Quantité de mouvement Les systèmes de masse variable

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1 3 ème os DYNAMIQUE Théoie Quantité de mouvement Les systèmes de masse vaiable Intoduction À pati du Moyen Âge, on s'est endu compte que la vitesse ne suffisait pas à explique toutes les caactéistiques d'un mouvement. Pouquoi pa exemple, est-il péféable de se faie pecute pa une mouche volant à 60 km/h plutôt que pa un camion oulant à la même vitesse? Ves 1330, un Paisien nommé Jean Buidan eut l'intuition que la gandeu cuciale à pende en considéation pou décie le mouvement, était le poduit de la vitesse pa la quantité de matièe. Il fallut donc faie appel à une nouvelle quantité fondamentale, le poduit de la masse pa la vitesse ( mv ). C'est cette gandeu qu'isaac Newton ( ) appela momentum, qui se taduit en fançais pa quantité de mouvement (symbole p ) et qu'il utilisa dans la fomulation de sa théoie du mouvement : p = mv. Quantité de mouvement et foce Pou modifie la quantité de mouvement d'un objet, il faut exece une foce su celui-ci. C'est en teme de quantité de mouvement que Newton fomula sa deuxième loi (ou pincipe fondamental de la dynamique). Dans un langage modene, cette loi peut s'énonce comme suit : La ésultante des foces execées su un cops est égale à la vaiation de sa quantité de mouvement, divisée pa la duée de cette vaiation. Il est possible que la foce ésultante vaie pendant l'intevalle de temps où elle est appliquée, aison pou laquelle cette loi concene une foce ésultante moyenne : F m = p t - F m : foce ésultante moyenne, en N. - p : vaiation de la quantité de mouvement, en kg m/s. - t : intevalle de temps pendant lequel la foce agit, en s. La elation (1) peut ête considéée comme une définition dynamique de la foce, ca m, v et t peuvent ête mesués. Pa conséquent, 1 Newton est défini comme la foce qui, agissant su un cops quelconque, poduit une vaiation de sa quantité de mouvement égale à 1 kg m/s en 1 s, soit : 1 N = 1 kg m/s 2 En faisant tende la duée t ves 0, on obtient la deuxième loi de Newton pou une foce ésultante instantanée : (1) P. Rebetez/systèmes de masse vaiable.doc/

2 3 ème os DYNAMIQUE Théoie F = d p (2) Remaquons que cette denièe elation englobe les situations dans lesquelles la masse peut vaie, ca : où dm d p = d (m v ) = v dm + m d v 0 si la masse du cops su lequel s'exece la foce, vaie au cous du temps. Dans le cas paticulie où la masse m est constante, dm = 0 et la deuxième loi de Newton pend sa fome la plus couamment utilisée : F = d p = md v { a = m a La loi (2) s'applique à une unique paticule de masse m, mais on peut monte qu'elle este valable pou un système de n paticules de masses espectives m 1, m 2,, m n : - - F ext = d P F ext : ésultante des foces extenes execées su le système. P = p 1 + p p n = m 1 v 1 + m 2 v m n v n : quantité de mouvement totale du système. L'équation (3) est l'expession mathématique de la deuxième loi de Newton s'appliquant aux systèmes de paticules. (3) La fusée, un exemple de système de masse vaiable Los de sa populsion, une fusée consomme son cabuant et éjecte pa ses éacteus le gaz ésultant de cette combustion. Sa masse diminue au fu et à mesue de cette consommation. Nous supposons que la fusée éjecte des gaz avec un débit massique D constant ( D = m t, en kg/s) et une vitesse (mesuée pa appot à la fusée) constante. Nous chechons à expime la foce de populsion de la fusée (foce execée pa les gaz su la fusée). Notons m, la masse de la fusée et v 1 sa vitesse à l'instant t, m * sa masse et v 1 * sa vitesse apès un intevalle de temps t (où m * < m puisque la fusée a éjecté des gaz et donc diminué de masse pendant cet intevalle de temps). P. Rebetez/systèmes de masse vaiable.doc/

