OUTILS MATHEMATIQUES DU TRAITEMENT DES SIGNAUX CERTAINS. Produit de convolution Série de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace

Transcription

1 OUILS MAHEMAIQUES DU RAIEMEN DES SIGNAUX CERAINS Produi de covoluio Série de Fourier rasformée de Fourier rasformée de Lalace raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

2 raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

3 Sommaire. Equaio différeielles liéaires e à coefficies cosas Méhode classique Première hase : équaio sas secod membre Deuxième hase : équaio avec secod membre Produi de covoluio * Défiiio Proriéés de base Pour comredre la covoluio Décomosiio d u sigal ériodique e série de Fourier Défiiio Deuxième forme d écriure de la série de Fourier Écriure sous forme comlexe Quelques décomosiios classiques Sigal carré Sigal riagulaire Ideié de Parseval Sigal carré Sigal riagulaire Calcul d ue rasformée de Fourier (sigaux o-ériodiques Défiiio Quelques décomosiios classiques rasformée de Fourier d ue ore carrée rasformée de Fourier d ue ore riagulaire Proriéés de la rasformée de Fourier Liéarié, symérie : Reard : rasformaio d ue covoluio : Dérivaio, iégraio : rasformaio d u rodui, modulaio :... 4 raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 3/6

4 Faceur d échelle : Calcul d ue rasformée de Fourier iverse rasformée de Lalace Défiiio de la rasformée de Lalace Proriéés de la rasformée de Lalace Liéarié : Reard : Covoluio : Dérivaio : héorème de la valeur iiiale e de la valeur fiale : rasformées de Lalace usuelles L imulsio de Dirac : L échelo de Heaviside : La rame uiaire : L exoeiel comlexe : rasformée de Lalace iverse Défiiio Exemle Exemle d alicaio de la rasformée de Lalace EXERCICES Exemle de rasformée de Fourier Exemle de covoluio Comaraiso ere rodui de covoluio e domaie de Lalace ANNEXE rasformées usuelles de Fourier rasformées usuelles de Lalace... 6 raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 4/6

5 . Equaio différeielles liéaires e à coefficies cosas.. Méhode classique Eq du && { y ( + y & ( { 6 y ( + ème icoue : Ordre y ( Coef Cs... Première hase : équaio sas secod membre ESSM Equaio sas secod membre && y ( + y & ( 6 y ( ( E O recherche la soluio géérale de cee équaio sas secod membre : ( E Equaio caracérisique : r + r ( r ( r + 3 La soluio géérale de de l équaio sas secod membre : y ( Ae. r + Be. Où r e r so les soluios réelles de l équaio caracérisique. r e r 3 y( Ae. + Be. 3 A e B déede des codiios iiiales. r... Deuxième hase : équaio avec secod membre EASM equaio avec secod membre O cherche ue soluio ariculière : && y ( + y & ( 6 y ( + La soluio ariculière es de la même forme que le secod membre : y ( a+ b y &( ae && y ( a 6a 6b + 6a a 6b a b a 6b 3 y ( soluio ariculière de EASM 3 La soluio géérale de l équaio différeielle liéaire à coefficies cosas es : y ( Ae. + Be. 3 A e B déede des codiios iiiales. 3 raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 5/6

6 . Produi de covoluio *.. Défiiio x( y( e : + x(* y( x( τ. y( τ. dτ raieme du sigal.. Proriéés de base - Commuaivié : x(* y( y(* x( - Associaivié : x(* [ y(* z( ] [ x(* y(* ] z( - Uié de covoluio :? u ( x (* u ( u (* x ( x ( L éléme eure es l imulsio de Dirac : u( δ ( - Dérivaio : ( S * ' S'* S * ' L imulsio de Dirac : k f ( k / (éléme eure Surface k O cherche la limie de (.3. Pour comredre la covoluio f lorsque k : δ ( lim f ( k Le rodui de covoluio erme, ar exemle, d obeir la focio de rasfer d u sysème e résea à so erée ue imulsio de Dirac. De maière géérale, o a s h * e e δ s h * δ h. E effe, s ( ( (. O more que si ( (, alors ( ( ( ( + ( h( * δ ( h( x. δ ( x dx h( Preos le rodui de covoluio discre : + + s[] k h[] k * e[] k h[][ i. e k i] h[ k i][]. e i i i Passos ar u filre dérivaeur : s [ k] e[ k] e[ k ] s [ k] h[ ] e[ k] + h[ ] e[ k ] Doc : h [ ] e h [ ] Si : e [ k] d[ k] (Dirac discre alors s [ k] h[ k] alors h [] k d[] k d[ k ] : o rerouve bie les coefficies [ ] h e h [] raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 6/6

