Cours de physique générale

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1 31 octobre 2008 cours de la semaine # 7 Bienvenue au Cours de physique générale Physique I pour étudiants de première année en section de mathématiques Prof. Georges Meylan Laboratoire d astrophysique Site web du laboratoire et du cours : EPFL - GM 1

2 Vitesse et accélération en coordonnées sphériques (suite) Vitesse angulaire de rotation du repère : r " = # z ˆ + $ e ˆ # z v Dérivées des vecteurs de base : e ˆ r = " r # e ˆ r = $ e ˆ $ + % sin$ e ˆ % e ˆ $ = " r # e ˆ $ = & $ e ˆ r + % cos$ e ˆ % e ˆ % = " r # e ˆ % = & % sin$ e ˆ r & % cos$ ˆ Position, vitesse et accélération dans ce repère : = r e ˆ r r v = r e ˆ r + r " e ˆ " + r # sin" e ˆ # r a = ( r $ r " 2 $ r # 2 sin 2 ") e ˆ r + ( r " + 2 r " $r # 2 sin" cos" ) e ˆ " + r # sin" + 2 r # sin" + 2r #" cos" ( ) ˆ EPFL - GM 2 e $ e # x O φ P(r,θ,φ) θ r ˆ e " accélération radiale e ˆ r ˆ e " accélération méridienne accélération transverse y

3 Une brève histoire de la gravitation Grèce antique épicycle Terre planète déférent EPFL - GM 3

4 Une brève histoire de la gravitation Mouvement des corps célestes (Grèce antique) Eudoxe de Cnide ( av. J-C), Aristote ( av. J-C) Soleil et planètes sur des sphères concentriques centrées sur la Terre Aristarque de Samos ( av. J-C) 1er système héliocentrique Terre en rotation sur elle-même Terre et planètes sur des orbites circulaires autour du Soleil (idées en contradiction avec l époque, ne parviennent pas à s imposer) Ptolémée (~100 ~170 ap J-C), inspiré par Hipparque (~140 av J-C) Terre au centre, Soleil à vitesse constante sur un cercle légèrement décentré Planètes à vitesse constante sur des cercles (épicycles) dont les centres sont à vitesse constante sur d autres cercles (déférents) centrés sur la Terre Terre épicycle planète déférent En accord avec des observations de qualité médiocre, les modèles géocentriques de Ptolémée et d Aristote ont prévalu pendant quinze siècles, i.e., durant tout le Moyen Age jusqu au 16e siècle! EPFL - GM 4

5 Mouvement rétrograde de la planète Mars L explication du mvt rétrograde nécessite des épicycles dans un modèle géocentrique mais est immédiate dans un modèle héliocentrique EPFL - GM 5

6 Equinoxes et solstices EPFL - GM 6

7 Précession des équinoxes Hipparque ( av J-C) : observations (169 ans d archives) précession des équinoxes EPFL - GM 7

8 Nicolas Copernic ( ) polonais De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543) Modèle héliocentrique (inspiré par Aristarque) Remet en question la vision géocentrique et le «modèle des deux sphères concentriques» (la sphère terrestre et la sphère des étoiles fixes) Révolution de la pensée : la Terre (et donc l être humain) n est plus au centre de l Univers! conflit avec l Eglise chrétienne et la Bible Qualitativement, explication plus simple du mouvement des planètes (mouvement rétrograde expliqué par le mouvement de la Terre) mais toujours des cercles! «le mouvement des corps célestes est circulaire. En effet, la mobilité propre de la sphère est de tourner en rond : par cet acte même [...] elle exprime sa forme, celle du corps le plus simple» EPFL - GM 8

9 Tycho Brahe ( ) Jacob de Gheyn ( ) EPFL - GM 9

10 La Terre ou le Soleil au centre de l Univers? Claude Ptolémée ( ) Alexandrie : système géocentrique, avec déférents et épicycles (pdt 1500 ans) Nicolas Copernic ( ) : De Revolutionibus Orbium Coelestium Tycho Brahe ( ) : grand observateur Uraniborg EPFL - GM 10

11 Tycho Brahe ( ) et Johannes Kepler ( ) danois allemand Tente de réconcilier les points de vue de l Eglise et de Copernic (Soleil tourne autour de la Terre immobile et planètes tournent autour du Soleil) Réalise l importance de faire des mesures précises du mouvement des planètes (approche scientifique) Consacre de nombreuses années à l observation et la mesure des Partisan du système héliocentrique de Copernic Poursuit l analyse des mesures du mouvement de Mars faite(s) par son maître et ami Tycho Brahe mouvements planétaires Remarque que si l orbite de Mars est un cercle, le Soleil ne peut pas se trouver au centre de ce cercle... et finalement que l orbite de Mars n est pas un cercle EPFL - GM 11

