Notions essentielles d algèbre linéaire

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Notions essentielles d algèbre linéaire"

Transcription

1 Université d Aix-Marseille Institut Universitaire de Technologie Département Réseaux et Télécommunications Notions essentielles d algèbre linéaire 1 Espace vectoriel Base 3 Dimension 4 Matrices 5 Application linéaire et représentation matricielle 6 Inversion matricielle

2

3 Table des matières 1 Espace vectoriel 4 11 Définition 4 1 Exemples 4 13 Combinaison linéaire 5 14 Sous-espace vectoriel Définition 6 14 Espace vectoriel engendré par une famille Somme de sev Somme directe Sous-espaces supplémentaires 7 Base d un espace vectoriel 8 1 Famille génératrice 8 Indépendance linéaire 8 3 Base 9 3 Dimension 9 31 Définitions 9 3 Dimension d un sev Théorème de la base incomplète Dimension de la somme de sev 11 4 Matrices 1 41 Définition 1 4 Exemples 1 43 Opérations sur les matrices Multiplication par un scalaire et addition Multiplication matricielle 14 5 Application linéaire et représentation matricielle 14 6 Inversion matricielle Inversibilité 15 6 Calcul de l inverse d une matrice : méthode du pivot de Gauss 16

4 Dans tout ce qui suit, K désigne soit l ensemble des réels R, soit celui des complexes C 1 Espace vectoriel 11 Définition Un ensemble E non vide et muni : (a d une loi de composition interne appelée addition notée + et d élément neutre 0 E, E E E (x, x x + x, (b d une loi de composition externe de domaine K, appelé multiplication par un scalaire, K E E (λ, x λx, est un espace vectoriel sur K (noté K-ev ou plus simplement ev lorsqu il n y a pas de confusion possible si ces deux lois vérifient les conditions suivantes : (i (x + x + x = x + (x + x, x, x, x E (ii x + x = x + x, x, x E (iii x + O E = x, x E (iv x + ( x = O E, x E (v 1x = x, x E (vi λ(µx = (λµx, x E, λ, µ K (vii λ(x + x = λx + λx, x, x E, λ K (viii (λ + µx = λx + µx, x E, λ, µ K Vocabulaire Un élément x de E s appelle un vecteur de E, et un élément λ de K s appelle un scalaire Remarque Dans un ev, il n y a pas de multiplication entre deux vecteurs, mais entre un scalaire et un vecteur seulement Dans la suite, afin de bien distinguer entre vecteurs et scalaires, tout vecteur x E sera noté x Stabilité Pour simplifier, on peut dire qu un K-ev est un ensemble non vide satisfaisant les deux conditions de stabilité suivantes : (EV 1 ( u, v E E, u + v E (EV λ K, u E, λ u E De plus il est facile de voir que (EV 1 + (EV se résume en : (EV ( u, v E E, (λ, µ K K, λ u + µ v E 1 Exemples { ( } Exemple 1 On choisit K = R et E = R x = u =, x R, y R Par définition, on a : y ( ( ( x pour tout u = R x et tout v = y y R x + x, u + v = y + y ; ( ( x pour tout tout λ R et tout u = R λx, λ u = y λy On vérifie ainsi que E satisfait (EV et donc que c est un R-ev Ce résultat se généralise immédiatement à R n pour tout n

5 Exemple On choisit K = R et E = R[X] Les vecteurs de E sont donc des polynômes Autrement dit, P E s il existe n 0 et des réels a 0, a 1,, a n tels que Par définition, pour tout P = k=0 P = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n n m a k X k et Q = b k X k de R[X] avec n m, on a pour tout tout λ R et tout P = k=0 P + Q = n (a k + b k X k + k=0 n a k X k R[X], λp = k=0 m k=n+1 b k X k n (λa k X k Il est donc évident que R[X] satisfait (EV, et donc que c est un R-ev Remarques cas, L ensemble N (resp Z, Q n est pas un R-ev (ni un C-ev d ailleurs En effet, si tel était le ( 1 }{{}}{{} R N =, (resp 1 }{{} R 1 }{{} Z k=0 = 1, }{{} R }{{} 1 = Q appartiendrait à N,(resp à Z, à Q, ce qui est faux Par ailleurs, tout K-ev E étant un ensemble non vide, choisissons u dans E Comme 0 K et que E est un K-ev, 0 u = 0 E appartient à E Tout ev E contient donc (au moins le vecteur 0 E, appelé vecteur nul de E, et qu il ne faut pas confondre le scalaire nul 0 Par exemple, le vecteur nul du R-ev R est 13 Combinaison linéaire Soient E un K-ev, I un sous-ensemble de N (pour simplifier et F = ( f i i I une famille (éventuellement infinie de vecteurs de E (pour tout i I, f i est donc un vecteur de E On appelle combinaison linéaire (notée CL en abrégé de vecteurs de F, tout vecteur de E de la forme : { λ jfj (i J est un sous-ensemble fini de I;, où (ii j J, λ j K j J En clair, une CL de vecteurs de F E est une somme FINIE de vecteurs du type λ x avec λ K et x F ( 0 0 Exemple On prend K = R et E = R[X] On se donne ensuite N dans N, et on pose F = {1, X, X,, X N }, où, si l on utilise les notations de la définition : I = {0, 1,,, N} et f i = X i pour tout i I Une CL de vecteurs de F est donc un élément de R[X] du type a 0 + a 1 X + + a N X N, où a 0, a 1,, a N sont des réels (éventuellement nuls Autrement dit, une CL de vecteurs de F est un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à N Réciproquement, tout polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à N est, par définition, une CL de vecteurs de F Remarque Examinons le cas particulier où F = E La condition (EV garantit que toute CL de vecteurs de E appartient à E (ce que l on résume en disant que E est stable par CL et récriproquement que tout ensemble non vide et stable par CL est un ev : E = ev E est un ensemble non vide qui est stable par CL

6 14 Sous-espace vectoriel Soit E un K-ev 141 Définition Tout sous-ensemble F non vide de E, qui est stable par CL, c est-à-dire qui satisfait les deux conditions suivantes : (i x + x F, x, x F (ii λ x F, λ K, x F est un sous-espace vectoriel (sev en abrégé de E C est donc un K-ev qui est inclus dans E Remarque Si F est un sev de E alors 0 E F Ainsi, pour prouver que F E est un sev de E, il suffit de vérifier les deux conditions suivantes : (a 0 E F (b λ x + x F, λ K, x, x F De plus, le plus petit sev de E (au sens de l inclusion est l ensemble { 0 E } Exemple Pour tout N 0, R N [X] est un sev de R[X] Propriétés (a La réunion de deux sev de E N EST PAS en général un sev de E (b L intersection de deux sev de E est un sev de E 14 Espace vectoriel engendré par une famille F = ( f i i I (où I N désignant à nouveau une famille de vecteurs d un K-ev E, on note vect F l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de F : vect F = {CL de vecteurs de F} Il est facile de vérifier que c est un sev de E, appelé sev engendré par F Exemple On reprend le cas de l exemple précédent : K = R, E = R[X] et F = {1, X, X,, X N }, où N est un entier fixé D après ce qui a été vu dans cet exemple, vect F = R N [X], ce qui redémontre au passage que R N [X] est un sev de R[X] 143 Somme de sev Soient F 1 et F deux sev de E On vérifie facilement que l ensemble noté F 1 + F et défini comme suit : est un sev de E Il est appelé somme de F 1 et F F 1 + F = {u 1 + u, u 1 F 1, u F },

