Notions essentielles d algèbre linéaire

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1 Université d Aix-Marseille Institut Universitaire de Technologie Département Réseaux et Télécommunications Notions essentielles d algèbre linéaire 1 Espace vectoriel Base 3 Dimension 4 Matrices 5 Application linéaire et représentation matricielle 6 Inversion matricielle

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3 Table des matières 1 Espace vectoriel 4 11 Définition 4 1 Exemples 4 13 Combinaison linéaire 5 14 Sous-espace vectoriel Définition 6 14 Espace vectoriel engendré par une famille Somme de sev Somme directe Sous-espaces supplémentaires 7 Base d un espace vectoriel 8 1 Famille génératrice 8 Indépendance linéaire 8 3 Base 9 3 Dimension 9 31 Définitions 9 3 Dimension d un sev Théorème de la base incomplète Dimension de la somme de sev 11 4 Matrices 1 41 Définition 1 4 Exemples 1 43 Opérations sur les matrices Multiplication par un scalaire et addition Multiplication matricielle 14 5 Application linéaire et représentation matricielle 14 6 Inversion matricielle Inversibilité 15 6 Calcul de l inverse d une matrice : méthode du pivot de Gauss 16

4 Dans tout ce qui suit, K désigne soit l ensemble des réels R, soit celui des complexes C 1 Espace vectoriel 11 Définition Un ensemble E non vide et muni : (a d une loi de composition interne appelée addition notée + et d élément neutre 0 E, E E E (x, x x + x, (b d une loi de composition externe de domaine K, appelé multiplication par un scalaire, K E E (λ, x λx, est un espace vectoriel sur K (noté K-ev ou plus simplement ev lorsqu il n y a pas de confusion possible si ces deux lois vérifient les conditions suivantes : (i (x + x + x = x + (x + x, x, x, x E (ii x + x = x + x, x, x E (iii x + O E = x, x E (iv x + ( x = O E, x E (v 1x = x, x E (vi λ(µx = (λµx, x E, λ, µ K (vii λ(x + x = λx + λx, x, x E, λ K (viii (λ + µx = λx + µx, x E, λ, µ K Vocabulaire Un élément x de E s appelle un vecteur de E, et un élément λ de K s appelle un scalaire Remarque Dans un ev, il n y a pas de multiplication entre deux vecteurs, mais entre un scalaire et un vecteur seulement Dans la suite, afin de bien distinguer entre vecteurs et scalaires, tout vecteur x E sera noté x Stabilité Pour simplifier, on peut dire qu un K-ev est un ensemble non vide satisfaisant les deux conditions de stabilité suivantes : (EV 1 ( u, v E E, u + v E (EV λ K, u E, λ u E De plus il est facile de voir que (EV 1 + (EV se résume en : (EV ( u, v E E, (λ, µ K K, λ u + µ v E 1 Exemples { ( } Exemple 1 On choisit K = R et E = R x = u =, x R, y R Par définition, on a : y ( ( ( x pour tout u = R x et tout v = y y R x + x, u + v = y + y ; ( ( x pour tout tout λ R et tout u = R λx, λ u = y λy On vérifie ainsi que E satisfait (EV et donc que c est un R-ev Ce résultat se généralise immédiatement à R n pour tout n

