L1 Information Numérique Travaux dirigés

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1 L Information Numérique Travaux dirigés Année

2 : Représentation des nombres Exercice La représentation d un nombre en base 2 étant [0000]2, déterminer sa représentation dans chacune des bases suivantes : 8 (octal), 0 (décimal), 6 (hexadécimal). Exercice 2 Ecrire en base 2 et en base 6 les nombres écrit en base 0 suivant : 0,425 et 32,85 Exercice 3 Ecrire en décimal la valeur du nombre héxadécimal AB,CD]6. Ecrire en octal et en binaire la valeur du nombre héxadécimal BAFFE]6. Exercice 4 ) Convertir les valeurs décimales suivantes en base 2, puis en ,25 45,50 2) Convertir les valeurs binaires suivantes en base 0 puis en héxadécimal 00 0,0 rappel 2-3 = 0,25 et2-4 = 0,0625 3) Convertir les nombres exprimés en octal ou en héxadécimal en base 2. [CA56] 6 [707] 8 Exercice 5 Déterminer la base n du nombre 53]n sachant que 53]n = 89]0. Exercice 6 Exprimer les nombres suivants en base 2 sous la forme complément à deux, on travaillera sur un format de 8 bits 38, -38, 5 5, +4, -4 Exercice 7 Avec une représentation sur un format de 8 bits, effectuer les soustractions suivantes : 8-2, 5-3, 56-27, 64+65, 6-60,

3 Exercice 8 En sachant que les règles de calcul s appliquent dans tous les systèmes de numération, additionner les nombres hexadécimaux suivants : ) 26]6 + 6]6 2) 2B]6 + 84]6 3) DF]6 + AC]6 Exercice 9 Effectuer les opérations suivantes des nombres décimaux suivants. Les nombres seront représentés en binaire sur 8 bits en complément à deux. Vérifier les résultats Exercice 0 Les suites binaires suivantes sont données en complément à 2. Pour chacune d elles, indiquez quel est le nombre décimal représenté Exercice Quels sont les entiers les plus petits et les plus grands représentables avec des valeurs de 4 bits, 8 bits, 6 bits en utilisant : a) La représentation binaire non signée. b) La représentation en complément à deux. 3

4 2 : Algèbre booléenne, simplifications Exercice Exprimer par une proposition logique que ) Les variables A, B, C, D sont toutes égales à 2) Toutes les variables A, B, C, D sont nulles 3) Au moins l une des variables A, B, C, D est égale à 4) Au moins l une des variables A, B, C, D est égale à 0 Exercice 2 Exercice 3 ) Soit F(a,b,c) =. a. b a.b.c a. c Que valent F(0,,), F(,,0) et F(,0,0)? 2) Démontrer, à l aide des tables de vérités, le théorème suivant : a.b.b a b 3) Soit F(a,b,c) = a. b a.b a.c Montrer que F(a,b,c) = a. 4)Soit F(a,b,c) = a.b.c a.b.c a.b.c a.b.c a.b.c Montrer que F(a,b,c) = a b.c Calculer les compléments des fonctions suivantes : Exercice 4 F a b a b F a( c d) ( a c)( b c d) 2 F abc abc a( bc bc) 3 En utilisant l algèbre booléenne, simplifier chaque expression : ) bd b( d e) d( d f) 2) abc ( a b c) abcd 3)( b bc)( b bc)( b d) 4) abcd ab( cd) ( ab) cd 5) abc( ab c( bc ac)) 4

5 Exercice 5 Simplifier les équations logiques suivantes par la méthode algébrique S ( A B )( A B )( A B ) S A A ( B C D C D ) B D 2 S AB C A BC ACD B C D AC 3 S ABCD EF AB CDE F ABD EF AB CDE AB CDF BD E F BCDE 4 Exercice 6 Mettre les fonctions logiques suivantes sous forme disjonctive simplifiée. y y y x x x x x x 3 x x 2 x x 3 x 2 x x3 x 2 x x x x x x x x x x x x 2 x x0 Exercice 7 Soit F(x,y,z) définit par sa table de vérité : x y z F(x,y,z) Donner la forme canonique conjonctive et disjonctive de F. Exercice 8 Écrire sous forme canonique disjonctive les fonctions définies par : ) F(A,B,C) = si le nombre de variable à est paire 2) F(A,B,C) = si une variable et une seule est égale à 5