7 Exemple Si E = R 3, F 1 = vect{ e 1 } où e 1 = F 1 + F = (0xy, et F = vect{ e } où e = 0 1 0, on voit que Par ailleurs, on vérifie également que F 1 F = { 0 E } et il est bien connu que tout vecteur de (Oxy = F 1 +F s écrit de façon unique sous la forme x 1 + x avec x 1 F 1 et x F En d autres termes : x 1, x 1 F 1, x, x F, x 1 + x = x 1 + x = x 1 = x 1 et x = x Pour G 1 = vect{ e 1, e } et G = vect{ e 1 + e } on a également G 1 + G = (Oxy mais on remarque que G 1 G { 0 E } (car e 1 + e G 1 G par exemple et qu il existe au moins deux décompositions distinctes de e 1 dans G 1 + G : e 1 = ( e + e 1 + e = e }{{}}{{} 1 +0 ( e }{{} 1 + e }{{} G 1 G G 1 G 144 Somme directe On dit que la somme F 1 + F est directe si F 1 F = { 0 E } Dans ce cas on convient de noter F 1 F à la place de F 1 + F Propriété Si F 1 F alors pour tout ( x 1, x F 1 F et ( x 1, x F 1 F on a l implication : { x 1 + x = x 1 + x = x 1 = x 1 x = x Autrement il existe une et une seule façon de décomposer un vecteur de F 1 F en la somme d un vecteur de F 1 et d un vecteur de F Exemple Avec les définitions précédentes des vecteurs e 1, e de R 3 et en posant e 3 = que : (a vect{ e 1 } vect{ e } = (Oxy (b vect{ e 1 } vect{ e 1 + e } = (Oxy (c vect{ e 1, e } vect{ e 1, e 3 } = R 3 mais cette somme n est pas directe car : 145 Sous-espaces supplémentaires e 1 + e = 0 e e + 1( e 1 + e + 0 e 3 = 1( e e + 0( e 1 + e + 0 e 3 Deux sev F 1 et F de E sont dits supplémentaires dans E si E = F 1 F 0 0 1, on vérifie Remarque Par application des définitions de somme et de somme directe de deux sev introduites ci-dessus, on obtient : { E = F1 + F x E, ( x 1, x F 1 F tel que x = x 1 + x F 1 F la décomposition x = x 1 + x est unique, donc E = F 1 F x E,!( x 1, x F 1 F tel que x = x 1 + x La remarque précédente permet d étendre la définition au cas de n 3 sev F 1, F,, F n de E : E = F 1 F F n x E,!( x 1, x,, x n F 1 F F n, x = x 1 + x + + x n

8 Exemples (a vect{ e 1 } vect{ e } vect{ e 3 } = R 3 (b vect{ e 1 } vect{ e 1 + e } vect{ e + e 3 } = R 3 (c R n [X] = n i=1 vect{xi } Base d un espace vectoriel Soit E un K-ev 1 Famille génératrice Une famille F = ( f i i I de vecteurs de E est dite génératrice de E si : E = vect(f Cela revient à dire que tout vecteur u de E peut se mettre sous la forme d (au moins une CL de vecteurs de F : x E, J I finie et λ j K, j J, tel que x = j J λ j fj Exemple (a Pour tout n 1, {1, X, X,, X n } est une famille génératrice de R n [X] (b {X(X 1, X(X, (X 1(X } est une famille génératrice de R [X] (c {X(X 1, X(X, (X 1(X, X(X 3} est également une famille génératrice de R [X] Exercice Trouver une famille génératrice de R[X] Propriétés (a Toute famille contenant une famille génératrice de E est génératrice de E (b Toute famille extraite d une famille non génératrice de E n est pas génératrice de E Remarque On( choisit K = R et E = R Pour ( tout vecteur de( u de R, il existe x et y dans x 1 0 R tels que u = C est donc une CL de e y 1 = et e 0 =, puisque u = x e y e Cela montre que R( = vect{ e 1, e }, c est-à-dire que { e 1, e } est une famille génératrice de R Remarquons que u = = (x y e x y 1 + y( e 1 + e, et donc que { e 1, f } est également une famille }{{} f génératrice de R Tout comme { e 1, f, e 1 e }{{} f 3 } d ailleurs, puisque u = x e 1 + y f y f 3 Mais, on a aussi u = (x y e 1 + y f + 0 f 3, donc u ne se décompose pas de façon unique sur la famille { e 1, f, f 3 } Cela vient de ce que f 3 est CL de e 1 et f, car f 3 = e 1 f Afin d éliminer les vecteurs inutiles du type de f 3, on introduire mainteanant la notion d indépendance linéaire Indépendance linéaire Une famille { f i, i I} de vecteurs de E est dite libre (dans E si elle satisfait l implication suivante : Pour tout sous-ensemble fini J de I, λ j K, j J, λ jfj = 0 E = ( j J, λ j = 0 j J De façon équivalente, on dit que les vecteurs f i, i I, sont linéairement indépendants

9 S il existe au contraire un nombre fini de scalaires λ i1, λ i,, λ ip (avec i 1, i,, i p I non tous nuls tels que fis = 0 E, s=1 λ is on dit que la famille { f i, i I} est liée (dans E Cela revient à dire que l un de ses vecteurs, fis, est une CL des vecteurs de la famille { f is, 1 s p, s s } Exemples (a Si l on reprend le cas du R-ev R et les notations de l exemple précédent, la famille { e 1, f, f 3 } est liée car e 1 f f 3 = 0 Par contre, { e 1, e } est une famille libre, car pour tout λ et µ dans R, on a : ( (( ( λ 0 λ e 1 + µ e = 0 = = = (λ = µ = 0 µ 0 (b Les familles {sin, cos}, {sin, exp} et {sh, exp} sont libres dans le R-ev E des fonctions de R dans R, noté F(R; R Par contre la famille {sh, exp, 1/ exp} est liée dans E Propriétés (a Toute famille qui contient 0 E est liée (b Toute famille contenant une famille liée est liée (c Toute sous-famille d une famille libre est libre 3 Base Une famille B de vecteurs de E est une base de E si c est une une famille libre et une famille génératrice de E Propriété fondamentale Dans une base B = { e i, i I} de E, tout vecteur de E se décompose de façon unique en une CL de vecteurs de B : x E,!J I et (x j j J K J, x = j J x j e j Vocabulaire Les scalaires x j, j J, sont appelés coordonnées ou composantes de x dans la base B Exemples (a { e 1, e } est une base de R (on l appelle base canonique de R, ce qui n est pas le cas de { e 1, f, f 3 } car cette famille est liée (b Pour tout n 1, B n = {1, X, X,, X n } est une base de R n [X] (c B = {1, X, X, } est une base de R[X] Propriétés (a Toute sous-famille stricte d une base n est pas génératrice (ie une base est une famille génératrice minimale (b Toute sur-famille stricte d une base est liée (ie une base est une famille libre maximale 3 Dimension 31 Définitions Un K-ev E sera dit de dimension finie s il possède une famille génératrice finie Dans la cas contraire il sera dit de dimension infinie

10 Exemple Pour tout n N, R n [X] est de dimension finie puisque {1, X, X,, X n } est une famille génératrice (à n + 1 éléments de R n [X] Par contre R[X] ne possède aucune famille génératrice finie donc est de dimension infinie On a par ailleurs le théorème (admis essentiel suivant : Théorème 31 Tout ev possède au moins une base Propriété Dans un ev de dimension finie E, toutes les bases ont même nombre d éléments, appelé dimension de E et notée dim E Conséquence Si dim E = n 1, pour montrer que la famille à n vecteurs B = { e i, i I} est une base de E, il suffit de vérifier que : (i soit B est libre (ii soit B est génératrice Exercice Soient n 1 et a 0 < a 1 < < a n des réels Pour chaque 0 i n, on définit ième polynôme d interpolation de Lagrange (x a j P i (x = 0 j n j i 1 j n j i (a i a j Montrer de deux façons différentes que {P i, 0 i n} est une base de R n [X] Remarque E désignant toujours un K-ev de dimension n (éventuellement infinie, on vérifie que : (i Toute famille génératrice de E possède AU MOINS n éléments (ii Si la dimension n est finie, toute famille génératrice de E comportant n vecteurs est une base de E (iii Toute famille libre de E possède AU PLUS n éléments (iv Si la dimension n est finie, toute famille libre de E comportant n vecteurs est une base de E 3 Dimension d un sev On suppose que dim E = n est finie et que F est un sev de E Toute famille de vecteurs de F qui est libre dans F est a fortiori libre dans E Le nombre de vecteurs de F linéairement indépendants dans F est donc toujours inférieur ou égal à dim E Soit { f 1,, f p } une famille libre maximale de vecteurs de F D après ce qui précède, on a p dim E Ensuite, pour tout vecteur f F, la famille { f 1,, f p, f} est liée donc il existe p + 1 scalaires λ 1,, λ p, λ non tous nuls tels que λf + λ 1f1 + + λ pfp = 0 E Comme { f 1,, f p } est libre on a forcément λ 0, et donc : f = λ 1 f λ 1 λ p f λ p, ce qui montre que { f 1,, f p } est une famille génératrice de F Par suite, dim F = p dim E Supposons maintenant que dim F = dim E Alors la famille { f 1,, f n } qui est libre dans F est libre dans E donc c est une base de E et donc une famille génératrice de E, ce qui montre que E F et donc que E = F grâce à l inclusion réciproque Propriété Si dim E est finie alors pour tout sev F de E, on a : (a dim F dim E (b dim F = dim E = F = E

