Chapitre 3 Algèbre linéaire

Transcription

1 Notations. K désigne R ou C. I désigne un ensemble non vide. Chapitre 3 Algèbre linéaire (m, n désigne un couple d'entiers naturels tels que m 0. E, F désignent des K-espaces vectoriels. I - Espaces vectoriels I.1 - Familles de vecteurs Définition 1 (Combinaison linéaire. Soit (e i i I une famille de vecteurs de E. Le vecteur x est une combinaison linéaire de la famille (e i i I s'il existe une famille (λ i i I de scalaires presque tous nuls (i.e. {i I ; λ i 0} = { λij, j 1, p } est ni telle que x = λ i e i = i I p λ ij e ij. j=1 Remarque. On étend, de la même manière, les notions de famille libre, génératrice, base, coordonnées à des familles quelconques de vecteurs de E. Exercice Soit (P i i N une famille de polynômes non nuls et à degrés échelonnés, i.e. pour tout i 0, n 1, 0 deg(p i < deg(p i+1. Alors, (P i i N est une famille libre. 2. Montrer que la famille (x e ax a R est libre. I.2 - Produit d'espaces vectoriels Exercice 2. Soit A M n (K. Montrer que le commutant de A, déni par C (A = {M M n (K ; AM = MA} est un espace vectoriel. Propriété 1. Soit (E i i 1,m une famille d'espaces vectoriels. Alors, E 1 E m est un K-espace vectoriel. Exercice 3. Montrer que K n est un espace vectoriel. Propriété 2. Soit (E i i 1,m une famille d'espaces vectoriels. Si, pour tout i 1, m, l'espace vectoriel E i est de dimension nie, alors E 1 E m est de dimension nie et dim ( m E i = m dim(e i. Exercice 4. Déterminer la dimension du K-espace vectoriel K n.

2 I.3 - Somme de sous-espaces vectoriels Définition 2 (Somme & Somme directe. Soit (E i i 1,m une famille de sous-espaces vectoriels de E. m (i. La somme E i est l'ensemble { m m } E i = x i, (x i i 1,m m E i. (ii. La somme m E i est directe, notée m E i, si la décomposition de tout vecteur x m sous la forme m x i est unique. E i (iii. Si E = E i E j, les sous-espaces vectoriels E i et E j sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Exercice Montrer que K n [X] = n Vect { X k}. k=0 2. Représenter graphiquement 3 sous-espaces vectoriels de R 3 qui sont en somme directe. Proposition 3. La somme m E i est directe si et seulement si (x i m E i, ( m x i = 0 E i 1, m, x i = 0 E Exercice Montrer que si m E i, alors pour tout (i, j I 2 tel que i j, E i E j = {0 E }. Montrer que la réciproque est fausse. 2. Soient n N et P K[X] de degré n + 1. On note P K[X] = {P Q, Q K[X]}. Montrer que K n [X] et P K[X] sont supplémentaires dans K[X]. 3. Montrer que K n [X] admet plusieurs supplémentaires distincts dans K[X]. Définition 3 (Base adaptée. On suppose que E est de dimension nie. (i. Soit F un sous-espace vectoriel de E. La famille (e i, base de E, est une base adaptée à F s'il existe une renumérotation des vecteurs et un entier n tels que (e 1,..., e n soit une base de F. (ii. On suppose que E = m E i. La famille (e i,j est une base adaptée à la décomposition en somme directe de E si, après une éventuelle renumérotation, cette famille s'écrit (e i,j i 1,m, j 1,mi et pour tout entier naturel i, la famille (e i,j j 1,mi est une base de E i.

3 Exercice Soient n N et P K[X] de degré n + 1. Déterminer une base adaptée à la décomposition K[X] = K n [X] P K[X]. 2. Soit (e i i 1,n une base de E. Pour tout i 1, n, on note E i = Vect{e i }. Montrer que E = n E i. 3. Si E = m E i et, pour tout i 1, m, B i est une base de E i, montrer que la juxtaposition m B i est une base de E. Théorème 1 (Somme & Dimension. Soient (E i i 1,m des sous-espaces vectoriels de dimension nie de E. Alors, dimension nie et ( m dim E i m dim(e i. ( m De plus, dim E i = m dim(e i si et seulement si la somme est directe. Exercice 8. m E i est de 1. On suppose que dim(e 3. Montrer que deux hyperplans de E ne sont jamais en somme directe. 2. En notant S n (R l'ensemble des matrices symétriques de M n (R et T n (R l'ensemble des matrices triangulaires supérieures, montrer que S n (R + T n (R = M n (R. Cette somme est-elle directe? II - Applications linéaires & Matrices II.1 - Applications linéaires Théorème 2 (Somme directe & Applications linéaires. On suppose que E = m E i. Pour tout indice i 1, m, on considère une application linéaire ϕ i de E i dans F. Alors, il existe une unique application linéaire ϕ de E dans F telle que pour tout i 1, m, la restriction de ϕ à E i soit égale à ϕ i. Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension nie et u, v deux endomorphismes de E. On pose ϕ : L (E L (E, f u f v. Montrer que ϕ = 0 L (L (E si et seulement si u = 0 L (E ou v = 0 L (E. Exercice 10. On suppose que E = m E i. Pour tout i 1, m, on note p i l'application qui à tout vecteur x = m x j associe le vecteur x i. j=1 1. Montrer que p i est un projecteur puis que, si i j, alors p i p j = 0 L (E. 2. Déterminer m p i.

