, Num-Schneier) ; Commane ui s apparente à une commane par retour état, Figure 135 (ETEL). L objectif es paragraphes suivants est e montrer comment ces architectures e commane écoulent e la structure e commane présentée à l aie u formalisme GIC Commane par boucles en cascae La structure inustrielle es asservissements en courant, vitesse et position est réalisée par es boucles en cascae (Figure 126) étaillées notamment ans [GOß 21]. Les boucles e courant et e vitesse sont régulées par es correcteurs proportionnel-intégral (PI), et la boucle e position est régulée par un gain proportionnel (P). Chaue boucle est limitée par une constante e temps issue u processus physiue, la ynamiue e la boucle e courant sera onc plus rapie ue celle e la boucle e position (environ 3Hz e bane passante en courant, contre environ 1Hz pour la bane passante en position). La structure e commane en boucles imbriuées est largement utilisée ans les variateurs pour ces nombreux avantages. Elle est simple à implanter et les techniues e réglage sont largement connues. D autre part, les non-linéarités et les perturbations sont compensées ans les boucles internes : une force perturbatrice peut être compensée ans la boucle e courant, et les non-linéarités liées aux frottements peuvent être compensées ans la boucle e vitesse. Ainsi, en limitant l impact e ces phénomènes, l asservissement en position peut alors travailler sur un système linéaire, et permettre obtenir e bons résultats [GOß 21]. 115

118 Figure 126 : Architecture e commane numériue e Num - Schneier Electric [BLOCH 2] Toutefois, la structure à boucle fermée en cascae (Figure 126) impose une ynamiue ensemble moins rapie u une structure en boucle non-fermée, mais ui est compensable par es anticipations. La structure e commane e la Figure 126 repren les mêmes fonctionnalités ue la commane éfinie à l aie u formalisme GIC sur la Figure 116. La Figure 127 présente une boucle e courant contenant es mesures es courants i et i, eux correcteurs PI contenus ans les processeurs c3 et c3. Toutefois, il n y a pas e compensations es chutes e tension es résistances (processeurs c4 et c4). La Figure 128 montre la boucle e vitesse contenant une mesure e vitesse et le correcteur PI (processeur c9). Il n y a pas e compensation es forces e frottements c1 ni e compensation es forces électromotrices c7 et c7. 116

119 o 7 e v o 6 k V EG V LEF i c 2 c 3 EF c 5 T EF = V i o4 i i EF x i 4 V i V V L i T Control v e i 6 k 7 v Flux axis Thrust axis e V 2 3 i e Process e 7 6 k 5 T T T r 8 T f T mot v 1 9 v 11 x V V L 4 i i x i T T T EF f o1 v x T motef V c8 c9 o 4 i i v EF c11 x EF c 2 i c 3 EF c 5 T r V EG e V LEF i o 6 o 7 k T EF v Control Figure 127 : Comparaison e la boucle e courant es structures inustrielle et GIC o 7 e v o 6 k V EG V LEF i c 2 c 3 EF c 5 T EF = V i o4 i i EF x i 4 V i V V L i T Control v e i 6 k 7 v Flux axis Thrust axis e V 2 3 i e Process e 6 7 k 5 T T T r 8 T f T mot v 1 9 v 11 x V V L 4 i i x i T T T EF f o1 v x T motef V c8 c9 o 4 i i v EF c11 x EF V EG i c 2 c 3 EF c 5 V LEF i e o 6 k o7 v T r T EF Control Figure 128 : Comparaison e la boucle e vitesse es structures inustrielle et GIC 117

120 La Figure 129 montre ue la boucle e position contient une mesure e position et un correcteur à action proportionnelle (processeur c11). La graneur e référence e ces structures e commane est bien la position e référence. o 7 e v o 6 k V EG V L EF i c 2 c 3 EF c 5 T EF = V i o4 i i EF x i 4 V i V V L i T Control v e i 6 k 7 v Flux axis Thrust axis e V 2 3 i e Process e 6 7 k 5 T T T r T mot 8 T f 1 v 9 v 11 x V V L 4 i i x i T T T EF f o1 v x T motef V c8 c9 o 4 i i v EF c11 x EF V EG i c 2 c 3 EF c 5 V LEF i e o 6 k o7 v T r T EF Control Figure 129 : Comparaison e la boucle e position es structures inustrielle et GIC La Figure 13 présente la structure e commane en GIC après ces simplifications. Cette représentation en GIC e la structure e commane inustrielle ne contient plus ue les processeurs e la chaîne irecte (en bleu clair avec les processeurs c2, c2, c3, c3, c5, c5, c8, c9 et c11). Il n y a plus e compensation autre ue celle apportée par les correcteurs PI, PI et P. Ainsi, le correcteur PI e la boucle e vitesse oit permettre e compenser les forces e frottement et la force électromotrice et assurer une bonne ynamiue e la boucle e vitesse (compensation u pôle mécaniue par son action intégrale). V e 2 3 e k v T cog 8 12 T mot 9 v 11 x V V L 4 i x i T Thrust axis T r T f 1 x v V EG c2 V LEF i Thrust Control i c3 EF c5 k T EF T r T motef v EF c8 c9 c11 Figure 13 : Structure e commane simplifiée en GIC éuivalant à la structure inustrielle v x x EF 118

121 Dans les architectures e commane inustrielles, la notation et l unité u correcteur e vitesse iffère e celle u système MKSA 41, et a pour unité : K p en A/m/min (soit en A.min/m) [GOβ 21]. Dans le omaine MKSA, la conversion suivante s établit : Kp( As. / m) = 6 Kp( A.min/ m) E. 158 La notation u correcteur e position a pour unité : K v en m/min/mm (soit en m/(min.mm) ) [GOβ 21]. Cela nous onne la conversion suivante ans le omaine MKSA : 1 1 Kv( s ) = Kv( m/min. mm) E Dans les architectures e commane inustrielles, il y a fréuemment es entrées supplémentaires e commane, appelées anticipations, ui agissent irectement à l intérieur e la boucle e vitesse [BLOCH 2]. La Figure 131 montre la représentation sous forme e Graphe Informationnel Causal e la structure e commane en boucle en cascae avec une anticipation en vitesse et en accélération : V EG V L EF i c 2 c 3 EF c 5 i i i EF k T EF = Control V V 2 4 V L i 3 i x i 5 T 6 e i Flux axis Thrust axis e V 2 3 V L V 4 i i i c 2 c 3 EF c 5 V EG V LEF e Process i e 6 i i x i k 7 v T T r T mot 8 8 T T f T cog 12 v 7 k 5 T T EF k T motef c8 8 c9 9 T r T c 85 EF x 9 11 v 1 x v x v EF c11 x EF v ffef Control a ffef Figure 131 : eprésentation en GIC e la structure en boucle en cascae avec anticipation en vitesse 41 Inustriellement, le gain en vitesse s écrit bien K p et celui en position s écrit bien K v. 119

122 L anticipation en accélération se trauit par l ajout un processeur c85 ui contient la relation suivante : c85 TffEF = M a ffef E. 16 La Figure 123 est comparable à la Figure 131, où les éuations suivantes : 1 iref = ( vref v) Cv k 1 i ref = ( vref v + vffref ) Cv + M affref k Avec, pour la boucle e vitesse, un correcteur PI : 1+ τms f + Ms Cv = Kp = Kp τms Ms Dans les 2 cas étuiés, pour simplifier les calculs, les boucles e courant sont négligées : i = iref L expression e la partie mécaniue u système est alors : k i v = f + Ms La boucle e position est contrôlée par un correcteur proportionnel C p = K v : x x C = v ( ) ref p ref E. 161 E. 162 E. 163 E. 164 E. 165 Ces éuations sont utilisées pour obtenir la relation suivante : x 1 = xref s M s² 1+ + Kv KvKp s M E s x K + v f = xref 1 M M s² s + Kv f KK v p Dans les 2 cas, pour les mêmes valeurs e gain, la mesure ten vers sa référence. Par contre, pour le régime transitoire, les anticipations permettent une convergence plus rapie, et onc une erreur ynamiue plus faible : 12

123 .25 Boucle e position x.25 Boucle e position x.2.2 x (en m).15.1 x (en m) t (en s) Boucle e vitesse v t (en s) Boucle e vitesse v v ( en m/s) m/s) v (en t (en s) Boucle e courant i t (en s) Boucle e courant i i (en A) -5 i (en A) t (en s) t (en s) Figure 132 : Asservissement en position sans anticipation et avec anticipation (en simulation) En effet, ans les architectures actuelles e commane numériue, une anticipation en vitesse et/ou en accélération agit en tant ue consigne aitionnelle sur la boucle e vitesse et sur la boucle e courant respectivement (Figure 133). Cela s appelle une anticipation totale ou partielle, suivant ue ces anticipations sont moulées ou non en amplitue. L objectif e l anticipation en vitesse est e compenser le retar e la mesure e vitesse ans la structure asservissement [BEAEE 25]. Le réglage e l anticipation en accélération a pour but e compenser le moe rigie lié à la masse à éplacer (E.16) [ZHAO 24]. 121

124 CNC rive moule velocity fee forwar rive bus motor an measurement system interpolation position controller velocity controller current controller commutation power stage PMLSM positions comman velocity comman velocity calculation actual current value actual position value motor encoer interface linear scale Figure 133 : Architecture e commane numériue e Siemens [GOß 21] L origine e l anticipation ans sa forme graphiue (Figure 131) n est pas expliuée ici : seule une rupture e la symétrie entre le moèle et la commane est constatable. Toutefois ans l E.16, l anticipation en accélération est en fait une anticipation en courant éguisée, puisue les relations c5, c8 et c85 sont rigies : if fef = k TffEF = k M a ffef E. 167 Ainsi, toutes les anticipations présentées interviennent irectement sur les processeurs causaux, onc irectement au niveau es ifférents états inépenants u système. Une tentative e réponse serait alors e consiérer l ajout une entrée anticipation ans la structure e commane comme une tentative ouvrir les boucles imbriuées : cette structure e la commane se rapproche alors e celle une commane par retour état Commane par retour état Définition : nous ésignons par «commane par retour état» une commane ui utilise l ensemble es graneurs état ui composent le système. Ce sont les mesures isponibles, mais aussi toutes les variables régissant le comportement ynamiue u système (les variables état). Bien éviemment, la commane par boucles imbriuées peut être consiérée comme une forme e commane par retour état. Le formalisme GIC et celui à retour état ont les mêmes critères pour la commanabilité et l observabilité e cette structure e commane. En effet, l inversion es processeurs, respectivement B et C en B -1 et C -1, ne peut se faire ue sous certaines conitions [GANJON 21] : Critère e Kalman e c ommanabilité : Un système est complètement accessible et complètement commanable si et seulement si les vecteurs (B), [A](B), [A]²(B),, [A] n-1 (B) sont linéairement inépenants. Critère observabilité : Un système est complètement observable si et seulement si les vecteurs lignes (C), (C)[A], (C)[A]²,, (C)[A] n-1 sont linéairement inépenants. 122

125 U B X X C Y A D Process Control Dest Aest U reg 1 B X ref K X ref 1 C Yref elations u moèle X = A X + B U elations e la commane ( ref est ref ) 1 Ureg = B X A X X t = X X ref = K ( Xref X mes ) 1 = + Xref = C ( Y D) Y C X D Figure 134 : eprésentation en GIC e la structure e commane par retour état Ainsi, les matrices inverses B -1 et C -1 ne peuvent être éfinies inépenamment e la matrice A. La représentation sous la forme un Graphe Informationnel Causal permet e sciner les matrices A et B. Toutefois, c est bien la paire [A], (B) ui est commanable. Il n est pas nécessaire aller plus en profoneur ans cette étue, car elle rejoinrait les enseignements classiues sur les structures e commane par retour état [GANJON 21]. La Figure 135 présente la structure e commane par retour état choisie par la société ETEL [ETEL 25]. Il est à noter la présence étonnante e correcteur à action Proportionnelle Intégrale ans la boucle e courant, alors ue les courants sont régulés ans le repère naturel (a,b,c) et non e Park (,). Cela signifie ue les courants sont sinusoïaux et onc u il y aura forcément une mauvaise réjection e la perturbation associée à la fem [BAE 21]. Etel a précisé ue ne serait plus le cas ans la prochaine gamme e variateur. 123

126 Figure 135 : Architecture e commane numériue u DSC2P ETEL A partir e la commane par boucles imbriuées (Figure 116), nous pouvons éuire la commane utilisant la représentation usuelle ans l espace état (Figure 136). Cette figure présente la structure e commane en position par retour état sous forme e Graphe Informationnel Causal. Plus exactement, cela se rapproche un régulateur état pour la boucle e position. La boucle e courant reste inchangée par rapport à la structure e commane e la Figure 116. V 4 i V 2 V L 3 i 5 T e i 6 7 k v Flux axis e T T r 8 T mot 9 11 x Thrust axis i Process e 7 T v T f T cog 12 1 x v V e k 5 V V L 4 i x i Control T v o11 x V o4 i o5 K 3 K 2 V EG c2 V LEF c3 i EF c8 K 1 K 4 c9 c11 x EF K 2 v EF o19 a EF K 21 o2 Figure 136 : GIC e la structure par retour état e la partie mécaniue 124

127 Des similitues existent entre ces eux structures e commane : V 4 i V 2 V L 3 i 5 T e i 6 7 k v Flux axis e T T r 8 T mot 9 11 x Thrust axis i Process e 7 T v T f T cog 12 1 x v V e k 5 V V L 4 i x i Control T v o11 x V o4 i o5 K 3 K 2 V EG c2 V LEF c3 i EF c8 K 1 K 4 c9 c11 x EF K 2 v EF o19 a EF K 21 o 2 Figure 137 : Comparaison e la commane à retour état ETEL et en GIC Le générateur e référence est composé en partie es processeurs o19 et o2, ui réalisent une approximation e la érivée par la formule Euler au 1 er orre. Cela onne, en formulation e Laplace, l expression e la fonction e transfert e l E.168. Il est important e noter ue même si la érivée u signal e position est approchée, son expression mathématiue reste causale, et onc l orientation e la flèche u processeur causal est bien ans le sens aéuat. Ts 1 e o19, o2 E. 168 s Le processeur o5 est un estimateur e la force e poussée à partir u courant i mesuré : o5 T em = K i E. 169 Cette structure par retour état ( Figure 137) peut s assimiler à un régulateur e type PID sur la boucle e position, et à un correcteur PI sur la boucle e courant. Sous réserve ue les gains K2 et K2 soient égaux, il est possible e émontrer mathématiuement ue cette structure est éuivalente à une structure à boucles en cascae, avec trois boucles. Figure 138 : Commane PID e la boucle e position L architecture e commane éuite es boucles imbriuées est la suivante : 125