11 Rang Le rang d une famille F de vecteurs de E, noté rg F, est la dimension du sev engendré par F : rg F = dim (vect F Vu ce qui précède, on a toujours rg F dim E et (rg F = dim E (vect F = E 33 Théorème de la base incomplète Soit E un ev de dimension finie n Commençons par faire la remarque suivante : Remarque Si { f 1,, f p } une famille libre dans E et que p < n, alors il existe g E tel que { f 1,, f p, g} est une famille libre dans E En effet, dans le cas contraire tout vecteur de E serait CL des vecteurs f 1,, f p donc { f 1,, f p } serait une famille génératrice et donc une base de E, ce qui impliquerait p = dim E = n, ce qui est faux par hypothèse Ainsi partant d une famille libre { f 1,, f p } à p < n = dim E éléments, il est toujours possible selon la remarque précédente d ajouter des vecteurs à cette famille tout en conservant la propriété d indépendance linéaire Ceci jusqu à ce que le nombre total de veceturs obtenus soit égal à n On construit ainsi une famille libre dans E dont la cardinalité est égale à dim E : c est une base de E Ce qui démontre le : Théorème 3 Toute famille libre { f 1,, f p }, p < n dans l ev E de dimension n peut être complétée en une base de E 34 Dimension de la somme de sev Proposition 31 Si F 1 et F sont deux sev d un ev de dimension finie E alors dim(f 1 + F = dim F 1 + dim F dim(f 1 F Pour démontrer cette proposition, on considère une base F = { f 1,, f p } de F 1 F Comme F est une famille libre de F 1, le théorème 3 garantit l existence de q vecteurs g 1,, g q de F 1 tels que { f 1,, f p, g 1,, g q } est une base de F 1 De même, il existe r vecteurs g 1,, g r de F complétant F en une base { f 1,, f p, g 1,, g r} de F Par suite B = { f 1,, f p, g 1,, g q, g 1,, g r} est une famille génératrice de F 1 + F Afin de montrer qu elle est libre, considérons la CL nulle suivante q r λ ifi + α i g i + β ig i = 0 E, les λ i, α i et β i correspondants étant pris dans K On a donc q λ ifi + α i g i = i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 r β ig i Le membre de gauche de cette égalité appartenant à F 1 et celui de droite à F, on a forcément p i=1 λ i f i + q i=1 α i g i F 1 F donc il existe p scalaires µ 1,, µ p tels que soit de façon équivalente λ ifi + i=1 q α i g i = i=1 (λ i µ i f i + i=1 i=1 µ jfj, j=1 q α j g j = 0 E j=1 Or { f 1,, f p, g 1,, g q } est une famille libre de E donc λ i = µ i, 1 i p, et α j = 0, 1 j q De manière identique on démontre en considérant le vecteur p i=1 λ if i + r j=1 β jg j que tous les β j, 1 j r, sont nuls Ceci entraîne immédiatemment que λ i = 0 pour tout 1 i p (puisque p i=1 λ if i = 0 E et que F est une famille libre et prouve ainsi que les veceturs de B sont linéairement indépendants

12 Cas particulier de deux sev supplémentaires Dans le cas où F 1 F, on a F 1 F = { 0 E } par définition donc dim F 1 F = 0, ce qui permet de simplifier la formule précédente : dim(f 1 F = dim F 1 + dim F Conséquence : existence d un supplémentaire sev de E, il existe toujours G sev de E tel que E désignant toujours un ev de dimension finie et F un F G = E 4 Matrices 41 Définition Une matrice M est un tableau à n 1 lignes et p 1 colonnes, d éléments de K Si l on note m i,j l élément de cette matrice situé à l intersection de i ième ligne et de la j ième colonne, on obtient : m 1,1 m 1, m 1,j 1 m 1,j m 1,j+1 m 1,p m,1 m, m,j 1 m,j m,j+1 m 1,p M = (m i,j 1 i n = m i 1,1 m i 1, m i 1,j 1 m i 1,j m i 1,j+1 m i 1,p 1 j p m i,1 m i, m i,j 1 m i,j m i,j+1 m i,p m i+1,1 m i+1, m i+1,j 1 m i+1,j m i+1,j+1 m i+11,p m n,1 m n, m n,j 1 m n,j m n,j+1 m n,p Lorsque la ligne i et la colonne j ne sont pas spécifiées, m i,j s appelle le terme général de la matrice M L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes (appelées plus simplement matrices (n, p dans la suite dont les éléments appartiennent à K est noté M n,p (K Lorsque n = p, toute matrice de M n,p (K a autant de lignes de que colonnes : on parle alors de matrice carrée et on note M n (K à la place de M n,n (K 4 Exemples 0 0 Matrice nulle C est une matrice (n, p dont tous les termes sont nuls : M = 0 0 Matrice colonne C est une matrice (n, 1 : M = m 1,1 m i,1 m n,1 Matrice ligne C est une matrice (1, p : M = ( m 1,1 m 1,j m 1,p Matrice triangulaire inférieure (resp supérieure C est une matrice carrée (n, n dont tous les éléments situés au dessus (resp en dessous de la diagonale sont nuls : m 1, m 1,1 m 1, m 1,n 1 m 1,n m,1 m, m, m,3 m,n M = (resp M = m n 1,1 m n 1, m n 1,n m n 1,n 1 m n 1,n m n,1 m n, m n,n 1 m n,n m n,n

13 Matrice diagonale C est une matrice (carrée triangulaire inférieure et supérieure Tous ses termes non diagonaux sont donc nuls : m 1, m, 0 0 D = 0 0 m n 1,n m n,n Matrice identité C est une matrice diagonale (notée I n lorsqu elle a n lignes dont tous les termes diagonaux valent 1 : I = Remarque Le scalaire λ est une matrice (1, 1 43 Opérations sur les matrices 431 Multiplication par un scalaire et addition Soient n et p deux entiers naturels non nuls Multiplication par un scalaire Soit M une matrice de M n,p (K, de terme général m i,j Pour tout λ K, on définit la matrice λm comme l unique matrice (n, p dont le terme général est λm i,j Autrement dit : M = (m i,j 1 i n 1 j p M n,p (K, λ K, λm = (λm i,j 1 i n 1 j p Addition Soient M = (m i,j 1 i n 1 j p et S = (s i,j 1 i n 1 j p deux matrices de M n,p (K Alors, la somme des matrices M et S est la matrice (n, p dont le terme général est m i,j + s i,j Autrement dit : M = (m i,j 1 i n M n,p (K, S = (s i,j 1 i n 1 j p 1 j p M n,p (K, M + S = (m i,j + s i,j 1 i n 1 j p Comme l addition est commutative dans K, il résulte de la définition précédente qu elle l est également dans M n,p (K : (M, S M n,p (K M n,p (K, M + S = S + M Remarque On ne peut additionner deux matrices que si celles-ci ont même nombre de lignes et même nombre de colonnes Ainsi, S appartenant à M n,p (K, la matrice S = ( 1S est également dans M n,p (K, donc, pour toute matrice M M n,p (K, la somme M +( S, notée plus simplement M S a bien un sens On définit ainsi la soustraction dans M n,p (K On vérifie d ailleurs que M M est la matrice nulle de M n,p (K M n,p (K est un espace vectoriel Il est facile de vérifier que la multiplication par un scalaire et l addition qui viennent d être définies, donnent à M n,p (K une struture d ev