6 Exercice 9 Simplifier par la méthode de Karnaugh les fonctions suivantes F (A, B, C, D) = ( 0, 3, 4, 5, 8,, 2, 3) F2 (A, B, C, D) = (, 2, 3, 4, 5, 9, 0,, 2, 3) = a d) c, b, (a, F 3 b c d + a b c d + a b d + a b c d + a b c d F4(A, B, C, D,E )= (0,, 2, 5, 7, 9, 3, 6, 8, 2, 23) 6

7 3 : Circuits logiques combinatoires Exercice Soit la fonction logique définie par la table de vérité suivante : a b F(a,b) Donner le schéma de cette fonction en utilisant uniquement des portes NON-ET. Exercice 2 On considère le circuit ci-dessous : a b S c ) Donner la valeur de la sortie S si a= 0, b=0 et c=0 2) Donner l'expression logique de S sous forme disjonctive 3) Donner l'expression logique de S sous forme conjonctive 4) Faite le schéma de la fonction S en n'utilisant que des portes Non-Ou Exercice 3 On considère le schéma logique de la figure ci-dessous ) Déterminer l'équation logique de la sortie S. 7

8 2) Proposer un schéma à base de portes NAND qui réalise la fonction. Exercice 4 On considère le circuit décrit ci-dessous dans lequel : A et B sont deux entrées logiques C2, C et C0 sont trois entrées logiques de commande permettant à ce circuit de réaliser 8 fonctions logiques simples. Cette cellule de base constitue la partie logique d une unité arithmétique et logique. Déterminer la table de vérité du système, c est à dire la fonction S (A,B) réalisée pour chaque valeur du mot de commande C2CC0. 8

9 S (A,B) sera toujours une expression simple. Vous pouvez utiliser si nécessaire les simplifications par la méthode de Karnaugh. Plutôt que de développer complètement les équations, exprimer les termes intermédiaires en fonctions des valeurs du mot (C2CC0). Exercice 5 )Donner l équation de sortie d un multiplexeur à deux entrées adresses A A0 et quatre entrées données D3 D2 D D0. 2) Donner le schéma de ce multiplexeur avec des portes NAND. 3) On souhaite réaliser la fonction majorité M. Cette fonction est à à chaque fois qu il y a une majorité de un parmi les variables d entrée. Utiliser un multiplexeur à quatre entrées d adresse pour réaliser la fonction majorité de de cinq variables A, B, C, D, E. Exercice 6 On souhaite réaliser le transcodage du code binaire naturel vers le code binaire réfléchi ou (code GRAY). A B C D a b c d ) Programmer la PROM donnée en annexe afin d obtenir ce transcodeur. Une mémoire PROM (abréviation anglaise de programmable read-only mémory) contient une série de porte ET non programmable connecté à un tableau de porte OU programmable. 2) Programmer l élément PAL donné en annexe afin d obtenir ce transcodeur. Chaque sortie doit être exprimée sous la forme de OU de quatre termes. Un élément PAL (programmable array logic) contient un tableau de ET programmable et un tableau de OU fixe. 9

10 4 : Systèmes logiques combinatoires Exercice Dans les systèmes logiques, les opérations de transfert sont très courantes. Au cours de ces transferts, les informations peuvent être erronées (parasites, défaillances du circuit). L information peut donc être modifiée sans que l utilisateur s en rende compte. Divers moyens sont mis en œuvre pour vérifier la fiabilité du transfert. Le générateur de parité est un système qui permet de détecter certaines erreurs, sans pouvoir les corriger. Le système consiste, par exemple tous les 4 bits, à rajouter un cinquième bit de parité dont la valeur est 0 si le nombre de transférés est impair et si le nombre de transférés et pair. Exercice 2 ) Donner la table de vérité 2) Etablir le diagramme de Karnaugh, Essayer de simplifier la fonction. 3) Faire le schéma logique correspondant en utilisant qu une seule sorte de fonction logique. 4) En déduire le schéma d un générateur de parité sur 8 bits. Un distributeur de monnaie fonctionne de la façon suivante : Pièce ou billet introduit Pièces ou billets rendus Nombre 0 Euros 5 Euros 3 Euro 4 0,5 Euro 5 Euros Euro 0,5 Euro Euros Euro 0,5 Euro 2 Euro 0,5 Euro 2 On note P0, P5, P2 et P, les variables d entrées correspondant aux pièces ou billets introduits de 0 Euros, 5 Euros, 2 Euro, Euro. On suppose que deux variables d entrée ne peuvent être à en même temps. Les variables de sorties sont l affichage, en binaire, du nombre de pièces ou billets rendus de 5 Euros, Euro et 0,5 Euro. On note N5 (codé sur un bit N5), N (codé sur deux bits Nb et Na ) et N0,5 (codé sur trois bits N0,5C,N0,5B,N0,5a). ) Donner la table de vérité des six fonctions de sortie précédentes en fonction des quatre variables d entrée. 2) Simplifier ces fonctions 3) Proposer un logigramme à l aide de portes ET,OU, NON. 0

