MODELISATION ANALOGIQUE ET SIMULATION DES SYSTEMES ASSERVIS 1 er 2 ème ET 3 ème ORDRE

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Adèle Dumouchel
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1 MODELISATION ANALOGIQUE ET SIMULATION DES SYSTEMES ASSERVIS er ème ET 3 ème ORDRE I. BUT DU TP : -modélisatio de quelque élémet typiques a savoir : étude» des système du er ; ieme et 3ieme ordre e utilisat les opérateurs de simulatio aalogique. -étude de l ifluece du gai et de la costate de temps sur le comportemet des systèmes. II. MATERIELS NECESSAIRES POUR LA MANIPULATION : -cosoles tergae0, tergae50 et tergae30 ; -oscilloscope de préférece a mémoire sio bicourbe + sodes (/0) ; -voltmètre ; III. MANIPULATION : E doat u échelo positif de v a l etrée par l itermédiaire d u iterrupteur, o observe les réposes idicielles pour 0.5 et pour les motage suivat : A. Amplificateur : H (p)s (p)/e (p) H (p) Les figures ci-dessous ous doe l allure de la sortie du système :

2 O remarque que pour u de l attéuateur la sortie reste égale a l etrée mais pour 0.5 la sortie est divisée pas deux par rapport a l etrée. e peut déduire qu u attéuateur est u amplificateur de gai iférieure a. B. Itégrateur : H (p)s (p)/e (p) H (p) /p Les réposes pour les deux valeurs de k sot représetées sur les figures suivates : Das ce cas la sortie est ue rampe de pete C. élémet d iertie : (système du première ordre) O appel u système du premier ordre ou élémet apériodique u système décrit par l équatio différetielle du premier ordre : dy( a + by( cx( dt Qui admet pour solutio a ue etrée échelo S ( (- e -t/τ ) Sa foctio de trasfert est doée par : H ( p) Tp + Avec : gai statique. T : costate de temps. Nous avos là u exemple d u système du premier ordre appeler élémet d iertie

H (p) (/p) / (+/p) H (p) / (p/+) Les réposes d u tell système a ue etrée échelo pour des k 0.5 et : O costate que la sortie est de la forme expoetielle qui chage d allure pour des différet.

3 H (p) (/p) / (+/p) H (p) / (p/+) Les réposes d u tell système a ue etrée échelo pour des k 0.5 et : O costate que la sortie est de la forme expoetielle qui chage d allure pour des différet. Das ce cas la répose s approche de l etrée plus rapidemet pour 0.5. D. Régulateur PI : Les réposes de ce système sot de cette forme : Remarque : lorsqu o a applique u échelo égatif aux système A et B la sortie est de sige positif et quad l etrée est u échelo positif la sortie est égative. Or das le cas de C et D le sige de la sortie suit celui de l etrée. 3

4 Système du deuxième ordre : U système liéaire est dit de deuxième ordre lorsque l équatio différetielle qui régit so comportemet est liéaire de type : d ² y( dy( a + b + cy( dx( dt² dt Sa foctio de trasfert est doée par : H ( p) Y ( p) X ( p). ω ² p² + ξω p + ω ² Avec c ω : Pulsatio propre o amortie [rad/s]. a ξ : Coefficiet d amortissemet : gai statique d c. b ac. Le motage suivat représete u système du deuxième ordre : Détermiatio de la foctio de trasfert : 0 0 p 0 p + p p H ( p) p 0 p + p p 00 p² + 0 p + Par idetificatio avec la forme caoique o aura : 00 ω 00. 4

5 . ξ. A l aide du simulateur Matlab o prélève les différetes réposes idicielles pour des valeurs de et :. 0.5, ,. 3.,

4.,. Le tableau suivat porte les différetes valeurs des temps de motée Tm, dépassemet D et temps de répose Tr : Temps de motée dépassemet temps de répose 0.5, 0.5 0.43 0.5.6 0.5, 0.38 0.04 0.43, 0.

6 4.,. Le tableau suivat porte les différetes valeurs des temps de motée Tm, dépassemet D et temps de répose Tr : Temps de motée dépassemet temps de répose 0.5, , , , Système du troisième ordre : U système liéaire est dit de troisième ordre lorsque l équatio différetielle qui régit so comportemet est liéaire de type : 3 d y( d y( dy( a + b + c + dy( ex( 3 dt dt² dt Le motage suivat représete u système du troisième ordre : 6

7 Détermiatio de sa foctio de trasfert : 0 0 p p 0 p + p H ( p) 0 p 0 p + p 0 p + p p ω 00. A l aide du simulateur Matlab o prélève la répose idicielle pour des valeurs de 0. : La figure suivate ous motre l ifluece des gais et sur ce système : 7

8 Comparaiso etre les deux cas de figure : E remarque que la différece existate etre ces deux systèmes est das les déomiateurs de leurs foctios de trasferts, pour le deuxième ordre so déomiateur est u polyôme de secod degré par cotre pour le troisième ordre est du troisième degré.a partir de cette comparaiso o peut déduire que le degré d u système semblable a ces derier est égale au ombre d itégrateurs Préset das la chaîe directe. L ifluece des gais et sur le comportemet du système du troisième ordre (das ce cas de figure) : O voie que la pulsatio propre de système et le premier dépassemet de la répose idicielle d u tel système chage avec la variatio de et. Etude de la stabilité pour les deux cas de figure ( ème et 3 ème ordre) avec le critère de routh :. système du ème ordre : O a : O défiit l équatio caractéristique B (p) p²+ 0p A 00 A 0 0 A Coditio de stabilité : Il faut que les élémets de la er coloe soit tous supérieur a 0 Doc il faut que : 0 >0 et 00 > 0 De ces deux iéquatio e voie bie qu il y a pas chagemet de sige doc le système est stable. système 3 ème ordre : B (p) p 3 + 0p²+ 00. A 3 0 A 0 00 A A

9 O remarque qu il y a deux chagemets de sige das la er coloe doc l équatio admet deux pôles a partie réel positive d où le système est istable. Coclusio : -Ce TP ous a permit de ous familiariser avec les différets types de simulatio ; aalogique à l aide des cosoles tergae et par le logiciel simulateur Matlab - das la première partie de cette maipulatio o a vue que les amplificateur et itégrateur utilisés sot des iverseur de sige doc si la chaîe directe du système comporte u ombre pair de ces deriers le sige de la sortie reste ichagé pas rapport a l etrée par cotre si leur ombre est impaire le sige de la sortie est l iverse de celui de l etrée -sachat τ / o déduit que lorsque o augmete, τ dimiue et vis versa, et comme Tr et Tm sot proportioel a τ doc Tr et Tm sot iversemet proportioel a. - pour le système du ème ordre, la variatio de et iflue sur la valeur de coefficiet d amortissemet ξ et de la pulsatio propre de système ω 00 puisque Tm Tr et D sot e foctio de ξ et ω doc la variatio de et varie ces paramètres doc sur la rapidité et la valeur fiale de la sortie, ous avos vu que le cas idéal est lorsque 0.5 et qui doe u ξ le système du troisième ordre étudier das ce TP est u système istable. 9

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