14 43 Multiplication matricielle Définition Soient m, n et p, trois entiers naturels non nuls, et A = (a i,j 1 i n 1 j p M n,p (K et B = (b i,j 1 i p M p,m (K Alors, le produit de la matrices A par la matrice B est la matrice (n, m dont le 1 j m terme général est : c i,j = a i,1 b 1,j + a i, b,j + + a i,p b p,j = a i,k b k,j (1 Exemple On prend K = R, n =, m = 4 et p = 3 Ensuite : ( A = M 3 4,3 (R et B = Alors : AB = ( k=1 M 3,4 (R = ( La multiplication matricielle est associative On vérifie en effet sans difficulté que : (m, n, p, q (N 4, (A, B, C M m,n (K M n,p (K M p,q (K, (ABC = A(BC La multiplication matricielle n est PAS commutative La multiplication d une matrice A par une matrice B n a de sens que si le nombre de colonnes de A= le nombre de lignes de B Ainsi, si A M n,p (K et B M p,m (K, le produit de A par B (qui est bien autorisé définit une matrice (n, m, ce que l on note schématiquement : (n, p (p, m (n, m Par conséquent, si m n, le produit BA n est pas défini (et on n a aucune chance d avoir AB = BA Mais, si n = m, la matrice BA est une matrice (p, p, donc pour qu elle puisse être égale à AB, il est nécéssaire que n = m = p, c est-à-dire que A et B soient deux matrices carrées de même taille Pourtant, même sous cette hypothèse, il n est pas certain que AB soit égale à BA, comme le montre le contre-exemple suivant : ( ( = ( alors que ( ( = ( Elément neutre de la multiplication dans M n (K On vérifie facilement que la matrice identité I n est élément neutre pour la multiplication dans M n (K C est-à-dire : M M n (K, MI n = I n M = M 5 Application linéaire et représentation matricielle Soient E un K-ev de dimension p 1 et F un K-ev de dimension n 1 Soient ensuite B = ( e 1, e,, e p une base de E et C = ( f 1, f,, f n une base de F Tout vecteur x de E se décompose de façon unique sur la base B : il existe un unique n-uplets (x 1, x,, x p de K p tel que x = x 1 e 1 + x e + + x p e p = x k e k La matrice colonne X = x 1 x x p k=1 M p,1(k des coordonnées de x dans la base B décrit donc complètement x C est pourquoi, on identifie parfois x E à la matrice X de ses coordonnées dans la base B, ce qui

15 revient en fait à identifier E à M p,1 (K, ou E à K p Ainsi, si M est une matrice (n, p, on utilisera parfois la notation M x (qui n a pas de sens, rigoureusement à la place de MX (qui, elle, est un produit matriciel (n, p (p, 1 parfaitement défini Considérons maintenant une application linéaire ϕ de E dans F : c est-à-dire une application ϕ : E F qui vérifie : ( u, v E, (λ, µ K, ϕ(λ u + µ v = λϕ( u + µϕ( v Pour tout k {1,,, p}, ϕ( e k est un vecteur de F En notant (m 1,k, m,k,, m n,k les cordonnées de ϕ( e k dans la base C, on a donc : ϕ( e k = m 1,k f1 + m,k f + + m n,k fn = n m j,kfj ( Notons maintenant M la matrice de M p,n (K obtenue en écrivant en colonnes les vecteurs ϕ( e 1, ϕ( e,, ϕ( e p dans la base C : ϕ( e 1 ϕ( e ϕ( e p M = m 1,1 m 1, m 1,p m,1 m, m,p m n,1 m n, m n,p Cette matrice, généralement notée mat(ϕ; B, C, s appelle matrice de ϕ dans les bases B (au départ et C (à l arrivée ( Ensuite, comme ϕ est linéaire, on a : y = ϕ( x = ϕ x k e k = x k ϕ( e k Donc, en tenant compte de (, il vient ensuite : y = k=1 x k k=1 n m j,kfj = j=1 Notons maintenant Y la matrice colonne Y = y 1 y y n k=1 j=1 f 1 f f n n m j,k x k f j (3 k=1 }{{} y j j=1 M n,1(k des coordonnées de ϕ( x dans la base C Alors, il résulte de la définition (1 du produit matriciel, et de l expression des y j, 1 j n, trouvée dans (3 que : Y = MX Autrement dit, pour trouver les coordonnées dans la base C de l image par ϕ d un vecteur x de E, il suffit de multiplier la matrice mat(ϕ; B, C par la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B : 6 Inversion matricielle 61 Inversibilité y = ϕ( x Y = MX y = ϕ( x = M x Définition Soit M M n (K une matrice carrée de taille n 1 On dit que M est inversible dans M n (K, s il existe une matrice de M n (K notée généralement M 1, telle que : MM 1 = M 1 M = I n Une telle matrice M 1, si elle existe, est unique, et s appelle inverse de M dans M n (K

16 ( 1 1 Exemple La matrice M = 1 ( ( est inversible, d inverse M 1 = = ( ( = ( ( , car on a : = I Remarque Par définition, pour qu une matrice M soit inversible, il est nécessaire qu elle soit carrée Néanmoins, ce n est pas une condition suffisante d inversibilité, même si la matrice considérée est non nulle Pour le voir, remarquons d abord que toute matrice M M n (K pour laquelle il existe un vecteur u non nul de K n satisfaisant M u = 0 K n, n est pas inversible En effet, dans le cas contraire,on aurait : M 1 (M u = M 1 0 K n, }{{}}{{} (M 1 M u 0 K n donc, comme (M 1 M u = I n u = u, le vecteur ( u serait nul, ce qui est contraire aux hypothèses 1 1 Ainsi par exemple, la matrice carrée M = est non nulle, mais elle n est pas inversible pour autant 1 1 ( 1 car M = 0 1 R En fait, on peut caractériser les matrices inversibles grâce au théorème suivant : Théorème 61 Une matrice M de M n (K, n 1, est inversible, si et seulement si l unique vecteur u K n satisfaisant M u = 0 K n est le vecteur 0 K n A l aide de ce résultat, on montre facilement que toute matrice triangulaire (inférieure ou supérieure est inversible, si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls Conséquence Toutes les matrices non nulles de M n (K n étant pas forcément inversibles lorsque n, il faut prendre garde au fait ( que l on peut y trouver A et B toutes les deux non nulles et telles que 0 0 AB = 0 Mn(K Ainsi, A = est non nulle mais A 1 0 = 0 M(K 6 Calcul de l inverse d une matrice : méthode du pivot de Gauss Soit M une matrice de M n (K, où n 1 Pour tout i {1,,, n}, on note L i la i ième ligne de la matrice M : m 1,1 m 1, m 1,n L 1 m,1 m, m,n L Opérations sur les lignes de M de la matrice M : (m : M = m n,1 m n, m n,n L n On définit trois types d opérations sur les lignes L i, i {1,,, n}, multiplication d une ligne L i par un scalaire λ non nul, notée L i λl i (on remplace la ligne L i = (m i,1, m i,,, m i,n par λl i = (λm i,1, λm i,,, λm i,n ; (p : permutation des lignes L i et L j, i j, notée L i L j ; (a : ajout de la ligne L j à la ligne L i, pour i j, notée L i L i + L j En combinant les opérations (m et (a, on peut notamment effectuer des manipulations du type pour tous i j, λ K (λ non nul et µ K (cl : L i λl i + µl j,