3 3 ème os DYNAMIQUE Théoie Système isolé Dans un pemie temps, supposons que le système gaz-fusée soit isolé (la fusée est pa exemple loin de tout aste) et le mouvement de la fusée, ectiligne. Nous pouvons dans ce cas applique à ce système le pincipe de consevation de la quantité de mouvement : P = P * p 1 = p 1* + p 2 * où p 1 est la quantité de mouvement de la fusée à l'instant t, p 1 * sa quantité de mouvement à l'instant t + t et p 2 * la quantité de mouvement des gaz éjectés à l'instant t + t, dont la masse m m * est égale à la diminution de masse de la fusée pendant l'intevalle de temps t. D'où : = m * v * 1 + ( m m * * )v 2 La vaiation de masse m de la fusée pendant l'intevalle de temps t est égale à m * m, d'où m < 0 (c.f. fig. ci-dessous). m m m On peut donc écie m * = m + m et m m * = m. L'équation ci-dessus devient alos : = ( m + m)v * * 1 mv 2 De plus, d'apès la définition du débit massique D donnée plus haut, on peut écie m = D t, ce qui donne : ( ) = mv * 1 v * * 2 v D t 1 où le teme v 2 * v 1 * v el est la difféence ente la vitesse des gaz éjectés et la vitesse de la fusée, autement dit la vitesse des gaz mesuée elativement à la fusée (dans le éféentiel de la fusée), supposée constante appelons-le. On peut écie : v el = * v el D t P. Rebetez/systèmes de masse vaiable.doc/

4 3 ème os DYNAMIQUE Théoie En notant v 1 v 1 * v 1 et en éaangeant les temes de cette denièe équation, on obtient : La division de cette équation pa t, donne : m v 1 = v el D t m v 1 { t a 1m = v el D Le teme a 1m v 1 est l'accéléation moyenne de la fusée. En faisant tende ves 0 l'intevalle t de temps t, on obtient son accéléation instantanée et l'équation ci-dessus devient : ma { = v 1 eld F es où le teme ma 1 est, en vetu de la deuxième loi de Newton, la ésultante des foces F es qui s'execent su la fusée. Le teme v el D a pou unité le m s kg s = kg m s 2, qui est l'unité d'une masse multipliée pa une accéléation, c'est-à-die une foce, toujous en vetu de la deuxième loi de Newton. Cette foce est execée pa les gaz su la fusée los de leu éjection, c'est donc la foce de populsion. Cette foce ésulte de l'inteaction ente les gaz et la fusée constituant tous deux le système considéé. On dit pou cette aison, que c'est une foce intene au système. On voit que la ésultante des foces execées su la fusée (l'un des deux objets du système fusée-gaz) est une foce intene : F es = F int. L'intensité de la foce de populsion de la fusée est égale au poduit du débit massique des gaz éjectés pa leu vitesse d'éjection : F pop = v el D (4) Remaquons que cette foce ne dépend ni de la masse, ni de la vitesse de la fusée et qu'elle est de plus constante si la vitesse d'éjection et le débit massique des gaz sont constants. Système non-isolé Considéons maintenant le cas où le système gaz-fusée n'est pas isolé (la fusée est pa exemple entain de décolle d'une planète et subit sa foce gavitationnelle (c.f. fig. cidessous)). P. Rebetez/systèmes de masse vaiable.doc/

5 3 ème os DYNAMIQUE Théoie Le pincipe de consevation de la quantité de mouvement n'est plus valable dans cette situation. Nous pouvons cependant applique la 2 ème loi de Newton (équation (3) pou un intevalle de temps t fini) : F ext m = P t où P P * P avec P = et P * = * v el D t, comme nous l'avons vu plus haut. En utilisant les ésultats obtenus dans le cas du système isolé, on obtient : D'où : P = m v 1 v el D t P t = m v 1 t v eld En substituant cette denièe elation dans la deuxième loi de Newton, on obtient : F ext m = m v 1 t v eld En penant la limite t 0, cela donne finalement : F ext = ma 1 v el D où F ext est la ésultante des foces extenes (instantanées) execée su la fusée, a 1 l'accéléation (instantanée) de la fusée. En éaangeant les temes de l'équation ci-dessus, on obtient : ma { = F 1 ext + v { el D (5) F es On voit cette fois que la ésultante des foces execée su la fusée (l'un des deux objets du système fusée-gaz) est la somme des foces extenes et des foces intenes : F int P. Rebetez/systèmes de masse vaiable.doc/

6 3 ème os DYNAMIQUE Théoie et que, comme dans le cas du système isolé : F es = F ext + F int (6) L'intensité de la foce de populsion de la fusée est égale au poduit du débit massique des gaz éjectés pa leu vitesse d'éjection : F populsion = v el D P. Rebetez/systèmes de masse vaiable.doc/