TRANSFORMATION DE LAPLACE

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1 Ediion 3-30/09/208 TRANSFORMATION DE LAPLACE CHAÎNE D INFORMATION ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE CHAÎNE D ENERGIE ACTION Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com /9

2 Sommaire Ediion 3-30/09/208 Sommaire A. Inroducion! 3 A..Définiion 3 A.2.Proriéés 3 A.2.. Linéarié A.2.2. Transformée de Lalace d une dérivée e d une rimiive A.2.3. Changemen d échelle A.2.4. Théorème du reard A.2.5. Théorème de la valeur iniiale A.2.6. Théorème de la valeur finale A.2.7. Aures roriéés uiles A.3.Signaux usuels 5 A.3.. Echelon unié A.3.2. Rame (échelon de viesse) A.3.3. Imulsion de Dirac (imulsion uniaire) A.3.4. Signal sinusoïdal A.3.5. Signal quelconque B. Foncion de ransfer (inroducion)! 7 B..Définiion 7 B.2.Exemle d alicaion 8 B.2.. Mise en siuaion e équaions dans le domaine réel B.2.2. Equaions dans le domaine symbolique e foncion de ransfer B.2.3. Résoluion de l équaion C. Table des ransformées de Lalace! 9 Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 2/9

3 A. Inroducion Inroducion Ediion 3-30/09/208 La ransformaion de Lalace erme une rès grande simlificaion des soluions mahémaiques recherchées. Les roblèmes qui son osés en Sciences Indusrielles de l Ingénieur son caracérisés ar des foncions du ems. La ransformaion de Lalace ransosera ces roblèmes du domaine réel foncion du ems en roblèmes d un domaine symbolique où la variable ne sera lus le ems mais une variable symbolique. A oue foncion f() dans le monde réel corresondra une foncion F() dans le monde symbolique. Ce assage du monde réel au monde symbolique es défini ar la ransformée de Lalace. A.. Définiion On considère une foncion réelle s() elle que s() = 0 our < 0 On aellera ransformée de Lalace L(s) la foncion S( ) elle que : S() = s()e d 0 + Cee foncion S() es une foncion comlexe d un variable comlexe = τ + jω A.2. Proriéés A.2.. Linéarié La ransformée de Lalace es une foncion linéaire : L(α f + βg) = α L( f ) + βl(g) A.2.2. Transformée de Lalace d une dérivée e d une rimiive A Dérivée On considère une foncion f () e sa ransformée de Lalace L( f ) = F() La ransformée de Lalace de sa dérivée es : df d F() f (0) Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 3/9

4 On monre que la ransformée de la dérivée seconde a our exression : d 2 f d 2 2 F() f (0) f ʹ(0) Inroducion Ediion 3-30/09/208 Dans le cas ariculier fréquen où les condiions iniiales son oues nulles, on ourra alors écrire que : df d F() d n f d n n F() A Primiive On considère une foncion f () e sa ransformée de Lalace L( f ) = F() On noe P() une rimiive de f () La ransformée de Lalace de la rimiive de f () es : f ()d F() + P(0) Dans le cas ariculier fréquen où la condiion iniiale de la rimiive es nulle, on ourra alors écrire que : f ()d F() A.2.3. Changemen d échelle f (k) kf() A.2.4. Théorème du reard Inroduisons un reard τ, c es-à-dire un décalage de ems, à la foncion f : f () f ( τ ) τ Alors la ransformée de Lalace de cee foncion avec reard s exrime ar : f ( τ ) F()e τ Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 4/9

5 A.2.5. Théorème de la valeur iniiale Le héorème de la valeur iniiale erme de déerminer la limie lim 0 + f () : lim 0 + f () = lim + [ F() ] Inroducion Ediion 3-30/09/208 A.2.6. Théorème de la valeur finale Le héorème de la valeur finale erme de déerminer la limie lim + f () : lim f () = lim F() + 0 [ ] A.2.7. Aures roriéés uiles e a f () F( + a) f () df d f () 0 + F( )d A.3. Signaux usuels A.3.. Echelon unié u() L'échelon unié es une foncion u() elle que : u() = 0 our < 0 u() = our 0 Alors! u() U() = Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 5/9