17 Description de la méthode L objectif de la méthode est de transformer la matrice M en la matrice I n à l aide des seules opérations (m, (p et (a, ou, ce qui revient au même, à l aide de (p et de (cl Dans la suite, afin d alléger les notations, les différentes matrices obtenues à partir de M par application de ces opérations seront encore notées M La méthode (dite du Pivot de Gauss procède comme suit : si m i,1 = 0 pour tout i {1,,, n} (la première colonne de M est nulle, M n est pas inversible, et c est réglé ; sinon, il existe au moins un indice i 0 {1,,, n} tel que m i0,1 0 Quitte à permuter L 1 et L i0 (L 1 L i0, on peut supposer que m 1,1 0 On effectue alors les opérations suivantes : 1 L 1 1 m 1,1 L 1, ce qui impose m 1,1 = 1 ; L j L j m j,1 L 1, pour tout j {, 3,, n}, ce qui remplace tous les termes de la première colonne de M, à l exception du premier d entre eux, par 0 La matrice M transformée devient ainsi : On passe ensuite à la deuxième colonne : si m i, = 0 pour tout i {,, n} (tous les termes de la deuxième colonne situés en dessous de m 1, sont nuls, alors la matrice M n est pas inversible, et c est fini ; sinon, quitte à permuter L avec une ligne L i0 pour un indice i 0, on peut supposer que m, 0 On effectue alors les opérations suivantes : (a L 1 m, L, ce qui impose m, = 1 ; (b L j L j m j, L, pour tout j, ce qui remplace tous les termes de la deuxième colonne de M, à l exception du deuxième d entre eux, par 0 A ce stade, la matrice M est devenue : Et ainsi de suite Dans le même temps, toutes les opérations effectuées sur M en vue de la transformer en la matrice identité doivent être reportées à l identique sur la matrice I n Si l on parvient effectivement à transformer M en la matrice I n avec cette méthode, M est inversible, et la matrice obtenue en reportant toutes ces opérations sur I n est alors M 1

18 Exemple matrice I 3 = La matrice à inverser est On applique la méthode de Gauss en partant de la Les étapes du calcul se présentent comme suit : L L L 1 L 3 L 3 L L L 3 L 1 L L 1 L L 1 L 1 L L 3 L 3 L 1 L 1 3 L 3 L L + 1 L 3 La matrice M est donc inversible, et son inverse est M 1 = Application à la résolution de systèmes linéaires n n Soit le système linéaire à n équations, et n inconnues x 1, x,, x n suivant : a 1,1 x 1 + a 1, x + a 1,n x n = b 1 a,1 x 1 + a, x + a,n x n = b (S a n,1 x 1 + a n, x + a n,n x n = b n, où les a i,j et b j, 1 i, j n, sont donnés b Posons alors A = (a i,j 1 i,j n, B = b 1 b n et X = x 1 x x n Avec ces définitions, il est clair que

19 (x 1, x,, x n est solution du système linéaire (S si et seulement le vecteur des inconnues, X, satisfait : AX = B Par suite, lorsque A est inversible, le système (S possède une unique solution, à savoir X = A 1 B, et ceci, quel que soit le second membre B de (S Exemple Quels que soient b 1, b et b 3, le système linéaire x 1 + x + x 3 = b 1 x 1 + x = b x 1 + 3x 3 = b 3, admet une unique solution : x 1 x x 3 = b 1 b b 3 = b 1 b b 3 = 1 3b 1 + 3b + b 3 3b 1 b b 3 b 1 b

Chapitre 2. Espaces vectoriels. x, y E, x y E.

Chapitre 2. Espaces vectoriels. x, y E, x y E. Chapitre 2 Espaces vectoriels 1. Définitions et exemples 1 1. Définition d un espace vectoriel On dit qu une loi définie sur un ensemble E est interne si x, y E, x y E. Définition 1.1. Un espace vectoriel

Plus en détail

Chapitre 10. Matrices Définitions

Chapitre 10. Matrices Définitions Chapitre 10 Matrices Nous allons dans ce chapitre découvrir la notion fondamentale de matrice Dans ce chapitre, on note K = R ou C 101 Définitions Définition 1011 On appelle matrice à n lignes et p colonnes

Plus en détail

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle

Plus en détail

Matrices. Chapitre V. 1 Révisions. a) Généralités

Matrices. Chapitre V. 1 Révisions. a) Généralités Chapitre V Matrices 1 Révisions a) Généralités Définitions Soient m, n et un corps commutatif Une matrice de type m, n à coefficients dans est un tableau de mn éléments de à m lignes et n colonnes, que

Plus en détail

Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel

Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel Dans ce chapitre K désignera R ou C, et n, p, q, r désigneront des entiers naturels non nuls 1 Matrices Définition 1 1 On appelle matrice de taille n p à coefficients

Plus en détail

Espaces vectoriels réels

Espaces vectoriels réels Chapitre 2 Espaces vectoriels réels I) De l exemple à la définition On considère le plan E = R R muni d un repère (O, i, j ). Un vecteur u du plan s identifie à ses coordonnées (u 1,u 2 ) dans ce repère.

Plus en détail

Chapitre 1. Espaces vectoriels réels

Chapitre 1. Espaces vectoriels réels Chapitre 1 I Structure d espace vectoriel réel 1 Définition Définition 1 Soit E un ensemble muni d une loi d addition (notée +) et d une loi de produit par un réel (notée.). On dit que E (ou (E, +,.))

Plus en détail

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22...

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22... Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij,

Plus en détail

Espaces vectoriels réels

Espaces vectoriels réels Chapitre 2 Espaces vectoriels réels I) De l exemple à la définition On considère le plan E = R R muni d un repère (O, i, j ). Un vecteur u du plan s identifie à ses coordonnées (u 1,u 2 ) dans ce repère.

Plus en détail

Matrices. Matrices. Paris Descartes Mathématiques et calcul 1. Matrices. 1 Matrices

Matrices. Matrices. Paris Descartes Mathématiques et calcul 1. Matrices. 1 Matrices Matrices Matrices Matrices 1 Matrices Définitions Espace vectoriel des matrices n p Multiplication des matrices Inverse d une matrice Systèmes linéaires Applications linéaires Changement de bases Matrices

Plus en détail

Définition (Rappel) On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note

Définition (Rappel) On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note Chapitre Matrices Matrices Règles de calcul Définition Rappel On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note On note en abrégé a i,j i n j n a, a,

Plus en détail

CORRECTION FX 13. Soit (λ, x) K E. D une part (règle R 1 ) : et donc ( λ).x = (λ.x). Et d autre part (règle R 2 ) :

CORRECTION FX 13. Soit (λ, x) K E. D une part (règle R 1 ) : et donc ( λ).x = (λ.x). Et d autre part (règle R 2 ) : Lycée Thiers CORRECTION FX 13 Ex 1 Soit (λ, x) K E. D une part (règle R 1 ) : λ.x + ( λ).x = [λ + ( λ)].x = 0.x = 0 E et donc ( λ).x = (λ.x). Et d autre part (règle R ) : et donc λ. ( x) = (λ.x). λ.x +

Plus en détail

Calcul matriciel. 1 Ensemble des matrices Définitions Opérations sur les matrices Matrices carrées... 7

Calcul matriciel. 1 Ensemble des matrices Définitions Opérations sur les matrices Matrices carrées... 7 Chapitre 2 Calcul matriciel Ensemble des matrices 2 Définitions 2 2 Opérations sur les matrices 3 3 Matrices carrées 7 2 Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel 2 Matrices d opérations élémentaires

Plus en détail

Introduction aux espaces vectoriels

Introduction aux espaces vectoriels Chapitre 11 Introduction aux espaces vectoriels Dans tout ce chapitre K désigne R ou C. 1 Généralités sur les espace vectoriels 1.1 Espace vectoriel sur K Définition 1 Espace vectoriel sur K Soit E un

Plus en détail

Cours d algèbre. Licence appliquée. ISET Jerba

Cours d algèbre. Licence appliquée. ISET Jerba Cours d algèbre Licence appliquée ISET Jerba Haj Dahmane DHAFER 21 mars 2014 Table des matières I Généralités sur les matrices 1 I Définitions et notations 1 II Opérations sur les matrices 3 II1 Somme

Plus en détail

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL Lycée Dominique Villars ECE 1 COURS CALCUL MATRICIEL 1 Définitions et Notations Soit n N et m N On appelle matrice à n lignes et m colonnes tout tableau de la forme suivant : a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a

Plus en détail

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

Vecteurs et applications linéaires

Vecteurs et applications linéaires Vecteurs et applications linéaires (1) (1) () Vecteurs et applications linéaires 1 / 41 1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs

Plus en détail

Chapitre 2. Introduction aux matrices

Chapitre 2. Introduction aux matrices L1 2012-2013 Université Paris 13 Algèbre linéaire Chapitre 2 Introduction aux matrices Référence: Liret-Martinais [2], chapitre 4 Nous avons déjà rencontré des tableaux de nombres, ou matrices Nous allons

Plus en détail

Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c est-à-dire :

Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c est-à-dire : 61 Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c est-à-dire : n, ( x 1,..., x n ) F n, (λ 1,..., λ n ) n, n λ i x i F i=1 Par récurrence sur le nombre de termes dans la combinaison linéaire.

