Espaces vectoriels. Généralités. Structure d un espace vectoriel

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1 Chapitre 5 Espaces vectoriels I Généralités Structure d un espace vectoriel Dans tout ce paragraphe, on se donne K = R ou C Étant donné un ensemble E, onappelle Loi interne, touteapplicatione E E On notera x y l image de (x, y) par cette application et l espace ainsi défini sera noté (E,) Loi externe, touteapplicationdek E dans E Onnoteλ x (ou λx l image de (λ, x) par cette application L espace ainsi défini sera noté (E, ) Pour E = K n,lesloiclassiquessont Loi interne : E E E (x, y) x + y et loi externe : K E E (λ, x) λx On appelle K-espace vectoriel (ou espace vectoriel sur K) tout ensemble E non vide muni d une loi, etd uneloi telles que : (E,) est un groupe commutatif : - loi interne : x y E x, y E - élément neutre : Il existe 0 E E tel que 0 E x = x 0 E = x x E - symétrique : Pour tout x E, ilexistey E tel que x y =0 E - associativité : Pour tous x, y, z E, x (y z) =(x y) z - Commutativité : x y = y x x, y E Distributivité / associativité de : - loi externe : λ x E x E, λ K - distributivité de par rapport à : λ K,x,y E, onaλ (x y) =λ x λ y - distributivité de + par rapport à : λ, µ K,x E, ona(λ + µ) x = λ x µ x - Associativité : pour tous λ, µ K,x E, ona(λµ) x = λ (µ x) - Élément neutre : Pour tout x E, ona x = x On note (E,, ) cet espace Contre exemples : N, Q munis des additions et loi externe habituelle (multiplication), ne sont pas des espaces vectoriels sur R, (nisurc!) (La loi n est pas externe) Considérons E =[0, + [ muni de la loi définie par x y = xy x, y E - Loi interne : On a bien x, y E x y>0, d oùx y E (déjà vu) - Élement neutre : x y = x xy = x y = si x = 0 x Iln yadoncpas d élement y commun à tous les x Iln yadoncpasd élémentneutre - La loi est toutefois associative et commutative Àvoirsurlafeuilled exercices Les éléments d un espace vectoriel E sont appelées des vecteurs LeséléméntsdeK sur lequel est construit E sont appelés des scalaires Théorème : Avec E =[0;+ [ : Loi interne Oui E E R (x, y) xy (x y = xy) Non E E R (x, y) ln( + xy) 2 Les ensembles suivants sont des espaces vectoriels sur K (et sur R si K = C) : (K n, +, ) (K[X], +, ) (M n,p(k), +, ) (F(A, K),, ) où Loi externe R E R (λ, x) λ 2 x (λ x = λ 2 x) R E R (λ, x) λx f g : A K x f(x)+g(x) et λ f : A K x λ(f(x)) De manière générale : (F(A, E), +, ) avec (E,, ) un K-ev, A quelconque et f + g : A K x f(x) g(x) et λ f : A K x λ (f(x))

2 Soient (E,, ) et (F, 2, 2) deux K-espaces vectoriels Alors E F est un K-espace vectoriel pour la loi interne : et la loi externe (E F ) (E F ) E F (x, y), (x,y ) (x x,y 2 y ) K (E F ) E F λ, (x, y) (λ x, λ 2 y) On note ici 2 la loi interne et 2 la loi externe Corollaire : exercice Si (E,, ) est un K-espace vectoriel, alors (E n, n, n) est un K-espace vectoriel Notation : On écrira souvent "ev" pour "espace vectoriel" et K-ev" pour "espace vectoriel sur K Plus généralement, quand il n y aura pas de doute possible, on pourra dire "espace vectoriel" au lieu de "K-espace vectoriel" Les éléments d un espace vectoriel sont appelés des vecteurs LesélémentsdeK = R ou C sur lequel est construit l ev s appellent des scalaires Propriété : Si (E,, ) est un espace vectoriel, alors : l élément neutre est unique l élément symétrique est unique pour tout x E, ona0 E =0 x pour tout x E, le vecteur ( ) x est le symétrique de x Montrons que