Planche 2. z ), où γ = 1 µ/σ2 ; ou encore :

Transcription

1 Plnche Exercice 1 On considère un mrché nncier de ux d'inérê r e une cion de dynmique risque neure ds = S µd + σdw, S = x Soi une brrière hue ; on considère une opion brrière Up In qui délivre l'cion S à murié si l brrière es ouchée, rien sinon 1 Quel es le prix de cee opion brrière à un insn quelconque? Quelle srégie de couverure sique proposez-vous? Réponse Règle : on coupe l'opion brrière en une prie reverse e une prie regulr L prie reverse es une opion europénne ; cr le py-o n' de vleur que si l brrière éé frnchie à échénce L prie regulr se clcule comme dns le cours esimion à l brrière e principe de symérie Pour l prie reverse, on écri : z1 z = z Z, donc c'es un Cll plus fois une Binire Pour l prie regulr, si x <, l'opion es réplicble pr une opion européenne sndrd de py-o φ,γ z, f = z γ f z, où γ = 1 µ/σ ; ou encore : UIOp, x, f = x γ Op Eur, x, f x S 1 Ici le srike de l'opion es nul e on décompose le py-o f insi : f z = z1 z = z z + 1 z Donc l'opion européenne de py-o f es un Cll de srike nul, moins un Cll de srike, moins fois une binire Dns les mrchés, on vend prfois des pril brrières, qui dns nore cs versen S seulemen si on ouché l brrière dns l'inervlle de emps u, v e vn Remrque Le py-o de ce opion es déni insi Soi il exise un insn τ enre u e v pour lequel S τ = e lors l brrière es civée vec un py-o fs à l'insn, soi l brrière n'es ps ouchée enre u e v e on ne ggne rien Quel es le prix de l'opion à l de v? Réponse C'es le prix à l de v d'une opion européenne de py-o fs, soi une vleur φv, S v, mulipliée pr l'indicrice que l brrière soi ouchée enre u e v φ es une foncion linéire de S v A Popier 1

2 b Quel es le prix de l'opion à l de u? Réponse On ire à une opion brrière Up In de py-o φv, S v vec murié v, don on cherche le prix à l'insn u Ceci donne un prix ψu, S u Aenion, ψ es une foncion relivemen compliquée de S u Ce son des prix à l'insn u de py-o du ype PowerPu vec murié v En ee, si on reprend l quesion précédene, on voi que le prix de l prie regulr conien nommen le prix d'un Cll de srike, d'où vec 1 : x γ Op Eur, x,, x S v ce qui es réplicble pr un PowerPu γ 1 Sv S v + Donc il fu clculer le prix d'un PowerPu, ce qui n' rien d'éviden c Quel es le prix de l'opion à l de? Proposez une srégie de couverure Réponse C'es minenn une opion européenne de murié u vec py-o ψu, S u Pour couvrir, il fu êre cpble de couvrir un PowerPu enre e u, puis une brrière, puis une européenne L diculé mjeure es l couverure des PowerPu Nénmoins si γ = 1, les clculs deviennen plus isés Exercice On considère un sous-jcen mringle, log-norml, dns un monde sns inérê ni dividende Q désigne l probbilié risque-neure On se propose de clculer le prix d'une opion brrière, qui délivre en + θ, X +θ K +, si on es pssé vn en dessous de l brrière Le ux erminl es donc de l forme Φ +θ = X +θ K + 1 {infs< {X s }} On suppose que X = x > e que K Les prix seron clculés en Remrque Ici γ = 1 ps d'inérê, ps de dividende Le choix k fi qu'on ire à une opion regulr Première quesion : 1 On suppose θ = Donner le prix de l'opion à l'ide d'un Cll Européen Réponse On pplique le cours à un cll brrière sndrd Donc le prix à l'insn es égl à x/ fois le prix d'une opion européenne de py-o /x X K +, soi /x fois un cll européen de srike Kx / Comme le prix es à clculer en zéro, on peu s'rrêer là Soi encore K/ fois un Pu de srike /K A Popier