5 Exemple On choisit K = R et E = R[X] Les vecteurs de E sont donc des polynômes Autrement dit, P E s il existe n 0 et des réels a 0, a 1,, a n tels que Par définition, pour tout P = k=0 P = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n n m a k X k et Q = b k X k de R[X] avec n m, on a pour tout tout λ R et tout P = k=0 P + Q = n (a k + b k X k + k=0 n a k X k R[X], λp = k=0 m k=n+1 b k X k n (λa k X k Il est donc évident que R[X] satisfait (EV, et donc que c est un R-ev Remarques cas, L ensemble N (resp Z, Q n est pas un R-ev (ni un C-ev d ailleurs En effet, si tel était le ( 1 }{{}}{{} R N =, (resp 1 }{{} R 1 }{{} Z k=0 = 1, }{{} R }{{} 1 = Q appartiendrait à N,(resp à Z, à Q, ce qui est faux Par ailleurs, tout K-ev E étant un ensemble non vide, choisissons u dans E Comme 0 K et que E est un K-ev, 0 u = 0 E appartient à E Tout ev E contient donc (au moins le vecteur 0 E, appelé vecteur nul de E, et qu il ne faut pas confondre le scalaire nul 0 Par exemple, le vecteur nul du R-ev R est 13 Combinaison linéaire Soient E un K-ev, I un sous-ensemble de N (pour simplifier et F = ( f i i I une famille (éventuellement infinie de vecteurs de E (pour tout i I, f i est donc un vecteur de E On appelle combinaison linéaire (notée CL en abrégé de vecteurs de F, tout vecteur de E de la forme : { λ jfj (i J est un sous-ensemble fini de I;, où (ii j J, λ j K j J En clair, une CL de vecteurs de F E est une somme FINIE de vecteurs du type λ x avec λ K et x F ( 0 0 Exemple On prend K = R et E = R[X] On se donne ensuite N dans N, et on pose F = {1, X, X,, X N }, où, si l on utilise les notations de la définition : I = {0, 1,,, N} et f i = X i pour tout i I Une CL de vecteurs de F est donc un élément de R[X] du type a 0 + a 1 X + + a N X N, où a 0, a 1,, a N sont des réels (éventuellement nuls Autrement dit, une CL de vecteurs de F est un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à N Réciproquement, tout polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à N est, par définition, une CL de vecteurs de F Remarque Examinons le cas particulier où F = E La condition (EV garantit que toute CL de vecteurs de E appartient à E (ce que l on résume en disant que E est stable par CL et récriproquement que tout ensemble non vide et stable par CL est un ev : E = ev E est un ensemble non vide qui est stable par CL

6 14 Sous-espace vectoriel Soit E un K-ev 141 Définition Tout sous-ensemble F non vide de E, qui est stable par CL, c est-à-dire qui satisfait les deux conditions suivantes : (i x + x F, x, x F (ii λ x F, λ K, x F est un sous-espace vectoriel (sev en abrégé de E C est donc un K-ev qui est inclus dans E Remarque Si F est un sev de E alors 0 E F Ainsi, pour prouver que F E est un sev de E, il suffit de vérifier les deux conditions suivantes : (a 0 E F (b λ x + x F, λ K, x, x F De plus, le plus petit sev de E (au sens de l inclusion est l ensemble { 0 E } Exemple Pour tout N 0, R N [X] est un sev de R[X] Propriétés (a La réunion de deux sev de E N EST PAS en général un sev de E (b L intersection de deux sev de E est un sev de E 14 Espace vectoriel engendré par une famille F = ( f i i I (où I N désignant à nouveau une famille de vecteurs d un K-ev E, on note vect F l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de F : vect F = {CL de vecteurs de F} Il est facile de vérifier que c est un sev de E, appelé sev engendré par F Exemple On reprend le cas de l exemple précédent : K = R, E = R[X] et F = {1, X, X,, X N }, où N est un entier fixé D après ce qui a été vu dans cet exemple, vect F = R N [X], ce qui redémontre au passage que R N [X] est un sev de R[X] 143 Somme de sev Soient F 1 et F deux sev de E On vérifie facilement que l ensemble noté F 1 + F et défini comme suit : est un sev de E Il est appelé somme de F 1 et F F 1 + F = {u 1 + u, u 1 F 1, u F },

7 Exemple Si E = R 3, F 1 = vect{ e 1 } où e 1 = F 1 + F = (0xy, et F = vect{ e } où e = 0 1 0, on voit que Par ailleurs, on vérifie également que F 1 F = { 0 E } et il est bien connu que tout vecteur de (Oxy = F 1 +F s écrit de façon unique sous la forme x 1 + x avec x 1 F 1 et x F En d autres termes : x 1, x 1 F 1, x, x F, x 1 + x = x 1 + x = x 1 = x 1 et x = x Pour G 1 = vect{ e 1, e } et G = vect{ e 1 + e } on a également G 1 + G = (Oxy mais on remarque que G 1 G { 0 E } (car e 1 + e G 1 G par exemple et qu il existe au moins deux décompositions distinctes de e 1 dans G 1 + G : e 1 = ( e + e 1 + e = e }{{}}{{} 1 +0 ( e }{{} 1 + e }{{} G 1 G G 1 G 144 Somme directe On dit que la somme F 1 + F est directe si F 1 F = { 0 E } Dans ce cas on convient de noter F 1 F à la place de F 1 + F Propriété Si F 1 F alors pour tout ( x 1, x F 1 F et ( x 1, x F 1 F on a l implication : { x 1 + x = x 1 + x = x 1 = x 1 x = x Autrement il existe une et une seule façon de décomposer un vecteur de F 1 F en la somme d un vecteur de F 1 et d un vecteur de F Exemple Avec les définitions précédentes des vecteurs e 1, e de R 3 et en posant e 3 = que : (a vect{ e 1 } vect{ e } = (Oxy (b vect{ e 1 } vect{ e 1 + e } = (Oxy (c vect{ e 1, e } vect{ e 1, e 3 } = R 3 mais cette somme n est pas directe car : 145 Sous-espaces supplémentaires e 1 + e = 0 e e + 1( e 1 + e + 0 e 3 = 1( e e + 0( e 1 + e + 0 e 3 Deux sev F 1 et F de E sont dits supplémentaires dans E si E = F 1 F 0 0 1, on vérifie Remarque Par application des définitions de somme et de somme directe de deux sev introduites ci-dessus, on obtient : { E = F1 + F x E, ( x 1, x F 1 F tel que x = x 1 + x F 1 F la décomposition x = x 1 + x est unique, donc E = F 1 F x E,!( x 1, x F 1 F tel que x = x 1 + x La remarque précédente permet d étendre la définition au cas de n 3 sev F 1, F,, F n de E : E = F 1 F F n x E,!( x 1, x,, x n F 1 F F n, x = x 1 + x + + x n