4 Réciproquement, soit (p i une famille d'applications linéaires telles que pour tout (i, j 1, m 2, p i p j = δ i,j p i et Id E = m p i. Pour tout entier i 1, m, on pose E i = p i (E. 3. Montrer que E = m E i. Théorème 3 (Théorème du rang. Soit ϕ L (E, F. L'application linéaire ϕ dénit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker ϕ dans Im ϕ. En particulier, si E et Im ϕ sont de dimension nie, alors dim (Ker ϕ + Rg(ϕ = dim E. Exercice 11. (Polynômes d interpolation de Lagrange Soient (a 0,..., a n des scalaires deux à deux distincts et ϕ l'application de K[X] dans K n+1 dénie pour tout P K[X] par ϕ(p = (P (a 0,..., P (a n. 1. Déterminer Ker ϕ. 2. Montrer que K n [X] est un supplémentaire de Ker ϕ. 3. En déduire que ϕ réalise un isomorphisme, noté ϕ n, de K n [X] dans K n En notant (e i i 0,n la base canonique de K n+1, déterminer, pour tout entier i 0, n, ϕ 1 n (e i. Définition 4 (Stabilité, Endomorphisme induit. Soit ϕ L (E et F un sous-espace vectoriel de E. L'espace vectoriel F est stable par ϕ si ϕ(f F. La restriction de ϕ à F, i.e. l'endomorphisme u de F dans F, déni pour tout vecteur x F par u(x = ϕ(x est l'endomorphisme induit par ϕ sur F. Exercice 12. Montrer que, pour tout entier naturel n, l'espace vectoriel K n [X] est stable par dérivation polynomiale. Théorème 4 (Commutativité & Stabilité. Soient ϕ et ψ deux endomorphismes qui commutent. Alors, Im ϕ et Ker ϕ sont stables par ψ. Propriété 4. Soient (E 1,..., E m des sous-espaces vectoriels de E tels que E = m E i et ϕ un endomorphisme de E. L'endomorphisme ϕ stabilise tous les espaces E i si et seulement si pour toute base B adaptée à la décomposition de E, il existe des matrices A 1,..., A m telles que A 1 0 Mat B (ϕ = A m Exercice Déterminer la matrice d'un projecteur p dans une base adaptée à la décomposition E = Im p Ker p. 2. Reprendre la question précédente dans le cadre d'une symétrie.

5 II.2 - Opérations sur les matrices dénies par blocs Notations. Soit A M n,p (K. On notera A = L 1. L n = [ C 1 C p ]. Si B M q,n (K, alors BA = [ ] BC 1 BC p. Plus généralement, on peut décomposer une matrice A en blocs A 1,1 A 1,q A =.., A m,1 A m,q m q où A i,j M ni,p j, n i = n et p j = p. j=1 Propriété 5. Soient A = (A i,j et B = (B i,j deux matrices décomposées en blocs et λ K. Sous réserve de compatibilité des tailles des blocs, (i. A + λb = (A i,j + λb i,j. (ii. AB = (C i,j se décompose en blocs, où C i,j = A i,k B k,j. II.3 - Classes de similitude Définition 5 (Trace d un matrice carrée. Soit A = (a i,j M n (K. La trace de A, notée Tr(a, est dénie par Tr(A = n a i,i. Exercice 14. Déterminer Tr(0 n et Tr(I n. Propriété 6 (Propriétés de la trace. Soient A, B M n (K. (i. Tr : M n (K K est une forme linéaire. (ii. Tr(AB = Tr(BA. (iii. Pour tout entier naturel m, Tr((AB m = Tr((BA m. (iv. Pour toute matrice P Gl n (K, Tr(P 1 AP = Tr(A. Définition 6 (Matrices semblables. Soit (A, B M n (K 2. Les matrices A et B sont semblables s'il existe une matrice inversible P Gl n (K telle que A = P BP 1. Exercice 15. Soit A une matrice scalaire. Déterminer l'ensemble des matrices semblables à A. Propriétés 7 (Classe de similitude. (i. La relation binaire être semblable est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence associée à une matrice A est sa classe de similitude. (ii. Si A et B sont semblables, alors Tr(A = Tr(B. Exercice 16. Montrer que la réciproque au (ii est fausse.