128 Figure 139 : Commane P e la boucle e position et PI pour la vitesse Il existe alors une corresponance entre ces eux structures, telle ue : K4 Ki Kv K1+ K2 s+ = Kp Kv+ Ki+ Kp s+ E. 17 s s L éuivalence suivante est alors obtenue : K1 = Kp Kv+ Ki K2 = Kp E. 171 K4 = Ki Kv L éuivalence inverse a plusieurs solutions possibles : Kp = K 2 si K 4=, Ki = K E. 172 Kv = K 1/ K 2 si K1> 2 K 2 K 4 Kp = K 2 Kp = K K2 K4 1 4 K2 K4 Ki = 1 1 Ki = K1 E. 173, ou K1 2K4 2K4 Kv = Kv = 4 K2 K4 4 K2 K K1 K1 La Figure 14 présente une comparaison graphiue entre les structures e commane en boucles imbriuées et à retour état : e V EG V LEF c 2 V o 4 o 7 v o 6 k i c 3 EF c 5 T EF = i i i EF Control V V 2 i 4 V L 3 i x i 5 T v V V 2 4 V L 3 i i 5 T e i 6 k 7 v e i 6 7 k v Flux axis Thrust axis e V 2 3 i e T Process T e 7 6 k 5 T r T mot 8 9 T f 1 v v 11 x V Flux axis Thrust axis e 2 3 i e Process e k T T v T r T mot 8 T f T cog x v 11 x V L i T i V i 4 T T v EF f x o1 T motef V c8 c9 o 4 i i x v EF c11 x EF V V V L 4 o4 i i x o5 i Control K 3 T K 2 v o11 x V EG i c 2 c 3 EF c5 T r T V EF LEF o 6 i k e o7 v Control V EG c2 V LEF c3 i EF c8 K1 K 4 c9 c11 x EF K 2 v EF o19 a EF K 21 o2 Figure 14 : Comparaison es architectures en boucles imbriuées et à retour état 126

129 Pour économiser le coût un capteur e vitesse (Figure 14), une estimation e la vitesse remplace la mesure e vitesse. La vitesse est alors obtenue par une érivée approchée avec la formule Euler au 1 er orre, ans le processeur o11, sur le même principe ue les processeurs o19 et o2. La Figure 141 présente une légère ifférence entre les eux types e commane : la commane en boucles imbriuées réalise un bilan e force alors ue la version en retour état fournit irectement une valeur e courant e référence i ref. Toutefois, la relation entre le courant et la force e référence étant rigie, la constante e force k peut alors simplement se reporter sur le processeur suivant. c5 ief = TemEF / k E. 174 e V EG V LEF c 2 V o 4 o 7 v o 6 k i c 3 EF c 5 T EF = i i i EF Control V V 2 i 4 V L 3 i x i 5 T v V V 2 4 V L 3 i i 5 T e i 6 k 7 v e i 6 7 k v Flux axis Thrust axis e V 2 3 i e T Process T e 7 6 k 5 T r T mot 8 9 T f 1 v v 11 x V Flux axis Thrust axis e 2 3 i e Process e k T T v T r T mot 8 T f T cog x v 11 x V L i T i V i 4 T T v EF f x o1 T motef V c8 c9 o 4 i i x v EF c11 x EF V V V L 4 o4 i i x o5 i Control K 3 T K 2 v o11 x V EG i c 2 c 3 EF c5 T r T V EF LEF o 6 i k e o7 v Control V EG c2 V LEF c3 i EF c8 K1 K 4 c9 c11 x EF K 2 v EF o19 a EF K 21 o2 Figure 141 : Architecture e commane numériue u DSC2P ETEL Les structures e commane par retour état et celles par boucles imbriuées sont éuivalentes ans une large proportion Commane avancée en force en Boucle Fermée Les travaux présentés ans la suite e ce chapitre sur la commane es moteurs linéaires seront limités à la commane en force u moteur linéaire avec pour objectif e prenre en compte les phénomènes retenus ans le chapitre e moélisation. L iée est e réuire les onulations e force inuites par les ifférents phénomènes par la commane : harmoniues e forces électromotrices, variation e la force e poussée liée à la saturation es inuctances, et force e étente. L architecture u moèle retenu sous cette forme e graphe informationnel causal permet intégrer les phénomènes préalablement moélisés, à savoir les harmoniues e forces électromotrices (6, 5), les saturations es inuctances (6, 2) et les forces e étente (11). 42 Euivalentes sous certaines conitions e réglage, toutefois précisées ans l E

130 e abc 5 v V abc e abc 1 VLabc 2 i abc φ abc / x 6 4 Tem x T r 7 T mot 8 v 9 x Vabc 3 iabc Ts + T f 1 v Moèle électriue Moèle mécaniue ( ) 1 VLabc = Vabc Vabc eabc T = T T T + T T 2 φ ( i, x) i t abc abc abc i abc = V Labc 7 mot abc cog s f r v M = T t 8 mot x 3 Vabc = iabc 9 = v t 4 5 T em = k= abc,, φ e abc = φ k ( i, x) k x ( i x), abc abc x v i k ( ) 1 Ts + Tf = fvis v + Tcoul sign v ˆ ( ) ˆ ( ) 11 Tcog = Tcog Npx + Tcog 6 Npx sin sin 6 ( i, x) ( i, x) ( i, x) ( i, x) φ φ φ φ 6 =, et = i i x x abc abc abc abc abc abc abc abc abc abc x= cst iabc = cst Figure 142 : Graphe Informationnel Causal u moteur linéaire De nombreuses solutions existent pour compenser les phénomènes électriues et magnétiues perturbateurs ui ont été présentés ans les précéents chapitres : Commane opposant aux forces e cogging es forces générées par es harmoniues e courant [FAVE 1991], [FAVE 1993], [BASSI 1999]. Commane par correcteur PI pour limiter l influence es forces e étente [BODIKA 1999 (1)]. Commane basée sur la norme H pour minimiser les erreurs e poursuite [ALTE 1995], [CHOI 1999]. La commane robuste en H présente l inconvénient majeur e la ifficulté e réglage pour un correcteur synthétisé avec un orre élevé. Commane utilisant es correcteurs résonants pour compenser la force e cogging sur les moteurs synchrones tournants. [ZENG 24]. Commane par retour accélérométriue pour améliorer le contrôle e la force e poussée [BANDEBUG 2]. Cette solution impose ajouter un capteur supplémentaire au niveau u point à contrôler 43. En terme e performances, notre éuipe e recherche a testé cette solution e façon concluante [COLAS 25]. L iée est e réinjecter, ans l actionneur, les forces oscillantes mesurées, avec un éphasage e Suivant l environnement u système, il n est pas toujours possible implanter un capteur au niveau u point à contrôler 128

131 Commane pour la compensation u pois e la charge, ce ui permet e linéariser le comportement e la charge ans la commane [YOSHIDA ], [YOSHIDA - 21]. Toutefois, la moélisation u moteur linéaire a montré ue le phénomène préponérant en régime permanent était les harmoniues e forces électromotrices, ui pouvaient inuire jusu à 8% onulations e force, Figure 112. Nous allons onc chercher à compenser prioritairement l impact e ces harmoniues e forces électromotrices par la commane. Pour piloter en force un moteur linéaire en boucle fermée, il semblerait logiue e mesurer la force u moteur et e l asservir à une référence e force. Cepenant, cette force n étant pas irectement mesurable sur les moteurs linéaires en mouvement, l architecture classiue e commane se construit sous la forme une b oucle e courant. C est ce ue montre in tuitivement le GIC (Figure 142), puisue la sortie u processeur causal correspon au courant et non pas à la force. C est onc bien le courant ui sera asservi Problème es représentations fréuentielles pour la commane Dans les hypothèses u premier harmoniue, pour une machine synchrone est à pôles, non saturée, la force e poussée T em peut s exprimer comme : T ˆ em = k i = φ f 3/2 Np i E. 175 L E.175 montre ue la commane en force est irectement éuivalente à une commane en courant ans le repère e Park. Le moèle reten u tient compte es harmoniues e force électromotrice. Or ces harmoniues ne sont plus représentables simplement ans le repère e Park [LOUIS 24 (2)], ui est un référentiel uniuement prévu pour s aapter au fonamental u courant et e la force électromotrice. En autres termes, l E.175 n est plus valable, et il faut revenir à une expression plus générale e la force e poussée : φa φb φc Tem = ia + ib + ic E. 176 x x x Pour bien préciser le problème et les solutions possibles, rappelons ue la force e poussée est issue u prouit es harmoniues es forces électromotrices et es harmoniues e courants, E Ainsi, le contrôle es harmoniues e courant nécessite e connaître les harmoniues e fem, et revient à alimenter le moteur linéaire par es harmoniues e tension aaptés. La ifficulté pour la mise en place e la commane revient onc au choix u correcteur pour un cahier es charges onné : les correcteurs PI classiuement utilisés pour les commanes à boucles en cascae sont inefficaces ans le cas erreurs harmoniues à compenser [GUILLAUD 1999]. Il est onc nécessaire e trouver autres solutions pour réaliser le contrôle e ces erreurs harmoniues. La compensation es harmoniues e forces électromotrices peut être effectuée en utilisant iverses méthoes : La commane ans un multiple référentiel e Park, ans lauelle chaue harmoniue est compensée par un correcteur Proportionnel Intégral, Figure 143 [CHAPMAN 1999 (2)]. L inconvénient majeur résie ans l important temps e calcul reuis par les multiples transformations e Park. En pratiue, cela réuit le nombre possible harmoniues à compenser ; La commane par correcteur résonant ans le repère naturel (a,b,c) ou le repère iphasé (α,β) [WULVEYCK 2]. 129

132 Ces eux solutions constituent eux visions complètement ifférentes u contrôle es harmoniues e courant. En effet, ans le premier cas, l algorithme proposé permet e séparer chaue harmoniue et onc établir un référentiel avec un correcteur spécifiue ans chacun e ces référentiels. Dans le euxième cas, un correcteur est appliué à l ensemble es harmoniues e courant, et comme celui-ci est très sélectif, tous les harmoniues peuvent alors être contrôlés inépenamment ans le même référentiel. Figure 143 : Structure e commane avec es référentiels multiples Les analyses et valiations expérimentales sont effectuées sur le LDM1-5 ETEL à partir es résultats obtenus pour le moèle avancé u moteur linéaire éférentiels multiples e Park Lors u éplacement un moteur linéaire à vitesse constante, sans perturbation extérieure, les courants ans les trois phases sont alors sinusoïaux avec es fréuences et es amplitues constantes. La transformée e Park 44 est alors appliuée aux trois courants. Ce ui onne eux courants ans le ré férentiel e Park, i et i continus et constants en amplitue. L avantage e cette transformée e Park evient alors évient ans un objectif e commane. En effet, pour maintenir la vitesse constante, il suffit onc asservir les eux courants i, i, et la régulation e ces graneurs continues se fait par es correcteurs PI. Le principe es référentiels multiples e Park est e réaliser un changement e référentiel pour chacun es harmoniues e courants. Puis, un correcteur PI est utilisé ans chacun es référentiels ainsi obtenus. Depuis la fin es années 199, [CHAPMAN 1999(1)] a étuiée et analysée la techniue e commane par les référentiels multiples e Par. Elle est ensuite été appliuée à e nombreux omaines : Contrôle e la lévitation magnétiue un moteur linéaire [LIU 1998] La étection e éfauts ans les moteurs à inuction [CUZ 25] La correction u facteur e puissance ans les filtres actifs [PAK 2] La correction u facteur e puissance es convertisseurs e puissance [WANG 24]. L architecture e commane en force est éfinie sur la figure suivante : 44 Le principe u référentiel e Park est e transformer les graneurs sinusoïales en graneurs constantes suivant certaines conitions [LOUIS 24 (2)]. 13

133 1 * i T em ref Génération e i ref * in 2n 3n MF * abc V Onuleur V abc Control Process i1 MFE x PMLSM in 7 6 i abc Figure 144 : Structure e commane avec es référentiels multiples e Park La structure e l estimateur e référentiel multiple est éfinie sur le schéma e la Figure 145. Le schéma utilisant le formalisme GIC est aussi présentée ans le cas un estimateur e eux référentiels basés sur le fonamental et le 5 ème harmoniue u courant. i abc K 1 Ge / s 1 i 1 K1 MFE 1 K 5 K 5 Ge / s 5 i Figure 145 : Estimateur e référentiels multiples MFE a) original présenté ans [CHAPMAN 1999 (2)] b) sa représentation en GIC Cette structure a pour but e faire converger chacun es référentiels pour les renre inépenants. 1 ( x 1 x x i ) ( m 1 m i = K abc + K i K ) i E. 177 Ge t m N L'estimateur (MFE) oit être plus rapie ue le régulateur (MF), pour ue celui-ci puisse fonctionner correctement. x x x x x i =, so ( i i ) = nge ( i i ), x N E. 178 t t Les éuations es transformations e Park et Park Inverse sont éfinies par l E. 179 et l E. 18 (Annexe A4). La variable n correspon au rang e l harmoniue u signal à transformer. 131

134 2π 2π cos( ) cos ( ) cos ( ) 2 n Np x n Np x n Np x+ n 3 3 K = E π 2π sin ( n Np x) sin n( Np x ) sin n( Np x+ ) 3 3 cos( n Np x) sin ( n Np x) π π n cos n Np x sin n Np x K = 3 3 E π 2π cos n Np x+ sin n Np x+ 3 3 La convergence e cet estimateur s effectue uniuement à l aie u coefficient G e suivant une exponentielle écroissante. A notre connaissance, [CHAPMAN 1999(1)] n a pas établi, à ce jour, étue théoriue sur le réglage u gain G e. Dans le cas u LMD1-5, pour rester à la limite e stabilité e cet algorithme e convergence, le gain G e oit rester inférieur à une valeur maximale e ia ref ia MFE ia (A) -1,2,4 time (s),6 Figure 146 : Simulation u courant reconstruit à la sortie u MFE La Figure 146 montre ue la convergence e la mesure par rapport à sa référence s effectue en 2ms. Cette valeur épen e la fréuence u signal e consigne. Une analyse complémentaire pourrait être intéressante. Toutefois, cette valeur est supérieure au 1ms ue les boucles e courant reuièrent ans le omaine e la machine e prouction [GOB 21]. Cela limite onc l intérêt e cette solution. Toutefois, ces valeurs pourraient suffire pour es applications à moteur linéaire nécessitant moins e ynamiue [FAIZ 22]. La Figure 147 présente l architecture u régulateur u MF : 1 i 1 i Gc / s MF 1 K 1 i abc 5 i Gc / s 1 K 5 5 i Figure 147 : égulateur e référentiels multiples MF a) original présenté ans [CHAPMAN 1999 (2)] b) sa représentation en GIC 132