8 Exemples (a vect{ e 1 } vect{ e } vect{ e 3 } = R 3 (b vect{ e 1 } vect{ e 1 + e } vect{ e + e 3 } = R 3 (c R n [X] = n i=1 vect{xi } Base d un espace vectoriel Soit E un K-ev 1 Famille génératrice Une famille F = ( f i i I de vecteurs de E est dite génératrice de E si : E = vect(f Cela revient à dire que tout vecteur u de E peut se mettre sous la forme d (au moins une CL de vecteurs de F : x E, J I finie et λ j K, j J, tel que x = j J λ j fj Exemple (a Pour tout n 1, {1, X, X,, X n } est une famille génératrice de R n [X] (b {X(X 1, X(X, (X 1(X } est une famille génératrice de R [X] (c {X(X 1, X(X, (X 1(X, X(X 3} est également une famille génératrice de R [X] Exercice Trouver une famille génératrice de R[X] Propriétés (a Toute famille contenant une famille génératrice de E est génératrice de E (b Toute famille extraite d une famille non génératrice de E n est pas génératrice de E Remarque On( choisit K = R et E = R Pour ( tout vecteur de( u de R, il existe x et y dans x 1 0 R tels que u = C est donc une CL de e y 1 = et e 0 =, puisque u = x e y e Cela montre que R( = vect{ e 1, e }, c est-à-dire que { e 1, e } est une famille génératrice de R Remarquons que u = = (x y e x y 1 + y( e 1 + e, et donc que { e 1, f } est également une famille }{{} f génératrice de R Tout comme { e 1, f, e 1 e }{{} f 3 } d ailleurs, puisque u = x e 1 + y f y f 3 Mais, on a aussi u = (x y e 1 + y f + 0 f 3, donc u ne se décompose pas de façon unique sur la famille { e 1, f, f 3 } Cela vient de ce que f 3 est CL de e 1 et f, car f 3 = e 1 f Afin d éliminer les vecteurs inutiles du type de f 3, on introduire mainteanant la notion d indépendance linéaire Indépendance linéaire Une famille { f i, i I} de vecteurs de E est dite libre (dans E si elle satisfait l implication suivante : Pour tout sous-ensemble fini J de I, λ j K, j J, λ jfj = 0 E = ( j J, λ j = 0 j J De façon équivalente, on dit que les vecteurs f i, i I, sont linéairement indépendants

