Exercice 7. Soitf : R R + croissante telle que. Montrer que. Exercice 8. b. lim(f(x 0 +h) f(x 0 h)) = 0. lim. Exercice 3.

Transcription

1 Mahémaiques Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Eercice Eercice 5 Soi(u n) n 0 R N elle que les suies (u n) n 0, (u n+) n 0 e (u 3n) n 0 convergen Prouver que(u n) n 0 converge Eercice On considère la suie(u n) n définie par u n = Å ã n Monrer que la suie (u n) n es monoone e qu elle es convergene Éablir une majoraion de la forme n N : u n cu n +ε n, où c > 0 e n ε n = 0 En déduire la ie de (u n) n Soif : R R + croissane elle que Monrer que Eercice 6 (f() f()) = f() ln = 0 Soi f une foncion définie au voisinage d un poin 0 Comparer les deu propriéés suivanes : a (f( 0 +h) f( 0)) = 0 b (f( 0 +h) f( 0 h)) = 0 Eercice 7 Soienk R eh > 0 Déerminer Eercice 8 ± k / h Calculer π 4 sin()cos() an() Eercice 3 Soien e H n = n k= k Monrer que (H n) n es croissane Quelle alernaive en dédui-on quan au comporemen asmpoique de(h n) n? Monrer que n, H n H n Décrire le comporemen de(h n) n Eercice 4 Soien p e q deu réels sricemen posiifs els que p+q = ep > q Soien(u n) n N e(v n) n N deu suies de réels elles que ß un+ = pu n + qv n n N, v n+ = pv n + qu n Monrer que les suies (u n) n N e (v n) n N son adjacenes Calculer la ie commune de (u n) n N e(v n) n N Eercice 9 Calculer + 0 Eercice 0, 0 ( ++ ) Proposiion Soi f : [0, + [ K coninue On suppose que (f(+) f()) = 0 Alors f()/ = 0 a Démonrer la proposiion b Es-ce que la proposiion rese valable si on prend pour hpohèse (f(+) f()) = 0? c La réciproque de la proposiion es-elle valable? d Soi l R Monrer qu on peu généraliser la proposiion de la manière suivane : (f(+) f()) = l = f()/ = l e Soi f : (R +, ) (R,+) un homomorphisme coninu de groupes Monrer que f() = f() = 0 0 Conséquence : pour monrer que ln()/ = 0ln() = 0 il suffi de savoir que le le logarihme es coninu e ransforme les produis en sommes wwwmahomancom

2 Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Soluions Soluion Noons l,l el 3 les ies respecives des suies : (u n) n N, (u n+) n N e (u 3n) n N La suie de erme générale u 6n éan eraie de (u 3n) n 0 mais égalemen de (u n) n 0, elle converge vers l 3 e l, l 3 = l par unicié de la ie De même, la suie de erme générale u 6n+3 éan eraie de (u 3n) n 0 mais égalemen de(u n+) n 0, elle converge versl 3 el, l 3 = l par unicié de la ie Ainsil = l e, d après le cours,(u n) n 0 converge Soluion Puisqueu = eu = calcule pour oun N : u n u n+ = n ( = n n+ = ï n+ n ï n+ n Ä + ä < (+) = u la suie(un) n doi êre décroissane si elle es monoone On Å ã n+ )Å ã Å ã Å n ã n n }{{} n fois Å + ã (n+) n+ n+ = n+ n+ ï n n+ > 0 Donc la suie (u n) n es décroissane e, puisqu elle es minorée par 0, elle converge vers une iel 0 La sous-suie de erme généralu n es encore convergene de iel Pour oun N : u n = Å ã = un n n + Å ã n n+ n un + Å ã n n+ n+ n+ } {{ } n fois = un + n+ En passan à la ie dans cee inégalié on obienl l/, l 0 On en dédui quel = 0 Soluion 3 Pour oun, H n+ H n = n+ > 0, la suie (H n) n es donc croissane On en dédui, d après le héorème des suies monoones, qu elle es soi majorée e convergene, soi non majorée e end vers + avec n Pour oun, or n+ k n, H n H n = k n, n k=n+ k, H n H n n k=n+ n = n n = On monre que H n end vers + par l absurde : supposons le conraire, d après le résula de la quesion, (H n) n es donc convergene de ie l R La suie eraie(h n) n converge aussi versl, par passage à la ie dans l inégalié obenue à la quesion : ce qui es absurde Ainsi, 0, H n = + n + wwwmahomancom

