CONCOURS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES. PREMIÈRE ÉPREUVE FILJÈREMP (Durée de l épreuve : 3 heures)

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1 O0 MATH. 1 - MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SWÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE FILJÈREMP (Durée de l épreuve : 3 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, IN, TPE-EIVP. L emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1 - MP. L énonce de cette épreuve, psuticdière aux candidats de h filikre MP, comporte 5 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Le but de ce problème est l étude d endomorphismes définis pu l action d un groppe sur un espace vectoriel de matrices complexes. Soit M l ensemble des matrices complexes m d ordre 2 qui s écrivent sous la forme suivante : Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, z vérifie i2 = -1, ü (resp. 6) est le nombre complexe conjugué de a (resp. b). Partie préliminaire O. L ensemble M est un espace vectoriel réel : Démontrer qu en munissant l ensemble M de l addition des matrices et de la multiplication des matrices par un réel, l ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension. Démontrer que le produit de deux matrices m 1 et m 2 de l espace M appartient i M. Soit 1 la matrice unité d ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l espace vectoriel M ; la matrice transposée de la matrice m est notée m. Si p est un entier naturel, mp est le produit de la matrice m Tournez la page S.V.P.

2 p-fois par elle-même ; classiquement mo = I. Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l espace M dont le déterminant est égal à 1 : G = {g E A4 1 detg = l}. Il est admis que l ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe. Soit U le sous-ensemble des matrices u de l espace M antisymétriques dont le carré est égal à l opposé de la matrice identité : u= {u EM 1 u+ u = O, u2 = -z). Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques Y appartenant à l espace M : V={vEM 1 v= v}. II est admis que le sous-ensemble Vde A4 est un sous-espace vectoriel réel. Soient m 1 et m2 deux matrices appartenant à l espace vectoriel A4 ; il est adnus que la trace de la matrice ml. m2 est réelle ; soit (m 1 1 m2) le réel d éh par la relation suivante : (ml 1 m2) = TTr(ml. m2) 1 = -Tr(m1. ~~2). 1 2 L égalité entre les traces des matrices ml. m2 et m 1. m2 est adnuse. Il est admis que l espace (M,(. 1.)) est un espace euclidien. Si le produit scalaire (ml 1 m2), de deux matrices m1 et m2, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le sous-espace vectoriel V de M est un espace euclidien lorsqu il est muni du produit scalaire induit par celui de M. Première partie 1.1. Propriétés élémentaires des matrices de l espace M : Soit m une matrice de l espace M ; démontrer que les matrices m + m et m.%ï s expriment au moyen de la matrice identité Z, du déterminant detm, de la trace Trm de la matrice m. Soit g une matrice appartenant àm ; déduire du résultat précédent que, pour qu une matrice g de l espace M appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu il existe une relation simple entre les matricesg- et g. Soit m une matrice de l espace M dont la trace est nulle (Trm = O) ; établir la relation : m = - ïfi ; calculer les matrices m2, ( n~)~ en fonction du déterminant de la matrice m et de la matrice unité Matrices u : Déterminer les matrices u qui appartiennent à l ensemble U défini ci-dessus. Soit m une matrice de l espace M, u une matrice de l ensemble U. Comparer les deux produits de matrices : m.u et u.m. Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est nulle (Trm = O), les deux matrices m.u et u.m appartiennent au sous-espace vectoriel V Norme d une matrice m : Soit m une matrice de l espacem ; calculer la norme de la matrice m ( II m II=,/-) en

3 fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de l espace M la norme II m.w II du produit des matrices m et w avec le produit II m 1. II w II des normes de ces matrices Matrices appartenant à G : a. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s éait, de manière Unique, sous la forme g = I cos8+m, OÙ 8 est un réel appartenant au segment [O, x] et m une matrice de trace nulle (Tmz = O) qui appartient àm. Calculer, en fonction du réel 8, le déterminant de la matrice m, ainsi définie à partir de la matrice g, ainsi que le carré m2 de la matrice m. b. Soit m une matrice de 1 espacem différente de O (m + O) : démontrer que la matrice gl définie par la relation ci-dessous appartient au groupe G : gl = 1-5 Un sous-groupe de G : Soit gl une matrice, de trace nulle (Trgl = O), appartenant à G ; soit G(gl) l ensemble des matrices mg défitues par la relation suivante me = I cos8+gl sine, où 8 est un réel quelconque appartenant au segment [O, 2x1 ; soit : G(gl) = {me = 1 cos8+gl sin8 1 8 E [0,2x]). a. Démontrer que l ensemble G(gl) est un sous-groupe commutatif du groupe G.# b. Soit m une matrice de l espace M ; la matrice exponentielle de la matrice m est définie par la relation Ca Calculer la matrice exp(8.gl). Deuxième partie Cette partie est consacrée à l étude d une application définie dans le sous-espace vectoriel Y- des matrices symétriques de M à l aide d une matrice du groupe G. Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle (Trg = O) ; étant donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel Y-soit Z,(w) la matrice définie par la relation suivante : Z,(W) = g.w + w. g Tournez la page S.V.P.