7 3. Décomosiio d u sigal ériodique e série de Fourier 3.. Défiiio Soi f la focio -ériodique. Doc IR f ( f ( + D arès Fourier, ou sigal ériodique se décomose e somme ifiie de siusoïde. π π O a alors : f ( a + + ( a cos( + b si( Les a e b so aelés les coefficies de Fourier. a rerésee la valeur moyee du sigal sur ue ériode. α + a f ( d α α + π a f ( cos( d α α+ π b f ( si( d α Nous ouvos choisir la valeur de α arbiraireme, cela di il serai iéressa de faire u choix judicieux. E effe si α o es rameé à calculer ue iégrale sur l iervalle,. Or comme la focio cosius es aire e la focio sius es imaire, suiva la arié de f, les calculs s avère simlifiés. a f ( d a 4 π si f es aire a f ( cos( d si f es imaire a 4 π b f ( si( d b 3.. Deuxième forme d écriure de la série de Fourier O eu aussi écrire la forme récédee de la maière suivae : f ( a ( d cos( π ϕ b avec d arca a + b e ϕ ( + π si a < a 3.3. Écriure sous forme comlexe Les coefficies de Fourier euve aussi s écrire sous forme comlexe. E effe si a + b i c, o a : c f ( e π d e c a raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 7/6

8 + + π π π i Ou ecore : f ( a + ( a cos( + b si( ce Nous ouvos observer le secre de ce sigal (das le domaie fréqueiel à l aide des coefficies de Fourier. + S ( f c. δ ( f 3.4. Quelques décomosiios classiques Sigal carré Soi f la focio de ériode défii ar : f éa ue focio imaire, a a e Par coséque : b b + 4 ( + π si, f ( si, si ou b 4 π si( d.( ( π b 4 π e f ( +.si(( + ( + π Voici la reréseaio de ce sigal das le domaie emorel (ar exemle our : courbe rouge : courbe Bleu : 8 raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 8/6

9 courbe rouge : 5 courbe Bleu : O cosae rès claireme que lus o ajoue des harmoiques au sigal, lus o se raroche du sigal carré que l o souhaie obeir. Voici la reréseaio du sigal das le domaie fréqueielle (oujours our : Nous obeos bie, our ce sigal, u secre discre qui red la valeur de chaque coefficie de Fourier our f/. Nous ouvos observer la fréquece fodameal du sigal : f/ Hz e les harmoiques qui décroisse e / our les coefficies imairs Sigal riagulaire Soi f la focio de ériode défii ar : f ( + si, si, raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 9/6

10 f es aire doc, b, a ( d e 4 π a ( cos( d.( ( E iégra ar aries, o obie le résula suiva : a π Par coséque : a a 4 ( + π + 4 π e f ( + +.cos(( + ( + π Voici la reréseaio de ce sigal das le domaie emorel (ar exemle our : courbe rouge : courbe Bleu : Nous ouvos cosaer que la série coverge rès raideme. E effe avec seuleme ue dizaie d harmoiques, la focio se cofod avec la focio riagulaire que l o souhaiai obeir. Voici la reréseaio du sigal das le domaie fréqueiel (oujours our : raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

11 Nous obeos bie, our ce sigal, u secre discre qui red la valeur de chaque coefficie de Fourier our f/. Nous ouvos observer la fréquece fodameale du sigal : f/ Hz e les harmoiques qui décroisse e /² our les coefficies imairs. O remarque égaleme que our la fréquece f Hz la comosae coiue es bie reréseée (a / Ideié de Parseval L ideié de Parseval ous doe : α + α f ( d + c a + + ( a + b Sigal carré d O a : + π ( + 4 avec O cosae bie que lorsqu o gradi, o se raroche de lus e lus de la valeur recherchée : ici Sigal riagulaire ( d + O a : π ( avec De la même faço que récédemme, la série coverge beaucou lus raideme que our le sigal carré. raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

12 4. Calcul d ue rasformée de Fourier (sigaux o-ériodiques 4..Défiiio O aelle rasformée de Fourier de x la focio f IR, X ( f + x( e iπ f X : IR C défiie ar : De la même faço que récédemme, ous ouvos simlifier ces iégrales e focio de la arié de la focio x. + si x es aire X ( f x( cos(π f d Nous ouvos faire éablir u lie ere la rasformée e la série de Fourier. E effe o eu la voir comme le cas limie de la série de Fourier. Si l o cosidère la focio x -ériodique sur l iervalle [-,] que l o cherche à décomoser e harmoiques de la forme cos( π e si( π, lorsque ed vers + o es ameé à remlacer le aramère discre ar u aramère f coiu aarea à IR. 4.. Quelques décomosiios classiques 4... rasformée de Fourier d ue ore carrée d + si x es imaire X ( f i x( si(π f d Soi x la focio défii ar : si, x( 4 4 ailleurs x es ue focio aire doc X ( f x( cos(π f d si( πf d où X ( f.si c( πf πf + 4 cos(πf d Voici le secre de ce sigal avec : raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

