Maréchal Leclerc MATHS. Lycée Agora

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1 NOM : 00 / 0 Prénom :. Établissement d origine : Jean Perrin Joliot urie Les henevreux Évariste Galois Victor Hugo ndré Doucet Paul Eluard Maréchal Leclerc Les ouvets MTHS Lycée gora Lycée Joliot urie L objectif de ce cahier est d aider tout élève qui va entrer en seconde en lui faisant revoir et retravailler des notions de base indispensables pour bien démarrer la classe de seconde en mathématiques. e cahier (réactualisé par les professeurs des collèges Les ouvets et Maréchal Leclerc et le lycée gora en 0) devra être remis au professeur de mathématiques de seconde à la rentrée de septembre. Il sera évalué par ce professeur. ertaines pages comportent des exercices un peu plus difficiles : ils sont signalés par deux étoiles (**). Vous pouvez consulter le site de l académie de Versailles :

2 Fiche alcul numérique I. Opposé, inverse Rappels Opposé et inverse : Soit a un nombre différent de 0, L opposé de a est le nombre qu il faut ajouter à a pour obtenir 0. + ( ) = 0 donc l opposé de est L inverse de a est le nombre par lequel il faut multiplier a pour obtenir. 6 donc l inverse de 6 est donc l inverse de 4 4 est 4. Exercice : Dans le tableau suivant, remplacer W par le nombre qui convient et compléter les pointillés : + W = 0 est l opposé de. W = est l inverse de 7 + W = 0 7 est de 7 W ( ) = est l inverse de est l opposé de. est l inverse de Exercice : Déterminer l opposé et l inverse de chacun des nombres suivants : 7 4 Opposé 4 Inverse II. Les nombres relatifs Exercice alculer en écrivant les étapes intermédiaires : H = = 5 9,8 H = = H =, ( 4,7) I = ( 5) I = I = F = ( 4,5) J = 7 ( 6) J = F = L = 7 9 L = N = ( 5) N = N = R =,5 K = ( 5 ) + (4 )

3 III. Fractions Pour additionner ou soustraire deux fractions, on commence par déterminer un dénominateur commun. Puis, les deux fractions étant réduites au même dénominateur, on additionne ou on soustrait leurs numérateurs. Ensuite, si possible, on simplifie la fraction pour écrire le résultat sous forme d une fraction irréductible. Exemples : alculer est un dénominateur commun de ces deux fractions. lors soit 5 5 c est-à-dire On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 donc. Soit a, b, c et d quatre nombres quelconques, b 0 et d 0. lors a c a c a c a d a d et si c 0, alors :. b d b d b d b c b c Si cela est possible, on simplifie la fraction pour donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. 4 Exemple : mais peut se simplifier car alculer 4 est un dénominateur commun de ces deux fractions. On réduit ces deux fractions au même dénominateur en prenant comme dénominateur commun. lors soit c est-à-dire Donc est une fraction irréductible ; on ne peut plus simplifier le résultat. Exercice : En détaillant les étapes, effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible : a) b) c) =. =. = =... d) = = D e) E f) F : D = E = F =.. D = E = F =.. IV. Sens des opérations et priorité des opérations Exercice 4 : ompléter le tableau suivant : Ecriture littérale La somme de 00 et du produit de 4 par L opposé du produit de par l inverse de Ecriture mathématique (**) Le produit de la différence entre 5 et 5 par la somme de ces mêmes nombres. 8 5

4 Exercice 5 : En détaillant les calculs, effectuer les opérations suivantes : a) 6 0 b) ( ) 6 0 =. =. =. =. =. =. c) ( (60)) d) D (6 0). D =... D =... D =.. e) V. Puissances Quels que soient les nombres a et b non nuls et quels que soient les nombres relatifs n et p, on a : a 0 = a = a a n a p = a n + p a n = a n a n a p = a n p (a n ) p = a n p a n b n = (a b) n ; Exemples: 6 = + ( 6 ) 0 5 ; 0 7 = ; 4 = = 4 = 0 = 5 4 Exercice : alculer sous forme décimale : 4 a b n n a b n Exercice : Ecrire les nombres suivants sous la forme a n, où a est un nombre non nul et n un nombre entier relatif : 7.. ; 7 ;. =... ; = ; =... ;. ; 5. 6 = ; =. ; =. ; = ; 0 0. ; ; 0 ; =. =. ; = ; = ; =.. 5. ; =... VI. Racines carrées 4