9 S il existe au contraire un nombre fini de scalaires λ i1, λ i,, λ ip (avec i 1, i,, i p I non tous nuls tels que fis = 0 E, s=1 λ is on dit que la famille { f i, i I} est liée (dans E Cela revient à dire que l un de ses vecteurs, fis, est une CL des vecteurs de la famille { f is, 1 s p, s s } Exemples (a Si l on reprend le cas du R-ev R et les notations de l exemple précédent, la famille { e 1, f, f 3 } est liée car e 1 f f 3 = 0 Par contre, { e 1, e } est une famille libre, car pour tout λ et µ dans R, on a : ( (( ( λ 0 λ e 1 + µ e = 0 = = = (λ = µ = 0 µ 0 (b Les familles {sin, cos}, {sin, exp} et {sh, exp} sont libres dans le R-ev E des fonctions de R dans R, noté F(R; R Par contre la famille {sh, exp, 1/ exp} est liée dans E Propriétés (a Toute famille qui contient 0 E est liée (b Toute famille contenant une famille liée est liée (c Toute sous-famille d une famille libre est libre 3 Base Une famille B de vecteurs de E est une base de E si c est une une famille libre et une famille génératrice de E Propriété fondamentale Dans une base B = { e i, i I} de E, tout vecteur de E se décompose de façon unique en une CL de vecteurs de B : x E,!J I et (x j j J K J, x = j J x j e j Vocabulaire Les scalaires x j, j J, sont appelés coordonnées ou composantes de x dans la base B Exemples (a { e 1, e } est une base de R (on l appelle base canonique de R, ce qui n est pas le cas de { e 1, f, f 3 } car cette famille est liée (b Pour tout n 1, B n = {1, X, X,, X n } est une base de R n [X] (c B = {1, X, X, } est une base de R[X] Propriétés (a Toute sous-famille stricte d une base n est pas génératrice (ie une base est une famille génératrice minimale (b Toute sur-famille stricte d une base est liée (ie une base est une famille libre maximale 3 Dimension 31 Définitions Un K-ev E sera dit de dimension finie s il possède une famille génératrice finie Dans la cas contraire il sera dit de dimension infinie

10 Exemple Pour tout n N, R n [X] est de dimension finie puisque {1, X, X,, X n } est une famille génératrice (à n + 1 éléments de R n [X] Par contre R[X] ne possède aucune famille génératrice finie donc est de dimension infinie On a par ailleurs le théorème (admis essentiel suivant : Théorème 31 Tout ev possède au moins une base Propriété Dans un ev de dimension finie E, toutes les bases ont même nombre d éléments, appelé dimension de E et notée dim E Conséquence Si dim E = n 1, pour montrer que la famille à n vecteurs B = { e i, i I} est une base de E, il suffit de vérifier que : (i soit B est libre (ii soit B est génératrice Exercice Soient n 1 et a 0 < a 1 < < a n des réels Pour chaque 0 i n, on définit ième polynôme d interpolation de Lagrange (x a j P i (x = 0 j n j i 1 j n j i (a i a j Montrer de deux façons différentes que {P i, 0 i n} est une base de R n [X] Remarque E désignant toujours un K-ev de dimension n (éventuellement infinie, on vérifie que : (i Toute famille génératrice de E possède AU MOINS n éléments (ii Si la dimension n est finie, toute famille génératrice de E comportant n vecteurs est une base de E (iii Toute famille libre de E possède AU PLUS n éléments (iv Si la dimension n est finie, toute famille libre de E comportant n vecteurs est une base de E 3 Dimension d un sev On suppose que dim E = n est finie et que F est un sev de E Toute famille de vecteurs de F qui est libre dans F est a fortiori libre dans E Le nombre de vecteurs de F linéairement indépendants dans F est donc toujours inférieur ou égal à dim E Soit { f 1,, f p } une famille libre maximale de vecteurs de F D après ce qui précède, on a p dim E Ensuite, pour tout vecteur f F, la famille { f 1,, f p, f} est liée donc il existe p + 1 scalaires λ 1,, λ p, λ non tous nuls tels que λf + λ 1f1 + + λ pfp = 0 E Comme { f 1,, f p } est libre on a forcément λ 0, et donc : f = λ 1 f λ 1 λ p f λ p, ce qui montre que { f 1,, f p } est une famille génératrice de F Par suite, dim F = p dim E Supposons maintenant que dim F = dim E Alors la famille { f 1,, f n } qui est libre dans F est libre dans E donc c est une base de E et donc une famille génératrice de E, ce qui montre que E F et donc que E = F grâce à l inclusion réciproque Propriété Si dim E est finie alors pour tout sev F de E, on a : (a dim F dim E (b dim F = dim E = F = E

