Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines Sujet 1

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1 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice : Tracé de courbe (3,5 points) Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [-3 ;7] telle que : o L image de 0 est o Les antécédents de 0 sont et 5 et ayant le tableau de variations suivant: x f(x) Exercice : Inégalités et sens de variation (,5 points) Soit f une fonction définie sur [-3 ;]. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;], alors f(-3) f() b) Si f(0) = et f() = 0, alors f est décroissante sur [0;] c) Si f(-3) f(), alors f est croissante sur [-3 ;]. Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points) Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases. Il en fabrique entre 0 et 60 et estime que le coût de production, en euros, de x vases fabriqués est modélisée par la fonction C donnée par C(x) = x² - 0x ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases. Un vase est vendu 50. ) Exprimer R(x) en fonction de x. ) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 50 vases. 3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x). Vérifier que B(x) = -x² + 60x 500. ) a) Développer l'expression (x 30)² b) En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum. Exercice : ( points) On considère la fonction f définie sur par f(x) = -x + 7. ) Donner en justifiant le sens de variation de f. ) Dresser son tableau de signes. 3) Quel est le signe de f sur l'intervalle [;3]? ) Proposer un intervalle du type J = [n;n+], avec n entier naturel, où la fonction change de signe. Exercice 5 : ( points) Déterminer la fonction affine f telle que f() = 3 et f(5) = -.

2 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice : Tracé de courbe (3,5 points) Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [- ;6] telle que : o l image de - est,5 x - o un antécédent de 3 est f(x) et ayant le tableau de variations suivant : 6 Exercice : Inégalités et sens de variation (,5 points) Soit f une fonction définie sur [-3 ;]. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;], alors f(-3) f() b) Si f(0) = 3 et f() = 0, alors f est croissante sur [0 ;] c) Si f(-3) f(), alors f est décroissante sur [-3 ;]. Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points) Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de chaises. Il en fabrique entre 0 et 80 et estime que le coût de production, en euros, de x chaises fabriqués est modélisée par la fonction C donnée par C(x) = x² - 0x ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x chaises. Une chaise est vendue 60. ) Exprimer R(x) en fonction de x. ) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 0 chaises. 3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x). Vérifier que B(x) = -x² + 80x 600. ) a) Développer l'expression (x 0)² b) En déduire le nombre de chaises à vendre pour réaliser un bénéfice maximum. Exercice : ( points) On considère la fonction f définie sur par f(x) = -x + 5. ) Donner en justifiant le sens de variation de f. ) Dresser son tableau de signes. 3) Quel est le signe de f sur l'intervalle [;]? ) Proposer un intervalle du type J = [n;n+], avec n entier naturel, où la fonction change de signe. Exercice 5 : ( points) Déterminer la fonction affine f telle que f() = - et f() = 5.

3 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice : Tracé de courbe (3,5 points) Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [-3 ;7] telle que : o L image de 0 est o Les antécédents de 0 sont et 5 et ayant le tableau de variations suivant : x f(x) Exercice : Inégalités et sens de variation (,5 points) Soit f une fonction définie sur [-3 ;]. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;], alors f(-3) f() b) Si f(0) = et f() = 0, alors f est décroissante sur [0 ;] c) Si f(-3) f(), alors f est croissante sur [-3 ;]. a) Faux : si f est décroissante sur [-3 ;] alors f(-3) > f() b) Faux (f peut être par exemple croissante sur [0; 0,5] et décroissante sur [0,5 ;]) c) Faux (f peut être par exemple décroissante sur [-3 ;0] et croissante sur [0 ;]) 3

4 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points) Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases. Il en fabrique entre 0 et 60 et estime que le coût de production, en euros, de x vases fabriqués est modélisée par la fonction C donnée par C(x) = x² -0x ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases. Un vase est vendu 50. ) Exprimer R(x) en fonction de x. ) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 50 vases. 3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x). Vérifier que B(x) = -x² + 60x 500. ) a) Développer l'expression (x 30)² b) En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum. ) R(x) = 50x ) C(50) = 50² = = 500 R(50) = = 500 Le coût de production pour 50 vases vendus est de 500. La recette pour 50 vases vendus est de ) B(x) = R(x) C(x) = 50x (x² - 0x + 500) = 50x -x² + 0x 500 B(x) = -x² + 60x 500. ) a) -(x 30)² + 00 = -(x² - x ²) + 00 = -x² + 60x (x 30)² + 00 = -x² + 60x 500 = B(x) b) Pour x [0;60], B(x) 00 = -(x 30)² = -(x 30)² Or (x 30)² étant un carré est positif ou nul. Donc B(x) 00 0 Soit B(x) 00 et pour x = 30 B(x) = B(30) = 00. Donc Le bénéfice maximum est égal à 00 et il est atteint pour x = 30. Il faut donc produire 30 vases pour réaliser un bénéfice maximum. Vérification graphique : tracé des courbes représentant les fonctions C, R et B