135 La valeur u gain u régulateur G c u MF a été choisie pour obtenir un comportement en boucle fermée le plus rapie possible, tout en restant à la limite e la stabilité : G c = 5. De même ue pour le cas u MFE, à notre connaissance, il n existe pas étue sur l intérêt e la issociation u réglage u gain G c pour chaue référentiel. La génération es courants e référence s effectue à l aie une répartition es courants suivant les coefficients es harmoniues e force électromotrice préalablement ientifiés [CHAPMAN (1)] : Teref 1 1 ; 1 i = i =, 3 ˆ 2 N p φf 1- λx 2 x n E. 181 eref ( 5 T λ ) in = ; in = 3 ˆ 2 N p φf 1- λx 2 x n Une commane en trapèze e force e référence est utilisée avec un temps e montée e 5ms, un temps e maintien e 6ms et un temps e escente e 2ms. La Figure 148 montre ue le système est stable, mais avec un épassement important (environ 25%) ; le temps e réponse est e 15ms, ce ui est trop élevé, pour envisager e faire u suivi rapie e profil avec cette structure e commane. 2 Te ref / Te est (N) ,1,2,3,4,5,6,7 time (s) Figure 148 : éponse en force Te à un trapèze e force e référence en MF (en simulation) Toutefois, ans le cas e la commane en boucle fermée un moteur linéaire synchrone, la ynamiue nécessaire au contrôle e la boucle e courant n est pas obtenue avec cette techniue [EMY 26]. Une autre techniue est alors envisagée : le multiple correcteur résonant Multiples correcteurs résonants ans un repère iphasé Le principe u correcteur résonant provient simplement e la nécessité éliminer l erreur harmoniue inuite par les graneurs alternatives [HAUTIE 1999 (2)]. L éuation u correcteur résonant ans le cas une sinusoïe C sin [SATO 1998] et l éuation pour la correction une cosinusoïe C cos [FUKUDA 21] sont éfinies par : Kr Kr s Csin () s = Kp +, Ccos () s = Kp + E s + ω s + ω p Pour contrôler un signal sinusoïal en maîtrisant simultanément son amplitue et sa phase, une solution est alors éuite naturellement es eux précéentes éuations [WULVEYCK 2] : 2 b1 s+ c1 a2 s + a1 s+ a Cs () = KP + = E s + ω s + ω p Le correcteur résonant est aujour hu i utilisé ans e nombreux omaines : Commane e filtre actif pour limiter la pollution ans les réseaux électriues [GUILLAUD 2] ; p p 133

136 Commane e convertisseurs e puissance avec e grane fluctuation e fréuence u réseau [GUILLAUD 27] ; Optimisation e la commane en couple une machine synchrone [ZENG 24]. Dans le cas e la commane es moteurs linéaires, où plus exactement e la variation e vitesse, la fréuence es courants e référence évoluent ans le temps. Ainsi, le correcteur résonant est it auto-aaptatif, car la pulsation ω p e référence u correcteur oit être aaptée à chaue instant à la pulsation ω ésirée ou mesurée, tel ue ω p = ω. Les coefficients u numérateur sont eux aussi éterminés à chaue instant pour garantir la stabilité et le niveau important es gains u correcteur. La Figure 149 présente la structure e commane e la force e po ussée ans le repère stationnaire iphasé (α, β) en utilisant es correcteurs résonants. * T e eference Current Generator * i α * i β esonant Controllers k bs k 2 2 ( s + ωi ) ω k bs k 2 2 ( s + ωi ) ω * V α * V β i α αβ abc abc * V abc i a PWM Inverter PMLSM i β αβ i b x ( position) 1 S N p v ( spee) Figure 149 : Structure e commane avec es correcteurs résonants ans le repère (α, β) La Figure 15 présente les iagrammes e Boe en Boucle Non-Fermée à gauche et en Boucle Fermée à roite, en amplitue et en phase pour eux correcteurs résonants en série. Le premier est réglé pour fonctionner à la pulsation ω p et le euxième est réglé pour fonctionner à la pulsation 5 ω p. ω p 5ω p ωp 5ω p 5ω p ω p ω p 5ω p Figure 15 : Diagrammes e Boe en BNF et BF en amplitue et en phase un correcteur résonant 45 appelons uelue unes es propriétés e ce correcteur résonant : A la pulsation ω p, cette fonction e transfert présente un moule tenant vers une valeur infiniment grane (3B environ, Figure 15). Le gain n est élevé u à la pulsation ésirée et non sur toute une bane e fréuence. Ainsi, pour un critère e stabilité onné, la 45 Ces résultats sont précisés en étail ans la thèse e Jia ZENG [ZENG 25] 134

137 valeur u gain peut onc être plus élevée ue ne peut l être la valeur un gain pour un correcteur classiue e type PI. La convergence entre la graneur e sortie et la référence est onc plus rapie u une solution classiue. La valeur u gain étant élevée à la pulsation ω p, si les conitions e stabilité sont garanties, l erreur harmoniue restera petite, même en cas erreurs estimation paramétriue. Cela permet au correcteur résonant être performant en termes e poursuite. La réuction e l erreur harmoniue à la pulsation inuit ue la graneur e sortie est en phase avec la graneur e consigne (visible sur la phase en BF, Figure 15). Le repère iphasé est établi à l aie es transformations e Concoria et Concoria Inverse, ont les éuations sont éfinies par [LOUIS 24 (1)] (Annexe A4): T3 =, et T3 = 2 2 E L intérêt principal e cette transformation provient u fait ue le moteur linéaire étuié possèe un couplage en étoile et est éuilibré. Cela signifie ue sur les trois phases à alimenter, il n y a ue eux graneurs inépenantes, où la recherche une représentation mathématiue, ou plus exactement un référentiel, ui permettrait e contrôler e façon inépenante ces eux graneurs appelées i α et i β. Les courants e référence sont générés pour compenser l influence e la force électromotrice sur la force e poussée : Teref [ sin( θ ) + λ5 sin( 5θ) ] iα ref = 3 ˆ 2 N p φf ( 1 λ5 ) 2 E. 185 Teref [ cos( θ) + λ5 cos( 5θ) ] iβ ref = 3 ˆ 2 N p φf ( 1 λ5 ) 2 Un correcteur résonant est alors appliué à eux fréuences 46 : Sur le fonamental e la force électromotrice pour contrôler la force e poussée ; Sur l harmoniue e rang 5 e la force électromotrice e coefficient λ 5 pour éliminer les 47 onulations e la force e poussée. Il existe e nombreuses techniues pour la génération es ces graneurs e référence, puisu à partir une graneur e force e référence, il faut générer eux courants e référence par rang harmoniue. Il existe onc plusieurs egrés e liberté ans la génération es courants e référence. Le correcteur résonant n est onc pas appliué à une erreur e force électromotrice ui serait issue e la ifférence entre une graneur e référence et une graneur mesurée e la force électromotrice. En effet, il est impossible e mesurer irectement la force électromotrice en charge. Ainsi, le correcteur résonant est utilisé sur l erreur en courant. La prise en compte es harmoniues e forces électromotrices s effectuent à l aie u générateur e courants e référence (E. 185). Les travaux e [ZENG 25] précise la théorie sur le réglage u multiple correcteur résonant, et plus particulièrement la techniue e réglage un multiple correcteur résonant auto-aaptatif. 46 appel : avec un couplage en étoile les harmoniues e rang 3 n ont pas influence sur la force e poussée, il n y a onc pas lieu e les contrôler. 47 Nous avons vu ans la moélisation ue ces coefficients étaient épenants u niveau e courant. Toutefois, ce phénomène e saturation a été négligé ans un premier temps, à la vue es faibles valeurs e courants utilisées. 135

138 La émarche e réglage est la suivante pour chaue pas e calcul : «écupérer» l information e la pulsation e référence u fonamentale ω p, à partir e la vitesse mesurée : ω p = π. v / τ p ; Pour contrôler les harmoniues e rang 1 et 5, les coefficients u énominateur sont alors connus (s² + ω p ²)(s² + ω 5p ²) ; Le polynôme caractéristiue e la boucle fermée e courant est ensuite exprimé 48 : β 2β α P( s) = s ( s + ωi ) + bα s E. 186 L i= 1 L α = Les coefficients u numérateur sont calculés suivant une techniue e placement e pôle appelé «Optimum Symétriue» ui permet e garantir un temps e réponse ientiue pour chaue harmoniue [SHINNES 1978] : r+ Ω j β Im r+ jω 2 r r+ jω 1 r jω 1 o e r jω 2 r Ω j β Figure 151 : Techniue e placement e pôles Le polynôme caractéristiue se simplifie alors sous la forme suivante 49 : β P s s r s r j s r j r i N ( ) = ( + ) ( + + Ω )( + Ω ) {, Ω i ; } GSM i i i=1 E. 187 Des lim ites pour le correcteur résonant sont fixées en termes e bane passante et e phase maximale 5. Enfin, le polynôme caractéristiue est résolu par un pivot e Gauss sur la matrice es coefficients pour obtenir les coefficients b n [ZENG 25]. Pour le cas u LMD1-5 ETEL, il faut compenser les 1.6% e l harmoniue e rang Des essais expérimentaux ont été réalisés avec l aie J. Zeng pour appliuer cette commane par correcteur résonant au cas u moteur linéaire LSP12C Inramat 52 ans le repère iphasé (α,β). La Figure 152 montre ue les résultats obtenus sont satisfaisants et ue la force estimée suit bien la force e référence [ZENG 24]. Le zoom e la Figure 152 permet e constater le temps e réponse 48 : la non-linéarité es inuctances a été négligée (pour la même raison ue la note précéente). 49 Cette simplification n est possible ue parce ue le système est totalement commane : les n coefficients e réglage u correcteur permettent e régler une fonction orre n [ZENG 25]. 5 Cela permet maximiser la résolution sur la plage e fonctionnement, et autre part, e connaitre les limites en cas e écrochage u correcteur. Cela permet aussi engager une procéure e sécurité si nécessaire % e l harmoniue e rang 5, en consiérant comme 1% e l amplitue u signal efficace. 52 Les mêmes essais ont été réalisés sur le moteur LMD1-5 Etel, mais les résultats sont trop bruités pour être présentés ici, bien ue les performances obtenues soient similaires à celles obtenues sur LSP12C. 136

139 u correcteur est environ 5ms ans la zoom accélération brutale. L implantation ans un système temps réel e plusieurs correcteurs résonants à fréuence variable est réalisable en conservant un temps e calcul inférieur au pas e temps es asservissements : 26µs e temps moyen e calcul sur les 5µs amissibles e la boucle e courant. Ces résultats sont obtenus en tenant compte es possibilités e la tech nologie actuelle : carte DS15 e SPACE à 4MHz, [ZENG 25]. Te ref / T e sim / Te mes (N) ms 1 15,1,2,3,4,5,6,7 time (s) Figure 152 : ésultats e la commane en force avec un multiple correcteur résonant pour un trapèze e référence et zoom sur la pente montante u trapèze e force. Les résultats e la Figure 153 montrent ue le correcteur résonant permet au courant moteur e suivre parfaitement les courants e référence : i a lpha ref i beta ref (A) i al pha sim i beta sim i beta ref i beta sim i alpha ref i alpha sim time (s) Figure 153 : ésultats es courants avec un multiple correcteur résonant Nous venons e montrer l intérêt notable u correcteur résonant pour la commane. Finalement, le correcteur résonant auto-aaptatif n est rien autre u un filtre très sélectif, avec es propriétés auto-aaptatives pour une fréuence imposée (Figure 15). L E.183 montre ue l expression u correcteur résonant est très proche e celle es correcteurs à avance e phase. Toutefois, c est bien la largeur u pic e la Figure 15 ui garantit l immunité e cette commane par rapport aux autres fréuences parasites. Dans le même temps, si la valeur e référence e la fréuence à suivre n est pas parfaitement connue, cette finesse u pic inuira un plus gran risue e écrochage u correcteur résonant en suivi e fréuence. Ainsi, le correcteur résonant ne sera une solution «miraculeuse» ue si la résolution u capteur e vitesse est suffisante. De même, pour contrôler es harmoniues e rang élevé, l erreur e vitesse sera alors proportionnelle au rang e l harmoniue et le risue e écrochage augmentera lui aussi proportionnellement. A notre connaissance, il n y a pas encore étue montrant les limites u correcteur résonant, et cela sortirait u care e cette étue. 137

140 3.3.6 Conclusion sur la commane en Boucle Fermée Plusieurs techniues e commanes en Boucles Fermées ont été présentées à partir u principe inversion inirecte u Graphe Informationnel Causal. Quelues structures e commane inustrielle ont été étaillées et enrichies pour faciliter le réglage es gains. La procéure e réglage es gains présentée iffère es techniues classiues e réglage [GOβ 21]. En effet, elle est particulièrement aaptée aux systèmes sous contraintes, telles ue les limitations en courant, la tension e bus maximale, etc. L erreur entre la consigne et la mesure est ainsi exprimée littéralement pour une loi e mouvement onnée. L erreur maximale obtenue permet onc e éuire la valeur maximale u gain à l aie es limites es constituants e la boucle suivante. La stabilité u système est garantie par le fait ue l erreur est bornée à chaue entrée e Boucle Fermée. Cette techniue pourrait permettre e évelopper, ans e futurs travaux, es commanes à gains auto-aaptatifs. Dans une euxième partie, une analyse e la commane en force e poussée a été présentée. La commane en BF e courant a été réalisée à l aie e eux techniues e écomposition es harmoniues, et onc e eux types e correcteur associés. La commane par un correcteur résonant multiple est un réel intérêt pour la commane es moteurs linéaires, car elle est rapie (temps e réponse e l orre e 5ms pour le cas étuié), insensible aux bruits et ifficile à faire «écrocher». Cette commane permet ici e réuire e 8% les onulations u moteur linéaire. Toutefois, uelues inconnues emeurent sur le correcteur résonant : uel est son comportement lorsu il atteint sa saturation? Il n existe pas à ce jour e système «Anti-Winup» pour ce type e correcteur, contrairement au correcteur PI. Des structures e commanes ont été présentées en utilisant le principe inversion inirecte u Graphe Informationnel Causal. Le formalisme GIC ispose un autre principe inversion, it principe inversion irecte, ui conuit à es structures e commane en Boucle Non-Fermée. 3.4 Architecture e commane en Boucle Non-Fermée (BNF) La commane en Boucle Non-Fermée, connue ans la littérature anglophone sous le nom e Non-Feeback Control, est également connue en France sous le nom e commane en Boucle Ouverte (Open-Loop Control). Nous préférerons toutefois le terme e commane en Boucle Non-Fermée, ui énote mieux l absence e retour e mesure et onc e capteurs ans la structure e commane. Un avantage inéniable une telle structure e commane résie ans l absence e retar es mesures ans la structure e commane, puisu il n y a pas e capteurs. Ainsi, pour les applications où le temps e réponse est primorial, la solution e commane en BNF evienra plus avantageuse ue la solution en BF, souvent limitée par les bruits e mesure es capteurs ayant une faible résolution. D autre pa rt, les techniues e commane sans capteur représentent aujour hui un omaine e rec herche très important [AJASHEKAA 1996]. Elles sont fortement appréciées par l inustrie, car moins coûteuses ue les techniues avec capteurs. Toutefois, l absence e prise en compte es contraintes extérieures, et plus précisément es phénomènes parasites ui n auraient pas été envisagés ans la structure e commane, inuit es problèmes e robustesse. Finalement, ces techniues s utilisent essentiellement ans es applications où l environnement est parfaitement contrôlé et où la connaissance parfaite e l actionneur revêt alors une importance capitale Nous avons choisi e ne pas tenir compte es problèmes supplémentaires liés à la présence e charge, ui exigeraient ès lors la mise en place e techniues complémentaires e reconstruction, estimation ou observation. 138