13 raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 3/ rasformée de Fourier d ue ore riagulaire Soi x la focio défii ar : + ailleurs si si x,, ( x es ue focio aire doc ( + cos( cos( ( d f d f x f X π π e iégra ar aries o obie : ( (.si ( si f c f f f X π π π Voici le secre d u sigal riagulaire -ériodique avec :

14 Le secre de cee ore riagulaire ed rès vie vers, les lobs secodaires «s écrase» rès raideme Proriéés de la rasformée de Fourier Liéarié, symérie : [ λ. x( + µ. y( ] λf[ x( ] + F[ y( ] F µ Reard : F πjfτ [ x( τ ] e F[ x( ] rasformaio d ue covoluio : F F [ x( * y( ] F [ x( ] F [ y( ] [ x( * y( ] F x( θ y( θ dθ x( θ y( θ + x + πjfθ πjf ( θ ( θ e dθ. y( θ e d( θ F[ x( ] F[ y( ] e πjf ddθ Dérivaio, iégraio : F ( m [ (] ( ( m x πjf F x( m d F x [ ] ( m [ ] ; ( πj x( F df [ ] m rasformaio d u rodui, modulaio : [ x( y( ] F[ x( ] F[ y( ] F * Faceur d échelle : F α f α [ x( α ] X 4.4. Calcul d ue rasformée de Fourier iverse O a la formule suivae : + iπ x( X ( f e f df raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 4/6

15 5. rasformée de Lalace - Bu : Éude fréqueielle d u sigal coiu. - C es ue focio comlexe d ue variable comlexe 5.. Défiiio de la rasformée de Lalace + F( f(. e. d Remarque : L exloie que la arie du sigal corresoda à >. Gééraleme, L es uilisée que our des sigaux causaux. f (, Sigal causal f ( Uilisé e Auomaique : Isa iiial : Hyohèse : Le sysème es iiialeme au reos (aurelleme ou ar chageme de variable. Exisece : Mahs, covergece de Lalace. ous les sigaux réels o ue rasformaio de Lalace. héorème : Si x( Ae. α alors sa rasformée de Lalace exise si Re( > α Noaio : - L rasformée de Lalace - F( rasformée de Lalace de f ( 5.. Proriéés de la rasformée de Lalace 5... Liéarié : La liéarié red rès bie adaé à l éude des équaios liéaires. L [ λ f ( + µ g( ] λ F( + µ G( 5... Reard : f ( f( τ reard d'ue durée τ raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 5/6

16 f ( f ( τ τ τ [ τ ] { L f( e. F( Oéraio de reard Covoluio : L f(* g( F(. G( [ ] Dérivaio : df ( L F. ( f( d 443 Codiio iiiale E auomaique o cosidère rès souve les codiios iiiales ulles. Il es beaucou lus simle de dériver ou d iégrer das l esace de Lalace que das l esace emorel, surou si o se ramèe à l hyohèse : CI.. Dérivaio : Mulilicaio ar. Iégraio : Divisio ar héorème de la valeur iiiale e de la valeur fiale : héorème de la valeur iiiale : lim f ( lim [ F. ( ] + héorème de la valeur fiale : lim f ( lim [ F. ( ] + Remarque : Le héorème de la valeur fiale rocure e auomaique rès facileme le régime ermae. raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 6/6

17 f ( Réose yique Soluio aliquée à héorème de la valeur fiale Régime ermae Grâce au héorème de la valeur fiale, o eu obeir rès facileme la réose à ue soluio au bou d u cerai ems rasformées de Lalace usuelles L imulsio de Dirac : ζ ( L échelo de Heaviside : u ( La rame uiaire : rame uiaire u.( L exoeiel comlexe : e a.( u a réel ou comlexe + a 4 a Remarque : 3 dérivaio dérivaio Les dérivaios so bie des mulilicaios ar raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 7/6