3 Clculer le prix de l'opion de ux en +θ, Φ +θ = Φ +θ1 {X } on ne chercher ps à explicier l foncion QX < α, X +θ β = Φα, β Réponse Soi P le prix de cee opion reverse donc européenne On P = E Q X +θ K + 1 X = E Q X +θ 1 X +θ K1 X KE Q 1 X +θ K1 X = + K Deuxième quesion : Φ, d KΦ, K On rppelle que pour K, Qinf s X s ; X K = x QX Kx 1 Clculer le prix de l'opion DIBx,,, qui délivre 1e si le sous-jcen es pssé sous le niveu vn Réponse Le py-o es égl à l'indicrice de {inf s X s }, donc le prix es donné pr Q inf s X s = Q inf s X s ; X + QX < = x QX x + QX < Puis on uilise les foncions de répriion de l loi normle Soi f une foncion dérivble Monrer que pour ou x > fx f = + f K1 {K x} dk Exprimer à l'ide d'opion européenne le prix d'une opion brrière qui délivre en, si on ouché l brrière, fx f si X >, e rien sinon Réponse Pour l première prie, il fu supposer f dns L 1 C'es un résul d'nlyse clssique : si f es dérivble prou, e de dérivée inégrble, lors f es l'inégrle de s dérivée C'es fux si f es seulemen dérivble presque prou Pour l seconde, on E Q + fx f 1 X >1 infs X s = = + f K x Q X Kx / dk = x = x EQ f X /x f1 k X /x Donc c'es une européenne de py-o x + f KQ X K; inf X s s f KQ X /x K dk dk f X /x f1 k X /x 3 Uiliser cee méhode pour donner le prix de l'opion de ux Φ +θ à l'ide d'opions européennes e de l'opion DIB Réponse Le ux se décompose en une prie reverse Φ +θ donc européenne, clculée en I, plus l prie regulr Pour cee dernière, on E Q X +θ K + F = fx, A Popier 3

4 donc on découpe en deux : fx f 1 X >1 infs X s qui donne une opion européenne cf quesion précédene, e f1 X >1 infs X s, qui es une opion binire Exercice 3 On suppose dns oue l suie que le sous-jcen es une diusion mrkovienne, qui ne pye ps de dividende, e qu'il n'y ps de ux d'inérê Nous considérons une opions brrière, de ype Up-In Pu, de srike K < B, où B es l brrière 1 Monrer que cee opion es équivlene u piemen à l brrière d'un Pu de srike K e d'échénce Supposons qu'il exise une fmille de coeciens α els que, pour ou P ub,, K, = αscb,, B, sds, où CB,, B, s es le prix d'un Cll démrrn de l brrière à l de, de srike B e de de d'expirion s Monrer que le prix de l'opion UIP en es donné pr UIP = αscs,, B, sds 3 On suppose minenn que l volilié de S es consne Uiliser le principe de symérie Cll- Pu, e le emps d'eine de B, prn de K, pour monrer que P B,, K, dme bien l représenion ci-dessus e décrire les coeciens α en ermes de l loi de ce emps d'rrê 4 Dns le cs générl, commen feriez-vous pour rouver les α? Que pensez vous de l méhode de réplicion sique : ses poins fors e ses poins fibles Commen vec cee méhode prendriez-vous en compe le smile? A Popier 4

5 Exercice 4 Nous supposons que le ux de chnge enre deux économies érngère e domesique es un processus sricemen posiif X qui vérie dx X = µ ln X d + σdŵ, X = x; où Ŵ es un mouvemen brownien de R, déni sur un espce Ω, F, P P es l probbilié hisorique, e l lrion F es celle du mouvemen brownien es une consne sricemen posiive, σ un veceur de R 1 Première quesion Donner l'équion diérenielle sisfie pr le processus Z = ln X e monrer que Z es un processus d'ornsein-uhlenbeck Réponse On suppose X sricemen posiif, on pplique l formule d'iô à l foncion ln : L soluion es dz = µ σ d Z d + σdŵ Z = ln xe + µ σ / 1 e + σ b En déduire EX Z = z Clculer PX K Z = z e s dŵs Réponse On X = exp Z e Z es une gussienne Remrquons ensuie que de Z = e µ σ d + σdŵ, donc Z = e Z + µ σ / 1 e + σ e s dŵs Ainsi expz = exp e Z + µ σ / 1 e σ exp e s ds exp σ e s dŵs σ e s ds Finlemen EX Z = z = exp e z + µ σ / 1 e + σ µ = exp 1 e σ 4 1 e exp = φ µ,σ, exp e z 1 e s e z A Popier 5

6 Deuxième quesion : on désigne pr r d le ux cour du mrché domesique supposé consn, e pr r f celui du mrché érnger Monrer qu'il exise une probbilié Q, équivlene à P don on clculer expliciemen l densié sur l ribu F, elle que sous Q, X rendemen insnné r d ln X Réponse On Donc on pplique le héorème de Girsnov, l densié én exp θŵ θ i comme dx = µ ln X d+σdŵ = r d ln X d+σdŵ r d µ d = r d ln X d+σdw X σ, où θ es l prime de risque r d µ bornée donc les hypohèses du héorème son sisfies σ b Monrer que sous Q, Z sui encore un processus d'ornsein-uhlenbeck don on clculer les prmères Réponse Même clcul que précédemmen On suppose dns l suie de cee prie que Q es l probbilié risque-neure du mrché domesique c Uiliser un rgumen d'rbirge pour monrer que le ux cour érnger es donné pr r f = ln X Réponse On uilise un rgumen d'rbirge pour monrer que le rendemen du ux de chnge es forcémen de l forme r d r f En ee, 1 $ à l'insn, vu X e Pr cpilision u ux r f jusqu'en e pr chngemen en e, X exp rs f ds es un cif domesique Comme Q es l probbilié risque-neure, X exp rs f r d ds es une mringle locle En ppliqun l formule d'iô, on obien que nécessiremenr f = ln X Auremen di, le ux de chnge es un cif domesique qui verse un dividende r f d Noons B f, le prix en en $ de $1 pyé en Monrer pr un risonnemen d'rbirge que X B f, es le prix domesique qui grni X euros en En déduire B f, en foncion de Z Réponse X B f, es le prix en euro à l'insn, d'un dollr à l'insn Or en, 1 dollr vu X euros Donc nlemen X B f, = E Q X B d, F = B d, φ rd,σ, exp e Z e Quelle es l volilié de V = XBf, B d,? Réponse V es le ux de chnge à erme, ie le ux uquel à l de, on xe le chnge à l de d'une unié érngère en uniés domesiques Pr illeurs d'près l quesion A Popier 6