l élément neutre est unique : Soient 0 E et 0 E deux éléments neutres dans E Alors 0 E = 0 E +0 E = 0 E est neutre 0 E est neutre Montrons que l élément symétrique est unique : Soit x E Supposonsqu ilaitdeuxsymétriquesy et z, alors y = y +0 E = y +(x + z) =(y + x)+z =0 E + z = z 0 E Montrons que pour tout x E, ona0 E =0 x : Soit x E Ona 0 x =(0+0) x =0 x +0 x En ajoutant de chaque coté le symétrique de 0 x, onobtient0 x =0 E Montrons que pour tout x E, levecteur( ) x est le symétrique de x : Soit x E Ona Notation : Notation : 2 x +( ) x =0 x =0 E La propriété précédente légitime la notation x pour désigner le symétrique de x À partir de maintenant, on adoptera la notation + en remplacement de, saufs il peut y avoir confusion Sous-espace vectoriel Soit (E, +, ) un K-espace vectoriel On appelle sous espace vectoriel ("sev") de E sous ensemble F de E tel que (F, +, ) soit un K-espace vectoriel L espace R C est un sev du R-ev (C, +, ), maispasduc-ev (C, +, ) Théorème (Caractérisation des sev ) : Soient (E,+, ) un espace vectoriel F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées : i F E ii 0 E F iii x, y F,onax + y F (stabilité de la loi interne) iv λ K,x F,onaλx F (stabilité de la loi externe) Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors(f, +, ) est en particulier un espace vectoriel Les conditions sont donc vérifiées Si les conditions sont vérifiées, montrons que (F, +, ) est un K-ev Groupe commutatif : -Laloiestbieninterneparhypothèse tout 2 Espaces vectoriels

3 -Existencedel élémentneutredansf : 0 F =0 E convient, car 0 E F : En effet, si x F,ona0 E =0x F par stabilité de la loi externe -Symétrique:Soit x F CommeE est un ev, un symétrique de x est ( ) x F par stabilité de la loi externe -associativité:héritée de E -commutativité:héritée de E Distributivité /assaciativité à gauche : héritée de E Si on prend λ =0dans la condition iii), on obtient : Corollaire : Tout sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E contient 0 E Méthode (Pour déterminer si F est un sev :) En pratique, pour vérifier si un sous ensemble F d un espace vectoriel E est un sev, on pourra donc commencer par vérifier que F E puis 0 E F Il suffit de vérifier que la condition iii) est équivalente au système des deux conditions x, y F, on a x + y F 2 λ K,x F, on a λx F Supposons que F est un sous espace vectoriel du K- eve Alorstouteslesconditions sont vérifiées par définition Supposons la condition vérifiée : x, y E,λ K, λx+ y E Montrons que la condition - est vérifiée : Il suffit de prendre λ = Montrons que la condition 2- est vérifiée : Il suffit de prendre y =0 E Exercice i Dans R 2,toutedroitepassantparl origineestunr- ev ii Dans un K-espace vectoriel E, toutensemble{αx α K} où x E fixé est un sev de E (exdansr 2 ) iii Plus généralement, si on se donne x,,x n dans un K-ev E, l ensembledetoutes les combinaisons linéaires de ces éléments, c est-à-dire : {α x + + α nx n α,,α n K} Si 0 E F,alorsF n est pas un sev est un sev de E Si 0 E F,alorsonvérifielesconditionsdestabilité On obtient donc un premier exemple de sous-espace vectoriel, à connaître : Pour tout n N, K n[x] est un espace vectoriel sur K (et R) exercice Théorème (Caractérisation des sev 2) : Soient (E,+, ) un espace vectoriel F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées : i F E ii 0 E F iii x, y F, λ K, λx+ y E Toute intersection de sous espaces vectoriels d un K-ev est un K-ev