5 Fiche alcul littéral : expressions littérales et réduction Exercice : Traduire les phrases suivantes par une expression littérale. La somme de x et de :. Le produit de x par x : Le produit de x par : La somme de x et de x :.. Le produit de 6 par la somme de x et de : La somme de 6 par le produit de x par :.. Exercice : Relier chaque expression littérale à la phrase qui la décrit (a 0 et a + b 0). a a a b a b a b a b L inverse de a L opposé de a L inverse de la somme de a et de b L opposé de la somme de a et de b La somme de l opposé de a et de b La somme de l inverse de a et de b Rappel : Supprimer les parenthèses Si les parenthèses sont précédées d'un signe " +", on peut supprimer les parenthèses sans rien changer. Si les parenthèses sont précédées d'un signe " ", on peut supprimer les parenthèses à condition de supprimer ce signe " " et de prendre les opposés des termes qui sont dans les parenthèses. Exemple : a 5 b c a 5 b c 7 a b c Exercice : Transformer chaque expression en son opposé. Expression Opposé Expression Opposé Expression Opposé 7x 7x xy 7x x + 5 7x x x + y 5 Exercice 4 : QM - Entourer la bonne réponse dans chaque ligne. Si dans une classe il y a 5 élèves dont x filles, alors le nombre de garçons est : Sur un parking il y a x scooters et y voitures. Le nombre de roues est : Le périmètre du rectangle représenté cicontre est donné par la formule : x cm L'aire du rectangle représenté ci-contre est 9 cm donnée par la formule : a b c x x 5 x y + x x + 4y 4x + y x + 9 (x + 9) 9 + x 9 + x 9 x 9x 5

6 Rappel : Vocabulaire à connaître x est la somme de deux termes ; le premier terme x est le terme en «x» de cette expression et est le terme constant. Dans le terme en «x», est le coefficient de x. x est une expression algébrique du premier degré car la puissance la plus élevée de x dans cette expression est. 5 x x est une expression algébrique du second degré car la puissance la plus élevée de x dans cette expression est. Exercice 5 : ompléter le tableau. Terme en x oefficient de x Terme en x oefficient de x Terme constant 5x x 5x 5 x 5x 7x 4,5 6 x x 9x 5 Rappel : Réduire une expression Pour réduire une expression littérale, on regroupe les termes en les termes en x et les termes constants. x, Exemple : x 5x 4 x 7 4x x x x x = x x + Exercice 6 : Réduire les expressions suivantes (comme dans l exemple précédent). = 8 x + 7x + 4 x 9x + =.. =.. =.. = x x + x + x 4 4 =. =.. = Exercice 7 : Supprimer les parenthèses et réduire. = 7 ( a) (b 5) =. =. = 5 x ² (x ) + (7 x ² 6) =. =. 6

7 Fiche alcul littéral : développement et factorisation Pour tous nombres a, b, c, d et k Distributivité : Identités remarquables : Développer Développer k a b ka kb a b c d ac ad bc bd Factoriser a b a ab b a b a ab b a b a b a b Factoriser Développement Développer un produit de facteurs, c est l écrire sous la forme d une somme (ou d une différence) de plusieurs termes. Pour développer, on peut : Utiliser la distributivité Utiliser les identités remarquables 6 x 4 x 5 4x 6 x 6 4 x 4x x 5 4x 5 6x 4 4x x 0x 0 4x 4x 4 x x x 4x x x x x 4 x 6 Exercice : Développer et réduire les expressions suivantes. = 4x (x 6) 6 5x 7 = = = = 5(x 4) (8x + )(7x ) D = (9x )( x + ) D = D = D = Exercice : Développer et réduire les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables. = x = = D = ( + y) ² D = D = = 4x = = (z )(z + ) 7

8 Factorisation Factoriser une somme ou une différence de plusieurs termes, c est la transformer en un produit de facteurs. Exemple : x x Somme du produit de par x et du produit de par Produit de par la somme de x et de est la forme factorisée Exercice : Rayer les expressions qui ne sont pas des produits de facteurs. = x x D = x 5x = x x x E = 4x x x F = x x x Pour factoriser, on peut : Utiliser un facteur commun 5y5 5 y 5 5 y Utiliser une identité remarquable 5 9x 5 x 5 x 5 x Exercice : Factoriser les expressions suivantes. = x 5xx = = = = = = 4 x x x x D = a 9 E = 49 8x F = x 4 9 D = E = F = E = F = 8