12 De l enterrement de Johannes Kepler ( ) ou de la qualité des sources d information EPFL - GM 12

13 Lois de Képler Découverte pour la planète Terre en supposant une orbite circulaire Découverte en 1604 pour la planète Mars en supposant la loi des aires Note : Rapport des axes de l ellipse : pour Mars pour la Terre 2ème loi : (lois des aires, 1609) Le rayon-vecteur du Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux. 1ère loi : (1609) Les trajectoires des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l un des foyers. 1ère et 2e lois publiées dans Astronomia Nova (1609) 3ème loi : (1619) Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels au cube des grands axes : 3e loi publiée dans Harmonices mundi (1619) ( grand axe) 3 = constante ( période) 2 EPFL - GM 13

14 Mvt circulaire. Vitesse et accélération angulaires Pour un mvt circulaire et uniforme on a : ce qui donne l évolution : Syst. d axes cartésiens dont l origine est le centre de la trajectoire la projection d un mouvement circulaire uniforme sur un axe situé dans son plan est un mvt oscillatoire harmonique EPFL - GM 14

15 Rappel : Les coniques Les coniques selon un site du web 2007 EPFL - GM 15

16 Les coniques selon Kepler 1607 EPFL - GM 16

17 Toute la physique ne date pas du 20 e siècle! Pendant très longtemps, les applications physiques des coniques ont été les mouvements des planètes, des astéroïdes, des comètes, donc astronomiques (en plus de l étude de la chute des corps et de la balistique). EPFL - GM 17

18 Toute la physique ne date pas du 20 e siècle! Ce n est qu au 20 e siècle que les coniques ont été appliquées aux problèmes, e.g., de trajectoires lors de la diffusion de particules par d autres particules. EPFL - GM 18

19 Coniques Conique : lieu géométrique des points P du plan dont le rapport des distances à un point fixe O (foyer) et une droite fixe D (directrice) est une constante e (excentricité) b a e< 1: ellipse P r e>1: O hyperbole Q d ae Δ θ ae a r P θ O d b a Q Δ PO PQ = e = 1 r = 1 p r d " r cos# r, θ = coord. polaires par rapport à O d = distance foyer-directrice (1 + e cos") avec p = ed Equation conique en coordonnées polaires définie par les paramètres e et p demi - grand axe : a = demi - petit axe : b = EPFL - GM 19 p 2 1 " e p 2 1 " e " ed = r( 1+ e cos# )

20 Section d un cône : Ellipse x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 Ellipse rapportée à son centre et à ses axes de symétrie EPFL - GM 20

21 Section d un cône : Parabole y 2 = 2px Parabole rapportée à son sommet et à son axe de symétrie EPFL - GM 21

22 Section d un cône : Hyperbole x 2 a 2 " y 2 b 2 =1 Hyperbole rapportée à son centre et à ses axes de symétrie EPFL - GM 22

23 Les coniques Gruber & Benoit pp Fig a Fig c EPFL - GM 23

24 Les coniques Gruber & Benoit pp (suite) EPFL - GM 24

25 Les coniques Gruber & Benoit pp (suite) EPFL - GM 25

26 Les coniques Gruber & Benoit pp (suite) EPFL - GM 26

27 Les coniques Gruber & Benoit pp (suite) EPFL - GM 27

28 Un petit livre très recommandable Titre : Formulaires et tables Auteurs : Commissions romandes de mathématique, de physique et de chimie Editeur : Editions du Tricorne Référence : ISBN mais également Titre : Savoir-faire en mathématiques Auteur : Section de mathématiques SMA-FSB-EPFL, Station 8, CH-1015 Lausanne EPFL - GM 28

29 Mvt des planètes autour du Soleil et mvt central Aperçu historique et lois de Kepler (suite) Première loi : Les trajectoires des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers. ( Rapport de axes b/a de l ellipse vaut 0,99986 dans le cas de notre Terre et 0,99666 dans celui de la planète Mars. ) Deuxième loi : Le rayon-vecteur du Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. EPFL - GM 29