11 Rang Le rang d une famille F de vecteurs de E, noté rg F, est la dimension du sev engendré par F : rg F = dim (vect F Vu ce qui précède, on a toujours rg F dim E et (rg F = dim E (vect F = E 33 Théorème de la base incomplète Soit E un ev de dimension finie n Commençons par faire la remarque suivante : Remarque Si { f 1,, f p } une famille libre dans E et que p < n, alors il existe g E tel que { f 1,, f p, g} est une famille libre dans E En effet, dans le cas contraire tout vecteur de E serait CL des vecteurs f 1,, f p donc { f 1,, f p } serait une famille génératrice et donc une base de E, ce qui impliquerait p = dim E = n, ce qui est faux par hypothèse Ainsi partant d une famille libre { f 1,, f p } à p < n = dim E éléments, il est toujours possible selon la remarque précédente d ajouter des vecteurs à cette famille tout en conservant la propriété d indépendance linéaire Ceci jusqu à ce que le nombre total de veceturs obtenus soit égal à n On construit ainsi une famille libre dans E dont la cardinalité est égale à dim E : c est une base de E Ce qui démontre le : Théorème 3 Toute famille libre { f 1,, f p }, p < n dans l ev E de dimension n peut être complétée en une base de E 34 Dimension de la somme de sev Proposition 31 Si F 1 et F sont deux sev d un ev de dimension finie E alors dim(f 1 + F = dim F 1 + dim F dim(f 1 F Pour démontrer cette proposition, on considère une base F = { f 1,, f p } de F 1 F Comme F est une famille libre de F 1, le théorème 3 garantit l existence de q vecteurs g 1,, g q de F 1 tels que { f 1,, f p, g 1,, g q } est une base de F 1 De même, il existe r vecteurs g 1,, g r de F complétant F en une base { f 1,, f p, g 1,, g r} de F Par suite B = { f 1,, f p, g 1,, g q, g 1,, g r} est une famille génératrice de F 1 + F Afin de montrer qu elle est libre, considérons la CL nulle suivante q r λ ifi + α i g i + β ig i = 0 E, les λ i, α i et β i correspondants étant pris dans K On a donc q λ ifi + α i g i = i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 r β ig i Le membre de gauche de cette égalité appartenant à F 1 et celui de droite à F, on a forcément p i=1 λ i f i + q i=1 α i g i F 1 F donc il existe p scalaires µ 1,, µ p tels que soit de façon équivalente λ ifi + i=1 q α i g i = i=1 (λ i µ i f i + i=1 i=1 µ jfj, j=1 q α j g j = 0 E j=1 Or { f 1,, f p, g 1,, g q } est une famille libre de E donc λ i = µ i, 1 i p, et α j = 0, 1 j q De manière identique on démontre en considérant le vecteur p i=1 λ if i + r j=1 β jg j que tous les β j, 1 j r, sont nuls Ceci entraîne immédiatemment que λ i = 0 pour tout 1 i p (puisque p i=1 λ if i = 0 E et que F est une famille libre et prouve ainsi que les veceturs de B sont linéairement indépendants

12 Cas particulier de deux sev supplémentaires Dans le cas où F 1 F, on a F 1 F = { 0 E } par définition donc dim F 1 F = 0, ce qui permet de simplifier la formule précédente : dim(f 1 F = dim F 1 + dim F Conséquence : existence d un supplémentaire sev de E, il existe toujours G sev de E tel que E désignant toujours un ev de dimension finie et F un F G = E 4 Matrices 41 Définition Une matrice M est un tableau à n 1 lignes et p 1 colonnes, d éléments de K Si l on note m i,j l élément de cette matrice situé à l intersection de i ième ligne et de la j ième colonne, on obtient : m 1,1 m 1, m 1,j 1 m 1,j m 1,j+1 m 1,p m,1 m, m,j 1 m,j m,j+1 m 1,p M = (m i,j 1 i n = m i 1,1 m i 1, m i 1,j 1 m i 1,j m i 1,j+1 m i 1,p 1 j p m i,1 m i, m i,j 1 m i,j m i,j+1 m i,p m i+1,1 m i+1, m i+1,j 1 m i+1,j m i+1,j+1 m i+11,p m n,1 m n, m n,j 1 m n,j m n,j+1 m n,p Lorsque la ligne i et la colonne j ne sont pas spécifiées, m i,j s appelle le terme général de la matrice M L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes (appelées plus simplement matrices (n, p dans la suite dont les éléments appartiennent à K est noté M n,p (K Lorsque n = p, toute matrice de M n,p (K a autant de lignes de que colonnes : on parle alors de matrice carrée et on note M n (K à la place de M n,n (K 4 Exemples 0 0 Matrice nulle C est une matrice (n, p dont tous les termes sont nuls : M = 0 0 Matrice colonne C est une matrice (n, 1 : M = m 1,1 m i,1 m n,1 Matrice ligne C est une matrice (1, p : M = ( m 1,1 m 1,j m 1,p Matrice triangulaire inférieure (resp supérieure C est une matrice carrée (n, n dont tous les éléments situés au dessus (resp en dessous de la diagonale sont nuls : m 1, m 1,1 m 1, m 1,n 1 m 1,n m,1 m, m, m,3 m,n M = (resp M = m n 1,1 m n 1, m n 1,n m n 1,n 1 m n 1,n m n,1 m n, m n,n 1 m n,n m n,n