141 Il est important e préciser ue la commane sans capteur ite «sensorless» est un abus e langage, puisue ces techniues e commane utilisent en fait es capteurs e courant pour la commane es boucles fermées e courant et utilisent ensuite iverses techniues pour pallier l absence es autres capteurs, principalement ceux e position et e vitesse. Ce travail présente onc une originalité particulière puisue la commane sans capteur e courant est ici aborée. La uestion suivante se pose alors : comment éfinir la structure e commane en Boucle Non-Fermée un système? Nous utiliserons à nouveau le formalisme u Graphe Informationnel Causal pour éfinir ces structures e commane. Il existe aujour hui ans la littérature plusieurs techniues e commane en Boucle Non-Fermée : La commane par la érivée n ème, ont l iée principale est e générer, à partir e la n ième érivée e la graneur à contrôler, une structure e commane par une succession intégrations e la érivée n ième [BAE 24], [BEAEE 25]. La commane plate, ui permet e commaner es systèmes non linéaires, appelés «ifférentiellement» plats [FLIESS 1992], [FLIESS 1995]. Cette commane se base sur la résolution es propriétés mathématiues u offrent les systèmes plats. Sa représentation est fonée sur une extension e la représentation e la commane par retour état aux systèmes non linéaires. Les travaux e [DELALEAU 24] ont montré l intérêt e cette commane pour es applications utilisant es machines synchrones Commane par la érivée n ième Le principe inversion e la structure e commane par la érivée n ième est éfini ans le formalisme GIC comme étant une inversion irecte [BAE 24]. La Figure 154 présente l inversion irecte un processeur causal et un processeur rigie : u y u y u EG c y EF u EG c ( a ) ( b) Figure 154 : Principe inversion irecte y EF La Figure 154 montre ue l inversion es processeurs causaux ne nécessite pas la mesure e la graneur à contrôler, et onc u aucun capteur n est ici nécessaire. La Figure 155 montre une commane en Boucle Non-Fermée un circuit L en série. La tension alimentation correspon à la graneur e réglage ; la graneur e référence est ici la tension inuctance V L. V V 1 L 2 i V 3 Moèle Commane Process 1 VL = V V 1 V = V + V c EG LEF EF Control V EF V EG c1 c3 c2 i EF i ief 2 L = VL c2 L = V t t 3 V = i 3 V = i LEF c EF EF V LEF Figure 155 : Commane en Boucle Non-Fermée un circuit L en série 139

142 ième La commane par la érivée n se base sur le principe suivant : si un système (LTI 54 à minimum e phase) est orre n entre une entrée u e commane et une sortie y à contrôler, l évolution e ce système peut alors s établir à partir e la érivée n ième e la graneur y e sortie : n j m i yt () ut () aj = j bi E. 188 i j= t i= t Avec a i et b i es coefficients constants. Dans tous les cas m n, ce ui assure le respect e la causalité naturelle. Cette relation exprimée ans le omaine e Laplace pren alors la forme e la fonction e transfert suivante : m Ys () b + b1s b () ms Ps = = ; m n E. 189 Us () n a + a1s ans La commane par la érivée n ième en Boucle Non-Fermée s écrit : m i n j ' ' ueg () t ' yef () t bi = bi bi = aj, avec i j ' i= t j= t aj = a E. 19 j L hypothèse utilisée ans l E. 19 repren une notion importante e la commane par la érivée n ième : en effet, les performances e cette commane reposent uniuement sur la ualité es ientifications es paramètres u système. La Figure 156 présente le moèle et la commane associée en Boucle Non-Fermée sous la forme un Graphe Informationnel Causal : ( ) u () t u ( ) ( ) ( m 2) u ( ) ( m 2 ) u () t m 2 ( m 1) u ( m 1 ) u ( ) () t m 1 b m m () i n ( j) ( n 1) ( n) y y ( n 2) ( ) y ( ) bu = i () ay t j () t ( ) y n 1 ( n 2) ( ) y y ( ) i= j= ( ) y () t () t () t () t 1/ an n 1 n 2 Process bm 2 b m 1 an 1 an 2 b a ( m) u () t ( ) u EF () t ( ) u EF ( ) c ( m 2) ( m 1) u ( m 1 ) u ( m ) u EF( ) u 2 EF( ) EF() t EF() t cm 2 cm 1 ( m) u EG () t 1/ b m m () i n ( j) bu = i () ay EF t j EF () t i= j= ( n) y EF () t ( n 1) y ( n 2) y ( ) EF( ) ( 1) EF( ) y n ( n 2) y y ( ) EF ( ) y EF() t EF() t EF () t an cn 1 cn 2 c bm 1 an 1 bm 2 an 2 b a Figure 156 : Structure e commane en Boucle Non-Fermée par la érivée n ième Cette structure e commane est aussi connue sous le nom e précommane [BEAEE 24]. Il est important e noter ue trois graneurs sont inispensables pour la structure e commane par Boucle Non-Fermée : Les graneurs e réglage (ici les tensions alimentation) ; La graneur à contrôler (ici la position u moteur linéaire) ; La n ième érivée e la graneur à contrôler, c'est-à-ire la graneur ui permet e éfinir 55 toutes les graneurs u système à partir un état initial éfini (ici la 3 ème érivée e la position, soit le jerk). temps. 54 Système LTI : Linear Time Invariant sont les systèmes linéaires ont les paramètres sont constants ans le 14

143 Cette techniue est appliuée au cas u moteur linéaire synchrone, avec comme graneur e sortie la position x u moteur et comme graneur entrée la tension V alimentation e l axe. Dans un premier temps, la représentation canoniue u moèle au premier harmoniue un moteur linéaire est éfinie ans le repère e Park 56 : k X() s 2 V () s = k f 1 + L M L M vis + s + s + s 2 2 k f k f + + vis vis 2 3 E. 191 Les coefficients u polynôme e la fonction e transfert e l E. 189 sont alors éfinis comme : a = a = 1 1 k b = L M + 2 k f a + = vis 2 2 k f E vis k = N 2/3 ˆ φ p f L M a = 3 2 k + f vis La Figure 157 présente une représentation GIC e la commane sous forme canoniue : b 3 ( j) = ( 2) ( 1) ( ) ( t) ajy () t ( 3) ( ) x x ( 2 ) x( ) ( 1) ( ) j= ( ) () t x () t x x () t x() t 1/a3 2 1 bu ( ) V () t ( ) V EG () t 1/b Process 3 = EG( t) j bu a y ( j) x ( 3) EF() t EF() t j= a3 c 2 a 2 a 1 ( 2) ( 1) ( ) x EF( ) x EF ( ) x EF ( 2) x ( ) ( ) 1 EF() t x EF () t c1 c ( ) x EF() t Control a 2 a 1 Figure 157 : GIC u moèle et e la commane un PMLSM sous forme canoniue La Figure 157 montre ue ce moèle n offre plus une représentation es graneurs physiues u moteur linéaire. Ainsi, les états u système sont masués ans la formulation mathématiue. L intérêt principal e la représentation en GIC un système à énergie localisée est alors peru. Pour revenir à une représentation plus naturelle u moèle, avec es graneurs physiues, il faut alors utiliser les propriétés es systèmes linéaires, à savoir la commutativité et l associativité. Ainsi, la relation ui lie la tension inuctance V L à la érivée 3 ème e la position x peut s écrire : 55 Ce point est élicat : il faut en effet isposer à l instant initial es valeurs e toutes les érivées e la graneur e référence pour pouvoir reconstruire l ensemble es états u système. 56 Pour obtenir l E. 184, on utilise les éuations u chapitre I sur la moélisation u moteur linéaire au premier harmoniue : E. 8-E

144 L f vis M 2 3 V () s = X() s s s L k + f vis E. 193 Cela permet onc e valier cette techniue e commane tout en conservant la représentation en GIC u moteur linéaire : e V 4 e 7 v T r T f 1 v Moel V T mot 9 11 x V L i T c2 i EF c3 c5 T EF c8 T motef c9 c11 V EG e V LEF V c4 i EF e c7 v EF T f c1 v EF x EF Control Figure 158 : GIC u moèle et e la commane un PMLSM sous forme énergétiue La Figure 158 montre ue toutes les graneurs représentées corresponent à es graneurs physiues ont la plupart sont irectement mesurables sur le système. Pour contrôler le moteur linéaire, il est nécessaire, pour un éplacement onné, e éfinir la tension inuctance V L. Elle est obtenue en aaptant l E. 193 sous une forme ui relie l accélération et le jerk : () L f vis (2) L M (3) V L = s s s k X + ( ) k X E. 194 ( ) ( ) Pour contrôler la position x u système, il faut onc avoir éfini ans un premier temps la érivée 3 ème e la position, c'est-à-ire le jerk 57. Puis, à partir e cette valeur, l ensemble es états u système est reconstruit, c'est-à-ire l accélération, la vitesse et la position. Enfin, à partir e la tension inuctance, l ensemble es graneurs e la commane est reconstruit : c2 i EF c3 c5 T EF c8 T motef c9 c11 V EG e V c4 i EF e c7 v EF T f c1 v EF x EF Control V LEF g1 g 2 eference j EF a EF v EF x EF Figure 159 : Commane en boucle non-fermée avec la génération es références Sur la Figure 157 et la Figure 159, les eux commanes ont la même graneur e référence, c'est-à-ire la érivée 3 ème e la position. Bien ue la commane e la Figure 159 comporte un plus 57 Dans le omaine e la machine-outil, le terme e jerk est plus usité ue le terme e érivée accélération. 142

145 gran nombre e processeurs, sa lecture est beaucoup plus intuitive, car elle permet e recréer l ensemble es états u système. Cette architecture e commane est simulée ans le cas u LDM1-5, pour un éplacement e.2m, à 2m/s et 2m/s², en bang-bang e Jerk. Les résultats suivants sont obtenus : 15 Force e reference et simulee 15 Force e reference et simulee T em ref / T em sim (en N) T em ref T em sim T em ref / T em en V) sim ( T em ref T em sim t (en s) t (en s) 3 Acceleration e reference et simulee 3 Acceleration e reference et simulee a ref / a sim (en m/s) a ref 2 a sim a ref / a sim (en m/s ) a ref a sim t (en s) t (en s) 2.5 Vitesse e reference et simulee 2.5 Vitesse e reference et simulee 2 v ref 2 v ref v ref / v sim (en m/s) v sim v re m (en m/s) f / v si v sim t (en s) t (en s).25 Position e reference et simulee.3 Position e reference et simulee x ref / x sim (en m) x ref x sim x ref / x sim (en m).2.1 x ref x sim t (en s) t (en s) Figure 16 : ésultats es forces, accélérations, vitesses et positions e la BNF u LMD1-5 a) moèle au premier harmoniue b) moèle complet 143

146 La Figure 16.a présente l application e cette techniue ans le cas un moèle iéal au premier harmoniue. Les résultats montrent ue cette techniue est parfaitement aaptée. La Figure 16.b présente l application e cette même techniue sur un moèle plus proche e la réalité car il inclue les harmoniues e fem, les inuctances ui saturent et la force e étente : la Figure 16.b montre ue les résultats s écartent rapiement e ceux e la Figure 16.a. Les résultats obtenus montrent un écart e 4mm en position à la fin u mouvement sur les 26mm emanés ; soit 1,5 % erreur en position. La vitesse présente aussi un écart maximale e.5m/s, sur les 2m/s emané ; soit 2.5% erreur en vitesse. Enfin en force e poussée, l écart maximal est e 4N pour 2N, soit 2% erreur. Bien u il n y ait pas e perturbation extérieure, cette commane n est pas suffisamment précise pour la commane en force. Ainsi, il est nécessaire étenre la commane en force e l axe à la commane généralisée au moèle complet au 1 er harmoniue u moteur linéaire. Cela revient à ne plus négliger l influence e l axe, et notamment e la force électromotrice e. Bien ue la théorie présentée précéemment sur la commane par la érivée n ième ne soit valiée ue pour es systèmes SISO 58, ans le cas es systèmes linéaires, il est possible étenre ces propriétés au cas es systèmes MIMO 59 à couplage faible [GOODWIN 21]. La Figure 161 présente la structure e commane en Boucle Non-Fermée un moteur linéaire au premier harmoniue, ans le repère e Park, ans sa représentation complète. Entre la graneur ésirée et la graneur e commane, la chaîne irecte comporte trois processeurs causaux (c11, c9 et c3), la n ième érivée e ce système est onc orre (ou e rang) trois. Sur le schéma e la Figure 161, les graneurs corresponant à cet orre e érivée sont les tensions inuctance V L et V L e l axe et e l axe respectivement. Cela signifie ue les graneurs e référence evront être au moins e continuité e classe C 3 pour u il n y ait pas e problème e iscontinuité ans les ifférentes graneurs u processus. Ainsi, avec un moèle précis u système et en étant capable e générer la n ième érivée e la position x (ui est la graneur y e sortie), il est possible obtenir un contrôle parfait e l actionneur. La Figure 161 montre ue cette commane n utilise onc aucun capteur e courant. 58 SISO : Single Input Single Output sont es systèmes à une seule entrée et une seule sortie. 59 MIMO : Multiple Input Multiple Output sont es systèmes à plusieurs entrées et plusieurs sorties. 144

147 V EG V e c2 VL EF ief c6 c7 c3 c5 i i EF c4 EF k EF v EF T EF Control V V 2 4 V L i 3 i i 5 T e Flux axis i 6 e 7 k T T r 8 v T mot 9 11 x Thrust axis i Process e 7 T v T f T cog 12 1 x v V e k V V L 4 i i T T EF T f c1 v EF V EG T motef V c8 c4 i T EF r i T cog c2 c3 EF c5 c12 T EF c6 VLEF i EF k EF e v c7 EF c9 xef Control v EF c11 x EF Figure 161 : Structure e commane maximale en boucle non-fermée Du point e vue e l utilisation e cette structure e commane, il est important e préciser le moe opératoire : Si les forces e frottements secs et les forces e étente ne sont pas négligées, la génération e la graneur e référence se compliue : en effet, il est alors nécessaire e connaître la érivée es frottements secs et celle e la force e étente pour pouvoir générer la érivée e l accélération e référence : L 2 3 x L M x V LEF = M T = + ( T + T ) E. 195 et T k 2 s 3 et s t + + t k t t Ainsi, même si la 3 ème érivée e la position e référence est connue, il n est pas possible e éfinir irectement la tension inuctance e référence. Cette référence n est pas causale et génère onc es iscontinuités importantes sur la force e référence (à chaue changement e signe e la vitesse pour la force e frottement sec). 145

148 La Figure 162 monte la comparaison entre les références, les mesures et les résultats e simulation pour un profil en bang-bang e Jerk 6, avec 2m/s², 2m/s et 2cm éplacement. 1 x 14 jerk e reference 15 Tension inuctance e reglage et simulee V reg j ref (en m/s-3) (en V) reg / V Lan sim 1 5 V Lan sim V t (en s) t (en s) 3 Acceleration e reference 2.5 Vitesse e reference, mesuree et simulee ) a re m/s f (en a ref v ref / v mes / v sim (en m/s) v ref v mes v sim t (en s) t (en s) T em ref / T em est / T em sim (e n N) Force e reference, estimee et simulee T em ref T em est t (en s) x sim (en m).5 T em sim -.5 x ref / x mes / Positions e reference, mesuree et simulee x ref x mes x sim t (en s) Figure 162 : ésultats es forces, jerks, accélérations, vitesses et positions e la BNF u LMD1-5 La commane en Boucle Non-Fermée permet e représenter l exacte inversion u moèle, soit la structure iéale e commane, puisu elle permet anticiper parfaitement le comportement u système. Par contre, la génération e la graneur e référence e la commane en Boucle Non-Fermée (érivée n ième ) est le problème majeur e ce type e commane, à l instar u réglage es correcteurs e l asservissement es Boucles Fermées. D autre part, les limites physiues u moteur linéaire oivent être prises en compte ès la génération es graneurs e référence, puisu il n y a pas e capteurs pour protéger le moteur. La génération e la graneur e référence est onc le problème majeur ans le cas e notre moèle non-linéaire e moteur linéaire. La commane plate apparaît alors comme une autre solution possible pour piloter le moteur linéaire en Boucle Non-Fermée. 6 Le Jerk étant la érivée e l accélération. 146