Soit (F i) i I une famille quelconque de K-sous-espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E MontronsqueF = est un K-sev de E Utilisonslacaractérisationdessev i I F est non vide : 0 E F i i I, d ùo E F Soient λ K et x, y F Ainsi,commetouslesF i sont des sev, par caractérisation des sev, on a λx + y F i i I autrement dit λx + y F et donc, toujours par caractérisation des sev, on en déduit que F est bien un sev de E Une intersection de sous espaces vectoriels d un K-ev E n est jamais vide, elle contient au moins toujours {0 E} 3 Espaces vectoriels

4 II Famille génératrice, famille libre et base Soit F un sev de E S ilexisteunefamillea F telle que F = Vect(A), alorsonditque A est une famille génératrice de F (rappel : on considère toujours K = R ou C) On dira également "espace vectoriel" pour "K-espace vectoriel" tout le long du reste du chapitre Sous espace vectoriel engendré et famille génératrice Soit E un K-ev et A E une partie de E Onappellesous espace vectoriel engendré par A l intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A OnlenoteVect(A) Précisément, Vect(A) = F où T = {F E F sev de E contenant A} Soit E un K-ev et A E une partie de E Vect(A) est "le plus petit sous espace vectoriel de E contenant A", au sens où : F T si F est un sev de E contenant A, alorsvect(a) F (D où son nom d espace vectoriel engendré) Vect(A) est un sev de E par intersection quelconque de sev Vect(A) contient A par construction Soit E un K-ev et A E une partie de E Vect(A) est l ensemble de toutes les combinaisons linéaires d éléments de A démonstration : exercice Cas particuliers : Si A est fini, ie A = {a,,a r}, ona Si A est infini, on a Vect(A) ={α a + α ra r α i K} {α a + α na n n N,α i K,a i A} Dans R 3,onposeA = {(,, 0), (2, 0, 0)} Alors,Vect(A) = {(x, y, 0) x, y R} 2 Dans R 2,onposeA = {(x, 0) x [0; ]}, alorsvect(a) =R {0} 3 Dans R 2,Vect([0; ] 2 )=R 2 4 Dans R[X], onposea = {X, X } Vect(A) =R [X] Dans R 3, une famille génératrice de {(x, y, z) x y +2z =0} est (2, 0, ), (0, 2, ) 2 La famille {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) est génératrice de R 3 3 La famille {,X,X 2 } est génératrice de R 2[X] 4 Une famille génératrice de {P R 2[X] P (0) = 0} est X, X 2 2 Famille libre Soit (x i) in une famille de vecteurs d un espace vectoriel E On dit que la famille est libre (ou que les vecteurs sont linéairements indépendants) si α,,α n R, α x + + α nx n =0 α = = α n =0 Une famille (x i) in non libre est dite liée Autrement dit : Une famille est libre, si on ne peut pas exprimer les vecteurs les uns en fonction des autres S il existe un (ou plusieurs) vecteur(s) qui peut s écrire en fonction des autres, alors elle est liée En pratique, le sens est évident Le seul sens à vérifier est donc, c est-à-dire: "Soient α,,α n R, tels que α x + + α nx n =0 Montrons que α = = α n =0 Exercice Dans R 3,montrerque{(, 3, ), (2,,, ), (, 0, 0)} est une famille libre 2 Dans F(R), montrer que la famille {f : x x, g : x (x π ),h : x cos x} est une 2 famille libre Exercice i Montrer que dans un espace vectoriel, deux vecteurs sont linéairement indépendants ssi ils sont non colinéaires ii Montrer que dans R 3,lesvecteurs(,, ), (0, 6, 5) et ( 2, 4, 3) ne sont pas linéairement indépendants iii Montrer que dans F(R, R), les fonctions f : x cos 2 (x), g : x cos(2x), h : x ne sont pas linéairement indépendantes Propriété : Toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre 4 Espaces vectoriels