13 Matrice diagonale C est une matrice (carrée triangulaire inférieure et supérieure Tous ses termes non diagonaux sont donc nuls : m 1, m, 0 0 D = 0 0 m n 1,n m n,n Matrice identité C est une matrice diagonale (notée I n lorsqu elle a n lignes dont tous les termes diagonaux valent 1 : I = Remarque Le scalaire λ est une matrice (1, 1 43 Opérations sur les matrices 431 Multiplication par un scalaire et addition Soient n et p deux entiers naturels non nuls Multiplication par un scalaire Soit M une matrice de M n,p (K, de terme général m i,j Pour tout λ K, on définit la matrice λm comme l unique matrice (n, p dont le terme général est λm i,j Autrement dit : M = (m i,j 1 i n 1 j p M n,p (K, λ K, λm = (λm i,j 1 i n 1 j p Addition Soient M = (m i,j 1 i n 1 j p et S = (s i,j 1 i n 1 j p deux matrices de M n,p (K Alors, la somme des matrices M et S est la matrice (n, p dont le terme général est m i,j + s i,j Autrement dit : M = (m i,j 1 i n M n,p (K, S = (s i,j 1 i n 1 j p 1 j p M n,p (K, M + S = (m i,j + s i,j 1 i n 1 j p Comme l addition est commutative dans K, il résulte de la définition précédente qu elle l est également dans M n,p (K : (M, S M n,p (K M n,p (K, M + S = S + M Remarque On ne peut additionner deux matrices que si celles-ci ont même nombre de lignes et même nombre de colonnes Ainsi, S appartenant à M n,p (K, la matrice S = ( 1S est également dans M n,p (K, donc, pour toute matrice M M n,p (K, la somme M +( S, notée plus simplement M S a bien un sens On définit ainsi la soustraction dans M n,p (K On vérifie d ailleurs que M M est la matrice nulle de M n,p (K M n,p (K est un espace vectoriel Il est facile de vérifier que la multiplication par un scalaire et l addition qui viennent d être définies, donnent à M n,p (K une struture d ev

14 43 Multiplication matricielle Définition Soient m, n et p, trois entiers naturels non nuls, et A = (a i,j 1 i n 1 j p M n,p (K et B = (b i,j 1 i p M p,m (K Alors, le produit de la matrices A par la matrice B est la matrice (n, m dont le 1 j m terme général est : c i,j = a i,1 b 1,j + a i, b,j + + a i,p b p,j = a i,k b k,j (1 Exemple On prend K = R, n =, m = 4 et p = 3 Ensuite : ( A = M 3 4,3 (R et B = Alors : AB = ( k=1 M 3,4 (R = ( La multiplication matricielle est associative On vérifie en effet sans difficulté que : (m, n, p, q (N 4, (A, B, C M m,n (K M n,p (K M p,q (K, (ABC = A(BC La multiplication matricielle n est PAS commutative La multiplication d une matrice A par une matrice B n a de sens que si le nombre de colonnes de A= le nombre de lignes de B Ainsi, si A M n,p (K et B M p,m (K, le produit de A par B (qui est bien autorisé définit une matrice (n, m, ce que l on note schématiquement : (n, p (p, m (n, m Par conséquent, si m n, le produit BA n est pas défini (et on n a aucune chance d avoir AB = BA Mais, si n = m, la matrice BA est une matrice (p, p, donc pour qu elle puisse être égale à AB, il est nécéssaire que n = m = p, c est-à-dire que A et B soient deux matrices carrées de même taille Pourtant, même sous cette hypothèse, il n est pas certain que AB soit égale à BA, comme le montre le contre-exemple suivant : ( ( = ( alors que ( ( = ( Elément neutre de la multiplication dans M n (K On vérifie facilement que la matrice identité I n est élément neutre pour la multiplication dans M n (K C est-à-dire : M M n (K, MI n = I n M = M 5 Application linéaire et représentation matricielle Soient E un K-ev de dimension p 1 et F un K-ev de dimension n 1 Soient ensuite B = ( e 1, e,, e p une base de E et C = ( f 1, f,, f n une base de F Tout vecteur x de E se décompose de façon unique sur la base B : il existe un unique n-uplets (x 1, x,, x p de K p tel que x = x 1 e 1 + x e + + x p e p = x k e k La matrice colonne X = x 1 x x p k=1 M p,1(k des coordonnées de x dans la base B décrit donc complètement x C est pourquoi, on identifie parfois x E à la matrice X de ses coordonnées dans la base B, ce qui