11 Exercice 3 Un jeu électronique à deux joueurs consiste pour chacun d entre eux à utiliser l un des trois boutons poussoirs A, B, C. Pour le joueur N, on note A, B, C chacun des trois boutons poussoirs dont il dispose ; pour le joueur N 2, on note A2, B2, C2 chacun des trois boutons poussoirs, dont il dispose. Chaque joueur ne peut appuyer que sur un bouton à la fois. Le joueur appuyant sur A l emporte sur celui qui appuie sur B, ; le jouer appuyant sur B l emporte sur celui qui appuie sur C ; le joueur appuyant sur C l emporte sur celui qui appuie sur A. A chaque envoi, s allume la lampe J si c est le premier joueur qui a gagné. La lampe J2 s allume si le deuxième joueur gagne. S il y a égalité, la lampe N s allume. ) Compléter la table de vérité ci-dessous C B A C2 B2 A2 J J2 N ) A partir de la table de vérité, établir les formes disjonctives de J et de J2 ) Exprimer N en fonction de J et de J2 2) On considère les fonctions élémentaires de trois variables (A, B, C) Z A B C Z 2 A B C Z 3 A B C Montrer que J et J2 peuvent être exprimés en fonction de (Z, A2, B2, C2) et (Z2, A2, B2, C2) et (Z3, A2, B2, C2). Donner un logigramme simple des fonctions Z, Z2, Z3. 3) On utilise deux circuits appelés multiplexeurs MUX et MUX2 à 8 entrées et dont chaque sortie doit réaliser respectivement les fonctions J et J2. Les grandeurs (A2, B2, C2) sont les adressages des deux multiplexeurs. Terminer le schéma suivant, en indiquant comment on obtient N. Un multiplexeur est un circuit à 2 n entrées d information, n entrées d adresse et une sortie S. En sélectionnant une entrée par son adresse codée à n chiffres binaires, on transmet son signal vers la sortie.

12 C B A Z Z 2 Z 3 A 2 B 2 C 2 MUX A 2 B 2 C 2 MUX2 J J 2 Exercice 4 : Soit la fonction logique qui est vrai quand (ABCD)2 est un nombre premier ( n'est pas considéré comme un nombre premier). ) Donner la table de vérité de cette fonction f(a,b,c,d). 2) Simplifier par la méthode de votre choix. 3) Sans faire le schéma, donner l'expression de la fonction avec des portes NAND. 4) Représenter le schéma logique de la fonction f(a, B, C, D) avec un multiplexeur à quatre entrées adresses. 5) Représenter le schéma logique de la fonction f(a, B, C, D) avec un multiplexeur à trois entrées adresses. 6) Représenter le schéma logique de la fonction f(a, B, C, D) avec un multiplexeur à deux entrées adresses. 2

13 Exercice 5 : Dans une usine de brique, on effectue le contrôle de qualité selon quatre critères ; Le poids P, la longueur L, la largeur l, la hauteur h. Si le critère est correct il est noté, 0 sinon. On peut classer les briques en trois catégories : Qualité A : le poids P et deux dimensions au moins sont corrects. Qualité B : le poids seul est incorrect ou le poids étant correct, deux dimensions au moins sont incorrectes. Qualité C : le poids est incorrect ainsi qu une ou plusieurs dimensions. ) Écrire les équations de A, B, C. Vous pouvez pour vous aider établir la table de vérité. 2) Simplifier ces équations 3) Exprimer B en fonction des deux autres équations A et C. Proposer un schéma logique de A,B, C avec le minimum de portes logiques. 4) Programmer l élément PAL (Programmable Array Logic) donné en annexe afin d obtenir ces fonctions. Chaque sortie doit être exprimée sous la forme de OU de quatre termes. 3