Plus en détail

Matrices. Résolution de systèmes linéaires

Matrices. Résolution de systèmes linéaires Chapitre 4 Matrices Résolution de systèmes linéaires K désigne Q, R ou C 41 Matrices, opérations sur les matrices 411 Définition et règles de calcul Définition 41 Soit n N + Un vecteur colonne (resp ligne

Plus en détail

Matrices à coefficients dans R ou C.

Matrices à coefficients dans R ou C. BCPST1 B 2015/2016 Matrices à coefficients dans R ou C Dans ce chapitre n, r, q et p sont des entiers naturels non nuls, Les éléments de R ou de C sont appelés nombres ou scalaires I) Définition et vocabulaire

Plus en détail

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

a 1,1 x a 1,m x m = b 1 a 2,1 x a 2,m x m = b 2. . = b n

a 1,1 x a 1,m x m = b 1 a 2,1 x a 2,m x m = b 2. . = b n Chapitre Calcul matriciel Dans tout ce chapitre la lettre K désignera Q,R, ou C Systèmes et point de vue matriciel Rappelons qu un système d équations linéaires (disons, à n équations et m inconnues x,,x

Plus en détail

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 Chapitre 13 Calcul matriciel Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 On note K = R ou C Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac)

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C. Matrices Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau rectangulaire

Plus en détail

1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels Lycée Sainte Geneviève BCPST 2 Dans tout le chapitre K = R ou C. Chapitre 1 : ESPACES VECTORIELS 1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 1.1 K espaces vectoriels Définition 1. On appelle espace

Plus en détail

Université de Liège Année académique Calcul matriciel. 1 Signe sommatoire et symbole de Kronecker

Université de Liège Année académique Calcul matriciel. 1 Signe sommatoire et symbole de Kronecker Université de Liège Année académique 28 29 Calcul matriciel Béatrice Lahaye BeatriceLahaye@uliegebe Adeline Massuir AMassuir@uliegebe Signe sommatoire et symbole de Kronecker Exercices Développer explicitement

Plus en détail

Chapitre 1. Espaces vectoriels

Chapitre 1. Espaces vectoriels Chapitre 1 Espaces vectoriels 1 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS 1.1 Rappels (vu en PCSI) 1.1.1 Structure de K-espace vectoriel et exemples K est un corps et dans le cadre du programme, ce sera soit R,

Plus en détail

Chapitre 3 : Matrices

Chapitre 3 : Matrices Chapitre 3 : Matrices Sommaire I Notion de matrice et vocabulaire II Opérations de base sur les matrices 3 1 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice 3 Multiplication matricielle

Plus en détail

Espaces vectoriels. 1 Définition. Christian CYRILLE 4 mai : E E E

Espaces vectoriels. 1 Définition. Christian CYRILLE 4 mai : E E E Espaces vectoriels Christian CYRILLE 4 mai 2017 1 Définition Soit E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. à gauche dont le domaine d opérateurs est R en l occurrence la multiplication

Plus en détail

VII ALGÈBRE LINÉAIRE

VII ALGÈBRE LINÉAIRE CHAPITRE VII ALGÈBRE LINÉAIRE Sommaire A Espaces vectoriels............................................ 2 A.1 Définition des espaces vectoriels................................ 3 A.2 Définition des sous-espaces

Plus en détail

1. Familles de vecteurs

1. Familles de vecteurs Compléments d algèbre linéaire 1-1 Sommaire 1 Familles de vecteurs 1 11 Famille libre 1 1 Famille génératrice 1 13 Base 14 Propriétés Sous-espaces vectoriels 1 Somme de sous-espaces vectoriels Base adaptée

Plus en détail

ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER

ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER ISET Jerba wwwwisetjbrnutn Département Génie Électrique Cours d algèbre2 Haj Dahmane DHAFER 19 février 2015 Chapitre I Généralités sur les matrices Sommaire I Définitions et notations 1 II Opérations sur

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Matrices. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

Mathématiques - ECS1. Matrices. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année. Mathématiques - ECS1 7 Matrices Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année 7 Matrices Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C 71

Plus en détail

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3 Table des matières I Matrices à coefficients dans K............................ 3 I.1 Généralités.................................. 3 I.2 Matrices particulières............................. 3 I.3 Matrices

Plus en détail

Espaces vectoriels sur R ou C.

Espaces vectoriels sur R ou C. Chapitre 1 Espaces vectoriels sur R ou C. 1.1 Rappel : les vecteurs du plan. On connaît depuis le lycée u = (x, y). Point de vue géométrique. Un vecteur du plan est un segment orienté. Plus précisémment,

Plus en détail

Maths en PCSI Année Chapitre n 12. Calcul matriciel

Maths en PCSI Année Chapitre n 12. Calcul matriciel Chapitre n 12 Calcul matriciel Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C, et n, p et q des entiers naturels non nuls Les éléments de K seront aussi appelés des scalaires 1 Ensembles de matrices Définition

Plus en détail

7. Introduction aux espaces vectoriels

7. Introduction aux espaces vectoriels 7. Introduction aux espaces vectoriels Les espaces vectoriels sont des structures algébriques que l on retrouve quasiment partout en mathématiques et qui sont la structure de base en algèbre linéaire.

Plus en détail

MT23-Algèbre linéaire

MT23-Algèbre linéaire MT23-Algèbre linéaire Chapitre 1 : Espaces vectoriels ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC juillet 2014 suivant Chapitre 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels, généralités..........................

Plus en détail

Matrices. () Matrices 1 / 45

Matrices. () Matrices 1 / 45 Matrices () Matrices 1 / 45 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition On va principalement travailler avec R Mais on peut remplacer

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Espaces vectoriels

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Espaces vectoriels Cours de remise à niveau Maths 2ème année Espaces vectoriels C. Maugis-Rabusseau GMM Bureau 116 cathy.maugis@insa-toulouse.fr C. Maugis-Rabusseau (INSA) 1 / 33 Plan 1 Généralités 2 Sous-espace vectoriel

Plus en détail

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier Calcul matriciel Dans ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Petite visite au zoo matriciel 1.1 matrices générales notion de matrice : une matrice à coefficients dans K est une liste d éléments de K disposés

Plus en détail

Opérations élémentaires et déterminants

Opérations élémentaires et déterminants 10 Opérations élémentaires et déterminants On note toujours K le corps de réels ou des complexes On se donne un entier n 1 et M n (K désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients

Plus en détail

Matrices. Antoine Louatron

Matrices. Antoine Louatron Matrices Antoine Louatron 2/10 Table des matières Table des matières I Calcul sur les matrices 3 I1 Opérations 3 I2 Propriétés des opérations 4 I3 Matrices carrées 6 I4 Matrices particulières 6 II Matrices

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R)

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R) Matrices Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes } }{{}