149 3.4.2 Commane plate un moteur linéaire Le principe e la commane plate pour les machines synchrones est éveloppé ans [DELALEAU 24]. Ce paragraphe n a onc pas l ambition e reémontrer la théorie e la commane plate, mais plutôt e vérifier si elle est applicable au cas u moteur linéaire synchrone. Un type e système pour leuel la génération e trajectoire est particulièrement aisée est celle es systèmes ésignés comme (ifférentiellement) plats. Un système est ifférentiellement plat si il est possible e trouver un ensemble e sorties (égal au nombre 'entrées) tel ue tous les états et toutes les entrées u système peuvent être éterminés à partir e cet ensemble e sorties sans aucune intégration 61. Plus formellement, le système éfini : x = f u, x, x et u E. 196 n m ( ) k+1 n n m m est plat s il existe une application une application h : ( ), φ : ( ) k m une application ( ) k + 1 m Ψ :, telles ue les sorties y soient liées aux entrées x et aux graneurs e commane u par : ( ) k +1 k n n m y = h x u (1) ( ) (,,..., u ), avec h: k (1) ( k 1) m n x = φ( y, y,..., y ), avec φ : ( ) E. 197 k+ 1 (1) ( k 1) ( k) m m u =Ψ( y, y,..., y, y ), avec Ψ: ( ) Ainsi, toutes les graneurs e commane et tous les états peuvent s exprimer en fonction e la graneur e sortie y ue l on ésire contrôler. Il est alors possible e générer les trajectoires es sorties plates y et en éuire la précommane corresponante [FLIESS 1992], [FLIESS 1995]. Toutefois, il est important e préciser u il n y a pas e méthoe générale e construction es systèmes plats. Par conséuent, il n existe pas e méthoe systématiue pour éfinir les sorties plates [UELLE 24]. Pour notre étue, cela revient à ire ue si les tensions alimentations V et V, ainsi ue les états x, v, i et i peuvent s exprimer en fonction es sorties x et v, alors la génération es graneurs e commane V et V s établira irectement à partir e la trajectoire e consigne e la position x et e ses érivées. Le moèle au premier harmoniue u moteur linéaire, éfini à la Figure 161, est utilisé ans un premier temps pour simplifier les calculs. Le système à résoure se représentera sous la f orme suivante : x = f ( x ) + g ( x ) u + p E. 198 t La variable état x correspon (Figure 161) aux sorties es processeurs causaux, c'est-à-ire aux graneurs «accumulatrices énergie» : i x1 i x 2 x = = E. 199 v m x 3 xm x 4 Le vecteur x est le vecteur état u sy stème, p représente les perturbations u systèm e, par exemple la force e charge T r et le frottement sec T sec, u est la graneur e commane u système (soit V et V pour le PMLSM). Toutefois, le vecteur e perturbation p est consiéré comme nul. Ce choix es graneurs e commane, état et e sortie est issu es travaux e [DELALEAU 24]. n et 61 Par exemple pour le moteur linéaire, cela signifie u à partir e la mesure u courant, e la vitesse et e la position, il est possible e reconstituer toutes les graneurs u système sans aucune intégration par e simple combinaison linéaire. 147

150 L x 1 N p x 2 x 3 L + L L N p x ˆ 2 Np x1x3 φ f 3/2 x3 f( x) = L L L E. 2 Np N p ( ) ˆ fvis K L L x1x2+ φ f 3/2 x2 x3 cos( kn p x4) M M M M x 3 1/ L 1/ L V gx ( ) =, p= T, et u r T = sec V E. 21 M M L E.2 montre ue la fonction f(x) est non-linéaire à cause e la présence un couplage x. 1 x 3 ui empêche la séparation es variables e ce vecteur. Pour simplifier la résolution, l hypothèse un système avec courant i =, et à pôles lisses L = L, est retenue. Ce système evient alors : Np ˆ x2 f 3/2 x3 i x φ 2 L L x= v m = x 3, et f( x) = N p ˆ fvis K E. 22 φ f 3/2 x2 x3 cos( kn p x4 x ) m x 4 M M M x 3 1/ L Tr T sec gx ( ) =, p=, u= V, et V NL p i v M M = m E. 23 L expression e la commane peut s écrire sous forme canoniue : () f vis (1) f L vis M (2) L M (3) V = s s s s k X + ( ) + k f X + ( ) k X E. 24 ( ) ( ) vis L inversion u moèle simplifié ne pose plus e problème, il est ainsi possible e générer une tension inuctance e référence V Lref pour la commane en Boucle Non-Fermée. L E. 25 montre le lien ui lie V L et aux érivées successives e la position : (1) (2) (1) V = V + k X + M X + f X E. 25 EG L vis k k Dans le cas non linéaire, la mise sous forme plate e ce système impose e tenir compte e phénomènes tels ue les frottements secs et les forces e étente. Des méthoes mathématiues ont été éveloppées pour la linéarisation e ces systèmes [ISIDOI 1989]. La solution proposée est e résoure le système non-linéaire par une techniue e linéarisation par bouclage statiue. Toutefois, la linéarisation ou la mise sous forme plate e système non-linéaire complexe peut engenrer un choix e sortie plate non physiue. Cela pose alors le problème majeur e la génération e la référence e cette graneur non physiue. Une étue mathématiue plus poussée nous ferait certainement rencontrer ce type e problème sur le moteur linéaire synchrone. D autre part, la moélisation graphiue e ce type e 148

151 système, avec une techniue e représentation énergétiue telle ue le GIC, n est pas possible à ce jour, et s éloignerait onc u care e cette thèse. C est pouruoi, cette analyse ne sera pas éveloppée plus avant. La commane en Boucle Non-Fermée ne présente pas e retar ou e perturbation liés aux mesures es capteurs et n offre pas e problèmes e réglage, car l élaboration e la commane à partir u moèle permet anticiper les phénomènes perturbateurs pris en compte. D autre part, la commane en Boucle Fermée permet une grane robustesse face aux contraintes extérieures. Une uestion éviente se pose alors : est-il possible e combiner ces eux avantages? Il se égagerait ainsi une nouvelle forme architecture e commane ite commane mixte Commane mixte : BNF et BF Commane à moèle e référence Dans notre émarche e construction e structures e commane, les principes inversion irecte et inirecte u GIC ont été utilisés. Il est alors intéressant e se emaner ans uelle mesure ces eux p rincipes inversion peuvent cohabiter (et sur uels fonements mathématiues?). La émarche par inversion irecte, Figure 163, ne peut être intéressante ue si le moèle est suffisamment proche u système réel et si les paramètres obtenus n autorisent pas e variations. ( ) u () t ( ) u ( ) ( m 2) u ( ) ( m 2 ) u () t m 2 ( m 1) u ( m 1 ) u ( ) () t m 1 b m m () i n ( j) ( n 1) ( n) y y ( n 2) ( ) y ( ) bu = i () ay t j () t ( ) y n 1 ( n 2) ( ) y y ( ) i= j= ( ) y () t () t () t () t 1/ an n 1 n 2 Process bm 2 bm 1 an 1 an 2 b a m u ( ) () t ( ) u EF () t ( ) u EF ( ) c ( m 2) ( m 1) u ( m 1 ) u ( m ) u EF( ) u 2 EF( ) EF() t EF() t cm 2 cm 1 ( m) u EG () t 1/ b m m () i n ( j) bu = i () ay EF t j EF () t i= j= ( n) y EF () t ( n 1) y ( n 2) y ( ) EF( ) ( 1) EF( ) y n ( n 2) y y EF ( ) ( y ) EF() t EF() t EF () t an cn 1 cn 2 c bm 1 an 1 bm 2 an 2 b a Figure 163 : Structure e commane en Boucle Non-Fermée par la érivée n La formulation mathématiue e l E. 26 représente ici l ensemble es systèmes linéaires causaux. Ainsi, il vient naturellement u en cas erreur ientification es paramètres a,, a n et b,, b n, l erreur ientification peut se représenter mathématiuement sous la forme : n j m i yt () ut () aj = j bi E. 26 i j= t i= t En cas erreur sur les coefficients : k 1, m, αk = b' k bk et k 1, n βk = a' k ak E. 27 En remplaçant ces coefficients ans l E. 26 : ième 149

152 m i n ' EG b i i i= t j= m i La commane se écompose alors : u () t y () ' EF t = a j = j t u () t y () t ( α EG bi + i) = ( aj + βj) i i= t j= m i m i m i i i i i= i= i= n j n j n j n j EF j u () () () ' EG t u α EG t ueg t b = b i i i t t t yef () t y () () ' EF t y β EF t et aj = j a j j j j t t t j= j= j= L hypothèse selon lauelle la compensation est iéale inuit : m i m () i n j n j b u EG t ut () yt () () i = i b i = i a j = j a y EF t j j i= t i= t j= t j= t t j E. 28 E. 29 E. 21 La Figure 164 montre la représentation en GIC e cette structure e commane mixte. Les processeurs αk et βk sont éfinis par : k k u () () k () α α EG t u ' EG t u t k k = b k k b i k k t t t E. 211 k k y () () k () β β EF t y ' EF t y t k k = a k k a k j k t t t Cette commane est également connue sous le nom e «Commane à Moèle e éférence es Etats» (CME) [BAE 24]. La Figure 164 facilite la compréhension e cette commane : par une lecture verticale e ce GIC, il apparaît évient ue l estimation e l erreur entre les coefficients b et b sera compensée ans α, et ainsi e suite, pour toutes les graneurs état. ( u ) ( ) ( ) u () t ( m 2) u () t ( m 2) u ( ) m 2 ( m 1) u ( m 1) ( ) u () t m 1 ( m) u () t b m m () i n ( j) ( n 1) ( n) y y ( n 2) ( ) y ( bu = ay ) i () t j () t ( n 1 ) ( ) () t y ( n 2) y y ( ) i= j= ( ) y () t () t () t 1/ an n 1 n 2 Process bm 2 bm 1 an 1 an 2 b a α β α m 2 β n 2 α m 1 β n 1 α m β n b ' a ' b ' m 2 a ' n 2 b ' m 1 a ' n 1 ( ) u EF () t c cm 2 cm 1 ( m 2) ( m 1) u u ( ) EF() t ( m 2) EF() t ( m 1) u u u EF ( ) EF( ) EF( ) 1/ b m ( m) u EG () t m () i n ( j) bu = i EF() ay t j EF () t i= j= an cn 1 cn 2 c ( n 1) ( n 1) y ( n ) ( n) y y EF () t ( n 2) y 2 ( ) EF( ) y EF() t ( ) y () y EF t EF EF() ( ) EF ( ) t Figure 164 : Structure e commane en CME 15

153 La Figure 164 montre ue cette commane reuiert n + m capteurs pour recomposer les erreurs estimation es coefficients e la commane. La partie inférieure e la Figure 164 correspon à la précommane ou commane en BNF u système. La partie centrale correspon à l estimation es erreurs es coefficients e la commane. Toutes les variables état sont alors mesurées et comparées à celles e la commane pour ajuster la graneur e commane u (m). La graneur e référence est la n ième érivée e la graneur y. Il existe une ifférence majeure entre la commane e type CME et la commane à boucle en cascae. En effet, les gains es relations α et β sont irectement issus es erreurs entre les paramètres u système et ceux e la commane. Ce ne sont pas es gains issus e l automatiue, mais bien es gains issu e la physiue u système. Toutefois, cette méthoologie ne permet pas e résoure les problèmes non linéaires, liés au frottement sec et aux forces e étente. Le gran nombre e capteurs oblige l automaticien à uantifier l importance e l erreur e chaue paramètre pour ensuite simplifier la commane en éliminant les capteurs jugés moins importants. Cette commane se rapproche alors e la commane à moèle e référence global (CMG). Cette commane contient onc en fait une structure simplifiée e la CME (Figure 165). L objectif est onc simplement économiser un gran nombre e capteurs tout en conservant es performances attractives. ( ) u () t ( ) u ( ) Process ( m 2) u ( ) ( m 2 ) u () t m 2 bm 2 ( m 1) u ( m 1 ) u ( ) () t m 1 bm 1 ( m) u () t b m m () i n ( j) ( n 1) ( n) y y ( n 2) ( ) y ( ) bu = i () ay t j ( ) y n 1 ( n 2) ( ) y ( () t y ) i= j= ( ) y () t () t () t () t 1/ an n 1 n 2 an 1 an 2 b a α β ( ) u EF () t b ' c ( ) u EF ( ) b ' m 2 cm 2 b ' m 1 cm 1 ( m 2) ( m 1) u u EF () t ( m 2) EF() t ( m 1) u u EF( ) EF( ) ( m) u EG () t 1/ b m m () i n ( j) bu = i EF() ay t j EF () t i= j= a ' n 1 Figure 165 : Structure e commane en CMG a ' n 2 a ' an cn 1 cn 2 c ( n 1) ( n 1) y ( n 2) ( n) y y () ( n 2) y ( ) EF t EF( ) y EF() t ( ) y () y EF t EF( ) EF ( ) EF() t La Figure 165 montre ue presue tous les processeurs αi et βj e la Figure 164 sont négligés. La relation α peut s écrire sous la forme suivante : m k u α α EG () t k = b' ueg( t) b u( t), k 1, ' k m b k = bk k= t E. 212 n k y () β βk EF t = a' ( ) ( ), 1, ' k k yef t aj y t k n a k = ak k= t L E. 212 montre ue si l ientification es coefficients u système est parfaite, sauf pour les coefficients b et a, alors la commane peut aisément être simplifiée (Figure 165). Il ne faut alors, pour cet exemple, ue eux capteurs pour corriger, e façon globale, le fonctionnement u système. Par contre, si les ientifications es paramètres a k et b k ne sont plus parfaites, et ue la structure e commane reste inchangée, les coefficients es processeurs α et β perent alors tous sens physiue. 151