15 revient en fait à identifier E à M p,1 (K, ou E à K p Ainsi, si M est une matrice (n, p, on utilisera parfois la notation M x (qui n a pas de sens, rigoureusement à la place de MX (qui, elle, est un produit matriciel (n, p (p, 1 parfaitement défini Considérons maintenant une application linéaire ϕ de E dans F : c est-à-dire une application ϕ : E F qui vérifie : ( u, v E, (λ, µ K, ϕ(λ u + µ v = λϕ( u + µϕ( v Pour tout k {1,,, p}, ϕ( e k est un vecteur de F En notant (m 1,k, m,k,, m n,k les cordonnées de ϕ( e k dans la base C, on a donc : ϕ( e k = m 1,k f1 + m,k f + + m n,k fn = n m j,kfj ( Notons maintenant M la matrice de M p,n (K obtenue en écrivant en colonnes les vecteurs ϕ( e 1, ϕ( e,, ϕ( e p dans la base C : ϕ( e 1 ϕ( e ϕ( e p M = m 1,1 m 1, m 1,p m,1 m, m,p m n,1 m n, m n,p Cette matrice, généralement notée mat(ϕ; B, C, s appelle matrice de ϕ dans les bases B (au départ et C (à l arrivée ( Ensuite, comme ϕ est linéaire, on a : y = ϕ( x = ϕ x k e k = x k ϕ( e k Donc, en tenant compte de (, il vient ensuite : y = k=1 x k k=1 n m j,kfj = j=1 Notons maintenant Y la matrice colonne Y = y 1 y y n k=1 j=1 f 1 f f n n m j,k x k f j (3 k=1 }{{} y j j=1 M n,1(k des coordonnées de ϕ( x dans la base C Alors, il résulte de la définition (1 du produit matriciel, et de l expression des y j, 1 j n, trouvée dans (3 que : Y = MX Autrement dit, pour trouver les coordonnées dans la base C de l image par ϕ d un vecteur x de E, il suffit de multiplier la matrice mat(ϕ; B, C par la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B : 6 Inversion matricielle 61 Inversibilité y = ϕ( x Y = MX y = ϕ( x = M x Définition Soit M M n (K une matrice carrée de taille n 1 On dit que M est inversible dans M n (K, s il existe une matrice de M n (K notée généralement M 1, telle que : MM 1 = M 1 M = I n Une telle matrice M 1, si elle existe, est unique, et s appelle inverse de M dans M n (K

16 ( 1 1 Exemple La matrice M = 1 ( ( est inversible, d inverse M 1 = = ( ( = ( ( , car on a : = I Remarque Par définition, pour qu une matrice M soit inversible, il est nécessaire qu elle soit carrée Néanmoins, ce n est pas une condition suffisante d inversibilité, même si la matrice considérée est non nulle Pour le voir, remarquons d abord que toute matrice M M n (K pour laquelle il existe un vecteur u non nul de K n satisfaisant M u = 0 K n, n est pas inversible En effet, dans le cas contraire,on aurait : M 1 (M u = M 1 0 K n, }{{}}{{} (M 1 M u 0 K n donc, comme (M 1 M u = I n u = u, le vecteur ( u serait nul, ce qui est contraire aux hypothèses 1 1 Ainsi par exemple, la matrice carrée M = est non nulle, mais elle n est pas inversible pour autant 1 1 ( 1 car M = 0 1 R En fait, on peut caractériser les matrices inversibles grâce au théorème suivant : Théorème 61 Une matrice M de M n (K, n 1, est inversible, si et seulement si l unique vecteur u K n satisfaisant M u = 0 K n est le vecteur 0 K n A l aide de ce résultat, on montre facilement que toute matrice triangulaire (inférieure ou supérieure est inversible, si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls Conséquence Toutes les matrices non nulles de M n (K n étant pas forcément inversibles lorsque n, il faut prendre garde au fait ( que l on peut y trouver A et B toutes les deux non nulles et telles que 0 0 AB = 0 Mn(K Ainsi, A = est non nulle mais A 1 0 = 0 M(K 6 Calcul de l inverse d une matrice : méthode du pivot de Gauss Soit M une matrice de M n (K, où n 1 Pour tout i {1,,, n}, on note L i la i ième ligne de la matrice M : m 1,1 m 1, m 1,n L 1 m,1 m, m,n L Opérations sur les lignes de M de la matrice M : (m : M = m n,1 m n, m n,n L n On définit trois types d opérations sur les lignes L i, i {1,,, n}, multiplication d une ligne L i par un scalaire λ non nul, notée L i λl i (on remplace la ligne L i = (m i,1, m i,,, m i,n par λl i = (λm i,1, λm i,,, λm i,n ; (p : permutation des lignes L i et L j, i j, notée L i L j ; (a : ajout de la ligne L j à la ligne L i, pour i j, notée L i L i + L j En combinant les opérations (m et (a, on peut notamment effectuer des manipulations du type pour tous i j, λ K (λ non nul et µ K (cl : L i λl i + µl j,

