MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN FINAL HIVER 2007 Date : Dimanche 29 avril de 14h00 à 17h00

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1 MAT 080 MÉTHODES STATISTIQUES EXAME IAL HIVER 007 Date : Dimache 9 avril de 14h00 à 17h00 ISTRUCTIOS Détachez la feuille-réposes à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om, votre code permaet et votre uméro de groupe. Seule la feuille-réposes doit être remise. Vous y iscrirez vos réposes sous la forme d ue lettre majuscule correspodat à votre choix. Tout texte de référece (mauel, otes de cours, otes persoelles, etc.) est iterdit. Tout cas de plagiat ou de fraude sera soumis au Comité de disciplie. L usage d ue calculatrice est autorisé. L'étudiat doit placer sa carte d'étudiat (avec photo) sur la table et siger la feuille de présece lors de la remise de sa feuille-réposes. Aucu téléphoe cellulaire sur la table Problème 1 [16 poits] O tire u échatillo aléatoire simple de succursales parmi les succursales d ue baque. Das chacu des cas éumérés das le cadre de gauche (Paramètre à estimer, ci-dessous), idetifier le paramètre qu'il s'agit d'estimer. aites votre choix das le cadre de droite (Iscrire A, B,, ou H). Paramètre à estimer 1-a) Le salaire moye des employés 1-b) Le salaire moye des femmes employées 1-c) 1-d) Le ombre de succursales dot le gérat est u homme Le ombre moye d employés das les succursales situées e balieue 1-e) La proportio de femmes parmi les employés 1-f) La proportio de succursales dot le gérat est u homme 1-g) La masse salariale moyee des succursales situées e balieue 1-h) La masse salariale moyee des succursales Liste des réposes possibles A: La moyee µ y d ue certaie variable Y B: La moyee µ d d ue certaie variable Y das u domaie D. C: Le total τ d d ue certaie variable Y das u domaie D: Le total τ y d ue certaie variable Y E: Le ombre c d'uités apparteat à ue certaie classe C : Le quotiet R = µ Y /µ X de deux variables Y et X G: La proportio p d'uités apparteat à ue certaie classe H : Aucu de ces paramètres Blac

2 OM... Problème [4+0 poits] Les doées pertietes sot présetées à l aexe 1. Ue populatio est costituée des 400 factures de souper émises au courat d ue semaie das u restaurat. Chaque facture représete ue table servie. O tire u échatillo aléatoire simple de 30 factures. Pour chacue o ote le ombre de persoes servies (la variable X), le motat total de la facture (Y), et le motat dépesé e boisso (Z). -a) Détermier ue estimatio poctuelle (l estimatio seulemet, pas l écart-type) de chacu des paramètres suivats (choisir vos réposes das la liste au bas de la page) : i) Le motat total τ y des recettes de la semaie estimatio par la moyee ii) La proportio des recettes proveat du service de boissos. iii) Les dépeses moyees par persoe iv) La proportio des factures destiées à ue seule persoe. v) Le total τ y estimatio par le quotiet e utilisat le fait que le ombre de persoes servies (das la populatio) est 800. vi) Le motat total des factures destiées à ue seule persoe estimatio par la moyee. -b) Détermier l écart-type de chacu des estimateurs suivats : i) L estimateur e a)-i). ii) L estimateur e a)-iv) iii) L estimateur e a)-ii) iv) L estimateur e a)-vi) Problème 3 [+ poits] Même cotexte qu au problème. O compte prélever u échatillo la semaie prochaie afi d estimer certais paramètres. Vous supposerez que les paramètres aurot pas chagé et que le ombre de factures demeurera a) Détermier la taille de l échatillo qu il faudra tirer pour que la marge d erreur das l estimatio des recettes totales soit de %. Vous estimerez les paramètres écessaires à partir de votre échatillo e supposat que ces paramètres aurot pas chagé d ici la semaie prochaie. 3-b) Détermier la taille de l échatillo qu il faudra tirer pour que la marge d erreur (absolue) das l estimatio de la proportio des factures destiées à ue seule persoe soit de 0,0. Problème 4 [++ poits] Même cotexte qu aux problèmes et 3. Les doées présetées aux problèmes et 3 portet sur les factures relatives au souper. Mais la populatio compred égalemet des factures relatives au dîer [le restaurat ouvre à midi]. Le ombre de factures pour le dîer est de 600 das la populatio. U échatillo de taille 0 a été tiré. Les doées sot présetées à l aexe. 4-a) Utiliser les doées des deux échatillos pour estimer les recettes totales du dîer et du souper. 4-b) 4-c) Détermier l écart-type de l estimateur utilisé e a). Vous comptez, ue prochaie fois tirer u échatillo stratifié de taille 0. Combie devez-vous tirer de factures de dîer pour avoir la meilleure estimatio possible? [Estimer les paramètres à partir de l échatillo] Choix de répose pour les problèmes, 3 et 4 [Choisir l itervalle qui cotiet votre répose] : A B C D E G H I J K L 0,0011 0,0181 0,099 0,074 0,18 33,06 34, ,31 à à à à à à à à à à à à 0,3 0,0014 0,01 0,073 0,0910 0,17 33,80 3, M O P Q R S T U V W X à à à à à à à à à à à 70 Page Aucue de ces réposes Blac