5 3 Montrons par récurrence sur le nombre n de polynômes de K[X] que la famille est libre Initialisation : Soit n = P est un polynome non nul La famille {P } est donc libre Hérédite : Supposons la propriété vraie pour n N et montrons qu elle est vraie pour n+soientp,,p n+ des polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts Quitte à renommer, on peut supposer que Soient λ,,λ n+ K tels que deg P <<deg P n+ λ P + + λ n+p n+ =0 En notant N le degré de P n+, ilexistea = 0tel que D où P n+(x) =ax N + Q(X) avec deg Q N 0=λ P + + λ n+q(x) degn +aλ n+x N Par unicité des coefficients des polynômes, on a forcément aλ n+ =0 Or, comme a = 0,onobtient λ n+ =0 D où λ P + + λ np n =0 Or la famille P,,P n est libre par hypothèse de récurrence, d où λ = = λ n = λ n+ =0 On en conclut donc la liberté de la famille P,,P n+ Base 3a Définition Soit E un K-espace et (x i) in une famille de vecteurs de E Sielleestlibreetgénératrice de E, onditquec estunebase de E Exercice Bases de R n : i Base canonique : Montrer que B = {(, 0, 0,), (0,, 0,),,(0, 0, )} est une base de R n ii Montrer que B = {(, 3, ), (2,, ), (, 0, 0)} est une base de R 3 Base canonique de R n[x]? Dans certains espaces, on ne peut pas trouver de famille finie vérifiant les propriétés libres et génératrices (Par exemple, pour R[X] et F(R; R)) (démontré pour R[X] et en conséquence pour F(R; R)) Théorème de décomposition dans une base : Soit E un espace vectoriel La famille B =(e,,e n) d éléments de E est une base de E si et seulement si, pour tout vecteur u E, il existe une unique décomposition u = α e + + α ne n Supposons que B =(e,,e n) est une base de E Supposonsqu ilexisteunélément u E ayant deux décompositions u = α e + + α ne n et u = α e + + α ne n Ainsi, en soustrayant les deux égalités, on obtient (α α )e + +(α n α n)e n =0 E La famille (e,,e n) étant libre, on obtient par définition α α = = α n α n =0 Supposons que toute décomposition est unique Montrons que la famille est libre : Supposons qu il existe α,,α n K tel que α e + + α ne n =0 E Par unicité de la décomposition, comme on obtient Exercice 0 E =0e + +0e n α = = α n =0 D après l exercice précédent, on sait que B = {(, 3, ), (2,, ), (, 0, 0)} est une base de R 3 Déterminerl uniquedécompositionde(0,, 0) dans cette base B Solution Avue,onconstateque (, 3, ) +(2,, ) 3(, 0, 0) =(0, 4, 0) u u 2 u 3 D où (0,, 0) = (u + u2 3u3) 4 On sait que c est la seule décomposition possible car B est une base 5 Espaces vectoriels

6 Si la famille {e,,e n} n est pas libre, la décomposition n est pas unique (cf exemple ci-dessous) Supposons que e =(, 0, 2), e 2 =(,, ) et e 3 =(0,, ) La famille n est pas libre car e 3 = e e 2 On a alors par exemple e + e 2 + e 3 =(2, 0, 4) = 2e +0e 2 +0e 3 La décomposition n est donc pas unique Si la famille {e,,e n} n est pas génératrice de l espace E, ladécompositiondex E n est pas toujours possible (cf exemple ci-dessous) Supposons que e =(, 0, 2), e 2 =(,, ) La famille n est pas génératrice de R 3 (Elle est de cardinal 2 < 3 ; cf fin du cours) Le vecteur x =(, 0, 0) ne se décompose pas grâce à e et e 2Eneffet,supposonsqu une décomposition existe : (, 0, 0) = α(, 0, 2) + β(,, ) Alors, par unicité des coefficients d un vecteur de R 3, =α + β 0=β 0=2α + β Ce qui donne =α =0 C est absurde La décomposition n existe donc pas 3b Coordonnées et changement de base On appelle (α,,α