18 5.4. rasformée de Lalace iverse 5.4..Défiiio τ + jr x(.lim X( e. d π j R + τ jr L x( X( L X( x( Cee relaio héorique es rareme uilisée La méhode la lus uilisée our calculer L es la décomosiio e élémes simles Exemle + + X( 3 ( + Calculer L X(,cad l'iegrale de X( [ ] O sai que F( eu se décomoser e élémes simles : A B C D E X( ( + ( O mulilie ar les deux membres, uis o fai : A 3 - O mulilie ar ( + les deux membres, uis o fai : C - O mulilie ar uis o fai : B + E - Si o es à cour de formules, o eu doer imore quelle valeur à : Avec : O suose qu o a rouvé : C D E 3 A+ B X( ( + ( + + L x( +. e + e. +. e. u( e u ( u.( a.( u + a raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 8/6

19 5.5. Exemle d alicaio de la rasformée de Lalace Rg C R Vs( e( O doe e (: e ( Calculer la rasformée de Lalace de e ( O s iéresse d abord à ue ériode du sigal : h ( O calcule d abord [ ] h( h ( h ( 3 H ( L h( uis o eu e déduire E(... e.. e raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 9/6

20 H(. e + e { ( e H( ( e Pour asser du sigal sur ue ériode ( reard. h au sigal global ( e o uilise le héorème du h( h ( h ( h ( h ( 3 h ( 4 e ( h ( + h ( + h ( 4 + L L 4 E( H( + e H( + e H( + E( H( e e E( H( e E( E( L ( e ( e ( + e ( e ( + e 4 L + x+ x + L+ x x x + Si x< : + x+ x + L + x x e ( V ( s O a u o diviseur e esio : raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

21 e ( L e ( E( Rg C R Vs( ( ( Z ( ( + Z ( V S E Z Avec : Z ( Rg + C Z ( R G( G( du circui es : Vs ( R G( E( R+ Rg + C RC G( + + ( R Rg C Focio de rasfer du circui 3 O suose : ( R + Rg C s Reréseer la esio de sorie Vs ( E( G( Vs ( E(. G( e RCP Vs (.. + e + E( RC e + e ( Vs ( O ose X ( ( + e RC ( + RC e. e Vs (.. ( + e X( e ous avos ris la forme o simlifié de E ( raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

22 O cherche L [ X( ] RC RC X(. ( + + RC x( ( e u( x( RC Soi N( N RC ( ( ( e + e + ( X ( ( e + e RC N(. e. e ( ( + X( ( ( ( ( N X e. e N( X( e. X( + e. X( ( x ( x ( + x ( x( RC x( RC x( raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P /6

23 ( x ( RC RC Puisque si x < alors + x + x x, x 4 alors Vs( (. ( + (. e + (. e (. e e Vs ( raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 3/6

24 6. EXERCICES 6.. Exemle de rasformée de Fourier.Fourier de x( + cos( π : X ( f δ ( f + ( δ ( f + δ ( f + Fde y ( x(. s( : Y ( f X ( f * S( f S( f + ( S( f + S( f Exemle de covoluio Soi le sysème liéaire causal à ems coiu cosiué ar la mise e série de soussysèmes de même réose imulsioelle :. Quelle es la durée de la réose imulsioelle globale h ( Déermier h ( uis le réose idicielle.. Calculer la h( [ ] F à arir de la relaio de covoluio Comaraiso ere rodui de covoluio e domaie de Lalace Preos u circui RC : x( A R B C y( RC O more que h( M e our ( h( our < car le sysème es causal RC θ RC D où y( e x( θ dθ RC x ris our u échelo de Heaviside : E ariculier, our ( θ RC RC ( e dθ e y our RC O rerouve bie ar cee méhode uilisa la covoluio (e la rasformée de Lalace our obeir h ( u résula calculable à l aide d ue équaio différeielle du remier ordre du découla de la relaio isaaée du codesaeur i c c C d. raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 4/6

25 7. ANNEXE 7.. rasformées usuelles de Fourier Image symbolique Image emorelle δ ( f Dirac : δ ( δ ( f f π f e e π f Reard : δ ( δ jπ ( jπf ( ( f δ ( ( j [ δ ( f f + δ ( f + ] cos( π f f [ δ ( f f δ ( f + ] si( π f f Pf jπ f sg( δ ( f + Pf jπ f Heaviside : r ( si πf Pore uiaire carré de logueur si c πf πf ceré sur si si Pore uiaire riagulaire de logueur πf c πf ceré π f sur raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 5/6

26 7.. rasformées usuelles de Lalace Image symbolique Image emorelle de focios causales Échelo : r ( Dirac : δ ( + a ω + ω Rame : r( r ( e a r( si( ω ω ω r( sih( ω ω a ( + a + ω r( e si( ω + ω ω + a ( + a + ω! + ( + τ ( + a r( cos r( cosh r( e a ( ω cos r ( ( ω ( ω r( e τ r( e a raieme aalogique du sigal CNAM 6-7 LD-P 6/6