GI.~RARD CROSET France

Transcription

1 - - la - - les RISQUE ET RENTABILITE GI.~RARD CROSET France 1. M. Karl Borch a prdsentd, darts plusieurs de ses communications g i'astin 1), un module de comportemcnt de l'assureur, qu'il qualifie lui-m&ne de simplifid, mais qui met a~arunoins en dvidence ul~e intdressante propridtd d'optimalitd. L'assureur maximiscrait la valeur actuelle des dividendes futurs en laissant les b&ldfices dventuels s'ajouter aux fonds propres jusqu'au niveau Z; les montants qui porteraieat alors les richesses libres au dessus du ~liveau Z seraiem intdgralement distribuds. L'espdrance mathdmatique optimale V(S, Z) de la valeur actuelle des dividendes futurs d@end, darts ces cmlditions, du capital S initial. D'autre part, il reste erttendu que si S > Z, alors (S- Z) est immddiatemellt,,remboursd", et, si S =- o, la socidtd cesse, en principe, ses opdrations, toutefois, M. Karl Borch a envisagd la possibilitd d'tm renflouement 2). 2. L'utilisation pratique de ce module pose deux probl6mes par ticul_i~remeat importartts : socidt~ a-t-elle le droit de fonctiommr avec le capital S? capitalistes accepteraient-ils d'investir S? 2.1. Le premier de ces probl&nes a dtd envisagd par ~lous-m&ne dans une dtude pr&ddente a). I1 apparait que la eontrainte impos& par l'autoritd de tutelle peut-~tre sommairemertt rdsumde par l'obligation d'un capital minimum T. La valeur actuelle optimale V(S, T, ZT) des dividendes futurs est alors dimilmde par rapport g. la valeur prdcddemmmlt consid&de (correspoi~dant g. T --= o), soit V(S, o, Zo), tartdis que le niveau Z~, de la barri&e reflexive est placd plus haut que Z0. ~) Notamment,,Dynamm decision problem in an insurance company", ASTIN Bulletin, Mm [968, p It8-t3~. :),,'l'he rescue of an insurance company after rum", AS'FIN I~ullctin, Mal 1,~60, p a) G. Cresset - - "l'h6sc:..ouclqucs ~qq:,hcatton~ dc la tlt,d~rie de la d~clslotl it l'assurance dommages", l{dsoln~ g parahre dans Ie I~ull. I.A.F Jum 1~,~7o.

2 - - V(S, [5 ~ RISQUE ET I~EN'FABILI'FE 2.2. I1 reste it considdrer le second probl6me, c'est-k-dire, finalemcnt, celui de l'opportunit6 du placement des capitaux daas une socidt6 d'assurances dommages. Cell n6cessite que soit d6fini un crithre de choix des placements. 3. D6s lors que l'on dispose dans une entreprisc d'un capita! S, il est normal do chercher ken tirer le bdndfice, ou, plus exactemeat, le profit actualisd maximum C'est d'ailleurs le crit6re que recommaade M. P. Masse en mati~re de choix des iiwestissements l) et celui-15 n%me qu'utilise M. Karl Borch pour ddfinir la meilleure stratdgie de l'assurcur. Toutefois, le probl6me posd n'est pas ici exactcment le m6me; il s'agit du choix des placemelits par le capitaliste. Cc deruicr compare le profit avec le montant du capital misd, et, de plus, tl tient compte du caract6re certain ou aldatoire du revenu. Oil est ainsi conduit & envisager, avec MM. Dethoor et Grosbillot 2), deux autre~ crithres: celui, classique, du taux de rerttabilitd interne, ct celui de,,l'indice de profitabilit6", que l'on ddfinira ellsuite. 4. Le ta.ux de renlabilitd interne est une notion trhs utile, mats, en v6ritd, trhs malcommode stir le plan opdrationnel. 4.1 On note tout d'abord que la ddcisioa de placer S dans une compagnie d'assurance n'est dconomiquement sensde que si V(S, 7", Z) > S, du moin~ dans l'hyl~othhse off le taux d'aotualisation choisi correspond au taux d'intdr~t normal i sur le marchd financier. I.orsque l'in6galit6 est satisfaite, le taux de rentabilit4 interne est supdrieur a) au taux d'i,ltdr~t i. Pratiquement, il faut envisager deux dventualitds l.orsque Z > T, l'indgalitd, m6me cortsiddrde au seus strict, cst toujours vdrifide. En effet quelle que soit la valeur de S > Z, on a V(S -t- ds, 7", Z) T> Z) > ds -- indgalitd que l'ol, petit encore 6crire V(S q- ds', 7", Z) ds > V(S, T, Z) -- S -- puisque, capitaliser ') I'.X'[a~e,,I.u choix des u~vestis.,,cmt,l~t~", J)unod ~-) I)cthoor - (ho,;blllol.,,l.a vie :.los dquil)onlcnts", Dunod 1967 a) On rappello quo, par d6flnition, 1o tau de rentabillt6 hll;orne esl; Io {aux d'actualis~ttlon qul 3.SsLlre l'dgalltd de la valour actucllo (10~ SOlilnles porq-uc,~ ct des capitaux investls. On lllorltre a Jots faoilcnlcnt lo r6sulta.t lndiqtl6.