9 Fiche 4 Équations et inéquations du premier degré Tester une équation ou une inéquation : Répondre aux questions suivantes sans résoudre ni l équation ni l inéquation : a) Soit l équation x 8 x 9. Le nombre 5 est-il solution de cette équation? b) Soit l inéquation x 8 x 9. Le nombre 5 est-il solution de cette inéquation? Résolution des équations du type ax b 0 avec ( a 0 ). Résoudre une équation, c est trouver toutes ses solutions, c est-à-dire toutes les valeurs que l on peut donner à l inconnue pour que l égalité soit vraie. On cherche à «isoler» l inconnue x dans l un des membres de l équation en appliquant les propriétés ci-dessous : Propriétés : Les solutions d une équation ne changent pas si : ) On ajoute(ou soustrait) un même terme aux deux membres de l équation. ) On multiplie(ou divise) par un même nombre (non nul) les deux membres de l équation. Exemple : x 0 Exercice : 4x 5 0 x 0 (on soustrait aux deux membres de l équation) 4x x (on réduit)..= x (on divise par les deux membres de l équation) x (on réduit) x... Vérification : On vérifie que l égalité est vraie, en remplaçant x par la valeur... trouvée, dans l équation de départ... 0 La solution est La solution est... Exercice : Résoudre les équations suivantes : 8x x x Résolution d inéquations du type ax + b < 0 ou ax + b > 0 (avec a 0 ) Résoudre une inéquation, c est trouver toutes ses solutions, c est-à-dire toutes les valeurs que l on peut donner à l inconnue pour que l inégalité soit vraie. On cherche à «isoler» l inconnue x, dans l un des membres de l inéquation en appliquant les propriétés ci-dessous. Propriétés : ) Le sens d une inégalité n est pas modifié si : - on ajoute (ou soustrait) un même nombre aux deux membres de cette inégalité ; - on multiplie (ou divise), par un même nombre positif, les deux membres de cette inégalité. ) Le sens de cette inégalité est inversé si on multiplie (ou divise), par un même nombre négatif, les deux membres de cette inégalité. 9

10 Premier cas : a positif Exemple : 5x 0 0 Exercice : 8x 4 0 5x (on ajoute 0 aux deux membres de l inéquation) 8x x 0 (on réduit). (on divise par 5 les deux membres de l inéquation,... 5 est positif donc le sens de l inégalité est conservé)... 5x x (on réduit). Vérification : On vérifie que l inégalité est vraie en remplaçant x Vérification : par une valeur supérieure ou égale à dans. l inéquation de départ.. Ex : pour x, (5 0) onclusion : Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou onclusion : Les solutions sont tous les nombres égaux à. strictement inférieurs à. Représentation graphique : Représentation graphique : On «barre» la partie de la droite correspondant aux nombres qui ne sont pas solutions. On sépare cette partie de l ensemble des solutions par un crochet : - tourné vers l ensemble des solutions si l inégalité est large ( ou ) - tourné vers la partie barrée si l inégalité est stricte (< ou >) Deuxième cas : a négatif Exemple : 6x 0 Exercice : x 4 0 6x 0 (on soustrait aux deux membres de l inéquation). 6x (on réduit). (on divise par 6 les deux membres de l inéquation.. 6 est négatif donc le sens de l inégalité est inversé)... 6x 6 6. x (on réduit) Vérification : ex : pour x 4, 6 4 ( 0) Vérification :. onclusion : Les solutions sont tous les nombres onclusion : Les solutions sont.. strictement supérieurs à Représentation graphique Représentation graphique Solutions Solutions Solutions.. Exercice : Résoudre les inéquations suivantes, puis représenter graphiquement les solutions : x 0 5x x Vérification : Vérification :.... onclusion : onclusion : Représentation graphique ; Représentation graphique ; Vérification :.. onclusion :.... Représentation graphique ; 0