3 OM... Questio [8 poits] [Choisir vos réposes parmi celles proposées au bas de la page : iscrire A, B,, ou P)] U certai procédé de fabricatio produit des pièces dot le taux de défectuosité est stable : e moyee 0 % des pièces sot défectueuses. Ce taux est bie établi, car o utilise ce procédé depuis fort logtemps. U ouveau procédé est maiteat utilisé et pour le comparer à l acie o tire u échatillo de 1000 pièces fabriquées selo le deuxième procédé. O y trouve 0 défectueuses. O effectue u test du khideux afi de détermier si cette différece observée est sigificative. Soit p le taux réel de défectuosité du ouveau procédé. -a) Lequel ou lesquels des éocés suivats pourrai(e)t servir d hypothèse ulle? E 1 : p = % E : p = 0 % E 3 p % E 4 : p 0 % -b) Lequel ou lesquels des éocés suivats pourrai(e)t servir d hypothèse ulle? E 1 : Le taux de défectuosité est le même das les deux procédés E : Le taux de défectuosité du deuxième procédé est pas affecté par celui du premier E 3 Le taux de défectuosité est-il plus élevé avec le ouveau procédé? E 4 : Le taux de défectuosité du deuxième procédé est supérieur à celui du premier. -c) Supposos que la valeur calculée de khi-deux est supérieure au poit critique. Lequel ou lesquels des éocés suivats est (sot) justifié(s)? E 1 : O peut coclure avec cofiace que p = % E : O peut coclure avec cofiace que le taux de défectuosité déped du procédé de fabricatio. E 3 : O e peut pas coclure avec cofiace que p = 0 % E 4 : O peut coclure avec cofiace que le taux de défectuosité est plus élevé avec le ouveau procédé. -d) Supposos que la valeur calculée de khi-deux est iférieure au poit critique. Lequel ou lesquels des éocés suivats est (sot) justifié(s)? E 1 : O peut coclure avec cofiace que p = 0 % E : O e peut pas coclure avec cofiace que p 0 % E 3 : O peut coclure avec cofiace que p = % E 4 : O e peut pas coclure avec cofiace que les taux de défectuosité des deux procédés sot différets. Choix de répose pour les questios -a) à -d) Page 3 A Aucu B E 1 seulemet C E seulemet D E 3 seulemet E E 4 seulemet E 1 et E seulemet G E 1 et E 3 seulemet H E 1 et E 4 seulemet I E et E 3 seulemet J E et E 4 seulemet K E 3 et E 4 seulemet L E 1, E et E 3 seulemet M E 1, E et E 4 seulemet E 1, E 3 et E 4 seulemet O E, E 3 et E 4 seulemet P Tous Blac

4 OM... Problème 6 [ poits] O examie la relatio etre le sexe ( et M) et les succès scolaires (S et E) das 4 uiversités, U 1, U, U 3 et U 4. Détermier das laquelle ou lesquelles de ces uiversités les deux variables sot idépedates : Page 4 U 1 S E Total M Total U 3 S E Total M Total U S E Total M Total U 4 S E Total M Total Choix de répose pour la questio 6 : Les deux variables sot idépedates das les uiversités suivates : A Aucue E U 4 seulemet I U et U 3 seulemet M U 1, U et U 4 seulemet Problème 7 [ poits] B U 1 seulemet U 1 et U seulemet J U et U 4 seulemet U 1, U 3 et U 4 seulemet C U seulemet G U 1 et U 3 seulemet K U 3 et U 4 seulemet O U, U 3 et U 4 seulemet D U 3 seulemet H U 1 et U 4 seulemet L U 1, U et U 3 seulemet P Tous Compléter chacue des phrases de la coloe de gauche. Choisir la suite das la coloe de droite et iscrire la lettre correspodate. Phrase 7-a) Dire que µˆ yd, l'estimateur de µ par la différece, est sas biais, c'est dire que 7-b) Dire qu'u estimateur σˆ de l'écart-type de la populatio σ est sas biais, c'est dire que 7-c) Dire que Rˆ 'est pas sas biais pour R, c'est dire que 7-d) Dire que l'estimateur de la variace de y est sas biais, c'est dire que 7-e) Dire que µˆ yd, l'estimateur de µ par la différece, est meilleur que y, c'est dire que Liste des suites possibles A. Rˆ R B. σˆ = σ C. µ σ ˆ = σ D. µ = σˆ y E. µ R Rˆ. µ µ ˆ yd =µ G. µ σ ˆ = µ H. σ ˆ y = σ y σ y I. σµ ˆ yd < σ y J. µˆ yd = µ K. Aucue de ces suites Blac