3 Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Soluion 4 Posons β n = u n v n pour ou n 0 On a alors n 0, β n+ = (p q)β n, c es-à-dire la suie (β n) n N es géomérique de raison p q Puisquep+q = e0 < q < p, on a0 < p q < e donc la suie (β n) n N es de signe consan es de ie nulle Il rese à prouver que les deu suies (u n) n N e (v n) n N son monoones de sens de variaion conraires On calcule u n+ u n = (p )u n +qv n = qu n +qv n = qβ n, v n+ v n = (p )v n +qu n = qv n +qu n = qβ n Cela monre que le signe de u n+ u n ne dépend pas de n, la monoonie de la suie (u n) n N De même pour Soluion 5 Monrons d abord que pour n N f( ), = n + n 0 Posons u n = f(+ ) f( ) Par hpohèse, n + u n = 0 f( ) u0 +u + +un = + f() n n n f( ) Le lemme de Césaro nous di alors que = 0 n + n Soi mainenan ];+ [ Il eise n N el que (v n) n N En plus les deu suies son de sens de variaion conraires car les différences u n+ u n = e v n+ v n son de signes opposés On remarque que la suie de erme général α n = u n +v n es consane Si on noe l la ie commune des deu suies, on a donc par passage à la ie l = u 0 +v 0 l = u0 +v0 < + : il suffi de prendren = 0 f() ln f(n+ ) nln ln ln Or n + quand + e f(n+ ) 0 d après ce nln qui précède Soluion 6 Monrons quea) enraîne b) En remplaçanhpar h dans a), nous avons (f( 0 h) f( 0)) = 0 Donc (f( 0 +h) f( 0 h)) = (f( 0 +h) f( 0) (f( 0 h) f( 0))) = (f( 0 +h) f( 0)) (f( 0 h) f( 0)) = 0 0 = 0 Remarque En fai, la propriéé a) signifie quef es coninue en 0 La propriééb) n enraîne pas en générala), comme le monre le conreemple suivan : on définif surrparf() =, si R ef(0) = 0 Au poin 0 = 0 la foncion f vérifie bien la propriééb) mais pas la propriééa) Remarque Pour le conreemple oue foncion paire e disconinue en0foncionne Soluion 7 Si k = 0, nous avons k 0 On a ( ) ± k / h = 0 Supposons que k h = k h k k h h On a / = / = En effe c es une + conséquence des encadremens suivans, valables pour ous > 0 e < 0 : <, On conclû avec ( ) que k h = k h k k > h h = k h wwwmahomancom 3

4 Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Soluion 8 Il s agi d une ie de pe «0» On rappelle l idée du marquis de L Hôpial qui foncionne rès souven dans ces cas : 0 Lorsque les foncions f eg son dérivables enae lorsqueg (a) 0 on a f() f(a) a g() g(a) = a f() f(a) a g() g(a) a = f (a) g (a) Posons f = sincos Ainsif = (cos sin ) e un simple calcul de dérivaion monre que an = +an On obien Soluion 9 sin()cos() = π an() 4 π 4 f() f( π ) 4 an() an( π ) = f ( π ) 4 an ( π ) = (cos ( π 4 ) sin ( π )) 4 +an ( π ) = 0 + = Généralemen pour calculer des ies faisan inervenir des sommes racines carrées, il es uile de faire inervenir «l epression conjuguée» : a b = ( a b)( a+ b) a+ b = a b a+ b Les racines au numéraeur on «disparu» en uilisan l idenié( )(+)= Appliquons ceci : pour ou >, on a e donc + = ++ + = ++ Il es alors clair que + = 0 par les opéraions usuelles sur les ies Remarque On peu aussi rouver cee ie avec la règle du marquis de L Hôpial On a, pour ou 0, + ++ = ++ + e donc Å ++ ã 0 = Å ++ ã = par les opéraions usuelles sur les ies Soluion 0 a Soiǫ > 0 donné Alors A > 0 > A, f(+) f() < ǫ La foncion coninue f adme un maimum M sur l inervalle [A,A+] B > A > B, M < ǫ Soi mainenan > B arbiraire Noons n la parie enière de A Ainsi on peu écrire = A + n avec A ]A,A+[ en N Par conséquen f() = f(a +n) = f(a )+ n k=0 (f(a +k+) f(a +k)) f(a ) +nǫ M + n ǫ < ǫ+ǫ = ǫ b Oui Pour ou a > 0 la proposiion rese valable avec l hpohèse (f(+a) f()) = 0 Mais aenion, nore preuve ne s adape pas si facilemen à ce cas général! On pourra oujours écrire = A + na mais dans la dernière ligne de la preuve on aura des difficulés à majorern/ Le mieu es de se ramener au cas a = par un changemen de variable Si (f(+a) f()) = 0 alors on poseg() = f(a) de sore que (g(+) g()) = (f(a+a) f(a)) = (f(+a) f()) = 0 On applique donc la proposiion à la foncion g e on rouve f() g(/a) = = a g() = 0 c Non Considérer par eemple f() = cos(π) d Nous adapons nore preuve du cas l = 0 Soiǫ > 0 donné Alors A > 0 > A, f(+) f() l < ǫ La foncion coninue f adme un maimum M sur l inervalle [A,A+] B > A > B, M < ǫ e (A+) l < ǫ wwwmahomancom 4

5 Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Soi mainenan > B arbiraire On peu écrire = A +n avec A ]A,A+[ en N Mainenan nous faisons la même majoraion que dans le cas l = 0 mais cee avec le ermenl f() l = f(a +n) nl+(n )l f(a )+ n k=0 (f(a +k+) f(a +k) l) + (n )l f(a ) +nǫ M + n + A l ǫ+ (A+) l ǫ < 3ǫ e Par coninuié on rouve ( ) + (f(+) f()) = f ( ) + = f = f() = 0 La proposiion implique f() = 0 Pour ou R + on af(/) = f(), f() = 0 f( ) f() = = 0 wwwmahomancom 5