11 Fiche 5 Notions de fonction Exercice : On a représenté graphiquement ci-contre une fonction h pour x compris entre et 9. Par lecture graphique, compléter : ) l image par h du nombre 8 est ) l image par h du nombre est.. ) les antécédents par h du nombre 0 sont et. 4) l image par h du nombre est. 5) les antécédents par h du nombre sont 6) les antécédents par h du nombre sont. 7) h() =. ; h( 6) = ; h(..) = ; h (.. ) = 5 Exercice : La température des eaux de surface des océans dépend de la latitude. Voici les températures moyennes annuelles dans l hémisphère Nord en fonction de la latitude. Latitude en Température en On nomme f la fonction qui, à la latitude, associe la température moyenne correspondante. ) Déterminer : a) la température correspondant à une latitude de 0.. b) f(40) c) f(70).... Que signifie en pratique ce résultat?.... ) Peut-on donner un renseignement sur f(45)? Expliquer pourquoi.. ) a) Quelle est l image de 0 par f?.. b) Donner un nombre qui a pour image 0. Exercice Soit f la fonction définie par f : x x. Soit g la fonction définie par g: x x ) Quelle est la nature des fonctions f et g?. ) Quelle est la représentation graphique de ces fonctions? Justifier.. ) Donner l équation de chaque représentation graphique. 4) Préciser pour chacune des représentations graphiques le coefficient directeur et l ordonnée à l origine.

12 5) ompléter les tableaux suivants : x - f(x) - x - 0 g(x) - 6) Dans le cadre ci-dessous, tracer la représentation graphique des fonctions f et g. On prendra comme échelle en abscisse et ordonnée cm pour unité. 7) Par lecture graphique, préciser les coordonnées du point d intersection des courbes. Retrouver le résultat par le calcul

13 Fiche 6 Géométrie plane Droites remarquables dans le triangle Soit un triangle et I le milieu de []. ) La médiatrice du segment [] est la droite qui : est perpendiculaire à () ; passe par le milieu I de []. ) La médiane issue de est la droite qui : médiatrice passe par le sommet ; coupe le côté opposé [] en son milieu I. ) La hauteur issue de est la droite qui : passe par le sommet ; est perpendiculaire au côté opposé []. H hauteur I médiane Le point de concours des médiatrices médianes Hauteurs est le centre du cercle circonscrit le centre de gravité l orthocentre Exercice : Effectuer soigneusement les constructions (penser à coder chacune des droites remarquables tracées) Dans le triangle KPM, tracer: K en rouge la hauteur i ssue du sommet K ; en bleu la médiane issue du sommet M ; en noir la médiatrice du côté [KM]. M P Exercice Dans chacun des cas suivants, on a tracé des droites remarquables du triangle : Donner la nature des ces droites. Que représente le point de concours M pour le triangle? fig fig M M Les droites sont.... M est.. Les droites sont.. M est..

14 fig fig 4 (d) M M Les droites sont.... M est.. (d') Les droites sont.. M est.. Triangle rectangle et cercle omment calculer la longueur d un segment? utiliser le théorème de Pythagore utiliser la propriété : «Si un triangle est rectangle en, alors le point appartient au cercle de diamètre [] donc O = O = O où O est le milieu de []» omment démontrer qu un triangle est rectangle? utiliser la réciproque du théorème de Pythagore utiliser la propriété : «Si un point appartient au cercle de diamètre [] alors le triangle est rectangle en. Exercice : Soit, H et trois points alignés. a) alculer la longueur.. 4cm b) alculer la longueur H cm 8,5cm c) Déterminer si le triangle est rectangle. d) Tracer les cercles circonscrits aux triangles H et H. Exercice : On considère la figure suivante sur laquelle O est le centre du cercle et O le centre du cercle. Donner au moins 6 triangles rectangles dans cette figure. K M Triangles rectangles : O O' D P L 4

15 Exercice : On considère la figure ci-contre. ompléter les phrases suivantes en utilisant les points de la figure. Le triangle H est rectangle en donc le point appartient D au cercle de diamètre Le triangle est rectangle en donc le point appartient au cercle de diamètre [H] Le triangle EH est rectangle en donc le point appartient E H au cercle de diamètre Géométrie plane Exercice 4 : (**) Un funiculaire est un chemin de fer à traction par câble pour la desserte des voies à très forte pente. La longueur D de la voie du funiculaire est de 5 m. a) De quelle hauteur H s est-on élevé à l arrivée? M 4 m D. (départ) P 00 m (arrivée) b) Donner la mesure de l angle DH au degré près... c) Lorsque le funiculaire a parcouru 4 m, il s est élevé d une hauteur MP. alculer MP de manières différentes. H ère Méthode ème Méthode Exercice 5 : (**) u dos de cette page, tracer un rectangle EFGH, puis tracer la parallèle à (FH) passant par E. Elle coupe (HG) en I. ) Démontrer que le quadrilatère IEFH est un parallélogramme (n utiliser que les données de l énoncé). ) Démontrer que H est le milieu de [IG]. ) Quelle est la nature du triangle IEG? Justifier la réponse. 5