30 Mvt des planètes autour du Soleil et mvt central Aperçu historique et lois de Kepler (suite) Troisième loi : Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels au cube des grands axes, i.e., Remarques : Des 2 premières lois, Kepler aurait pu déduire qu à tout instant le vecteur accélération de chaque planète est dirigé vers le Soleil, de norme inversement proportionnelle au carré de la distance Soleil- Planète ( ~ loi de la gravitation universelle). De la troisième loi, Kepler aurait pu déduire que la constante de proportionnalité ne dépend pas des planètes, i.e., que l accélération de chaque planète est donnée par : où x = SP est le vecteur Soleil-Planète et κ S est une constante dont la valeur numérique vaut κ S = 1, m 3 s -2. calculus de Newton EPFL - GM 30

31 Mvt des planètes autour du Soleil et mvt central Des lois de Kepler au mouvement central But : Partant de la 2 e loi de Kepler, montrer que le vecteur accélération de la planète P est parallèle au vecteur Soleil-Planète SP. 1 re loi de Kepler mvt dans un plan contenant le Soleil. Aire de la surface définie par les rayons-vecteurs SP(t 1 ) et SP(t 2 ) et la trajectoire s exprime par (la limite de) la somme des aires des triangles définis par la courbe polygonale approximant la trajectoire EPFL - GM 31

32 Mvt des planètes autour du Soleil et mvt central Des lois de Kepler au mouvement central (suite) Ainsi, l aire balayée par le rayon-vecteur SP(t) = x(t) pdt l intervalle de temps (t 1,t 2 ) est donnée par : où, i.e., 2e loi de Kepler Δt, A(t,t+Δt) indépendant de t. Donc il découle de l Eq. (6.47) que la vitesse aréolaire définie par : ne dépend pas de t. EPFL - GM 32

33 Mvt des planètes autour du Soleil et mvt central Des lois de Kepler au mouvement central (suite) Ainsi, la 2e loi de Kepler ( C = cte ne dépend que de la planète P) Comme le mvt de P est plan et s effectue tjrs dans le même sens autour du Soleil, ce résultat remarquable peut s exprimer sous la forme vectorielle suivante, appelée loi des aires : pour n importe quelle planète P, on a : et C est un vecteur constant dépendant de P, perpendiculaire au plan de la trajectoire, égal à x 0 v 0. Finalement, en dérivant l Eq. (6.50) par rapport au temps, on obtient une autre propriété fondamentale : i.e., t, le vecteur accélération de la planète P au vecteur-lieu SP t. EPFL - GM 33

34 Mvt des planètes autour du Soleil et mvt central Des lois de Kepler au mouvement central (suite) Définition : Soit O un point fixé dans le référentiel R. Le mvt d un point P est dit central de centre O si à tout instant le vecteur accélération a(t) est parallèle au vecteur-lieu x(t) = OP t. Le mvt de toute planète est un mouvement central dont le Soleil est le centre EPFL - GM 34

35 italien anglais Galilée ( ), Newton ( ) et le développement de la dynamique Qu est-ce qui fait bouger les planètes? Avant Galilée/Newton : Le mouvement «naturel» d un corps est l immobilité Une planète doit constamment être poussée ou tirée (par «miracle») dans la direction de son mouvement, autrement elle s arrête Après Galilée/Newton : Le mouvement «naturel» d un corps est rectiligne uniforme; une planète dévie de sa ligne droite si une force non tangentielle agit sur elle Newton tire les conséquences des lois de Kepler : La 2ème loi et la planéité de l orbite implique que la force loi de la gravitation universelle et donc l accélération subies par une planète pointent toujours vers le Soleil : cette force centrale attractive est exercée par le Soleil (action instantanée à distance, comme par miracle) En utilisant de plus la 3ème loi, Newton montre que la force est proportionnelle à 1/r 2 (r = distance Soleil-planète) A partir de là, il prédit une trajectoire elliptique! (1ère loi) F " 1 r 2 EPFL - GM 35

36 Mouvement central et loi des aires Définition :un point P de masse m a un mouvement central si son accélération passe toujours par un même point O " r (t) = OP reste toujours parallèle à a r a(t ) (t) P(t ) Conséquences: P(t ) r Le vecteur moment cinétique L = r " m r v a(t ) reste constant et le mouvement est plan : O da r(t) v(t) dt Mouvement central da = 1 2 Moment cinétique constant Loi des aires + mouvement dans un plan EPFL - GM 36 par rapport à un certain point O fixe d dt (r " mv r ) = v r " m r v + r " m r a = 0 L aire balayée par unité de temps par le vecteur r(t) est constante (loi des aires) : r v dt sin(r, v r ) " da dt = 1 2 Démo : Mouvement central # 7 r # v r = 2m L