7 précédene, V = φ r d,σ, exp e Z L volilié es le coecien qui se rouve devn dw dns l décomposiion de dv /V Or près clcul : dv V = e σdw = σe dw 3 roisième quesion : on cherche à évluer un Cll sur le chnge de murié e de prix d'exercice K Monrer qu'on peu se rmener à uiliser l formule de Blck-Scholes sur un sous-jcen que l'on préciser Donner l vleur du Cll à l'insn Réponse Comme V = X, on E Q B d, X K + F = E Q B d, V K + F Or, si σ = σe, V es de l forme V = V exp σ e s dw s σ e s ds = V exp σu σ EU où U es une vrible léoire normle cenrée de vrince e 1/ Donc C V = E Q B d, V K + + F = E Q B d V, V K F V Si α = 1 e e, on obien C v = B d, R v exp σ α / exp σα u K + exp u = vb d, N d 1 KB d, N d ; du π vec d = 1 v ln σα K σα, d 1 = d + σα b Décrire une srégie de couverure à l'ide du csh e de V Réponse On C V = V B d, N d 1 KB d, N d c Le ire V n'es ps observé Décrire une srégie de couverure à l'ide du csh domesique e du csh érnger Réponse d'près ce qui précède : C V = X B f, N d 1 KB d, N d Donc l couverure se fi à l'ide de N d 1 zéro-coupon érngers pyés en monnie domesique e de KN d zéro-coupon domesiques A Popier 7

8 4 Qurième quesion : on éudie les prmères ux cour e prime de risque du mrché érnger Nous vons vu que le ux cour érnger es ln X Quelle es l prime de risque? ln X es-il encore un Ornsein-Uhlenbeck sous l probbilié Q f risque-neure érngère? Réponse On B f, = V B d, exp Z, donc vec db f, B f, = Z d + σ 1 e d σ 1 e dw = ln X d σ 1 e dŵ σ + rd µ d σ = r f d + Γ, dŵ + λd; Γ, = σ 1 e, λ = σ + rd µ σ Auremen di, λ f = σ + λ d Le processus Z = ln X rese un processus d'ornsein- Uhlenbeck sous Q f : dz = r d + σ Z d + σdw f b Uilisez les résuls précédens pour donner le prix en $ d'un Cll érnger sur un zéro-coupon de murié θ, exerçble en, de prix d'exercice K f Réponse Le py-o de cee opion es en : B f, + θ K f + On es dns le cdre du modèle de Vsicek cr r f = ln X, d'où : dr f = r d + σ rf d + σdw f = b r f d + σdw f Dns l suie, b vu donc r d + σ Ainsi on obien +θ B f, + θ = E exp Qf r f d F = E Qf exp I, + θ F, vec e Ainsi +θ I, + θ = +θ r f +θ = e θ r f + b1 e θ + σ r f d = bθ b r f 1 e θ +θ r f d = r f +θ + rf + bθ + σ dw f σ +θ +θ e +θ dw f 1 e +θ dw f, A Popier 8

9 e B f, + θ sui une loi log-normle : B f, + θ = exp bθ + b r f 1 e θ +θ E exp Qf σ 1 e +θ dw f σ = exp b θ + b 3 σ r f 1 e θ σ 4 = exp r d θ + r d σ r f 1 e θ σ 1 e θ 4 Donc pour une cerine consne C, σ, r d, θ : Le prix de l'opion es donné pr B f, + θ = C, σ, r d, θ exp B f, E Qf 1 e θ B f, + θ K f + r f 1 e θ où Q f désigne l probbilié forwrd-neure de densié exp rs f ds B f, 1 Rese à déerminer l loi de B f, + θ sous Q f Rppelons que exp rs f ds B f, 1 = exp Γs, dws f 1 Γs, ds vec Γs, = σ 1 e Donc on obien une formulion de ype Blck-Scholes, vec volilié dépendne du emps Le sous-jcen employé es B, + θ, A Popier 9