3 RISQUE ET RENTABILITE 159 ds augmente davantage V que distribuer ds. L'indgalitd devient figalitfi lorsque S=Z, on a alors V(S 4-dS, T, Z) -- S -- ds = V(S, 7", Z) --S. Ce qui signifie que, le bfinfifice taet de l'opfiration, actualis6e au taux i, n'est pas modifid lorsqu'on ajoute ds. Autrement dit, le taux iest le taux margiual de rentabilitd de S pour S = Z. De l'in~galit6 V(S + ds, T, Z) -- S -- ds > V(S, T, Z) -- S pour S < Z, on d6duit que le taux marginal de rerttabilitd de S est sup6rieur k i pour S < Z. Or, sans qu'on ait pule d6montrer avec prfcision pour T > o, il semble que le taux de rentabilit~ moyen de S soit supdrieur au taux marginal de S, donc V(S, T, Z) > 5 pour Z>T Lorsque Z < 7", il existe, en supposant une propridt6 de coatinuitd, un voisinage de Z o~ l'iadgalitd V(S, T, Z) > S est encore vdrifi~e. Si Test ~. l'int6rieur de ce voisinage, les capitalistes peuvent encore accepter de laisser leurs capitaux darts l'entre prise d'assurance; dans le cas contraire, urt ddsinvestissemertt est g. craindre ~) Les rdsultats pr&6dents montrent que l'introductiorl d'un capital minimum 7" modifie fortdamerttalement le probl6me. En effet, si T = oet si le chargement de sdcuritd inclus darts la prime commerciale est positif, alors V(S, o, Z) est toujours positif, en particulier le taux de rentabilitd est iafinipour S = o ; il 3; a dortc un voisinage de zdro off V(S, o, Z) > S. Par cons6quent, c'est de l'existence d'un capital minimum T, cortjugude avec ua taux de chargement insuffisartt, que peut rdsulter une impossibilitd &ortomique d'obtertir des capitaux pour l'assurance Malgr6 l'irtt~rfit de cette notion de taux de rentabilit6 interne, on dolt renoncer h l'utiliser en pratique pour les raisons suivantes: On peut tout d'abord remarquer que substituer au taux i, le taux de rentabilitd interne, suppose, implicitement, que l'on puisse placer les sommes per~ues sous forme de dividendes dans les m~mes conditions que le placement considdrd lui-meme, ce qui est loin d'ftre certain ~). l) Cette cramte West p~s wunc, du lrtoinss ell France, =) VOlt J Urtasun,,Contrib~ltmn it I'dtude actuancll des op~ratlon~ financigres" Bull. I,A F. n

4 i6() RIS~.)UE ET I{EN'I'AI:HLI'I'I.; Dans le probl6me considdrd, se pose une question plus immddiato: doit-oa prendre la valeur ZT(i) qui optimise I:(S, 7", Z) avec le taux d'actualisation i ou doit-ort adopter la valeur Z~,(x) qui optimise V(S, T, Z) lorsqu'on substitue ~. i le taux de rentabilitd inconnu x ) On salt que, dalls cette demi6re hypoth&e, Zest ndcessairement infdrieur h T (voir 4~3), cela signifie que le capital S devrait ~tre supdrieur au n iveau de la barri~re reflexive Z, ce qui n'est pas une situation normale. Dans la t)rcmi~re hypoth&e (conserver Z~, correspondallt tt i), la ddfinition du taux de rentabilitd utilisde n'est pas coh6rente parcequ'elle fait touiours rdfdrelme au taux i du marchd financier. Aucune des deux solutions proposdes ne paralt donc satisfaisaate l.e taux de rerttabilitd irtterne p%sente un autre iacortvdnient : ce n'est 1)as l'espdrance mathdmatique des taux de rentabilitd correspondant aux divers cheminements possibles, mais simplement le taux de reniabilitd qui assure l'dquivalence entre le capital iltvesti et les profits cspdrds. Cela est 5~ l'origine d'mm difficultd fondamentale lorsqu'on envisage, ce qui est le cas en assurance, des revenus aldatoires. 5. Lc laux dc profilabilitd ou taux d'enrichissement relatif est ddfini par le rapport V(S, T, Z)_ --S Cette quantitd paralt con- S stituer un crit6re de choix susceptible d'expliquer le comportemeat du capitaliste ()n note tout d'abord que si le capitaliste rte se rfiffirait qu'~. l'espfira~me mathdmatique du taux de profitabilitd, alors il faudrait que la soci~td soit crdde avec un capital ~gal au minimum dv6", T, Z) T t). En effet, V(S,... T, Z) est, comme --, une fonction.~ ds ddcroissame de S Cette derni6re propridtd, toujours vdrifide avec des lois de distribution du risque quelque peu vraiselnblables, est intuitivement dvidente: le gain dv induit par une augmentation de S a pour origine la rdduction de la probabilitfi de ruine, rdduction ~) I1 existc, uric mdthode dircctc p~mr dtablir cc r6sultat, v~ir I)ethoor.,Au (h.l./t (It )a prog, ran}nlatmn (Iymuniquc" l(cvuc (~C()I]()llli(lllt', ~tl,[~li I(}()Q, pages 5 t5-535.