37 Mouvement central Projection dans un plan horizontal du mouvement d une bille soumise à son poids et astreinte à se déplacer sur une surface de révolution d axe vertical Vue de coté z axe de révolution vertical O surface de révolution r N α ρ r α F x α e ˆ z α m r g e ˆ " Démos : Orbites gravitationnelles (1) # 108 Orbites gravitationnelles (2) # 112 Repère associé Force totale F r Pˆ e "ˆ = mg r e #ˆ e z + N r (coord. cylindr.) = F" e ˆ " + Fz e ˆ z Composante horizontale: F" = F r # e ˆ " = $mg cos% sin% Projection sur plan horizontal EPFL - GM 37 O y r F " Support r de F r " passe toujours par O F " = mg cos# sin# x

38 «Découverte» de la force en 1/r 2 (dans le cas particulier d une orbite circulaire de rayon r) NB: le cercle est une ellipse de grand (petit) demi-axe r et son centre est l un ou l autre des foyers r L = r " m r v = m r " (# r " r ) ω = m ( r $ r ) # r % m ( r $ # r ) r = mr 2r # a = ω (ω r) O r r L = cste " # r = cste " v = #r = cste v = ω r mouvement circulaire uniforme 2ème loi de Kepler (loi des aires) : 3ème loi de Kepler : (période) 2 = T 2 = C r 3 où C est une constante F = ma = m v 2 On pose " S = 4# 2 C $ T = 2# r 3 ( ) 2 r = m 2" r r T = m (2" r) 2 = r C r 4" 2 m 3 C r 1 2 = # S m 1 " r 2 EPFL - GM S 38

39 Les planètes, la lune et la pomme Gotlib EPFL - GM 39

40 Les planètes, la lune et la pomme Newton postule que tous les corps exercent l un sur l autre une force similaire à celle du Soleil sur une planète : Exemple : la Terre attire aussi bien la Lune qu une pomme, et donc la Lune «tombe» en chute libre de la même manière que la pomme Vérification du postulat (1666) : A la surface de la Terre de rayon R, la pomme de masse m subit une force donnée par : mg = χ T m / R 2, donc χ T = gr 2 Newton calcule alors la période de révolution T de la Lune connaissant sa distance d à la Terre : T = 2" d 3 = 2" d 3 # T gr 2 mais le résultat diffère de 15% par rapport à la valeur observée! Il renonce à publier, jusqu à ce que, plusieurs années plus tard, la longueur du méridien terrestre soit mesurée correctement et réduise l écart de 15 % à 1 %. Gotlib EPFL - GM 40

41 Action et réaction (3ème loi de Newton) «A chaque action, il y a toujours une réaction égale et opposée ; si un premier corps exerce une force sur un second, ce second corps exerce une force égale et opposée sur le premier» Application aux forces gravifiques: cas du système Terre(T)-Lune(L) r F T"L + F r L"T = 0 F T"L = F L"T F T "L = # T m 1 L 2 d F L"T = # L m 1 T 2 d $ & % ( # T m L = # L m T & ' F T L F L T " # T m T = # L m L = constante universelle indépendante du corps (= G) EPFL - GM 41 m L d m T

42 Loi de la gravitation universelle (Newton) «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» (1687) L interaction de gravitation entre deux corps s exprime par une force centrale attractive proportionnelle aux masses des deux corps et inversement proportionnelle au carré de leur distance r F = " G M r m e ˆ 2 r = " G M r m r 3 G = constante de gravitation universelle M r F m e ˆ r Notes: En pleine cohérence avec les lois de Kepler, cette loi a tout de suite été acceptée, mais G = (6.673 ± 0.010) m 3 kg 1 s 1 (valeur actuelle) EPFL - GM 42

43 EPFL - GM 43

44 Et plus loin que le système solaire? Distance typique dans le système solaire : 1 UA = distance Terre - Soleil = km A grande échelle, fois plus grande, la structure de l Univers est complètement dominée par les forces gravitationnelles. EPFL - GM 44

45 Relativité générale d Einstein (dès 1907) Concept de base: l espace-temps est déformé par la présence des masses (et les corps suivent des géodésiques dans l espace courbe) La gravitation newtonienne n est qu une approximation des effets de relativité générale ont été observés sur l orbite de Mercure la lumière, qui n a pas de «masse», est également affectée par la gravitation (observation d étoiles dans la direction du Soleil lors d une éclipse solaire) Description de «phénomènes extrêmes» (trous noirs, ) EPFL - GM 45