n) les coordonnées de u = α e + + α ne n dans la base B =(e,,e n) α et on note u = α n u dans B B α ou U B = le vecteur associé, nommé vecteur coordonnées de α n Dans R 3,onnoteB =((,, 0), (0,, ), (, 0, )) (base de R 3 ), alors (2,, ) B = 2 Dans R 2[X], onnoteb =(,X,X 2 ) et B =(,X,X 2 ) deux bases de R 3[X] (2, 3, 2) B =2 3X +2X 2 =(5, 3, 2) B On démontrera un peu plus tard que, s il existe une base de cardinal fini n, alorstouteslesbases ont comme cardinal n On se donne deux bases B =(e,,e n) et B =(e,,e n) et on suppose ici que l on dispose des coordonnées de B dans B, c est-à-dire On se pose la question suivante : e k =(α,k,,α n,k ) B k =,,n Ayant les coordonnées d un vecteur x dans l une des deux bases, comment trouver les coordonnées de x dans l autre? On pose la matrice des coordonnées de B dans B : P = e e n α, α,n α n, α n,n - Si x =(x,,x n) B ie x = x e + + x ne n : e e n Notation : Si E est un espace vectoriel admettant une base B =(e,,e n), onpourraécrire u =(α,,α n) B au lieu de u = α e + + α ne n (écriture très utile pour l écriture des applications linéaires sous forme de matrice!) Autrement dit, x = x α, α n, B + + x n α,n α n,n x B = X B = P = PX B x n x α, + + x nα,n x α n, + + x nα n,n x P x n B 6 Espaces vectoriels

7 Si B = (, 0, 2), (0,, ), (,, 0) et x =(, 0, ) B,alorslescoordonnéesdex dans la base canonique sont : 0 0 P 0 = 0 0 = ie x =(0,, 2) 2 - Si x =(x,,x n) B :Onnotex =(x,,x n) B On vient de voir que x x n = P x x n ce qui équivaut à P x x n = On considère la base de R 2[X] : B =,X, (X )(X 2) Oncherchelescoordonnées du polynôme X 2 3X +4dans cette base e e n 2 On pose P = 0 3 X puis, comme P = 0 3, 0 0 X alors les coordonnées de X 2 3X +4dans la base B sont : p 3 = = ie X 2 3X +4=2+0(X ) + (X )(X 2) En résumé : Notation : Étant données deux bases B =(e,,e n) et B =(e,,e n) telles que e k =(α,k,,α n,k ) B k =,,n on note e e n α, α,n P B B = α n, α n,n e e n qu on appelle matrice de passage de la base B àlabaseb x x n Théorème (Formule de changement de base) : Étant donné un espace vectoriel E et deux bases B et B, pour tout x E, ona Théorème : C est ce que l on vient de faire X B = P B B X B Étant donné un espace vectoriel E et deux bases B et B, la matrice de passage P B B est inversible et on a P B B = P B B On sait que, pour tout vecteur x, ona D où, pour tout vecteur x, et de même X B = P B B X B et X B = P B BX B X B = P B B P B BX B X B = P B BP B B X B Ces égalités étant vraies pour tout X, ontrouvebien CQFD Id = P B B P B B = P B BP B B Soit E un espace vectoriel de dimension finie, avec B, C, D trois bases de E Alors 3c Existence d une base P B CP C D = P B D On appelle famille génératrice minimale toute famille génératrice telle que, si on lui retire un élément quelconque, n est plus une famille génératrice La famille (infinie) {,X,,X n,x n+,} est génératrice minimale de R[X] 7 Espaces vectoriels

8 Théorème : Tout espace vectoriel ayant une famille génératrice finie admet une famille génératrice minimale Lemme : Le cas général de cette démonstration repose sur "l axiome du choix" et les "relations d ordre" Elle est non seulement HP mais très longue et nécessite de définir une famille libre infinie Nous admettrons donc ce fait Toute famille génératrice minimale (finie) d un espace vectoriel non nul est libre (et c est donc une base) Supposons que G soit une famille génératrice minimale finie Montrons que G est libre