6 u() A.3.2. Rame (échelon de viesse) Inroducion Ediion 3-30/09/208 La rame es l inégrale de l échelon unié. Elle es elle que : u() = 0 our < 0 u() = v our 0 Alors! u() U() = 2 δ () A.3.3.Imulsion de Dirac (imulsion uniaire) La rame es cee fois la dérivée de l échelon unié. Elle es elle que : δ () = 0 our 0 δ () = our 0 Alors! δ () Δ() = A.3.4. Signal sinusoïdal On considère un signal sinusoïdal s() el que : s() = 0 our 0 s() = sin(ω +ϕ) our 0 Alors sa ransformée de Lalace vau : S() = sinϕ + ω cosϕ 2 + ω 2 On reiendra esseniellemen les cas ariculiers : s() = sinω S() = 2 + ω 2 s() = cosω S() = ω 2 + ω 2 A.3.5. Signal quelconque Pluô que de revenir à la définiion de la ransformaion de Lalace, on uilisera les ables de ransformées de Lalace (voir en annexe de ce cours). Cee able erme de déerminer la ransformée de Lalace d un signal dans le domaine emorel, mais égalemen la ransformée inverse. Cee able ne conien évidemmen as oues les foncion, mais la décomosiion en élémens simles de fracions raionnelles ermera de se ramener à des comosiions simles. Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 6/9

7 Foncion de ransfer (inroducion) Ediion 3-30/09/208 B. Foncion de ransfer (inroducion) B.. Définiion On considère un sysème linéaire régi ar une équaion différenielle mean en relaion l enrée e() du sysème e sa sorie s() : d n s a n d a ds n d + a s() = b d n e 0 n d b de n d + b e() 0 La ransformée de Lalace de cee équaion donne : a n n S() a S() + a 0 S() = b n n E() b E() + b 0 E() Les dérivées se son ransformées en uissance nièmes de la varaible symbolique, e on eu alors facoriser S() e E() : [a n n a + a 0 ]S() = [b n n b + b 0 ]E() soi :!! H () = S() E() = [b n n b + b 0 ] [a n n a + a 0 ] H () es aelée foncion de ransfer du sysème. Il s agi d une fracion raionnelle de deux olynômes de la variable comlexe. Cee fracion raionnelle eu ensuie se facoriser comme sui : H () = b m ( z m )( z m )...( z ) a m ( m )( m )...( ) Les ermes z i qui annulen le numéraeur son aelés zéros de la foncion de ransfer. Les ermes i qui annulen le dénominaeur son aelés ôles de la foncion de ransfer. Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 7/9

8 Foncion de ransfer (inroducion) Ediion 3-30/09/208 B.2. Exemle d alicaion B.2.. Mise en siuaion e équaions dans le domaine réel e() R L s() On considère le circui élecrique ci-conre. On alique en enrée une rame e() = 3, e on cherche à déerminer l exression de la sorie s() e() Ce sysème es régi ar les équaions suivanes : e() = Ri() + s() i() = C ds soi : RC ds + s() = e() d d B.2.2. Equaions dans le domaine symbolique e foncion de ransfer Ecrivons cee équaion dans le domaine symbolique, en noan S() e E() les ransformées de Lalace de s() e e() : RCS() + S() = E() D où on ire l exression de la foncion de ransfer de ce sysème : H () = RC + B.2.3. Résoluion de l équaion L enrée aliquée es une rame, qui a our ransformée de Lalace E() = 3 2 On en dédui alors l exression de S() : S() = H ()E() = 3 2 RC + ( ) Or la able des ransformées de Lalace indique que la ransformée inverse de U( ) = s() = a + e a a. D où l exression de s() recherchée : s() = 3 RC + e RC 2 + a ( ) es Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 8/9

9 Annexe : Tables des ransformées de Lalace Ediion 3-30/09/208 C. Table des ransformées de Lalace Foncion emorelle (Domaine réel) u() = Transformée de Lalace (Domaine symbolique) U() = s() = = v() = k U() = k 2 s() = n U() = n! n+ s() = e a U() = + a s() = e a U() = ( + a) 2 s() = e a U() = s() = e a e b U() = s() = a + e a a U() = b a b e a a a b e b U() = s() = e a ae a U() = s() = sinω U() = s() = cosω U() = + a ( ) b a + a ( )( + b) 2 + a ( ) ab + a ( )( + b) a 2 ( ) 2 + a ω 2 + ω ω 2 ω s() = e a sinω U() = ( + a) 2 + ω 2 + a s() = e a cosω U() = ( + a) 2 + ω 2 Lycée Jules Ferry Cannes as.julesferry.cannes@gmail.com 9/9