17 Description de la méthode L objectif de la méthode est de transformer la matrice M en la matrice I n à l aide des seules opérations (m, (p et (a, ou, ce qui revient au même, à l aide de (p et de (cl Dans la suite, afin d alléger les notations, les différentes matrices obtenues à partir de M par application de ces opérations seront encore notées M La méthode (dite du Pivot de Gauss procède comme suit : si m i,1 = 0 pour tout i {1,,, n} (la première colonne de M est nulle, M n est pas inversible, et c est réglé ; sinon, il existe au moins un indice i 0 {1,,, n} tel que m i0,1 0 Quitte à permuter L 1 et L i0 (L 1 L i0, on peut supposer que m 1,1 0 On effectue alors les opérations suivantes : 1 L 1 1 m 1,1 L 1, ce qui impose m 1,1 = 1 ; L j L j m j,1 L 1, pour tout j {, 3,, n}, ce qui remplace tous les termes de la première colonne de M, à l exception du premier d entre eux, par 0 La matrice M transformée devient ainsi : On passe ensuite à la deuxième colonne : si m i, = 0 pour tout i {,, n} (tous les termes de la deuxième colonne situés en dessous de m 1, sont nuls, alors la matrice M n est pas inversible, et c est fini ; sinon, quitte à permuter L avec une ligne L i0 pour un indice i 0, on peut supposer que m, 0 On effectue alors les opérations suivantes : (a L 1 m, L, ce qui impose m, = 1 ; (b L j L j m j, L, pour tout j, ce qui remplace tous les termes de la deuxième colonne de M, à l exception du deuxième d entre eux, par 0 A ce stade, la matrice M est devenue : Et ainsi de suite Dans le même temps, toutes les opérations effectuées sur M en vue de la transformer en la matrice identité doivent être reportées à l identique sur la matrice I n Si l on parvient effectivement à transformer M en la matrice I n avec cette méthode, M est inversible, et la matrice obtenue en reportant toutes ces opérations sur I n est alors M 1

18 Exemple matrice I 3 = La matrice à inverser est On applique la méthode de Gauss en partant de la Les étapes du calcul se présentent comme suit : L L L 1 L 3 L 3 L L L 3 L 1 L L 1 L L 1 L 1 L L 3 L 3 L 1 L 1 3 L 3 L L + 1 L 3 La matrice M est donc inversible, et son inverse est M 1 = Application à la résolution de systèmes linéaires n n Soit le système linéaire à n équations, et n inconnues x 1, x,, x n suivant : a 1,1 x 1 + a 1, x + a 1,n x n = b 1 a,1 x 1 + a, x + a,n x n = b (S a n,1 x 1 + a n, x + a n,n x n = b n, où les a i,j et b j, 1 i, j n, sont donnés b Posons alors A = (a i,j 1 i,j n, B = b 1 b n et X = x 1 x x n Avec ces définitions, il est clair que

19 (x 1, x,, x n est solution du système linéaire (S si et seulement le vecteur des inconnues, X, satisfait : AX = B Par suite, lorsque A est inversible, le système (S possède une unique solution, à savoir X = A 1 B, et ceci, quel que soit le second membre B de (S Exemple Quels que soient b 1, b et b 3, le système linéaire x 1 + x + x 3 = b 1 x 1 + x = b x 1 + 3x 3 = b 3, admet une unique solution : x 1 x x 3 = b 1 b b 3 = b 1 b b 3 = 1 3b 1 + 3b + b 3 3b 1 b b 3 b 1 b