Plus en détail

Calcul matriciel .1. NOTION DE MATRICE. Chap. ALG02. Def.1. App.1

Calcul matriciel .1. NOTION DE MATRICE. Chap. ALG02. Def.1. App.1 Chap ALG0 Calcul matriciel NOTES DE COURS NOTION DE MATRICE Cadre de travail et/ou notation(s utilisée(s Dans tout ce chapitre et sauf mention contraire, n, p et q désigneront des entiers naturels non

Plus en détail

VII. Systèmes linéaires - Matrices

VII. Systèmes linéaires - Matrices Systèmes d équations linéaires Définition d un système d équations linéaires Définition On appelle système linéaire de n équations à p inconnues le système d équations : a, u + a,2 u 2 + + a,p u p = v

Plus en détail

CHAPITRE III Espaces vectoriels

CHAPITRE III Espaces vectoriels CHAPITRE III Espaces vectoriels 2017-2018 A) Préalables (compléments) : Groupes, Sous-Groupes, Anneaux, Corps 0) LOIS DE COMPOSITION INTERNE (LCI) Définition : Une Loi de Composition Interne (LCI) sur

Plus en détail

Cours d Algèbre Mathématiques et Outils logiciels Semestre 2

Cours d Algèbre Mathématiques et Outils logiciels Semestre 2 Florent ARNAL Cours d Algèbre Mathématiques et Outils logiciels Semestre 2 Résolution de systèmes par la méthode du pivot de Gauss Matrices & Déterminants Université de Bordeaux Adresse électronique :

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS. 1. Définition 2. Règles de calcul dans un espace vectoriel SOUS-ESPACES VECTORIELS. 2. Caractérisation

ESPACES VECTORIELS. 1. Définition 2. Règles de calcul dans un espace vectoriel SOUS-ESPACES VECTORIELS. 2. Caractérisation 26-10-2014 J.F.C. E.V. 1 ESPACES VECTORIELS I GÉNÉRALITÉS 1. Définition 2. Règles de calcul dans un espace vectoriel II SOUS-ESPACES VECTORIELS 1. Définition 2. Caractérisations 3. Intersection de sous-espaces

Plus en détail

Rang d une matrice, retour aux

Rang d une matrice, retour aux Chapitre Rang d une matrice, retour aux systèmes linéaires Rang d une matrice Rang d un système linéaire Définition Soient n, p N et soit A M n,p (K) On appelle rang de A le rang des p colonnes de A, considérées

Plus en détail

MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K)

MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 21-10- 2007 JFC Mat p 1 MATRICES I GÉNÉRALITÉS 1 Définitions 2 Matrices carrées particulières II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 1 Structure d espace vectoriel de M n,p (K) 2 Base canonique

Plus en détail

Chapitre 2 : Matrices

Chapitre 2 : Matrices Chapitre : Matrices Notion de matrice et vocabulaire Notation Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini par

Plus en détail

CH XIII : Calcul matriciel

CH XIII : Calcul matriciel CH XIII : Calcul matriciel I Généralités sur les matrices Soient n et p deux entiers naturels non nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à cœfficients dans R un tableau de nombres réels Si A

Plus en détail

Calcul matriciel : rappels et compléments

Calcul matriciel : rappels et compléments CHAPITRE 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 5 L ensemble M n,p (K) 5 Structure d espace vectoriel Définition Soit K = R ou C On note M n,p (K) l ensemble des matrices ayant n lignes et p colonnes

Plus en détail

Chapitre A8 : Matrices et systèmes linéaires

Chapitre A8 : Matrices et systèmes linéaires Chapitre A8 : Matrices et systèmes linéaires 1 Matrices Dans tout le chapitre n, p, q, r N et K = R ou C 1 a) Définitions Définition 11 On appelle matrice à n lignes et p colonnes une application de 1,

Plus en détail

Chapitre R2. Matrices

Chapitre R2. Matrices Chapitre R2 Matrices I. Opérations sur les matrices............................................................ 2 1/ Définition............................................................................

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS CHAPITRE Espaces vectoriels. 1.1 Définition. Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. Définition 10.1

ESPACES VECTORIELS CHAPITRE Espaces vectoriels. 1.1 Définition. Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. Définition 10.1 CHAPITRE 10 ESPACES VECTORIELS Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. 1 Espaces vectoriels 1.1 Définition Définition 10.1 On appelle K-espace vectoriel un ensemble E muni d une addition + : E E E (x,

Plus en détail

MT09-Analyse numérique élémentaire

MT09-Analyse numérique élémentaire MT09-Analyse numérique élémentaire Chapitre 1 : Révisions d algèbre linéaire Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Avril 2006 suivant Chapitre I Algèbre linéaire - révisions I.1 Espace vectoriel.....................................

Plus en détail

Matrices. Chapitre 7. Sommaire

Matrices. Chapitre 7. Sommaire Chapitre 7 Matrices Sommaire 7.1 Notion de matrice et vocabulaire..................... 109 7.1.1 Définitions.................................. 109 7.1.2 Quelques cas particuliers...........................

Plus en détail

Espaces vectoriels 1. Espaces vectoriels

Espaces vectoriels 1. Espaces vectoriels Espaces vectoriels le 3 Janvier UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Espaces vectoriels Exemples et définitions.. Introduction. Soit R n := R R... R (n fois) l espace géométrique usuel (de

Plus en détail

Algèbre Linéaire. 5 janvier 2018

Algèbre Linéaire. 5 janvier 2018 en dimension finie 5 janvier 2018 en dimension finie Des systèmes linéaires Une suite récurrente Une équation différentielle Espaces vectoriels Soit à résoudre le système (une équation!) linéaire d inconnue

Plus en détail

Centrale Maths 2 MP 2008 Énoncé 1/8

Centrale Maths 2 MP 2008 Énoncé 1/8 Centrale Maths 2 MP 2008 Énoncé 1/8 Épreuve :MATHÉMATIQUES II Concours Centrale - Supélec 2008 FilièreMP Notations Dans tout le problème n est un entier supérieur à 2, M n est l ensemble des matrices carrées

Plus en détail

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices Chapitre 6 Algèbre matricielle En plus d être des tableaux de nombres susceptibles d être manipulés par des algorithmes pour la résolution des systèmes linéaires et des outils de calcul pour les applications

Plus en détail

Matrices. 5 février 2018

Matrices. 5 février 2018 Matrices 5 février 218 Table des matières 1 Généralités 3 11 Généralités 3 111 Définitions 3 112 Notation 3 113 Egalité entre deux matrices : 3 114 Ensemble de matrices 3 12 Des cas particuliers 4 121

Plus en détail

COURS CHAPITRE VII CALCUL MATRICIEL

COURS CHAPITRE VII CALCUL MATRICIEL COURS CHAPITRE VII CALCUL MATRICIEL 07-08 I) Définitions : ) Définitions Une matrice est un tableau à double entrées où chaque élément du tableau est repéré par son indice de ligne i et son indice de colonne

Plus en détail

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2...