On note G = {e,,e n} (Onnepeutavoirn =0, sinon la famille génératrice est vide et donc Vect(G) ={0 E}) On pose λ,,λ n tels que λ e + + λ ne n =0 Supposons qu il existe λ i tel que λ i = 0QuitteàréindexerlesélémentsdeG 0,onpeut supposer qu il s agit de λ nainsi,ona λ ne n = λ e λ n e n Autrement dit, e n Vect(e,,e n), d oùvect(e,,e n ) =Vect(e,,e n) G n était donc pas minimale On en déduit le théorème fondamental suivant : Théorème : 4 Tout espace vectoriel (admettant une famille génératrice finie) admet une base (finie) Lemme : Théorème de la base incomplète Dans la partie précédente, on souhaitait obtenir des bases à partir de familles génératrices Ici, on souhaite construire des bases à partir de familles libres Supposons donné une famille L = {e,,e n} finie et libre maximale Supposons qu elle ne soit pas génératrice de E Ilexistealorsaumoinsunélémentx E tel que x ne soit pas combinaison linéaire des éléments de L Montrons dans ce cas que la famille L {x} est libre Soient α,,α n,α K tels que α e + α nx n + αx =0 Si α = 0,alorsonpeutdivisertoutel égalitéparα et on obtient : α αn x = e + α α xn Vect(L) ce qui est contraire à l hypothèse (x n est pas combinaison linéaire des éléments de L) Ainsi, α =0et donc α e + α nx n =0 Or, par liberté de la famille {e,,e n}, onendéduitqueα = = α n =0(=α) En conclusion, la famille L {x} est libre, ce qui contredit l hypothèse "L libre maximale" Théorème de la base incomplète : Supposons que E est un K-ev dans lequel on dispose d une famille génératrice G finie et d une famille libre L telle que L G Alors, il existe une base B telle que L B G On note n = card(g L) Onconsidère F = {L {g,,g r} 0 r n, g i G, L {g,,g r}libre} L ensemble G étant fini, l ensemble F est également fini On considère donc B un élément de F de cardinal maximum Montrons que B est une base de E Par construction, B est une famille libre Montrons qu elle est également génératrice, c est-à-dire que B = E = Vect(G) : Par construction, il est clair que B E Montrons que E = Vect(G) Vect(G) : *MontronsqueG Vect(B) : Soit g Vect(G) Supposonsqueg Vect(B) Alors: B {g} est libre B {g} F ce qui rentre en contradiction avec la maximalité card(b {g}) =card(b)+ de B dans F Enconclusion,onendéduitqueG Vect(B) *CommeG Vect(B), quevect(b) est un ev, et que Vect(G) est le plus petit ev contenant G, alorsvect(g) Vect(G) Toute famille (finie) libre maximale dans un espace vectoriel E est génératrice (et donc est une base de E) 8 Espaces vectoriels

9 0 On considère la famille L = 0, et la famille G = 0,, L est une famille libre car composée de éléments non colinéaires, G est une famille génératrice (exercice) et L G, onpeutcdonc extraire de G une base, en l occurence : 0 B = 0,, 0 0 Corollaire : Dans un K-ev contenant une famille génératrice finie, toute famille libre peut être complétée en une base On note G une famille génératrice finie de l espace vectoriel, noté E et L une famille libre quelconque On observe que L L G La famille L G étant une sur-famille de G, elleestgénératriced aprèslethéormede la base incomplète, il existe donc une base B telle que L B L G En particulier, il existe donc une base contenant la famille libre L L espace vectoriel E = R 4[X] admet comme famille génératrice G = (,X,X + X 3,X 2,X 3,X 5 ) La famille L =(3, +X, X+X 2 ) contenue dans R 4[X] est libre On peut donc la compléter en une base de R 4[X] en l extrayant de la famille L