5 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice : ( points) On considère la fonction f définie sur par f(x) = -x + 7. ) Donner en justifiant le sens de variation de f. ) Dresser son tableau de signes. 3) Quel est le signe de f sur l'intervalle I = [;3]? ) Proposer un intervalle du type J = [n;n+], avec n entier naturel, où la fonction change de signe. ) f étant une fonction affine de coefficient - négatif est donc décroissante sur. ) f(x) < 0 -x + 7 < 0 -x < -7 x > -7 - (la division par le nombre négatif - change le sens de x > 7 l'inégalité) On en déduit le tableau de signes suivant : x - Signe de -x ) [;3] 7 ; + donc f(x) < 0 pour x [;3]. ) < 7 < ; donc la fonction f change de signe sur l'intervalle J = [;]. Vérification graphique : 5

6 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice 5 : ( points) Déterminer la fonction affine f telle que f() = 3 et f(5) = -. f(x) = f(5) f() (x ) + f() = (x ) + 3 = - 5 (x ) + 3 = -5 x f(x) = - 5 x = - 5 x + 7 Vérification algébrique : f() = f(5) = = = = - 8 = - = = 3 Vérification graphique : On vérifie que - 5 = -,5 et 7 =,5 6

7 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice : Tracé de courbe (3,5 points) Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [- ;6] telle que : o l image de - est,5 o un antécédent de 3 est et ayant le tableau de variations suivant : x - f(x) 6 Exercice : Inégalités et sens de variation (,5 points) Soit f une fonction définie sur [-3 ;]. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;], alors f(-3) f() b) Si f(0) = 3 et f() = 0, alors f est croissante sur [0 ;] c) Si f(-3) f(), alors f est décroissante sur [-3 ;]. a) -3 < f(-3) > f(-) si f est décroissante : vrai b) faux : f peut être non monotone sur [0 ;] avec f(0)=3 et f()=0 c) faux : f peut être non monotone sur [-3 ;] avec f(-3) > f() 7

8 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points) Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de chaises. Il en fabrique entre 0 et 80 et estime que le coût de production, en euros, de x vases fabriqués est modélisée par la fonction C donnée par C(x) = x² - 0x ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x chaises. Une chaise est vendue 60. ) Exprimer R(x) en fonction de x. ) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 0 chaises. 3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x). Vérifier que B(x) = -x² + 80x 600. ) a) Développer l'expression (x 0)² b) En déduire le nombre de chaises à vendre pour réaliser un bénéfice maximum. ) R(x) = 60x ) C(0) = 0² = = 00 R(0) = 60 0 = 00 Le coût de production pour 0 chaises vendues est de 00. La recette pour 0 chaises vendues est de 00. 3) B(x) = R(x) C(x) = 60x (x² - 0x + 600) = 60x - x² + 0x 600 = -x² + 80x 600. ) a) -(x 0)² = -(x² - 80x + 600) = -x² + 80x (x 0)² = -x² + 80x 600 = B(x) b) Pour x [0;80], B(x) 000 = -(x 0)² = -(x 0)² Or (x 0)² étant un carré est positif ou nul. Donc B(x) Soit B(x) 000 et pour x = 0 B(x) = B(0) = 000. Donc Le bénéfice maximum est égal à 000 et il est atteint pour x = 0. Il faut donc produire 0 chaises pour réaliser un bénéfice maximum. Vérification graphique : tracé des courbes représentant les fonctions C, R et B 8

9 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice : ( points) On considère la fonction f définie sur par f(x) = -x + 5. ) Donner en justifiant le sens de variation de f. ) Dresser son tableau de signes. 3) Quel est le signe de f sur l'intervalle [;]? ) Proposer un intervalle du type J = [n;n+], avec n entier naturel, où la fonction change de signe. ) f étant une fonction affine de coefficient - négatif est donc décroissante sur. ) f(x) < 0 -x + 5 < 0 -x < -5 x > -5 - (la division par le nombre négatif - change le sens de x > 5 l'inégalité) On en déduit le tableau de signes suivant : x - Signe de -x ) [;] - ; 5 donc f(x) > 0 pour x [;]. ) < 5 < 3; donc la fonction f change de signe sur l'intervalle J = [;3]. Vérification graphique : 9

10 Seconde DS variations de fonctions fonctions affines Sujet Exercice 5 : ( points) Déterminer la fonction affine f telle que f() = - et f() = 5. f(x) = f() f() (x ) + f() = 5 (-) 5 - (-) - (x ) - = 6 (x ) - = 3(x ) - f(x) = 3x 6 = 3x - 7 Vérification algébrique : f() = 3 7 = 6 7 = - f() = 3 7 = 7 = 5 Vérification graphique : 0