6 Théorème 5 (Interprétation géométrique. Soient A, B M n (K. Les matrices A et B sont semblables si et seulement si ce sont les matrices d'un même endomorphisme ϕ sur un esepace vectoriel de dimension n. Définition 7. Soit ϕ L (E. La trace de ϕ est la trace de la matrice de ϕ dans une base B de E. Exercice 17. Montrer que pour tout projecteur p, Tr(p = Rg(p. II.4 - Polynômes d'endomorphismes Définition 8 (Polynômes & Matrices. Soient M M n (K, ϕ L (E et P = d k=0 a k X k K[X]. (i. Le polynôme de la matrice M, noté P (M, est la matrice dénie par P (M = a 0 I n + d a k M k. (ii. Le polynôme de l'endomorphisme ϕ, noté P (ϕ, est l'endomorphisme déni par P (ϕ = a 0 Id E + d a k ϕ k. Exercice Soit P = X 2 3X + 2. Calculer P (0 2, P (I 2, P (( 1 2, P 3 4 (( 2 0, P Proposer un algorithme permettant d'évaluer un polynôme de matrices. 3. Soient D = Diag{λ 1,..., λ n } une matrice diagonale et P K[X]. Exprimer P (D. (( Soient P K[X], M M n (K et Q Gl n (K. Exprimer P (QMQ 1 en fonction de P (M. Propriété 8. Soient (P, Q K[X] 2 et ϕ L (E. Alors, (i. (P + Q(ϕ = P (ϕ + Q(ϕ. (ii. (P Q(ϕ = P (ϕ Q(ϕ = Q(ϕ P (ϕ. (iii. (P Q(ϕ = P (Q(ϕ. Exercice 19. Énoncer la propriété analogue pour les polynômes de matrices. Définition 9 (Polynôme annulateur. Soient P K[X], M M n (K et ϕ L (E. Le polynôme P est un polynôme annulateur de la matrice M (resp. de l'endomorphisme ϕ si P 0 et P (M = 0 n (resp. P (ϕ = 0 L (E. Exercice 20. Montrer que toute matrice carrée d'ordre n possède un polynôme annulateur de degré au plus n 2. Propriété 9. Soient M M n (K et P K[X] tel que P (M = 0. Si le coecient constant de P est non nul, alors M est inversible.

7 Exercice En utilisant le polynôme P = X 3 2X 2 1, montrer que la matrice M = inversible et déterminer son inverse Soit A = a Calculer A 2 7A 98I 3. b En déduire, pour tout n N, des réels u n, v n tels que A n = u n A + v n I est III - Formes linéaires & Hyperplans Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul. Définition 10 (Forme linéaire. Une forme linéaire est une application linéaire de E dans K. Exercice Donner des exemples de formes linéaires. 2. Déterminer une base de Ker Tr. Propriété 10 (Applications linéaires coordonnées. Soit (e 1,..., e n une base de E. Pour tout i 1, n, on note ϕ i : E K, n x k e k x i. Alors, la famille (ϕ 1,..., ϕ n est une base de L (E, K. Ces applications linéaires sont les applications linéaires coordonnées associées à la base (e 1,..., e n. Exercice 23. Soit n N. 1. Déterminer les applications linéaires coordonnées associées à la base canonique de R n. 2. Déterminer les applications linéaires coordonnées associées à la base de R n [X] constituée des polynômes d'interpolation de Lagrange. Définition 11 (Hyperplan. Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan de E si dim(h = n 1. Théorème 6 (Hyperplan & Formes linéaires. (i. Si ϕ est une forme linéaire sur E non nulle, alors Ker ϕ est un hyperplan de E. (ii. Soit H un hyperplan de E. Il existe une forme linéaire ϕ 0 telle que H = Ker ϕ 0. De plus, si ϕ est une forme linéaire telle que Ker ϕ = H, alors il existe λ K tel que ϕ = λϕ 0. Exercice 24. Illustrer ce théorème en dimensions 2 et 3. Corollaire 7 (Hyperplans & Équations. Soit B = (e 1,..., e n une base de E. L'espace vectoriel H est{ un hyperplan de E si et seulement s'il existe un n-uplet non nul (a 1,..., a n K n tel que H = x = n } n x i e i E ; a i x i = 0. L'équation n a i x i = 0 est une équation cartésienne de l'hyperplan H. Exercice 25. Déterminer une condition nécessaire et susante pour que deux hyperplans d'équations respectives a k x k = 0 et b k x k = 0 soient n n égaux.