5 Aexe doées Aexe 1 Les doées suivates sot issues d u échatillo aléatoire simple de 30 factures tirées parmi les 400 factures représetat les 400 soupers de la semaie. Boisso (Z) ombre de persoes (X) acture totale (Y) 6,9 1 30,1 7,4 1 19,3 7,1 1 1,04,6 1 31,43 8,0 1 3,08,14 7,44 3,83 74,74 30,0 68,74,8 60,71 0,00 7,3 30,63 86,73,1 70,7 4,3 7,70 9,6 87,66 3,37 76,10 8, 84,60 39, ,1 0, ,64 1, ,9 0, ,48 34, ,90 9, ,3 43, ,44 40,1 4 11,33, ,07 38, ,7 37, ,4 34,6 4 14,0 6,43 163,03 67,6 9, Sommes 84,30 80,00 699,11 Variaces (corrigées) 30,46 1, ,84 Covariaces (corrigées) Etre Z et X 16,36 Etre Z et Y 607,70 Etre X et Y 4,67

6 Aexe doées Aexe Les doées suivates sot issues d u échatillo aléatoire simple de 0 factures tirées parmi les 600 factures représetat les dîers de la semaie ombre de persoes (X) acture totale (Y) 1 3, , , ,71 1 1,19 1,7 1 1,71 1 4,80 1 8,0 1,4 4, 7,60 1,3 3,0 3 4,60 3 7,0 4 41, , ,48 4 4, Sommes 4 409,1 Variaces (corrigées) 1,46 16,0 Covariace (corrigée) Etre Boisso et acture totale 14,10

7 ormulaire page 1 ormulaire MAT080 Exame fial Résumé des paramètres, leur estimateur, l écart-type de l estimateur, et l estimateur de l écart-type de l estimateur. Estimateur de l écart-type de Paramètre Estimateur Écart-type de l estimateur l estimateur S s Moyee µ y σ y = 1 f σˆ y = 1 f X p(1 p) pˆ (1 pˆ ) Proportio p ˆp = σ pˆ = ˆσ pˆ = 1 f 1 1 U quotiet R = µ y S R S y Rˆ = 1 f y + x RS xy 1 f s Rˆ y + sx Rs ˆ xy x σ σ ˆ Rˆ ˆ µ µ R = x x x Moyee µ µ ˆ yd S Estimatio par la y + Sx Sxy sy + sx sxy différece = µ x + ( y x) σ µ ˆ = 1 f σ ˆ ˆ 1 f yd µ = yd Moyee µ S Estimatio par le µˆ yq = µ x Rˆ y + R Sx RSxy s Rˆ y + sx Rs ˆ xy 1 f 1 f quotiet d sd sd Moyee µ d d u y d : Moyee 1 ou 1 d d d domaie D du domaie das l échatillo selo que d est cou ou pas Total τd = d µ d d u domaie ( d cou) Total τd = d µ d d u domaie ( d icou) d T d = d y d d 1 T ˆd = ˆ d y d = y' où ˆ d = d 1 f d sd d s' f = Taille d échatillo Estimatio de la moyee La taille d échatillo écessaire pour que la marge d erreur absolue soit égale à E est o S = où o = o 1+ E. La taille d échatillo écessaire pour que la marge d erreur relative soit égale à R est o S = où o =. o 1+ Rµ

8 ormulaire page Estimatio d ue proportio p Pour estimer ue proportio p de telle sorte que la marge d erreur absolue soit égale à E, la taille approximative de l échatillo qu il faut tirer est doée par o 4 p(1 p) = où o =. 1+ o E Pour estimer ue proportio p de telle sorte que la marge d erreur relative soit égale à R, la taille approximative de l échatillo qu il faut tirer est doée par o 4(1 p) = où o =. 1+ o R p Échatilloage par strates L estimateur de la moyee das u échatillo stratifié est y = = st L h 1. W h yh So écart type est σ y st = L h= W h σy où 1 h σ y h = (1-f h ) S h et f h = h / h. h L estimateur d ue proportio das u échatillo stratifié est pˆ ˆ st = = 1Whph. So écart-type est estimé par σ ˆ = 1 pˆ st pˆ (1 ˆ h ph) fh. h 1 L allocatio optimale pour l estimatio d ue moyee das u échatillo stratifié est doée par h proportioels aux W h S h Test du khi-deux L h χ = ( Oi Ti) Oi = T i T, i Poits critiques (α = %) d ue loi khi-deux ν χ ν ν χ ν ν χ ν ν χ ν 1 3, , , ,96, , , , , ,073 13, , , , , ,143 11, , , ,4104

9 Brouillos Blac

10 Brouillos Blac

11 Brouillos Blac

12 Exame ial H07 /100 euille-réposes (versio blache) e rie écrire ici om : Préom : Code permaet : Groupe: Questio Répose Questio Répose 1-a) 1-b) 1-c) E 1-d) B 1-e) 1-f) G 1-g) B 1-h) A -a-i) Q -a-ii) -a-iii) G -a-iv) E -a-v) P -a-vi) L -b)-i) -b)-ii) C -b)-iii) B -b)-iv) K a) J 3-b) I 4-a) U 4-b) O 4-c) X ou H -a) C -b) B -c) J ou O -d) J 6 M 7-a) 7-b) C 7-c) E 7-d) D 7-e) I Blac