G=(3, +X, X + X 2,,X,X + X 3,X 2,X 3,X 5 ) III Théorème : Dimension et rang Dimension Si un espace vectoriel admet une base de cardinal n, alors toutes les bases de E sont de cardinal n Soient B et B deux bases de E Supposonsqu ellessoientdecardinaldifférentquitteà les échanger, on peut supposer que card B <cardb LabaseB est donc en particulier une famille libre dans l espace Vect(B) On va montrer que ceci n est pas possible,ce qui imposera card B = cardb Montrons par récurrence sur p que "toute famille de p + éléments de F p = Vect(u,,u p) est forcément liée dans E" *Initialisation:Sip =: Soit G = {g,g 2} une famille de F p = Vect(u) Alorsilexisteα, β K tels que g = αu et g 2 = βu Si α = β =0,alorsg = g 2 =0, la famille G est donc liée Sinon, quitte à renommer, on peut supposer par exemple α = 0Ainsi,g 2 = βu = β α g, autrement dit, La famille G est donc bien liée α, β non tous nuls tels que αg 2 = βg *Hérédité:Supposonsquelapropriétéestvraiepourp N : Soit G = {g,,g p+2} une famille de F p+ = Vect(u,,u p+) Il existe alors λ,,λ p+2 R, v,v p+ F p = Vect(u,,u p) tels que g = λ u p+ +v g p+ = λ p+u p+ +v p+ g p+2 = λ p+2u p+ +v p+2 Si λ = = λ p+ = λ p+2 =0,alorsG est une famille de F penconséquence,par hypothèse de récurrence, {g,,g p+} est liée, et donc, la famille G = {g,,g p+2} est liée Sinon, il existe un λ non nul Quitte à renommer la famille, on peu supposer que c est λ p+2 Enréécrivantladernièrelignedusystèmeci-dessus,onpeutdoncexprimeru p+ en fonction de g p+2 et de F p de la manière suivante : u p+ = λ p+2g p+2 v p+2 9 Espaces vectoriels

10 On réinjecte dans le système : g = λ g p+2 v p+2 + v λ p+2 g p+ = λ p+ g p+2 v p+2 + v p+ λ p+2 u p+ = g p+2 v p+2 λ p+2 On en déduit que g λ g p+2,, g p+ λp+ g p+2 F pparhypothèsederécurrence, ces éléments sont liés, c est-à-dire qu il existe α,,α p+ non tous nuls tels λ p+2 λ p+2 que α g λ g p α p+ g p+ λp+ g p+2 =0 λ p+2 λ p+2 Autrement dit, α g + α p+g p+ +( α λ λ p+2 α p+ λ p+ λ p+2 )g p+2 =0 La famille G est donc bien liée On note n = card B On vient donc de montrer que toute famille de cardinal n+ est liée La famille B est de cardinal supérieur ou égal à n + Elle contient donc une famille de cardinal n + qui sera liée En conclusion, B est liée, ce qui est contradictoire Un espace vectoriel E est dit de dimension n s il admet une base de cardinal n Onnote dim E = n On dit qu un espace vectoriel est de dimension finie s il existe un entier n N tel que dim E = n R n est de dimension n, unebaseestlabasecanonique (, 0,,0), (0,, 0,,0),,(0,,0, ) 2 R n[x] est de dimension n +Unebaseestlabasecanonique,X,,X n Corollaire : Soit E un espace vectoriel de dimension n Alors: i Toute famille libre admet au plus n éléments ii Toute famille génératrice admet au moins n éléments iii Une famille libre de n éléments est une base iv Une famille génératrice de n éléments est une base Soit F un sous espace vectoriel d un ev E de dimension finie n Alors,F est de dimension finie et dim F dim E Corollaire : 2 Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E, alors F = G F G et dim F =dimg Rang d une famille On appelle rang d une famille la dimension de l espace vectoriel qu elle engendre rg{x, 2X +} =2 2 rg{(,, 0), (3, 3, 0)} = i) Le rang d une famille de cardinal p est forcément inférieur ou égal à p ii) Pour déterminer le rang d une famille, il suffit de trouver le cardinal de la plus grande famille libre qu elle contient 0