154 Il est alors possible e faire es éplacements e processeurs, Figure 165, e la même façon ue l on éplacerait es composants un schéma bloc [CHAUVEAU 1994]. Dans ce cas, les processeurs α et β eviennent es correcteurs «fourre-tout», pour lesuels la solution la plus courante est utiliser un correcteur PID pour chercher à résoure tous les problèmes. Ainsi, les critères e réglage e α et β ui corresponaient simplement à un critère purement physiue, issu e l erreur estimation es paramètres, sont écartés Commane à moèle e comportement (CMC) appelons ue la commane en Boucle Non-Fermée un moteur linéaire est à l évience peu robuste face à es variations paramétriues. Une iée simple consiste onc à coupler une commane e type Boucle Non-Fermée avec une commane e type Boucle Fermée pour augmenter la robustesse e l ensemble : La première méthoe, ui consiste à tenter e rapprocher les coefficients e BNF e ceux u moèle u processus, a conuit au éveloppement e la commane à moèle e référence es états (CME). L objectif était bien e retrouver les mêmes paramètres entre la commane et le moèle u système. La euxième méthoe est plutôt e consiérer ue les coefficients u moèle et ceux la commane ne oivent pas être ientiues. En ce sens, la compensation ui avait été ajoutée ans la CME (Figure 164), n aura plus le même rôle ici. La commane va onc imposer un nouveau comportement au système. La compensation par Boucle Fermée peut apporter ici une contrainte sur le processus ui va l obliger à suivre le comportement u moèle retenu ans la commane en Boucle Non-Fermée. Cette approche est connue sous le nom e commane à moèle e comportement (CMC) [VULTUESCU 24]. La structure e commane correspon à un moèle ifférent e celui u système. Les processeurs α et β ont alors pour rôle e amener le système à se «comporter» comme le moèle éfini ans la commane. ( ) u () t ( ) u ( ) Process ( m 2) u ( ) ( m 2 ) u () t m 2 bm 2 ( m 1) u ( m 1 ) u ( ) () t m 1 bm 1 ( m) u () t b m m () i n ( j) ( n 1) ( n) y y ( n 2) ( ) y ( bu = ay ) i () t j ( ) y n 1 ( n 2) ( ) y ( () t y ) i= j= ( ) y () t () t () t () t 1/ an n 1 n 2 an 1 an 2 b a α β b ' a ' b ' m 2 a ' n 2 b ' m 1 a ' n 1 ( ) u EF () t c ( ) u EF ( ) cm 2 cm 1 ( m 2) ( m 1) u u EF () t ( m 2) EF() t ( m 1) u u EF( ) EF( ) b m ( m) u EG () t 1/ an cn 1 cn 2 c ( n) ( n 1) y EF () t ( n 1) y ( n ) y EF () t ( n 2) y 2 ( ) m () i n ( j) y EF( ) y EF() t ( ) EF () y t bu = i () ay EF t j EF() t EF( ) EF ( ) i= j= Figure 166 : Structure e commane mixte BNF et BF appelée CMC La Figure 167 présente l architecture simplifiée e la commane à moèle e comportement. 152

155 u y Moèle u Commane y y EF u EG u EF Figure 167 : Architecture e la Commane à Moèle e Comportement (CMC) Cette commane peut s appliuer au phénomène e non-linéarité es inuctances. Pour le cas u moteur linéaire LMD1-5, le moèle u moteur linéaire (Figure 75), la non-linéarité es inuctances entraîne une iminution e la valeur es inuctances. e abc 5 5 v V abc φ abc / i φ abc / x 6 e abc i abc V 1 1 Labc Tem 2 4 x T r 7 T mot 8 8 v 9 x V abc 3 3 i abc T cog T s + T f 1 v 11 Figure 75 : eprésentation en GIC u moèle e PMSLM en saturé Cette fluctuation paramétriue es inuctances peut être perçue comme un comportement non ésiré, car c est un comportement non linéaire u moteur linéaire. Ainsi, il pourrait être avantageux introuire une commane à moèle e comportement pour éliminer les effets non linéaires e ces inuctances. La Figure 168 présente la structure e commane ainsi obtenue : 153

156 e abc 5 v V abc φ abc / i φ abc / x 6 e abc i abc V 1 Labc Tem 2 4 x T r 7 T mot 8 v 9 x Vabc 3 iabc T cog Ts + T f 1 v 11 CMC T cogef c3 T s + T i f abcef c1 V abcef T emef T motef c1 c 2 c 4 c7 c8 Vab ceg V LabcEF iabcef x T EF c6 r L abcef e abcef φabcef / x e abcef v c5 EF v EF c11 x EF c9 Control x EF Figure 168 : Commane à Moèle e Comportement (CMC) pour les inuctances La Figure 168 montre ue la graneur e commane est toujours la tension inuctance. 1 x 14 jerk e reference 15 Tensions inuctance e reglage V reg j ref (en m/s-3) V reg / V reg (en V) 1 5 V reg a ref (en m/s) t (en s) Acceleration e reference 3 2 a ref t (en s) (en N) ref / T em est / T em sim T em t (en s) Force e reference, estimee et simulee 2 15 T em ref T em est t (en s) T em sim

157 2.5 Vitesse e reference, mesuree et simulee.25 Positions e reference, mesuree et simulee v ref / v mes / v sim (en m/s) v ref v mes v sim x ref / x mes / x sim (en m) x ref x mes x sim t (en s) t (en s) Figure 169 : Commane à Moèle e Comportement CMC pour les inuctances (en simulation) Pour établir une comparaison entre la commane à moèle e comportement et la commane en BNF par la érivée n ième, la Figure 17 présente es simulations e ces commanes en utilisant le moèle complet u moteur linéaire, mais sans les forces e frottements, ui ne peuvent pas être prises en compte ans la génération e la référence. La référence est ientiue pour les eux commanes. Toutefois, l écart sur la vitesse inuit sur le moteur une erreur en courant, ui est alors compensé ans la commane CMC par le bouclage u courant, et ui n est pas compensé ans le cas e la BNF. Cela signifie u il est ifficile e issocier l apport e la CMC ans la réuction u comportement non linéaire es inuctances sur la force u moteur. En effet, les autres phénomènes se «superposent» sur le courant u moteur et interviennent onc ans la boucle en courant e la CMC. 2 Force e reference, estimee et simulee 2 Force e reference, estimee et simulee (en N) em ref / T em sim T T em ref T em sim T em ref / T (en N) em sim T em ref T em sim t (en s) t (en s) 2.5 Vitesse e reference et simulee 2.5 Vitesse e reference et simulee 2 v ref 2 v ref v ref / v sim (en m/s) v sim v ref / v sim (en m/s) v sim t (en s) t (en s) Figure 17 : Comparaison e la Commane en BNF par la érivée n ième et e la CMC (en simulation La ifficulté reste ici e éfinir la graneur e e frottement et les forces e étente. référence e cette commane en intégrant les forces 155

158 Commane en BNF et génération es références par simulation en BF Une autre solution proposée ici est établir la graneur e référence par un calcul e simulation en Boucle Fermée e la commane u moteur linéaire, en intégrant un maximum e phénomènes ientifiés au préalable. Puis, la graneur e érivée n ième, calculée par la simulation, est mémorisée et appliuée au contrôle temps réel, Figure 171. Bien ue la Figure 171 soit composée un gran nombre e processeurs, le respect es règles e construction u GIC permet une lecture et une compréhension instantanées u schéma. ( ) u () t u ( ) ( ) ( m 2) u () t ( m 2) u ( ) m 2 ( m 1) u ( ) u m 1 ( ) () t m 1 b m m () i n ( j) ( n 1) ( n) y y ( n 2) ( ) bu = ay i () t j () t ( ) ( ) y n 1 y ( n 2) ( ) y y ( ) i= j= ( ) y () t () t () t () t 1/ an n 1 n 2 Process bm 2 bm 1 u ( m) () t an 1 an 2 b a ( ) u () t ( ) u ( ) c ( m 2) u ( ) ( m 2 ) u () t cm 2 ( m 1) u ( m 1 ) u ( ) () t cm 1 u ( m) () t 1/ b m m () i n ( j) bu = i () ay t j () t i= j= ( n) y () t ( n 1) y ( n 2) ( ) y ( ) ( ) y n 1 ( n 2) ( ) y y ( ) ( ) y () t () t () t an cn 1 cn 2 c controlbnf bm 2 bm 1 an 1 an 2 b a ( ) u () t ( ) u ( ) ( m 2) u ( ) ( m 2 ) u () t m 2 ( m 1) u ( m 1 ) u ( ) () t m 1 ( m) u () t b m m () i n ( j) ( n) y ( n 1) () t y ( n 2) ( ) y ( ) bu = i () ay t j () t ( ) y n 1 ( n 2) ( ) y y ( ) i= j= ( ) y () t () t () t 1/ an n 1 n 2 Moel bm 2 bm 1 an 1 an 2 b a ( ) u () t ( ) u ( ) c ( m 2) u () t cm ( m 2) ( m 1) u u ( ) ( ) ( m 1 ) u () t 2 cm 1 u ( m) () t 1/ b ' m m () i n ( j) bu = i () ay t j () t i= j= ( n) ( n 1) y y ( n 2) () t ( ) y ( ) ( 1) ( ) y n ( n 2) y y ( ) ( ) y () t () t () t a ' n cn 1 cn 2 c SimuBF b ' m 2 b ' m 1 a ' n 1 a ' n 2 b ' a ' Figure 171 : Commane en BNF avec la référence en érivée n ième issue e la Simulation e la commane u moèle en BF Les avantages e cette méthoe : Elle permet e générer e façon automatiue une graneur e référence ont l approche mathématiue est trop complexe pour être réalisée e façon systématiue pour certains systèmes multi-variables. Elle n est onc nécessaire ue pour les systèmes ont la complexité ne permet pas la génération e graneurs e référence. La commane u moteur linéaire s effectue sans capteur. Cela iminue onc le prix e cette solution. Les inconvénients e cette méthoe : La graneur e référence est forcément approchée puisu elle résulte un calcul en Boucle Fermée, et inclut onc les retars classiuement présents ans les systèmes bouclés. 156

159 Cette méthoe reuiert avoir un moèle suffisamment complexe pour justifier e son intérêt. Cela impose onc une étape e moélisation poussée ui est souvent très coûteuse en temps. La commane appliuée au système étant en Boucle Non-Fermée, elle ne permet pas e faire face à es perturbations extérieures non moélisées. La simulation en Boucle Fermée e la commane u moteur linéaire n est valable ue si le réglage es correcteurs permet obtenir les performances reuises ans le cahier es charges. La Figure 172 montre les résultats e simulation pour un éplacement e 2cm en bang-bang e jerk e 2m/s², à 2m/s e vitesse maximale. 3 Acceleration e reference 15 Tension inuctance e reglage a ref (en m/s) a ref V reg (en V) t (en s) t (en s) 15 Force e reference et simulee 2 Tension inuctance simulee T em ref / T em sim (en N) T em ref T em sim V Lan sim (en V) t (en s) Vitesse e reference et simulee t (en s) Positions e reference et simulee.3 v ref / v sim (en m/s) v ref v sim x ref / x sim (en m).2.1 x ref x sim t (en s) t (en s) Figure 172 : Position e référence et estimée en BF (en simulation) Les paramètres e la simulation pour le réglage e la Boucle Fermée, et plus particulièrement les valeurs es correcteurs utilisées pour les asservissements, sont les suivants : Boucle e courant : Ki=1A/V; Ti=L/=4,9ms; Boucle e vitesse : Kp=3A/m/min; gain anticipation en vitesse = 1; Boucle e position : Kv=1m/min/mm ; 157

160 La Figure 172 montre sur le relevé e la force e poussée un bruit numériue ont l origine n est pas clairement ientifiée à ce jour. Néanmoins, l origine la plus probable est un problème e convergence numériue lié au changement brutal e l accélération e référence lors e la phase e écélération, et au pas échantillonnage trop faible (ici 1µs e pas e calcul). La Figure 172 montre alors la graneur e réglage e la commane en fonction u temps (en s). Il s agit ici e la tension alimentation e réglage V an_reg suivante. Cette tension alimentation comporte, ans les phases accélération et e écélération, es oscillations supplémentaires à haute fréuence (5 fois la fréuence e la graneur fonamentale). Elles corresponent à la compensation es harmoniues e force électromotrice. La Figure 172 montre aussi ans la partie centrale un surplus harmoniues par rapport à la phase accélération et e écélération. Ils corresponent à la compensation es harmoniues inuits par la force e étente à compenser. L erreur e position résiuelle est mesurée entre la référence e position et la position mesurée e la simulation en Boucle Fermée e la commane u LMD1-5 (Figure 173). La précision obtenue en simulation est e l orre e 3µm sur l erreur ynamiue et moins e 1µm sur l erreur statiue en fin e mouvement..3 Positions e reference et simulee 2 Erreur en position x ref / x sim (en m).2.1 x ref x sim x ref - x sim (en µm) t (en s) t (en s) Figure 173 : Position e référence et estimée en BF (en simulation) 3.5 Conclusion A l aie u formalisme u Graphe Informationnel Causal et e ses principes inversion irecte et inirecte, ifférentes structures e commane en Boucles Fermées et en Boucles Non-Fermées ont été analysées. Finalement, ans un contexte e machine e prouction à ynamiue élevée, la commane en Boucles Fermées e type boucles en cascae avec anticipation reste la plus performante. L intégration ans la BF e courant un multiple correcteur résonant permet améliorer les performances e la commane en force en réuisant les onulations e la force e poussée. Les structures e commane e type Boucles Non-Fermées permettent e réuire les coûts en capteurs, mais n offrent pas la robustesse es commanes en BF. D autre part, les problèmes liés au réglage es gains asservissement ans le cas es commanes en BF sont reportés ans la commane ième en BNF sur la génération es graneurs e référence, u elles soient issues e la érivée n ou e l expression e la sortie plate u système. Dans le cas u LMD 1-5, une commane en BNF onne tou tefois e bons résultats, si la génération e la érivée n ième est réalisée par une simulation en BF u moèle le plus étaillé possible. 158

161 Conclusion générale Bilan es travaux présentés L objectif e cette thèse porte sur l amélioration e la commane en force e poussée un moteur linéaire synchrone à aimants permanents. Un état e l art e ces actionneurs a été présenté ans un premier temps : il montre ue les commanes inustrielles pour ces systèmes s établissent classiuement à l aie un moèle au premier harmoniue u moteur linéaire. L amélioration e ces structures e commane passe onc, tout abor, par une étape e moélisation pour mieux comprenre l origine et l influence es ifférents phénomènes électriues et magnétiues présents ans ces actionneurs : L analyse es harmoniues e forces électromotrices (à vie et en charge) a été réalisée à l aie une moélisation analytiue et par la méthoe es éléments finis, puis a été valiée expérimentalement. Il apparait ue ce phénomène génère es onulations e force e près e 8% e la valeur e référence ans le cas u moteur LMD1-5. La saturation es inuctances a ensuite été aborée, en consiérant l influence es courants u primaire, mais aussi la présence es aimants ans le processus e saturation. Une approche analytiue, la méthoe es éléments-finis et une valiation expérimentale ont montré ue ce phénomène ten à augmenter la valeur es courants es trois phases sans pour autant changer le niveau e force : u fait e la forte non-linéarité e ce phénomène et e son couplage avec celui es forces électromotrices en charge, il reste ifficile évaluer précisément l impact e la saturation es inuctances sur la génération e la force e poussée. Le ernier phénomène pris en compte est la force e étente. Il est possible e sciner l analyse es phénomènes propres à la enture (force e cogging) et ceux es eux extrémités u primaire (force extrémités). Les résultats expérimentations vérifient bien ue l amplitue e la force e étente reste constante et égale à 4N au maximum. Cela limite onc les nuisances e ce phénomène au fonctionnement à basse vitesse. Les résultats e la moélisation sont représentés à l aie un formalisme it à énergies localisées : le Graphe Informationnel Causal (GIC). En effet, il facilite la compréhension u moèle et, grâce à ces propriétés inversion, il favorise la étermination systématiue es structures e commane aaptées au moèle retenu. Ainsi, pour améliorer la commane en force u moteur linéaire, nous avons cherché à comprenre la structure es commanes classiues, en appliuant les méthoologies 'inversion u GIC. La éfinition e structures e commane en Boucles Fermées et Non-Fermées a ainsi été analysée : La commane en Boucle Fermée s obtient à partir u principe inversion inirecte. Elle permet obtenir es commanes u type boucles en cascaes ou commane par retour état. Il a été montré ue les commanes inustrielles utilisent spontanément une structure e commane simplifiée, avec peu e co mpensation es phénomènes issipateurs 62. Deux techniues e compensation es harmoniues e forces électromotrices ont été présentées : la méthoe es multi-référentiels e Park avec es correcteur PI, et le multiple correcteur résonant auto-aaptatif ans le repère iphasé. Au niveau expérimental, le correcteur résonant onne e bons résultats pour le contrôle en force u moteur linéaire. 62 Tels ue les chutes e tension ohmiue, les forces e frottements visueux, les forces électromotrices, etc. 159