4 II-1. L endomorphisme ZR de Y : a. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel réel Yde l espace vectoriel M. Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel. b. Démontrer que l application lg : w - Z,(w) est un endomorphisme de l espace vectoriel V. Démontrer que cet endomorphisme Zg n est pas nul. - II-2. Propriétés de l endomorphisme Zg : a. Comparer l endomorphisme 2,o Zg : w Zg(Zg(w)) à l endomorphisme w ++ 2g.Zg(w). Calculer l expression Zg(g.Zg(w)) en fonction de Zg(w). Comparer les deux normes II Zg(w) II et II g.lg(w) 11. Calculer, pour une matrice u de l ensemble U, l expression 2,k.u). b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et w de l espace Y, les produits scalaires (Zg(v) 1 w) et (v 1 ZJw)). En déduire l endomorphisme adjoint de l endomorphisme Zg. c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de Y, les matrices Z,(w) et g.z,(w) sont perpendiculaires. II-3. Une base de l espace Y: Etant données une matrice v de l espace vectoriel Ytelle que son image par l endomorphisme Z, soit différente de O (Zg(v) # O), une matrice u de l ensemble U (u appartient àa4, est antisymétrique, u2 = -4, soient ho le produit des matrices g et u, hl l image de la matrice v par l application Zg, h2 le produit des matrices g et h 1 : ho = g.u, hl = Z,(V), h2 = g.zg(v). a Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices hl, O 1. i 5 2, et des matrices h,,o 5 i 5 2, deux à deux : 4 (u 1 hl), O 5 i 5 2, (hk 1 hl),o 5 k b. Démontrer que la suite des matrices hi, O 5 i 5 2, est une base de l espace vectoriel Y: Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée a l endomorphisme Zg dans cette base? Déterminer la transformation géométrique associée à l endomorphisme %Zg. II-4. Un endomorphisme de l espace vectoriel A4 : Soit 8 un réel donné appartenant au segment [0,2~] ; soit me la matrice appartenant au groupe G (question 1-5) définie par la relation suivante : me = ICosO+gsin8. Soit se l application qui, à une matrice w de l espace vectoriel A4, associe la matrice m0.w : se : w H m8.w. Déterminer la matrice associée à l endomorphisme se dans la base défime par les matrices u, ho, hl, h2.

5 Troisième partie Soit m une matrice donnée de l espace VectorielM. A toute matrice w du sous-espace vectoriel Y de M est associée la matrice m.w. m. ID-1. Endomorphisme v / de ~ l espace Y: a. Démontrer que l application w * m.w. m est un endomorphisme de l espace vectoriel V. L endomorphisme w * m.w. m de Vest noté ym. Calculer m.u. m où u est une matrice de l ensemble U. b. Déterminer les matrices m de l espace vectoriel M pour lesquelles l application est l application identité. III-2. Endomorphisme yg : Soit g une matrice, Mérente des matrices I (identité) et -1, appartenant au groupe G. a. Démontrer, à l aide de la question 1-4, qu il existe un réel 8 appartenant à l intervalle ouvert ]O, 7r [ et une matrice m, appartenant àm, différente de O, de trace nulle, tels que la relation ci-dessous soit vérifiée : g = ImsO +m ; 8 E ]O,a[, m E M. Soit y la matrice déhe à partir de la matrice m par la relation suivante : Y= 1 m. JJëG b. Exprimer, pour toute matrice w de l espace vectoriel Y, la matrice yg(w) en fonction des matrices w, Z7(w), y7(w) et du réel 8. c. Soit v une matrice de l espace vectoriel Vtelle que son image par l application Z, soit Mérente de O (Z7(v) z O). D après la question II-3.b, la famille y.u, Z7(v), y.z7(v) est une basede l espace vectoriel Y: Déterminer la matrice associée à l endomorphisme yg dans cette base. Calculer le déterminant de cette matrice noté det yg. Caractériser la transformation géométrique définie par l endomorphisme yg. III-3. Endomorphisme Y m : Soit m une matrice, différente des matrices O, I et -1, appartenant à l espace vectoriel M. Démontrer qu il existe une matrice g appartenant au groupe G telle que l endomorphisme y,,, soit proportionnel à l isomorphisme yg. En déduire une interprétation géométrique de l endomorphisme Vlm. FIN DU PROBLEME i i I