5 R['StJUI,; ET RENTABIL1TE I6I d'autant plus faible que, pour un marne ds, la valeur de S est plus grande Lorsque [e reverm n'est pas certain mais aldatoire, on sait qu'il faut tenir compte aussi de la dispersioll du revenu 1). Toutefois, plut6t que d'introduire un deuxisme critsre, oa prdf~re, comme M. Moeseke 2), exiger que la probabilitd que le taux de profitabilitd soit infdrieur 5~ 0 ne puisse ~tre supdrieure 5~ ~. Autremen.t dit, le capitaliste souhaite obtenir uu taux de profitabilitd, en moyenne, [e plus 61evd possible, mais sans risquer trop pour cela de ll'obtenir, dana certains cas, qu'un taux de profitabilitd tl"~s faible. A quel niveau doit-o11, dans ces conditions, fixer le capital S? Cela cojlduit 5. dtudier la distribution de probabilitd du taux de profitabilitg On remarque tout d'abord que lorsque le capital S est voisin de T, il y a certes une bonne probabilitd que le taux de profitabili% soit dlevd (comme cn atteste la valeur de l'espdrance mathdmatique de ce taux de profitabilitd) mais il y a aussi une assez forte probabilitd que la socidtd doive cesser ses opdrations darts un proche avenir a) ; darts cette dventualitd, le taux de profitabilitd est faible, voire nul l.orsque le capital S est sensiblelncnt 1)lus grand quc T, le taux de profitabilitd est rarement tr& dlevd (puisque le capital it rdmundrer est important) mais, il y a peu de chances que la socidtd doive cesser ses opdrations (la probabilitd tie ruine est faible), par consdquent, le taux de profitabilitd ne risque gu6re d'atteindre la valeur zdro A partir des remarques prdcddentes, on peut tracer les courbes des probabilitds cumuldes correspondant 5. la distributioll du taux de profitabilit6 en fonctioa du capital S 4) : 1) Markowttz,,Portfoho selection" Juurnal of I~lnancc~ 7, P 77t) t "-) Voir Moesekc, P. \:.... Stochastm hncar pr.grammmg" Yale economic cssa.ys 5, I965, ) ll est to@mrs p(~sslblc de rcufhmcr la socldtd, t(mtc.fois cola n'(,st qu'un palhatlf, car le taux de profltabdttd rcste fad)it comptc tcnu de la charge du ren[louement 4) Les relations de la programmatkon dynamtquc ne permcttcnt pas d'obtenir directement cus distnlmtions tit' pr~hmhihtd, un rcvanch,'. ~m peut, cn vahtztnt ch.tquc arc ~lu graphc par los [)[Ilbb~IIICI.2S%tlCCt.'NalVCb(111 h~ill.3~ici2 dlslnbu6, obtenir les chffdrenls m(macntts tle cos d~stnbut~ons, cc qm permct

6 RISQUE ET RENTABILI'I'I probabtlit.d~ cumultle~ i00~' o' I i" - - S. - T S>T > Vah.ur (lu t.ulx de plollt,d)dltd figure i Les valeurs de S admissibles correspondent aux courbes qui rencontrent la droite d'ordonn~e = au delb~ de 0. Si les exigences exprimdes pour les valeurs de ~ et de 0 ne sont pas excessives, on trouvera plusieurs valeurs de S qui seront admissibles et on choisira, parmi celles-ci, la plus petite, elle correspond au taux de profitabilitd moyen le plus dlevd, tout en satisfaisant ~. la condition de s~curitd. 6. Conclusion. Faute d'dtablir une distinctioll claire entre le capitaliste et l'assureur, on congoit mal que certaines op~ratiorts (crdation de holdings notamment) aboutissent souvent ~. %duire le capital ou que les augmentations de capital par apport soient exceptionnelles, saul dans le cas d'ml renflouelnent. Certes, la distinction est rendue difficile par le fait que l'assureur-gestionnaire a gdndralement aussi des int&~ts capitalistes dans l'eatreprise, mais une partie importante des capitaux investis dans l'assurance est entre les mains de personnes qui ne sont pas les gestionnaires, ge schdma propose, dortt il faut souligner qu'il ne se rfifare pas & la probabilitd de ruine, semble rendre compte convenablement du comportement des capitalistes non gestionnaires, seulement pr~occupds de rentabilitd. pratlquement de d6termmer les dmtributu)ns. \;on': M. Frechet,,Recherches th orlques modernes stlr les probe~bd~t4~s" Tralt~ de calcul des probabd~t6s et de ses applications", "l'onm I -- Fasclcule 3 (Gauthlcr -- \qllars t95o).