162 La commane en Boucle Non-Fermée est ensuite aborée à l aie u principe inversion irecte u GIC. Elle permet e éfinir les structures e commanes sans capteurs. La commane par la n ième érivée e la graneur à contrôler montre es résultats e l orre e 2% erreur par rapport à la référence en position emanée. Toutefois, ces commanes souffrent e la ifficulté à générer la graneur e référence ans le cas es systèmes non-linéaires. Enfin, la commane mixte, incluant la commane en BNF et celle en BF, est présentée. Ces structures se basent sur es commanes à moèle e référence. L origine mathématiue et graphiue est présentée pour le cas général e la commane à moèle e référence es états (CME) et pour sa version simplifiée, appelée commane à moèle e référence global (CMG). Il est ensuite rappelé ue ces structures e commanes cherchent à se rapprocher un comportement e référence u système. Un autre point e vue est e consiérer ue c est le système ui oit s aapter au moèle e la commane. C est la commane à moèle e comportement (CMC). Une valiation expérimentale confirme l intérêt e cette méthoe pour le contrôle en force un moteur linéaire. Des structures classiues e commane inustrielles ont été analysées et e nouvelles structures e commane ont ensuite été proposées pour améliorer la commane en force 'un moteur linéaire LMD1-5 e la société ETEL. La structure e commane e type boucles en cascae avec es anticipations reste la plus performante. Nous avons montré u il était possible améliorer ces structures e commane en intégrant un multiple correcteur résonant ans la BF e courant. Cela permet e réuire e près e 8% l onulation e force engenrée ans le moteur linéaire par les ifférents phénomènes électriues et magnétiues. La commane à moèle e comportement permet également obtenir es résultats satisfaisants sur la commane en force e poussée. Toutefois, la ifficulté e générer es graneurs e référence réuit consiérablement l intérêt une telle méthoe. Perspectives La moélisation un moteur linéaire synchrone a été réalisée (e manière étaillée) en vue améliorer sa commane en force e poussée. Toutefois, il reste uelues points ui n ont pas été traités ici. En effet, la moélisation a tenu compte e ivers phénomènes tels ue les harmoniues e forces électromotrices à vie et en charge, les saturations es inuctances, et les forces e étente. D autres phénomènes, tels ue les courants e Foucault ans les aimants, inuisent es pertes ui augmentent localement la température es aimants. Des phénomènes hystérésis ans les tôles ferromagnétiues sont visibles sur les relevés es inuctances ynamiues, et moifient légèrement la symétrie es courants. Les forces e étente sont soumises aux champs magnétiues issus es courants, ui saturent les ents u primaire. Bien ue ces phénomènes aient été négligés ans le cas u LMD1-5, ces axes e recherche pourraient s avérer importants pour autres types e moteurs linéaires. Pour les structures e commane présentées, ans les cas es structures e commane en Boucles Fermées, la structure e commane par boucles en cascaes avec anticipation se rapproche e la commane par retour état. Il pourrait être intéressant e mieux formaliser ce rapprochement. De même, la structure commane par Boucles Fermées avec une pré-commane (anticipation) se rapproche e la structure e commane à moèle e comportement (CMC). Une analyse plus fine permettrait e mieux comprenre les ifférences entre ces eux structures. Enfin, la commane sans capteur onne e bons résultats sur le moteur linéaire. Il serait intéressant analyser la robustesse e cette structure e commane en fonction e variations paramétriues. 16

163 L objectif e cette thèse s'inscrit également ans une émarche plus générale 'optimisation e la commane 'un actionneur linéaire synchrone pour un axe e positionnement rapie. Les systèmes e positionnement ultra précis tels ue les robots assemblage (Figure 174) sont aujour'hui éuipés e moteurs linéaires its «en Gantry» : cette technologie utilise, pour un même axe, eux moteurs linéaires commanés par eux variateurs e vitesse. Aujour hui, nos partenaires inustriels oivent faire es compromis entre la précision e positionnement et les performances ynamiues e leurs systèmes. Or, les performances e ces systèmes en Gantry épenent fortement e la structure mécaniue et es commanes utilisées. Ainsi, ans ce contexte e commane e moteurs linéaires en Gantry, et si l'on veut réaliser es commanes optimales pour ces systèmes, il est nécessaire e isposer e bons moèles e moteurs linéaires : «On ne commane bien ue ce ue l'on connaît bien». Les moèles actuels consièrent la structure mécaniue comme «rigie», c'est-à-ire ue les éformations e structure ne sont pas consiérées comme perceptibles au niveau e la pointe outil. Cepenant, ans le omaine e la machine outil, l évolution es systèmes actuels ten à augmenter la ynamiue es systèmes : la solution mécaniue retenue est la réuction es masses embaruées, ce ui signifie l utilisation e matériaux plus légers tels ue l aluminium, mais ui sont plus sensibles aux éformations structurelles. Ainsi, le comportement «souple» e ces structures mécaniues ne peut onc plus être négligé. Cette thèse ouvre onc sur e multiples perspectives : prenre en compte un moèle «souple» e la structure e liaison mécaniue, et établir e nouvelles lois e commane aaptées. évelopper le formalisme u GIC pour la représentation es systèmes MIMO ; Figure 174 : obots 'assemblage its «en Gantry» e très grane précision 161

164 A1 Liste es Fabricants e PMLSMs Le tableau ci-essous présente une liste non exhaustive es principaux fabricants e moteurs linéaires synchrones à aimants permanents monolatéraux : Constructeurs Liens UL Pays Aerotech USA Airex Corporation USA Amacoil USA Anora Corp (ockwell Automation) USA Applie Engineering USA Balor (NorMag) USA Bosch exroth (Inramat) USA California Linear Devices USA Clevelan (Danaher) Allemagne Compumotor (Parker Hannifin) USA Dover (Danaher) USA ETEL Suisse Fanuc Lt Japon H2W Technologies USA Inustrial Devices Corporation (Danaher) USA IntelLiDrives USA GE Fanuc Automation USA Jmar USA Krauss Maffei Allemagne MagneMotion USA MTS Systems USA NEAT (Danaher) USA Nutec Components USA Phase Motion Control Italie Power Superconuctor USA Siemens Allemagne Skf USA Trilogy Systems USA 162

165 A2 Paramètres u LMD1-5 ETEL Le tableau ci-essous présente une liste es principales graneurs géométriues u LMD1-5 ETEL : Composants Liste es paramètres Symbole Valeur Longueur u primaire L p 173mm Largeur u primaire l p mm Nombre e phases 3 Nombre e paires e pôles p 1 Nombre e spires par phase n s - Nombre encoches n e 12 Primaire Pas encoche τ e 13.3 mm Largueur une ent l 6.8 mm Largeur une encoche l e 6.5 mm Profoneur encoche - Epaisseur plaue h pp - Epaisseur culasse h p - Nombre e brins n b - Pas polaire τ p 16 mm Longueur es aimants a 14 mm Seconaire Largeur es aimants L a 5 mm Hauteur es aimants h a 4 mm Epaisseur plaue h mm Epaisseur culasse mm Entrefer Epaisseur e l'entrefer e,8 mm ps h s Force e poussée nominale (N) Force e poussée maximale (N) Photographie u LMD1-5 ETEL. Entrefer (mm) Courant nominal (A) Courant maximal (A) Paires e pôles p Pas polaire (mm) Coefficient e poussée (N/A) , Tableau es caractéristiues u LMD

166 8/6mm Plaue Fer 39/ 6mm 15 Encoche Culasse 1 Dimensions e l'encoche u primaire Dimensions es aimants permanents α β A A B B C C A A B B C C z y x S N N S S N N S S N N S S N N S S N N S S N N S épartition es phases A, B et C ans le primaire 164

167 A3 Paramètres u LIMES 4/12 P12 e Siemens Le tableau ci-essous présente une liste es principales graneurs géométriues u LIMES 4/12 TS P12 1 MQ1 e Siemens : Composants Liste es paramètres Symbole Valeur Longueur u primaire Lp 493mm Largeur u primaire lp 12mm Nombre e phases 3 Nombre e paires e pôles p 6 Nombre e spires par phase ns 2*3 Nombre encoches ne 39 Pas encoche τ e 12 mm Largueur 'encoche s 3 mm Largeur pleine encoche 6 mm Profoneur encoche 3 mm Epaisseur plaue Epaisseur culasse Nombre e brins Pas polaire Longueur es aimants Largeur es aimants Hauteur es aimants Epaisseur plaue le hpp hp,4 mm 2 mm nb 3 36 mm l a 3 mm La 126 mm ha 4,5 mm,7 mm τ p hps Epaisseur culasse 2 mm Entrefer Epaisseur e l'entrefer e 1.1 mm hs Photographie u LIMES 4/12 P12 e Siemens Force e Force e Courant Courant Paires Pas Coefficient poussée poussée Entrefer nominal maximal e pôles polaire e poussée nominale maximale (m m) (A) (A) p ( mm) (N/A) (N) (N) , Tableau es caractéristiues u LIMES 4/12C 12P 165

168 4, ,5 28,5 3 9 Encoches 493 Fer 5,5 Dimensions géométriues u primaire 2 3 1,5,4 Dimensions e l'encoche u primaire Photographie u banc SEPO à moteurs linéaires 166

169 Dimensions es aimants permanents Analyse thermiue u primaire pour la étermination u bobinage épartition es phases A, B et C ans le primaire 167

170 A4 Transformée usuelle Il existe ifférentes relations pour appliuer les transformées e Park et e Concoria, suivant les graneurs entrée et e sortie e la transformation : Source Cible Expression littérale Transformée e Park [X a,x b,x c ] [Y,Y ] [X,X ] [Y a,y b,y c ] x T = x T 2π 2π cos( xθe) cos x( θe ) cos x( θe ) π 2π sin ( xθe) sin x( θe ) sin x( θe + ) 3 3 cos( xθe) sin ( xθe) π π cos x θe sin x θe = π 2π cos x θe + sin x θ e Transformée e Concoria [X a,x b,x c ] [Y α,y β ] [X α,x β ] [Y a,y b,y c ] C x C 2π 2π 1 cos cos 2 x x 3 3 = 3 2π 2π sin x sin x π 2π = π 2π cos x sin x x 2 cos x sin x 168

171 A5 Documentation techniue u LMD

172 A6 Méthoes 'ientification expérimentale es inuctances Pour les machines à aimants permanents éposés, nous consiérons classiuement ue les phénomènes e réluctance variable u rotor sont inexistants. Cette habitue se justifie parfaitement si l'hypothèse e non saturation es circuits magnétiues est aoptée. Dans le care e notre étue, nous souhaitons observer plus finement les éventuels phénomènes e saturation es tôles ferromagnétiues au niveau es ents e la partie primaire e l'actionneur. Par conséuent, nous sommes amenés à étuier es phénomènes e variation e réluctance, et onc 'inuctance, sur une machine à pôles lisses. Cette émarche n'étant pas habituelle, les références bibliographiues e ce chapitre ne corresponent pas au type e l' actionneur étuié, mais à es machines, souvent tournantes, pour lesuelles les phénomènes e réluctance variable sont importants, voire préponérants. En effet, ans la littérature, il existe e nombreux travaux ui présentent es méthoes e positionnement es aimants pour l'i.p.p. (Initial Pole Position) [EMY 23], ou encore es méthoes e contrôle e position sans capteur pour machines à réluctance variable [HUOLIVA 1995], basées sur la mesure es variations 'inuctance es enroulements liées à la saillance e la partie mobile (rotor) [AIME 1998]. Nous présentons ici les ifférentes méthoes classiues 'ientification 'une inuctance e machine à partie mobile blouée, ainsi ue le principe e eux méthoes 'ientification en temps réel e l actionneur en mouvement. Méthoes 'ientification expérimentale classiues [SE-YUEN 22] présente six méthoes classiues pour la mesure 'inuctance. Nous les classons ici en eux groupes principaux : l'analyse harmoniue et l'analyse temporelle. Nous cherchons à ientifier les inuctances 'une machine, en fonction e la position, à partir es graneurs électriues mesurables : le courant et la tension. L'évolution e ces graneurs est régie par l'éuation ifférentielle suivante : ut () = [ r] it () + ( Lxi (, ) it ( ) ) + φm ( x) t t E. 213 Nous pouvons l écrire en faisant apparaître le terme e vitesse v : ut () = [ r] it () + Lxi (, ) it () t + E. 214 L( x, i) i() t L( x, i) v i( t) v m ( x) i t x + + x φ La simplification e cette expression repose sur une iée très simple [STUMBEGE - 2] : travailler à primaire bloué, e manière à éliminer tous les termes faisant intervenir la vitesse. Ainsi, nous ne travaillons ue sur l'éuation ifférentielle reliant le courant à la tension : ut () = [ r] it () + Lxi (, ) + Lxi (, ) it ( ) it () i t Toutes ces méthoes sont onc à utiliser avec la partie mobile mécaniuement blouée. Analyse harmoniue Mesure e la fréuence e résonance en oscillation forcée E

173 Cette méthoe nécessite l'utilisation 'un conensateur e capacité connue, en série avec l'enroulement à ientifier, pour la réalisation 'un circuit oscillant. Une résistance e faible valeur est également placée en série avec le circuit, afin e limiter le courant à la fréuence e résonance. Le ispositif expérimental est écrit par la figure suivante [SE-YUEN 22] : Figure 175 : Mesure e la fréuence e résonance par oscillation forcée et par oscillation libre A la résonance, nous avons la relation e l éuation suivante ui permet, connaissant C, e éuire la valeur e l'inuctance. 1 ω = E. 216 L C Notons ue, pour cette méthoe, la précision e la connaissance e la capacité u conensateur influence la précision u résultat. Pour une alimentation allant jusu'à 1 khz et un conensateur plastiue e 1 µf, la plus petite inuctance mesurable avec cette méthoe est e 1 µh. Les inuctances e la machine étuiée sont e l'orre e 1 mh. Cette méthoe est onc applicable ans notre cas. Mesure e la fréuence e résonance en oscillation libre Lorsue l'inuctance à mesurer est inférieure à 1 µh [SE-YUEN 22], l'erreur introuite par les inuctances parasites es connexions evient trop importante. En souant le conensateur irectement aux bornes u ipôle à ientifier, cette méthoe permet e s'affranchir e ce problème. L'excitation u ipôle ainsi constitué se fait par impulsions e tension, selon le montage ci-essus. Le principe e mesure e l'inuctance est le même ue pour la méthoe précéente, appliué aux oscillations libres. Cette méthoe pourrait être appliuée pour l'ientification es mutuelles inuctances à conition 'avoir accès au neutre e la machine. Nous isposons également e méthoes 'ientification 'inuctances basées sur l'observation e signaux ans le omaine temporel. Analyse temporelle Essai en sinusoïal Tout 'abor, nous pouvons simplement éuire la valeur e l'inuctance à partir u calcul e l'impéance : 171