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2... 11 mars 014 Calcul matriciel I IA Matrices : définition, opérations et propriétés Définitions et structure d espace vectoriel Définition 1 (Définition Une matrice de type (n, p est un tableau à n lignes

Plus en détail

2 Résolution de systèmes linéaires La méthode de Gauss Exercices... 24

2 Résolution de systèmes linéaires La méthode de Gauss Exercices... 24 Algèbre linéaire Jean-Philippe NICOLAS Département de Mathématiques, Université de Brest, 6 avenue Victor Le Gorgeu, 29200 Brest. Bureau H109, Tel. 02 98 01 67 61, email : Jean-Philippe.Nicolas@univ-brest.fr

Plus en détail

Cours d algèbre 2. CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d algèbre 2. CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz Cours d algèbre 2 CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed Département de Mathématiques Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module

Plus en détail

Algèbre Linéaire. S2 Mathématiques-Informatique. R. Taillefer

Algèbre Linéaire. S2 Mathématiques-Informatique. R. Taillefer Algèbre Linéaire S2 Mathématiques-Informatique R Taillefer 4 novembre 2013 Table des matières Corps 1 I Matrices 2 A Définitions et règles de calcul 2 A1 Opérations sur les matrices 3 B Opérations élémentaires

Plus en détail

Chapitre 9. Matrices

Chapitre 9. Matrices Lycée Benjamin Franklin PTSI 2014-2015 D Blottière Mathématiques Chapitre 9 Matrices Table des matières 1 Notations 2 2 Matrices de format n p 2 3 Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K 3 31 Addition

Plus en détail

Université de Poitiers Année L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau

Université de Poitiers Année L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire Algèbre linéaire rédigé par Anne Moreau 1 2 Table des matières 1 Espaces Vectoriels 5 11 Structure d espace vectoriel 5 111 Espaces vectoriels

Plus en détail

VII. Systèmes linéaires - Matrices

VII. Systèmes linéaires - Matrices VII Systèmes linéaires - Matrices Systèmes d équations linéaires Définition d un système d équations linéaires Définition On appelle système linéaire de n équations à p inconnues le système d équations

Plus en détail

Formes bilinéaires et quadratiques

Formes bilinéaires et quadratiques Formes bilinéaires et quadratiques 0 Prolégomènes Caractéristique d un corps Si K, +, est un corps commutatif, alors l application ϕ : n n K, où K est l élément neutre de K pour le produit, est un morphisme

Plus en détail

() Systèmes d équations linéaires 1 / 43

() Systèmes d équations linéaires 1 / 43 Systèmes d équations linéaires () Systèmes d équations linéaires 1 / 43 1 Système d équations linéaires 2 Une méthode de résolution d un système d équations linéaires 3 Un bref point sur les matrices Dans

Plus en détail

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice.

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice. Les matrices chapitre 2 : calcul matriciel I / Définitions Soit n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice n p (on dit aussi de format n ; p ( ) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Matrice et vocabulaire associé

Matrice et vocabulaire associé I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés

Plus en détail

Espaces vectoriels. Chapitre 18 GÉNÉRALITÉS. Sommaire. 1) Définition. Définition Dans ce chapitre, K désigne un sous-corps de C.

Espaces vectoriels. Chapitre 18 GÉNÉRALITÉS. Sommaire. 1) Définition. Définition Dans ce chapitre, K désigne un sous-corps de C. Chapitre 18 Espaces vectoriels Sommaire I Généralités................................................ 163 1) Définition............................................. 163 2) Exemples de référence......................................

Plus en détail

L p B calculer le produit matriciel ligne par ligne, ou bien colonne par colonne.

L p B calculer le produit matriciel ligne par ligne, ou bien colonne par colonne. 40 CHAPITRE 4. MATRICES ligne L M 1,n (K) et d une matrice B M n,q (K) est encore une matrice ligne. De plus, si on note L i la i-ième ligne de A, alors le produit AB est la L 1 B L 2 B matrice (la juxtaposition

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016)

ESPACES VECTORIELS. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016) ESPACES VECTORIELS Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016) 1. Espaces et sous-espaces vectoriels Dans ce qui suit, K est un corps, que l on

Plus en détail

Groupes finis de matrices

Groupes finis de matrices Groupes finis de matrices Ici K est un corps commutatif, a priori, de caractéristique nulle, ce qui signifie que le morphisme d anneaux k k 1 de Z dans K est injectif, ce qui est encore équivalent à dire

Plus en détail

Chapitre 2. Les espaces vectoriels. Cours de mathématiques de BCPST Deuxième année.

Chapitre 2. Les espaces vectoriels. Cours de mathématiques de BCPST Deuxième année. Chapitre 2 Les espaces vectoriels Cours de mathématiques de BCPST Deuxième année. Table des matières 1 Structure d espaces vectoriels 2 1.1 Première idée........................................ 2 1.2 Notion

Plus en détail

Chapitre 8. Matrices. 1 Vocabulaire et Notations

Chapitre 8. Matrices. 1 Vocabulaire et Notations ECE 1 - Année 2016-2017 Lycée français de Vienne Mathématiques - F Gaunard http://fredericgaunardcom Chapitre 8 Matrices Ce Chapitre introduit la notion de matrice ainsi que les règles de calcul matriciel

Plus en détail

Chapitre 2 : Matrices

Chapitre 2 : Matrices Chapitre 2 : Matrices 1 Notion de matrice et vocabulaire Notation 1 Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition 1 Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini

Plus en détail

Cours du Samedi 14 Juin.

Cours du Samedi 14 Juin. Cours du Samedi 14 Juin. Introduction : rappels sur les ensembles (notations et produit cartésien de deux ensembles), intersections, réunions (et somme) de deux ensembles et résolution d un système linéaire

Plus en détail

ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2. Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets

ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2. Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2 Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets PARTIE I - CONSTRUCTION D UNE MATRICE INVERSE A GAUCHE On suppose dans cette partie que

Plus en détail

MATRICES. Ensemble des matrices et opérations. 1 o ) Définition et matrices particulières

MATRICES. Ensemble des matrices et opérations. 1 o ) Définition et matrices particulières MATRICES I Ensemble des matrices et opérations Dans toute cette partie, K désigne indifféremment R ou C, et n et p désignent des entiers naturels non nuls 1 o Définition et matrices particulières Définition

Plus en détail

Notations du chapitre. Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls. désigne l ensemble ou l ensemble.

Notations du chapitre. Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls. désigne l ensemble ou l ensemble. Matrices Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls. désigne l ensemble ou l ensemble. Ensemble des matrices Définition 1.1 Matrice à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I)

Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I) http://mpbertholletwordpresscom Résumé 1 : Algèbre Linéaire (I) Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel sur K Vous remarquerez les grandes similitudes qui existent

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Chapitre 1 Espaces vectoriels et applications linéaires Dans ce chapitre, nous rappelons, souvent sans démonstration, les définitions et résultats importants du cours de première année. Dans tout le chapitre,

Plus en détail

Table des matières ALGÈBRE BILINÉAIRE. Chapitre 5

Table des matières ALGÈBRE BILINÉAIRE. Chapitre 5 Chapitre 5 ALGÈBRE BILINÉAIRE OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir montrer qu une application est un produit scalaire Savoir déterminer une base orthonormée d un espace vectoriel euclidien Savoir obtenir des inégalités

Plus en détail

Matrices. 3 Cas particulier des matrices de passage Effets d un changement de bases Matrices équivalentes et matrices semblables...

Matrices. 3 Cas particulier des matrices de passage Effets d un changement de bases Matrices équivalentes et matrices semblables... Dans le cas particulier des espaces vectoriels de dimension finie, nous avons introduit la représentation matricielle d une famille de vecteurs pour déterminer son rang De la même façon, nous verrons comment

Plus en détail

a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n M (n 1) (n 1) (K). ( 1) j 1 a 1j det n 1 A 1j. j=1

a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n M (n 1) (n 1) (K). ( 1) j 1 a 1j det n 1 A 1j. j=1 Université Claude Bernard Lyon 1 L1 de Mathématiques : Math II Algèbre cursus PMI Année 2014 2015 Déterminants I On fixe pour tout le chapitre un corps K On va associer à toute matrice carrée, et même

Plus en détail

peuvent s écrire en colonne ou en ligne. 2 Loi de composition interne- loi de composition externe

peuvent s écrire en colonne ou en ligne. 2 Loi de composition interne- loi de composition externe Première partie Espaces vectoriels 1 Quelques ensembles importants 1. Soit n un entier naturel non nul. R n est l ensemble des n-uplets, c est-à-dire une collection ordonnée de n réels a. Ces n-uplets

Plus en détail

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel Calcul matriciel 1 le 29 Novembre 2008 UTBM MT11 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Calcul matriciel Introduction. A un système linéaire de p équations à n inconnues on associe un tableau avec

Plus en détail

1 La structure d espace vectoriel

1 La structure d espace vectoriel Sommaire 1 La structure d espace vectoriel 1 2 Bases et dimension d un espace vectoriel 4 3 Somme de sous-espaces vectoriels 6 4 Les applications linéaires 9 5 Exercices 14 Nous rappelons dans ce chapitre

Plus en détail