Méthodes d'étude de la nature d'une intégrale généralisée et exercices

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1 A 9- Méhodes d'éude de l ure d'ue iégrle géérlisée e eercices Pour déermier l ure d'ue iégrle géérlisée f()d, il fu d'bord déermier les ois "à roblème", c'es à dire les ois où f 'es s déie e les éveuelles bores iies de l'iégrle (beucou lus visibles!). Esuie, il fu morer que l focio f es locleme iégrble sur [; b[ ou ]; b] ce qui es le cs des focios coiues sur ces iervlles, ou lors ce qui rrive ssez souve ussi, des focio coiues r morceu sur ces iervlles. Pour morer que l'iégrle géérlisée il fu : f()d coverge e b (reseciveme e ), Soi reveir à l déiio e morer, r clcul de rimiive, iégrio r ries ou chgeme de vrible, que 7 b (reseciveme, 7 f()d dme ue limie ie lorsque f()d) dme ue limie ie lorsque +, ce qui erme e oure, ce qui 'es s rès fréque, de clculer f()d. Soi uiliser les diéres crières éocés ds le cours e riculier si l focio es osiive sur ]; b[ Soi, mis c'es lus comliqué, morer que l focio F : 7 f()d (reseciveme F : 7 f()d) d'rès le héorème de l limie moooe dme ue limie ie ou iie e b (reseciveme + ). Théorème de l limie moooe : Soi f ue focio déie sur I =]; b[ vec e b ds R. Si f es moooe sur I, lors elle dme ue limie ie ou iie e e e b. Si f es croisse sur I lors : * Si f es mjorée sur I, f dme ue limie ie e b, sio lim f = + b * Si f es miorée sur I, f dme ue limie ie e, sio lim f = + Si f es décroisse sur I, lors : * Si f es miorée sur I, f dme ue limie ie e b, sio lim f = b * Si f es mjorée sur I, f dme ue limie ie e, sio lim f = + + Aeio, les clculs de rimiives, les iégrios r ries e les chgemes de vribles so "ocielleme" ierdis ds les iégrles géérlisées. Pour eecuer JMB

2 A 9- ces oérios licies émois, il fu oujours se rmeer à ue iégrle déie, c'es à dire sur u iervlle où l focio es coiue, uis clculer l limie du résul. Aeio, des iégrles "fusseme géérlisées" euve se glisser ds les éocés. si si Eemle : d. O eu rologer f() = r coiuié e e os si f() = doc d coverge. Aeio v de liériser ue iégrle géérlisée, il fu oujours s'ssurer de l covergece de oues les iégrles mises e jeu. Eercices Eercice. Iégrles géérlisées éudiées à l'ide de l déiio Déermier l ure e l vleur lorsqu'elles coverge des iégrles suives :.. e d l d + d Eercice. Iégrles "fusseme" géérlisées Morer que les iégrles suives so covergees.. si d. l d Eercice Uilisio du héorème de l limie moooe Pour ou réel α >, o déi l focio f α r : 8 ]; ], f α () = e α d. Morer que : 8α >, 8 ]; ], 6 f α () 6 α. Morer que l focio f α es décroisse sur ]; ]. Morer que l focio f α dme ue limie ie e. E déduire l ure de l'iégrle e α d. JMB

3 A 9- Eercice Uilisio des crières de comriso. Déermier l ure des iégrles géérlisées suives : si d e d e d l d l d cos d e d e d l d l d d q( ) d l d Eercice Déermier l ure des iégrles suives, e discu éveuelleme suiv les vleurs des rmères α e β réels o uls : q. + d. rc d 3 JMB

4 A α β d l d l d + e α + β d si d α Eercice 6. Clculer les iégrles suives rès voir moré leur covergece : d e d l ( + ) d rc + e d! d Eercice 7.. Morer que les iégrles vleurs oosées. l + l d e d coverge e o des + +. Clculer l d uis + l d ( + rès voir jusier leur covergece. ) Eercice 8. Soie e b deu réels els que < < b. Jusier l covergece e clculer : q( )(b ) d. Mere le riôme ( )(b ) sous forme coique e fire u chgeme de vrible déqu. Eercice 9. O ose I = + d e J = d.. Morer que ces iégrles coverge e qu'elles so égles. 4 JMB

5 A 9-. E eecu le chgeme de vrible = l vleur commue de I e J. ds l'iégrle I + J, clculer lors Eercice. O ose I = l(si )d e J = l(cos )d.. Morer que ces iégrles coverge e qu'elles so égles.. E déduire que I = déduire l vleur de I. l si Eercice. Clcul de l'iégrle de Guss :! d. E rsform cee derière iégrle, e e d. Morer que our ou réel >, o l( + ) 6. E déduire que our ou eier N e ou réel [; ], o : uis que our ou N,! 6 e 6 +!! d 6 e d 6! + d. O ose I = cos d. () Clculer I e I. Erimer I e focio de I our >. (b) Morer que l suie (I ) N es décroisse e que, our ou N, I I = π s. π (c) E déduire que I + Morer à l'ide de chgemes de vribles, que les membres de guche e de droie ds l'iéglié de l quesio., vle reseciveme I + e I. Clculer e d 5 JMB