174 Ueff 2 Z = = rl + L I eff ( ω) 2 E. 217 D'autres méthoes, sans intérêt particulier pour notre objectif, sont basées sur l'analyse u courant et es tensions 'un circuit L série [SE-YUEN 22], en prenant et ω tels ue >> L.ω >> r L ; elles ne seront pas éveloppées ici. Essai iniciel Pour une bonne précision, cette méthoe n'est applicable [SE-YUEN 22] ue pour es valeurs 'inuctances supérieures à 1 µh. Elle consiste en l'observation e l'évolution temporelle u courant ans le bobinage à ientifier, soumis à un échelon e tension. Une réalisation possible e l'essai utilisant une résistance pour visualiser le courant e écharge e l'inuctance est présentée ci-essous : Figure 176 : Dispositif expérimental et réponse inicielle associée Après avoir mesuré la résistance totale e la boucle e écharge (r + ), la valeur e l'inuctance est éuite e l'ientification e l'évolution e la tension V aux bornes e la résistance e mesure avec la résolution e l'éuation ifférentielle. Ainsi, l'auteur propose : L= r+ T E. 218 ln 2 ( ) 1/2 Plus classiuement, nous pouvons nous limiter à la constante e temps τ = L = T63% E. 219 r+ Au premier abor, ces méthoes semblent fiables et simples à appliuer. Cepenant, nous n'avons traité ni le problème u blocage u primaire e l'actionneur, ni le problème à l'origine e notre étue : la saturation u matériau ferromagnétiue. Exploitation es signaux M.L.I. Pour faire u contrôle e position sans capteur pour machines à réluctance variable, nous pouvons utiliser les effets liés à la saillance u rotor [HUOLIVA 1995]. Pour cela, les auteurs proposent une m éthoe e mesure e l'inuctance es enroulements à partir es signaux 'alimentation. En faisant l'hypothèse 'un fonctionnement e la caractéristiue linéaire u matériau magnétiue, l'éuation électriue 'un enroulement est la suivante : ( L( θ ) i( t) ) i ( t) L( θ ) u() t = r. i() t + = r. i() t + L( θ ) + i() t E. 22 t t t D' où l'expression e l' inuctance en fonction u temps : 172

175 L ( θ ) (). () i () t ( θ ) L u t r i t i() t = t E. 221 t En supposant ue le courant croît linéairement urant les eux phases e la MLI, les signaux isponibles pour la mesure sont les suivants : Figure 177 : Signaux MLI Les auteurs utilisent ensuite l'hypothèse 'invariance u courant moyen, e la résistance et e l'inuctance sur une périoe MLI e manière à écrire : ( U1 r. i L i) ( U2 r. i L i t t ) U1 U2 L( θ ) = = E. 222 i () t i () t i () t i () t t t t t Avec les inices 1 et 2 respectivement pour les phases 1 et 2 (Perio 1 & 2) e la MLI. Le principe est 'utiliser le moe 'alimentation e l'actionneur à étuier : en échantillonnant les graneurs mesurables (courants, tensions) à une fréuence 3 à 5 fois supérieure à la fréuence e moulation e largeur 'impulsion (M.L.I.) nous evrions théoriuement pouvoir obtenir 2.f MLI informations par secone sur la matrice inuctance. Classiuement, nous prenons f MLI = 8 khz, ce ui impliue une acuisition à une fréuence minimum f e = 24 khz. Dans notre cas, l'éuation électriue est matricielle et fait intervenir un terme e force électromotrice : u () t = [] r i () t + L ( x, i) i () t t L( xi, ) it () Lxi (, ) v it ( ) v m_ () x i t x x φ E. 223 Nous avons accès aux courants, aux tensions, à la position et nous pouvons reconstruire les forces électromotrices en fonction e la position. En faisant l'hypothèse ue les inuctances ne varient pas sur une périoe MLI, nous sommes onc capables e calculer les inuctances au cours 'un éplacement u primaire. 173

176 Injection 'un signal haute fréuence Contrairement à la précéente, cette méthoe se focalise sur un autre aspect es éuations électriues e la machine pour remonter jusu'à la matrice inuctance. Il s'agit 'utiliser une commane ans le repère e Park e l'actionneur et 'injecter un signal sinusoïal haute fréuence aux références e tension v et v [BIZ - 21]. Il suffit ensuite 'isoler les signaux haute fréuence sur les courants mesurés et e calculer l'impéance, comme l'illustre la figure suivante : Figure 178 : Schéma e principe e la méthoe par injection 'un signal HF [AIME 1998] Ainsi, par exemple, pour l'axe, nous avons : U Z = = r + L ω E. 224 _ HF _ eff L 2 I _ HF _ eff ( ) 2 Toute la ifficulté e la m éthoe résie ans le choix e la fréuence es signaux à injecter et ans la récupération par filtrage es signaux sur les courants i et i. En effet, les signaux haute fréuence oivent passer à travers l'onuleur et onc avoir une fréuence très inférieure à celle e la MLI, tout en ayant une fréuence suffisamment élevée pour ne pas perturber le bon fonctionnement u système. Dans n otre cas, une fréuence e l'orre u kilohertz permettrait e passer à travers l'onuleur ont la MLI fonctionne à 8 khz. 174

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189 Liste es publications Le travail présenté ans cette thèse a onné lieu à la publication un certain nombre articles à l occasion e ifférents congrès internationaux et nationaux avec actes, ainsi ue es publications ans iverses revues : Articles e evues Internationales : [I5] G. emy, J. Zeng, P.J. Barre, P. Degobert, J.P. Hautier, "Compensation of the Non-Sinusoial Electromotive Force with Multiple-Freuency esonant Controller for a PMLSM", Transactions on Inustrial Application of IEE, Japan, Vol. 1, Oct. 26. [I4] G. emy, A. Tounzi, P.J. Barre, F. Piriou, J.P. Hautier, "Application of Finite-Element Metho to a PMLSM with Non-Sinusoial Electromotive Force", Transactions on Inustrial Application of IEE, Japan, Vol. 1, Oct. 26. [I3] G. emy, P.J. Barre, J.P. Hautier, "Application of the Causal Orering Graph to Synchronous Motors, Part II: Control Design", WSEAS Transactions on POWE SYSTEMS, Vol. 1, No.2, Feb. 26, pp , ISSN: [I2] G. emy, P.J. Barre, P. Degobert, J.P. Hautier, "Application of the Causal Orering Graph to Synchronous Motors, Part I: Moel Description", WSEAS Transactions on POWE SYSTEMS, Vol. 1, No.2, Feb. 26, pp , ISSN: [I1] G. emy, J. Goman, P.J. Barre, J.P. Hautier, "New Current Control Loop with esonant Controllers by using the Causal Orering Graph, Application to Machine Tools", WSEAS Transactions on SYSTEMS, Vol. 5, No.1, Jan. 26, pp , ISSN: Conférences Internationales avec comité e lecture : [CI12] G. emy, G. Krebs, A. Tounzi, P.J. Barre, "Finite Element Analysis of a PMLSM (part 2) - Cogging force an en-effect force calculations", LDIA 27, 6th International Symposium on Linear Drives for Inustrial Applications, Lille, France, Sept. 27 [CI11] G. emy, G. Krebs, A. Tounzi, P.J. Barre, "Finite Element Analysis of a PMLSM (part 1) - Meshing techniues an thrust computations", LDIA 27, 6th International Symposium on Linear Drives for Inustrial Applications, Lille, France, Sept. 27 [CI1] J. Goman, G. emy, A. Tounzi, P.J. Barre, J.P. Hautier, "Impact of Permanent Magnet Fiel on Inuctance Variation of a PMLSM", EPE 27, 12th International Conference on Power Electronics an Applications, Aalborg, Denmark, Sept. 27 [CI9] G. emy, P.J. Barre, P. Degobert, J.P. Hautier, J. Zeng, "Comparison of esonant Controllers an PI Controllers for Thrust Control of a Permanent Magnet Linear Synchronous Motor", MAGLEV 26, 19th International Conference on Magnetic Levitation Systems an Linear Propulsion, Dresen, Germany, Sept. 26 [CI8] P. Degobert, G. emy, J. Zeng, P.J. Barre, J.P. Hautier, "High Performance Control of the Permanent Magnet Synchronous Motor using Self-Tuning esonant Controllers", IEEE-SSST 26, 38th South-eastern Symposium on System Theory, Tennessee Technological University Cookeville, TN, USA, Mar

190 [CI7] G. emy, P.J.Barre, J.P. Hautier, "Control of Synchronous Motors using the Causal Orering Graph, Part II: Control Design", POWE 25, 5th WSEAS / IASME Int. Conf. on ELECTIC POWE SYSTEMS, HIGH VOLTAGES, ELECTIC MACHINES, Proceeings of the WSEAS International Conferences, Tenerife, Canary Islans, Spain, Dec. 25, ISBN: [CI6] G. emy, P.J. Barre, P. Degobert, J.P. Hautier, "Control of Synchronous Motors using the Causal Orering Graph, Part I: Moel Description", POWE 25, 5th WSEAS / IASME Int. Conf. on ELECTIC POWE SYSTEMS, HIGH VOLTAGES, ELECTIC MACHINES, Proceeings of the WSEAS International Conferences, Tenerife, Canary Islans, Spain, Dec. 25, ISBN: [CI5] G. em y, J. Goman, P.J. Barre, J.P. Hautier, "Design of esonant Controllers for Current Control Loop by using the Causal Orering Graph, Application to Machine Tools", CONTOL 25, 25 WSEAS Int. Conf. on DYNAMICAL SYSTEMS an CONTOL, Proceeings of the WSEAS International Conferences, Venice, Italy, 2-4 Nov. 25, ISBN: [CI4] G. emy, A. Tounzi, P.J. Barre, F. Piriou, J.P. Hautier, "Finite-Element Analysis of Non-Sinusoial Electromotive Force in a Permanent Magnet Linear Synchronous Motor", LDIA 25, The 5th International Symposium on Linear Drives for Inustry Applications, Awaji Yumebutai, Hyogo, Japan, Sep , 25. [CI3] G. emy, J. Zeng, P.J. Barre, P. Degobert, J.P. Hautier, "Non-Sinusoial Electromotive Force Compensation of the PMLSM with Multiple-Freuency esonant Controller", LDIA 25, The 5th International Symposium on Linear Drives for Inustry Applications, Awaji Yumebutai, Hyogo, Japan, Sep , 25. [CI2] J. Zeng, G. emy, P. Degobert, P.J. Barre, "Thrust control of the Permanent Magnet Linear Synchronous Motor with Multi-Freuency esonant Controllers", MAGLEV 24, 18th International Conference on Magnetically Levitate Systems an Linear Drives, Shanghai, China, Vol. 2, Dec. 24, pp [CI1] J. Zeng, G. emy, P.J. Barre, Ph. Degobert, "Analysis of the influence of the initial pole position on the PMLSM thrust performances - Application to high spee machine tool", LDIA 23, 4th Int. Symposium on Linear Drives for Inustry Applications, Birmingham, UK, Sept. 23, pp Conférences Nationales : [CN3] G. emy, "Moélisation et Ientification es Forces Electromotrices Non Sinusoïales, Application à un Moteur Linéaire Synchrone à Aimants Permanents", JCGE'5, Montpellier, 7-8 Juin 25. [CN2] G. emy, P.J. Barre, "Optimisation es performances e la poussée un moteur linéaire synchrone à aimants permanents par la étermination e sa position initiale", MUGV24, 3èmes Assises Machines et Usinage à Grane Vitesse, Clermont Ferran, France, 1-11 mars 24, pp [CN1] G. emy, P.J. Barre, Ph. Degobert, "Démarche e Conception une Commane utilisant le Principe Energie Localisée - Application au Moteur Linéaire Synchrone à Aimants Permanents", EF 23, Electrotechniue u Futur, Gif-sur-Yvette, France, 9-1 Dec. 23, CD-OM, session spéciale commane e machines. 188

191 COMMANDE OPTIMISEE D UN ACTIONNEU LINEAIE SYNCHONE POU UN AXE DE POSITIONNEMENT APIDE ESUME: Les moteurs linéaires sont evenus es composants incontournables ans le omaine e la conception es machines e prouction. L'actionneur synchrone à aimants permanents (PMLSM) constitue le principal composant et permet aujour'hui 'obtenir es performances nettement supérieures à celles e son homologue rotatif accouplé à un système e transformation e mouvement. Cepenant, pour utiliser ces constituants e façon optimale, il est nécessaire e prenre en compte ans la commane les spécificités e ce type actionneur. En effet, es phénomènes électriues et magnétiues, tels ue les forces électromotrices non-sinusoïales, la saturation es inuctances et les forces e étente, génèrent es forces onulantes perturbatrices pour la partie mécaniue. L objectif e cette étue est onc, ans un premier temps, 'améliorer la moélisation e ces moteurs linéaires en vue e leur commane. Des méthoes analytiues et éléments-finis sont utilisées pour uantifier l'importance e ces phénomènes sur la force e poussée. Puis, ans une euxième partie, nous éfinissons les structures e commane optimales permettant e prenre en compte les phénomènes retenus. Le formalisme u Graphe Informationnel Causal (GIC), éveloppé par le laboratoire L2EP, est utilisé pour représenter et éfinir e façon systématiue les structures e commane retenues. Les méthoologies 'inversion u GIC sont étaillées pour permettre la éfinition es structures e commane en Boucles Fermées et Non-Fermées. Les structures classiues e commane inustrielles sont analysées et e nouvelles structures e commane sont proposées pour la commane en force 'un moteur linéaire LMD1-5 e la société ETEL. Mots-clés: moteur linéaire, PMLSM, moélisation, structure e commane, graphe informationnel causal. OPTIMAL CONTOL OF A LINEA SYNCHONOUS MOTO FO A HIGH SPEED POSITIONNING ACTUATO ABSTACT: Linear Motors have become leaing component in the fiel of the high-spee machine tools. Nowaays, the Permanent Magnet Linear Synchronous Motor (PMLSM) is the main component permitting to obtain higher performances than its rotary counterpart. However, to use these components in an optimal manner, it is necessary to take into account the specificities of these linear motors. Inee, electric an magnetic phenomena, such as the non-sinusoial electromotive forces, saturate inuctances an etent forces, generate in the linear motor, the ripple forces that are isturbing for the mechanical part. Inee, the goal of this stuy is to improve, in a first part, the moelling of these linear motors. Analytical methos an the finite-element metho are use to show the impact of these phenomena on the electromagnetic force. Then, in a secon part, we efine the optimal control structures by taking into account the previously obtaine moels. The formalism of the Causal Orering Graph (COG), evelope at the L2EP laboratory, help to represent an to efine in a systematic way the control esign. Thus, the inversion principles of the COG are etaile to esign the structure of feeback control an of non-feeback control. The inustrial control structure is analyze an new control structures are propose in orer to optimize the thrust of a LMD1-5 linear motor of ETEL company. Keywors: linear motor, PMLSM, moelling, control esign, causal orering graph.